TM5-9哈密顿原理

t1
mgr sin k ( r l ) r dt 0. (1)
d r r (r r ) r r , 且： r |t1 r |t2 0, dt d 2 2 |t1 |t2 0, r (r ) 2rr r 2， dt
L q 1 q
s
t1

t2
t1
L L q q dt 0 q 1 q
s
因为
q
t1
q
s
t2
0

t2
t1
Ldt 0
L L L q q q 1 q
B
A
x
B
z
设曲线AB方程为 y = y(x)，质点沿曲线运动速度为
2 2 2 ds ( dx ) ( dy ) 1 y ' 2 gy dx dt dt dt
O
A
y ( x)
x
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
T dt
A
B
B
A
xB 1 y '2 ds dx. xA 2 gy 2 gy
dq dq dt 2 dt dt d q dq d t 2 dt dt
d 可见 与 一般不能对易。若 t 0 dt dq d 则 q dt dt
等时变分
d 在等时变分时 与 的先后次序可以对易. dt
C与C'是两个轨道(宗量函数),两个轨道的两端点P 1 ,P 2相同.
设一质点M沿C运动， 它们同时自 P1出发，同时 到达 P2. 则在P1和P2 点有
t 0 q P q
1
P2
0
15
叫做不动边界条件
1）
P Q Q q dq q dq
d ( q ) (dt ) dq dt (dt ) 2 d d ( t ) ( q ) dq dt (dt ) 2
若是等时变分，即 t 0，所以上式为 dq dt d ( q ). dt
17
dq dt
不等时变分
y
B
时间T的值与函数y(x)有关， 最速落径问题实质就是求泛函 T[y(x)]的极值问题，而求 关于泛函的极值就是变分问题，即求
(T [ y( x)]) 0
4.泛函的变分 (1) 泛函宗量的变分
泛函 J y( x)，其宗量 y( x) 的变分，是指当自变量x 不变时，泛函定义域中两个函数的差，即
y y( x) - y0 ( x).
这种自变量不变时的变分，称为等时变分.
(2) 泛函的变分
泛函 J y( x)的变分，
是指当自变量 x 不变时，函数的变分 y ， 所引起的泛函 J 的变化，即
J J y( x) y J y(x)
y
y1 ( x)
微分dy ：由于dx 0所引起的同一函数 的变化量,
(2) 运动路径 这种以时间为参量的轨迹q(t) ，称为运动路径.
2.哈密顿作用量和哈密顿原理 从相同的起点q(t1)到相同的终点q(t2)，约束条件所 允许的可能运动路径有许多。但在S维位形空间的各种 可能的运动路径中，真实运动的路径只能有一条。 (1) 哈密顿作用量S
S定义为拉格朗日函数L的时间定积分.
y ( x)
dy
y
变分 y ： x 0时两个函数的差.
11
o
dx
x
泛函的变分，定义为泛函 J y( x) y 对
参数 的导函数在 0 时的值。即为
J y ( x ) y 0 J ' y( x) y y 0
S L(q, q, t )dt
t1
t2
哈密顿作用量S 随函数q(t )的变化而变化， S是函数 q(t)的泛函. 20
(2) 哈密顿原理 力学系统从时刻 t1到 t2的一切可能(约束条件所 允许)的运动中，使哈密顿作用量S取极值(泛函取极 值)的运动才是实际发生的运动.
S L(q, q, t )dt 0.
1 2 1 2 kx dt 0 Ldt mx 0 2 2
t
上式变为
kxxdt 0 x m
t 0
x为任意，且dt任意，所以有
kx 0 m x
26
例2 轻弹簧一端挂一质量为m的质点，另一端为悬点O，弹簧 倔强系数为 k，不受力时原长为 l，摆动限于铅垂平面内，试 用哈密顿原理求出质点的运动微分方程。
t1
t2
对于完整保守系,在给定的起始位置和相同的约束 条件下,体系的真实运动对应于哈密顿作用量取极值.
由拉格朗日方程，推导保守力系作用下的哈密 顿原理.
L q 0, 1, 2, , s 由拉氏方程各项乘 q ,对 求和，
然后沿着一条可能的运动轨道自P1 运动到P2 ,对t 积分，
t1
S
t2
t1
d x x x x x kxx dt 0 x x 0 mx dt t t x 0 x t 0 m x d x m x x kx x dt 0
t
0 0
1
t 0 q P q
P2
0
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t2
t1
d L 1 dt q
s
d L L q q dt 0 dt q
t2
L d L q q q dt q q
微分原理 积分原理
虚功原理 哈密顿原理
2.泛函
(1) 泛函的定义
如果一个变量由一个或几个函数来确定，这个 变量就称为这个或这几个函数的泛函。
f f y( x).
泛函 f 随函数 y(x) 的变化而变化. 函数 y(x) 称为 泛函 f 的宗量.
如:连接平面上已知两点a,b的曲线弧长l的表达 式为
则(1)式为：
2 mr r t mr t mr mr mg cos k (r l ) rdt 1 1 t1 t2 2 t2 2 mr 2mrr mgr sin dt 0. t1 t2 t2
d L dt q

t2
t1
d L 1 dt q
s
L q dt 0 q
但
d L dt q
L d d L q q q dt q q dt L d L q q 代入上式得： dt q q
代入哈密顿原理方程，
Ldt 0
t1
t2

t2
t1
k 1 2 2 2 2 m r r mgr cos (r l ) dt 0 2 2
2 2 mr r mr r mr mg cos r

t2
J ' y ( x) y J y ( x)
(3) 泛函取极值的条件
泛函 J y( x) 在y0 ( x) 处取极值的必要条件是： J 在y0 ( x) 处的一阶变分等于零，即
J
y y0 ( x )
0.
13
5. 变分的运算法则
(1) 变分运算法则
假设有两个变量A和B，他们一般都是 p, q, t 的函数，则
§5.7 哈密顿原理
• 变分法简介 • 哈密顿原理 • 哈密顿原理的应用
1
一.变分法简介
1.力学体系的变分原理 (1) 定义 凡力学原理用到变分运算的,叫做力学的变分原理 (2) 意义 它是在基本定律基础上用变分法得到的，提出了 区分真实运动与同样条件下可能的运动的规则。
(3) 力学的变分原理有
b.复合函数只有单一曲线，泛函有许多条曲线.
3.泛函的极值 (1) 变分问题
求泛函的极值问题，称为变分问题. 数学上的变分法是为了解决最速落径问题发展起 来的。
(2) 最速落径问题
O
A
x
铅直平面内, 在所有联接二个定点 A,B的曲线中,找出一条曲线,使得初 速度为零的质点,在重力作用下,自A 点无摩擦下滑时,以最短时间到达B点. y
18
二、哈密顿原理
1.位形空间和运动路径
(1) 位形空间
受有完整约束的力学体系, 由s个广义坐标组成的空 间，称为位形空间.
一般地，广义坐标 q ( 1, 2
s) 是时间t的函数。在以
q1 , q2 ,
, q 为坐标轴所张成的S维空间中，随着t从t1连续
变化到t2，体系从位形空间中的位置q(t1)连续变化到q(t2)，位 形空间的“点”则描绘出一条轨迹。
(i) A B A B (ii) AB A B B A A B A A B (iii) 2 B B
(iv) dy d y
证 ( iV ) :
假定C是S维位形空间的一条曲线，且为质点遵 循运动定律的轨道，即动力轨道或真实轨道。 C’为临近C的一条曲线，但不是质点的动力轨道.
称 S

t2
t1
Ldt
Ldt 0
t1
t2
为作用函数或主函数
S 0
23
(3) 说明 • 通过变分，可把微分方程变为简单形式，即哈 密顿正则方程，哈密顿用该方程提供一个普遍 原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广义 相对论提供了桥梁。 • 能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则 方程，适用于其它形式的物质运动，如电动力 学、统计物理、相对论、量子力学。
24
三、哈密顿原理的解体步骤
, t ) ； （1） 按照求拉格朗日方程的步骤求 L( q , q
（2） 将L代入
S Ldt 0
t1
t2
中计算，
（3）正确使用变分规则，求出结果。
例：用哈密顿原理推出一维线性谐振子的运动方程。 解：先得到拉氏函数
1 2 1 2 kx L mx 2 2 t 2 由哈密顿原理： S Ldt 0
2 mr mr mg cos k (r l ) rdt t1 2 mr 2mrr mgr sin dt 0. t1 t2
P P Q
q q d q q
q q (t )
2）
dq d q
先后顺序可对易
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(2) 等时变分与不等时变分
变分与微分运算顺序是否可以对易？
dq 但 dt
(dq ) 1 dq dt dt
l y( x) ds
xB xA
y
y1 ( x)
y ( x)
b

xB
xA xB
(dx) 2 (dy ) 2 1 y '2 dx.
a
o
x
xA
函数 y(x) 不同，则弧长 l 不同.
5
(2) 泛函与复合函数的说明 a.复合函数仅随自变量的变化而变化，泛函随函数 的变化而变化；
解：s=2, 取弹簧的长度r及与y轴夹角φ 为广义坐标.
1 2 1 2 T mr m r 2 2 k V mgr cos (r l ) 2 2
1 k 2 2 2 L T V m r r mgr cos (r l )2 2 2