chapter2非参数统计详解
非参数统计课件
什么是假设 检验？
假设检验用来判断 一个统计假设在给 定数据下是否成立。
非参数假设 检验的基本 思想
非参数假设检验不
依赖于总体参数的
具体分布。
U检验
U检验是一种常见的 非参数假设检验方 法。
KolmogorovSmirnov检验
KolmogorovSmirnov检验用来检 验样本是否符合给 定分布。
什么是核密度估计？
核密度估计是一种估计概率密度函数
概率密度函数和密度函数的区
2
的非参数方法。
别
概率密度函数是连续随机变量的密度
函数，而密度函数是离散随机变量的
3
高斯核密度估计
密度函数。
高斯核密度估计使用高斯核函数来估
计概率密度函数。
交叉验证方法
4
交叉验证方法可以用来选择合适的核 函数带宽。
分析？
回归分析用来建立变量之间的依赖关系。
Nadaraya-Watson核回归
Nadaraya-Watson核回归通过核函数加权来 估计回归函数。
非参数回归分析的基本思想
非参数回归分析不需要对回归函数做具体的 形式假设。
局部加权回归
局部加权回归在核回归的基础上引入了距离 权重来进一步提高估计精度。
非参数统计ppt课件
# 非参数统计PPT课件 ## 简介 - 什么是非参数统计？ - 非参数统计和参数统计的区别
统计分布
什么是统计分布？
统计分布描述随机变量的不确定性和可能性。
常见的统计分布
包括正态分布、二项分布、泊松分布等。
经验分布函数
经验分布函数用样本数据来近似未知总体分布函数。
核密度估计
1
总结
1
chapter2非参数统计详解
将样本显示的特点作为对总体的猜想，并优先选作 备择假设，零假设是相对于备择假设而出现的.
(2) 检验的 p 值和显著性水平的作用 p 值：在一个假设检验中拒绝零假设的最小显著水平. 判断法则：
(3) 两类错误 第一类错误(弃真错误)： H0为真，拒绝H0 一般由检验显著性水平控制 第二类错误(取伪错误)： H0为假，接受H0 两类错误相互制衡，不能同时都减到很小. 检验的势
•
置信区间和假设检验的关系
就单变量位置参数而言，置信区间和双边假设检验有 密切的联系. (1) 检验显著水平 a 和置信水平 1-a 是两个对立事件的概 率 (2) 若水平为 a的拒绝域为 W，则其对立事件是置信水平 为 1-a 的置信区间； (3) 若 H0在1-a的置信区间内则接受 H0,否则拒绝 H0. 置信区间和假设检验的这种关系成为对偶关系. 例：正态总体在方差已知情况下对均值的U检验.
d
又由F ( X i ) 是来自U(0,1)上的iid样本，则有
F ( X1 ).F ( X 2 )...F ( X n ) Wi，Wi U (0,1), iid 样本
i 1 d n
2 n 所以 U1,U2 ,...,Un
为来自(0, 1)上均匀分布的iid样本。
证明
(2)
证明 最大与最小次顺统计量的分布：在上式中分别取r=n和r=1. (3)
这里 s>r。 容量为n的样本最大顺序统计量x(n)与样本最小顺序统计 量x(1)之差称为样本极差,简称极差,常用R=x(n)-x(1)表示。
2.分位数 (1) 样本分位数
(2) 分布分位数
例如标准正态分布
3.分位数的估计
第二章
基本概念
§2.1 非参数统计概念与产生 1.非参数统计的概念
非参数统计方法介绍
非参数统计方法介绍非参数统计方法是一种不依赖于总体分布形态的统计方法，它不对总体分布做出任何假设，而是直接利用样本数据进行统计推断。
非参数统计方法的优势在于适用范围广，可以处理各种类型的数据，不受总体分布形态的限制。
本文将介绍非参数统计方法的基本原理和常用的方法。
一、非参数统计方法的基本原理非参数统计方法是基于样本数据进行统计推断的方法，它不对总体分布形态做出任何假设。
非参数统计方法的基本原理可以概括为以下几点：1. 样本数据的分布形态未知：非参数统计方法不对总体分布形态做出任何假设，因此适用于各种类型的数据，包括连续型数据、离散型数据和顺序型数据等。
2. 依赖于样本数据的排序：非参数统计方法通常基于样本数据的排序进行推断，而不是依赖于总体分布的参数估计。
3. 适用范围广：非参数统计方法不受总体分布形态的限制，适用于各种类型的数据和各种统计问题，如参数估计、假设检验和置信区间等。
二、常用的非参数统计方法非参数统计方法包括了许多不同的方法，下面将介绍其中常用的几种方法。
1. 秩和检验：秩和检验是一种用于比较两个独立样本的非参数方法。
它基于样本数据的排序，通过比较两个样本的秩和来判断两个样本是否来自于同一总体。
2. 秩相关系数：秩相关系数是一种用于衡量两个变量之间相关性的非参数方法。
它基于样本数据的排序，通过计算秩次之间的差异来衡量两个变量之间的相关性。
3. Kruskal-Wallis检验：Kruskal-Wallis检验是一种用于比较多个独立样本的非参数方法。
它基于样本数据的排序，通过比较各个样本的秩和来判断多个样本是否来自于同一总体。
4. Wilcoxon符号秩检验：Wilcoxon符号秩检验是一种用于比较两个相关样本的非参数方法。
它基于样本数据的排序，通过比较两个样本的秩和来判断两个样本是否来自于同一总体。
5. Mann-Whitney U检验：Mann-Whitney U检验是一种用于比较两个独立样本的非参数方法。
非参数统计·王星_第二章课后习题答案
非参数统计 第 次作业第二章习题 2.1 解：（1）0110001000H :h H :h μ≥↔μ<建立的猜想应该与样本表现一致。
换句话说，正是样本表现使我们对总体的均值产生怀疑，进而才有了假设检验。
因此，0H 是我们就与样本想要推翻的假设，所以才要检验。
（2）由上一问，这样的假设脱离样本，样本呈现出落后于旧过程的情形，而非要用一种优于旧过程的假设，这样的假设是毫无意义的，也并不会带来好的结果。
2.2 解：（1）有问题。
假设检验在原假设条件成立下，得到拒绝域1645x .>，意思是拒绝0θ=，接受0θ≠。
而1000θ=只是其中的一种情况，故不能接受1000θ=。
改进方法：可直接提出假设对均值为1000进行检验。
即0110001000H :H :θ=↔θ≠（2）不合理。
样本2的样本量太小，不具备代表性，用其进行假设检验风险太大。
改进方法：若样本来自同一总体，独立观察，且需要对总体样本均值做出判断，可将两样本合并后再进行假设检验；若样本来自两个总体，需对两总体的均值做出比较，可取（12x x ---）作为检验统计量进行检验。
（3）t -=x -为样本均值，μ为总体均值，s 为样本标准差 01p Pr(t(n )t )=-≤，其中0t -=p 值是拒绝原假设0H 的最小显著水平。
若p α≥，则拒绝0H ；反之，接受0H（4）对总体均值进行双侧检验：00012112211111-H :|t(n )t (n )|(x t (n t (n α---αα--μ=μ↔μ≠μ⎧⎫->-⎨⎬⎩⎭α--+-拒绝域：故，置信区间为：（5）双侧检验：00101211221122''H :H :|u |u u u [x u ,x u α--αα----αα--μ=μ↔μ≠μ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭≤≤-+拒绝域：故置信区间为：- 当样本量很大时，依然可以用上法：222212211111_n i i _s (x x )[n(x (x ))]n n n [(x (x ))]n --=-=-=---=--∑由矩估计的相合性可知，2_x 是2E(x )的相合估计，2(x )-是2E(x )的相合估计 故2s 是2δ的相合估计。
非参数统计讲义二单样本模型通用课件
02
单样本模型介绍
单样本模型定义
单样本模型是指仅使 用一个样本数据来构 建统计模型的统计方 法。
单样本模型常用于分 析单个样本数据的分 布、参数估计和假设 检验等。
它与双样本模型相对 ，后者需要两个独立 样本数据进行比较。
单样本模型的特点
简单易用
灵活性
单样本模型仅需一个样本数据，无需 复杂的配对或分组操作，计算过程相 对简单。
秩和检验的应用步骤
将数据排序，计算秩次，根据秩次计算统计量，与临界值进行比较。
秩和检验的优点
不受数据分布形式的限制，能够处理异常值和离群点。
案例三：直方图在单样本模型中的应用
直方图
直方图是一种非参数统计方法， 用于展示数据的分布情况。在单 样本模型中，直方图可以用于分
析一组数据的分布特征。
直方图的应用步骤
成本，对于大规模数据集可能存在计算效率问题。
02
对数据量和样本代表性要求较高
非参数统计方法需要足够的数据量和样本代表性，才能保证分析结果的
稳定性和可靠性。
03
对数据质量要求较高
非参数统计方法对数据的质量和完整性要求较高，如果数据存在缺失、
异常或偏差等问题，可能会影响分析结果的准确性和可靠性。
04
非参数统计在单样 本模型中的具体应 用
核密度估计在单样本模型中的应用
核密度估计是一种非参数统计方法，用 于估计未知概率密度函数。在单样本模 型中，核密度估计可以用来检验数据是 否符合特定的概率分布，或者比较两组
数据的分布是否相似。
核密度估计的基本思想是利用核函数和 权重函数对概率密度函数进行加权平均 ，从而得到未知概率密度函数的估计。 常用的核函数包括高斯核、多项式核等
非参数统计讲义通用课件
假设检验方法
总结词
假设检验方法用于检验一个关于总体 参数的假设是否成立。
详细描述
假设检验方法包括提出假设、构造检 验统计量、确定临界值和做出决策等 步骤。常见的假设检验方法有t检验、 卡方检验、F检验等，用于判断样本数 据是否支持假设。
关联性分析方法
总结词
关联性分析方法用于研究变量之间的相关性。
02
非参数统计方法
描述性统计方法
总结词
描述性统计方法用于收集、整理、描述数据，并从数据中提取有意义的信息。
详细描述
描述性统计方法包括数据的收集、整理、描述和可视化，例如均值、中位数、 众数、标准差等统计量，以及直方图、箱线图等图形化表示。这些方法可以帮 助我们了解数据的分布、中心趋势和离散程度。
非数统计与机器学习算法的结 合将有助于解决复杂的数据分析 问题。
02
与大数据技术的融 合
非参数统计将借助大数据技术处 理海量数据，挖掘数据背后的规 律和模式。
03
与社会科学研究的 互动
非参数统计方法将为社会科学研 究提供更有效的研究工具和方法 。
决策树分析方法
总结词
决策树分析方法是一种基于树形结构的非参 数统计学习方法。
详细描述
决策树分析方法通过递归地将数据集划分为 更小的子集，构建出一棵决策树。决策树的 每个节点表示一个特征属性上的判断条件， 每个分支代表一个可能的属性值，每个叶子 节点表示一个分类结果。决策树分析可以帮 助我们进行分类、预测和特征选择等任务。
非参数统计的发展趋势
多元化发展
非参数统计将不断拓展其应用领域，从传统的医学、生物 、经济领域向金融、环境、社会学等领域延伸。
01
算法优化
随着计算能力的提升，非参数统计的算 法将进一步优化，提高计算效率和准确 性。
非参数统计讲义
非参数统计讲义(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 绪 论本章主要内容： 1．非参数方法介绍2．预备知识第一节 非参数方法介绍一． 非参数方法的概念和实例复习参数方法定义：设总体X 的分布函数的形式是已知的，而未知的仅仅是分布函数具体的参数值，用样本对这些未知参数进行估计或进行某种形式的假设检验，这类推断方法称为参数方法。
先来看两个实例。
例 供应商供应的产品是否合格某工厂产品的零件由某个供应商供应。
合格零件标准长度为（±）cm 。
这也就是说合格零件长度的中心位置为，允许误差界为，即长度在－之间的零件是合格的。
为评估近年来供应的零件是否合格，随机抽查了n=100个零件，它们的长度数据X 见第一章附表。
解答：根据我们已学过的参数统计的方法，如何根据数据来判断这批零件合格否 用参数数据分析方法，在参数统计中，运用得最多的是正态分布，所以考虑假设供应商供应的零件长度X 服从正态分布，即X ～),(2σμN其中两个参数均未知，但可用样本均值估计μ，样本方差估计2σ。
由已知的数据计算可得：零件的平均长度，即样本均值为x =，样本标准差为s=。
则零件合格的可能性近似等于)/)4.8(()/)6.8(()6.84.8(σμσμ-Φ--Φ=≤≤X P)1047.0/)4958.84.8(()1047.0/)9458.86.8((-Φ--Φ≈%66≈这个说明：约有三分之一的零件不合格，该工厂需要换另一个供销商了。
但这个结论与实际数据符不符合呢这是我们要思考的问题。
我们可以对数据做一个描述性分析，先对这100个样本数据做一个频率分布。
观察到：在这100个零件中有91个零件的长度在～之间，所以零件合格的比例为91%，超过66％很多！统计分析的结论与数据不吻合的！这是什么原因呢我们可以作出数据的直方图来分析数据的分布情况。
由图知，该数据的总体不是近似服从正态分布的！所以我们对于数据的总体分布的假设错了！问题就出在假设总体是正态分布上！继续看直方图，能否很容易就观察出来它大概是什么分布呢答案是不易看出，所以试图先确定数据的分布函数，再利用参数的方法来分析是不太容易的。
非参数统计学讲义(第二章)讲稿
非参数统计学讲义第二章 单样本模型 §1 符号检验和有关的置信区间在有了一个样本n X X ,,1 之后，很自然地想要知道它所代表的总体的“中心”在哪里．例如，在对人们的收入进行了抽样之后，就自然要涉及“人均收入”和“中间收入”等概念．这就与统计中的对总体的均值(mean)，中位数(median)和众数(mode)等位置参数的推断有关。
例如，在知道总体是正态分布时，要检验其均值是否为μ；一个传统的基于正态理论的典型方法是t 检验．它的检验统计量定义为ns X t /μ-=这里X 为样本均值，而211)(X X n S -∑-=为样本标准差。
t —检验的统计量在零假设下有n —1个自由度的t —分布。
检验统计量是用样本标准差s 代替了有标准正态分布的检验统计量的总体标准差后而产生的在大样本时，二者几乎相等。
t —检验也许是世界上用得最广泛的检验之一。
但是，t —检验并不稳健，在不知总体分布时，特别是小样本时，应用t —检验就可能有风险。
这时就要考虑使用非参数方法。
对于本章所要介绍的数据趋势或随机性检验，就不存在简单的参数方法．非参数方法总是简单实用的。
本章所介绍的一些检验有代表性，因此这里的讨论将比其它章节更为仔细．一旦熟悉了非参数方法的一些基本思路，后面的内容就很容易理解了．一、问题的提出【例2-1】联合国人员在世界上66个大城市生活花费指数（以纽约市1962年12为100）按自小至大的次序排列如下（这里北京的指数为99）：表2-1 生活花费指数数据66 75 78 80 81 81 82 83 83 83 83 84 85 85 86 86 86 86 87 87 88 88 88 88 88 89 89 89 89 90 90 91 91 91 91 92 93 93 96 96 96 97 99 100 101 102 103 103 104 104 104 105 106 109 109 110110110111113115116117118155192在例子中，人们可能会问：①总体的平均（或者中间）水平1是多少？②北京是在该水平之上还是之下？可以假定这个样本是从世界许多大城市中随机抽样而得的所有大城市的指数组成总体．可能出现的问题是：这个总体的平均(或者中间)水平是多少?北京是在该水平之上还是之下?这里的平均(或中间)水平是一个位置参数。
非参数统计讲义通用课件
通过实际案例展示如何使用Python进行非 参数统计，包括分布拟合、假设检验和模 型选择等步骤。
SPSS实现
SPSS简介
SPSS（Statistical Package for the Social Sciences） 是一款流行的社会科学统计 软件。
操作界面
SPSS的非参数统计功能通常 在“分析”菜单下的“非参 数检验”选项中，用户可以 通过直观的界面进行操作。
聚类分析方法在数据挖掘、 市场细分等领域有广泛应用， 可以帮助我们发现数据的内 在结构和模式。
异常值检测方法
• 异常值检测方法用于识别和剔除数据中的异常值，提高数据分析的准确性和可靠性。
• 常见的异常值检测方法包括基于统计的方法、基于距离的方法、基于密度的方等。 • 基于统计的方法利用统计学原理，如z分数、IQR等，判断数据是否为异常值；基于距离的方法通过计算对象与其它对象的距离来判断是否为异常值；基于密度的方法则根据对象周围的密度变化来判断是否
解释性较差
相对于参数统计，非参数统计结果通 常较为抽象，难以直接解释其具体含 义。
假设检验能力较弱
非参数统计在假设检验方面的能力相 对较弱，对于确定性的结论和预测不 如参数统计准确。
如何克服非参数统计的局限性
01
02
03
04
利用高效计算方法
采用并行计算、分布式计算等 高效计算方法，提高非参数统
计的计算效率和准确性。
描述性统计方法在数据分析中起到基 础作用，为后续的统计推断提供数据 基础和初步分析结果。
假设检验方法
假设检验方法是一种统计推断 方法，通过提出假设并对其进
行检验，判断假设是否成立。
假设检验方法包括参数检验和 非参数检验，其中非参数检验 不依赖于总体分布的具体形式，
非参数统计概述课件
对于小样本数据，非参数统计 方法可能无法提供稳定和可靠
的结果。
04
非参数统计与其他统计方 法的比较
与参数统计的比较
非参数统计
不依赖于特定的概率分布模型，灵活 性更强，能适应多种数据类型和分布 。
参数统计
基于特定的概率分布模型，需要对模 型假设进行验证，适用范围相对有限 。
与贝叶斯统计的比较
02
大数据为非参数统计提供了丰富 的数据资源和计算能力，有助于 发现更多隐藏在数据中的信息和 规律，推动非参数统计的发展。
非参数统计与其他学科的交叉研究
非参数统计与计算机科学、数学、物 理学、生物学等学科的交叉研究有助 于拓展非参数统计的应用领域和理论 框架。
不同学科的交叉融合可以促进非参数 统计的创新和发展，推动其在各个领 域的实际应用。
在秩次相关性检验中，变量值被转换为秩次，然后使用秩 次计算相关系数（如Spearman或Kendall秩次相关系数 ）。这种方法适用于非正态分布的数据，且不受数据异常 值的影响。
分布拟合检验
分布拟合检验是一种非参数统计方法，用于检验数据是否符合特定的概率分布。
分布拟合检验通过比较数据的实际分布与理论分布的统计量（如Kolmogorov-Smirnov、 Anderson-Darling等），来评估数据是否符合特定的概率分布。这种方法在统计学中广泛应用于模 型的假设检验和数据的探索分析。
特点
灵活性、稳健性、无分布假设、 适用于多样本数据等。
与参数统计的区别
01
02而参数统计 则依赖于特定的分布假设 。
方法
非参数统计通常采用中位 数、四分位数等统计量， 而参数统计则采用平均数 、方差等统计量。
应用范围
非参数统计讲义
秩 9.5 14.0 12.0 21.0 7.5 9.5 2.0 17.5 7.5 14.0 17.5 24.0
Histogram
For GROUP= Group2
6
5
4
3
2
Frequency
1 0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Std. Dev = 9.17 Mean = 14.8 N = 15.00
定义（连续分布） 定义（连续分布）
假定X ~ f ( x), 令0 < p < 1, 满足等式F ( x)=p( X < m p ) = p 的唯一根m p 称为F ( x)的分位数。
二、秩统计量 1、秩统计量 设X1，X2，X3，…，Xn 来自总体的样本，记Ri为样本 点Xi 的秩，即样本中小于或等于Xi 的样本点的个数， n 即
44 33 22 8 47 31 40 30 33 35 18 21 35 28 22
26.0 19.5 5.5 1.0 27.0 16.0 25.0 14.0 19.5 22.5 3.0 4.0 22.5 11.0 5.5
Histogram
For GROUP= Group1
6
RANK of SCORE
注意：非参数统计的名字中的“ 注意：非参数统计的名字中的“非参数 (nonparametric)” (nonparametric) 意味着其方法不涉及描述总 体分布的有关参数；它被称为和分布无关 体分布的有关参数；它被称为和分布无关 (distribution—free) free)， (distribution free)，是因为其推断方法和 总体分布无关；不应理解为与所有分布( 总体分布无关；不应理解为与所有分布(例如有 关秩的分布)无关． 关秩的分布)无关． 什么是非参数统计? 什么是非参数统计? 不假定总体分布的具体形式， 不假定总体分布的具体形式，从数据本身获得 所需要的信息， 所需要的信息，通过推断方法得到相关结论的 一种分析方法。 一种分析方法。
《非参数统计》课件
核密度估计
详细讲解核密度估计方法， 可用于估计未知分布函数 的概率密度函数。
K近邻算法
介绍K近邻算法在非参数统 计中的应用，用于分类和 估计未知函数。
常用方法本 的中位数差异，对于不 符合正态分布的数据非 常有用。
Kruskal-Wallis检验
一种非参数方法，用于 比较多个独立样本的总 体分布，可以替代方差 分析。
介绍常用于非参数统计的软件和工具，帮助读者选择适合自己的数据分析工具。
3 Q&A
解答读者在非参数统计方面的疑问和问题，提供进一步的讨论和交流。
总结
1 非参数统计的优势和劣势总结
总结非参数统计方法和传统参数统计方法的优势和劣势，帮助选择合适的分析方法。
2 非参数统计的前景和未来发展方向
讨论非参数统计的前景和未来的发展方向，以及可能的研究方向。
附录
1 参考文献
提供相关参考文献，方便读者进一步学习非参数统计的理论和应用。
2 常用软件和工具介绍
Mann-Whitney U检 验
非参数的秩和检验方法， 用于比较两个独立样本 的总体分布。
实例应用
医疗领域的应用
展示非参数统计在医疗研究 中的应用，如临床试验和数 据分析。
社会调查中的应用
探讨非参数统计在社会调查 和民意调查中的应用，如对 人口统计数据的分析。
金融风险评估中的应用
介绍非参数统计在金融领域 中的应用，如风险评估和市 场预测。
《非参数统计》PPT课件
非参数统计是一门关于数据分析的重要领域，本课件将介绍非参数统计的基 本原理、常用方法和实例应用，以及其在医疗、社会调查和金融方面的应用。
简介
非参数统计是一种不基于总体概率分布的统计方法，适用于各种数据类型，具有广泛的应用场景 和灵活性。
非参数统计分析教学课件
Python
介绍
Python是一种通用编程语 言，因其易读性和易用性 而被广泛用于数据分析和 科学计算。
特点
Python拥有强大的科学计 算库，如NumPy、 Pandas和SciPy等，可进 行数据清洗、统分析等 多种任务。
教程资源
Python的在线教程和书籍 资源丰富，同时还有大量 的科学计算社区和论坛可 供交流。
数据流处理
数据流处理技术可以实时处理大规模数据，为非参数统计分析提供 新的可能性。
云计算
云计算平台可以提供弹性可扩展的计算资源，方便非参数统计分析 的进行。
THANKS
感谢观看
洗和校验。
高维数据的非参数统计分析挑战
维度诅咒
高维数据可能导致传统的非参数统计分析方法失 效，需要开发新的方法。
数据稀疏性
高维数据可能导致数据稀疏，使得统计分析结果 不稳定。
特征选择
高维数据需要进行特征选择，以减少噪声和冗余 ，提高分析效率。
大数据处理技术在非参数统计分析中的应用前景
并行计算
利用并行计算技术可以提高非参数统计分析的效率和准确性。
应用场景与优势
应用场景
适用于数据类型复杂、分布不明确或 数据量较小的情况；例如，生物医学 研究、金融数据分析、社会学调查等 领域。
优势
能够更好地揭示数据的内在结构和关 系；对数据的假设较少，避免过度拟 合和误判；同时具有较高的灵活性和 普适性，能够适用于多种场景。
02
CATALOGUE
非参数统计方法
聚类分析
01
聚类分析是一种非参数统计方法 ，用于将相似的对象归为同一类 ，将不相似的对象归为不同类。
02
聚类分析通过计算对象之间的距 离或相似性来将它们分组，常见 的聚类分析方法有层次聚类、K均 值聚类和DBSCAN聚类等。
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4.分位数的图形表示
2) Q-Q图
§2.6 秩检验统计量 1. 无结点数据的秩及性质
秩统计量 (1) 定义
(2) 分布
(3) 边缘分布
推论2.3
线性符号秩统计量
2.有结数据的秩
例
秩统计量
结统计量
§2.7 U统计量
参数估计回顾：
设n 是的一个估计，评价一个估计优劣的标准有：
y)
( y)(n
)
(4) 无偏估计的有效性
例：正态总体在方差已知情况下对均值的U检验.
§2.3 经验分布和分布探索
2.3.1 经验分布
分布函数：设 x 为定义在样本空间上且取值于实数域的随 机变量，其分布函数定义为
F(x)=P(X<x) (1) 右连续 或 F(x)=P(X<=x) (2)左连续. 经验分布函数：
定义：当有独立随机样本X1,X2,…,Xn，对任意的x,定义
生存函数的性质： (1) S(0)=1, S(+ )=0; (2) S(t)是递减函数； (3) 用经验分布函数估计生存函数
表示生存时间超过 t 的数据所占的频率. 危险函数:
表示个体生存时间超过给定时间的瞬时死亡率， 是在某一时刻(附近)，对死亡发生的可能进 行度量的量.
危险函数的表达式： 危险函数还可以表示为：
① 从定义可以看出，在 x 处的 函数值是 n 个观察值中小 于或等于 x 的频率.
② 给定 x, 是一个随机变量，n 服从二项分布 B(n,F(x)).
证明利用伯努利大数定律很容易得到证明 伯努利大数定律：
证明过程比较复杂
2.3.2 生存函数
生存分析是研究生存现象和响应时间数据及其统计规律的一 门学科。该学科在生物学、医学、保险学、可靠性工程学、 人口学、社会学、经济学等方面都有重要应用。
证明
(2)
证明 最大与最小次顺统计量的分布：在上式中分别取r=n和r=1. (3)
这里 s>r。 容量为n的样本最大顺序统计量x(n)与样本最小顺序统计 量x(1)之差称为样本极差,简称极差,常用R=x(n)-x(1)表示。
2.分位数 (1) 样本分位数
(2) 分布分位数
例如标准正态分布
3.分位数的估计
非参数统计的特点：
• 非参数统计方法对总体的额家丁相对较少，效率高，结果 一般有较好的稳定性；
• 非参数统计可以处理所有类型的数据，有广泛的适用性； • 非参数统计思想容易理解，计算容易。
非参数统计的历史：
•20世纪40-50年代，(1) Wilcoxon 两样本秩和检验，1947 年Mann和Whitney将结果推广到两组样本量不等的情况；
§2.4 检验的相对效率
渐进相对效率：
计算渐进效率应满足的条件如下定理：
例
§2.5 分位数和非参数估计
1.顺序统计量
顺序统计量中各分量既不独立，也不同分布。 X(1)=min(X1,X2,…,Xn)称为该样本的最小顺序统计量, X(n)=max(X1,X2,…,Xn)称为该样本的最大顺序统计量。 顺序统计量的分布 (1)
两类错误相互制衡，不能同时都减到很小. 检验的势
• 置信区间和假设检验的关系
就单变量位置参数而言，置信区间和双边假设检验有 密切的联系. (1) 检验显著水平 a 和置信水平 1-a 是两个对立事件的概 率 (2) 若水平为 a的拒绝域为 W，则其对立事件是置信水平 为 1-a 的置信区间； (3) 若 H0在1-a的置信区间内则接受 H0,否则拒绝 H0. 置信区间和假设检验的这种关系成为对偶关系.
基本方法：
(1)参数法：指数分布法、Weibull分布法
(2)非参数法：如 非参数法：如 乘积极限法 、寿命表法、 logrank 检验检验、 Gehan比分检验
(3) 半参数法：如 半参数法：如 Cox回归模型
生存函数定义：设T为生存时间，是一个随机变量，其分布函 数为F(t),生存函数定义为
S(t)=P(T>=t)=1-F(t).
(1)如何选择零假设和备择假设
将样本显示的特点作为对总体的猜想，并优先选作 备择假设，零假设是相对于备择假设而出现的.
(2) 检验的 p 值和显著性水平的作用 p 值：在一个假设检验中拒绝零假设的最小显著水平.
判断法则：
(3) 两类错误 第一类错误(弃真错误)： H0为真，拒绝H0 一般由检验显著性水平控制 第二类错误(取伪错误)： H0为假，接受H0
(2)Pitman 提出了相对于非参数方法 相对于参数方法的相对效率的问题。
• 20世纪60年代，Hodges 和Lehmann 从秩检验统计量出 发，导出了若干估计量和置信区间；
• 20世纪70-80年代，非参数统计借助于计算机获得了更 稳健的估计和预测，促进了促进了非参数统计在应用领域 的发展.
(1)无偏性；（渐进无
偏性lim n
n
）
(2)相合性：n p (n );
(3)渐近正态性：
对于的估计序列n , 若存在一个趋于0的正数列 n ( ),使得
规范化变量y n 的分布函数收敛于标准正态分布，即 n ( )
Fn ( y)
P(n n ( )
•20世纪90年代后，有关非参数统计的应用和研究主要集 中在非参数回归和非参数密度领域.来自§2.2 假设检验回顾
一般的参数假设检验
H 0： 0;H 1： 0.
显著性检验的基本思想： 为了对总体的分布类型或 对总体中未知参数的推断，首先提出假设H0，然后在 H0为真的条件下，通过选取恰当的统计量来构造一个小 概率事件，若在一次试验中小概率事件发生，则拒绝H0， 否则则接受H0. 假设检验问题需要探讨的问题：
第二章 基本概念
§2.1 非参数统计概念与产生 1.非参数统计的概念
非参数方法：不假定总体分布的具体形式，尽量从数据或 样本本身获得所需要的信息，通过估计而获得分布的结构， 并逐步建立对事物的数学描述和统计模型的方法.
参数方法：样本数据被视为从分布族的某个参数族抽取出 来的总体的代表，未知的仅是总体分布具体的参数值，这 样推断问题就转换为分布族的若干个未知参数的估计问题， 用样本对这些参数作出估计或进行假设检验，从而获得数 据背后的分布.