TM5-9哈密顿原理
heisenberg hamilton量的推导过程
heisenberg hamilton量的推导过程摘要：一、海森堡不确定性原理的基本概念1.位置与动量的不确定性关系2.能量与时间的不确定性关系二、海森堡不确定性原理的数学表达1.位置与动量的不确定性关系数学表达2.能量与时间的不确定性关系数学表达三、哈密顿量的推导过程1.哈密顿算符的定义2.哈密顿量的基本形式3.哈密顿量的推广形式四、结论1.海森堡不确定性原理与量子力学的关系2.哈密顿量在量子力学中的重要性正文：一、海森堡不确定性原理的基本概念海森堡不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它阐述了微观粒子在测量过程中，位置与动量、能量与时间之间存在一种不确定性的关系。
具体来说，当我们越精确地测量一个粒子的位置时，其动量就越模糊；反之亦然。
同样地，当我们越精确地测量一个粒子的能量时，所需要的时间就越长，反之亦然。
二、海森堡不确定性原理的数学表达1.位置与动量的不确定性关系数学表达根据海森堡不确定性原理，位置与动量的不确定性关系可以用数学表达式表示为：ΔxΔp ≥ /2其中，Δx 表示位置的不确定性，Δp 表示动量的不确定性，是约化普朗克常数。
2.能量与时间的不确定性关系数学表达同样地，根据海森堡不确定性原理，能量与时间的不确定性关系可以用数学表达式表示为：ΔEΔt ≥ /2其中，ΔE 表示能量的不确定性，Δt 表示时间的不确定性。
三、哈密顿量的推导过程1.哈密顿算符的定义哈密顿算符是量子力学中描述粒子能量的算符，它定义为：H = T + V其中，T 是动量算符，V 是势能算符。
2.哈密顿量的基本形式哈密顿量的基本形式为：H = (1/2m)p + V(x)其中，m 是粒子的质量，p 是粒子的动量，V(x) 是势能函数。
3.哈密顿量的推广形式在某些特殊情况下，哈密顿量可以推广为更复杂的形式，例如：H = (1/2m)p + V(x,t)其中，V(x,t) 是时变势能函数。
四、结论海森堡不确定性原理与量子力学有着密切的关系，它揭示了微观世界的根本性质。
哈密顿原理的推导
哈密顿原理的推导首先，回顾一下在一定时间间隔内，质点的作用量的定义。
作用量是一个函数，记作S，表示在质点从t1时刻到t2时刻的路径上，系统所做的所有虚功的总和。
虚功可以理解为系统中所有力对质点所做的功的总和。
在一定时间间隔内，虚功可以用力对时间的乘积来表示，即F·dx，其中F是力，dx是位移。
接下来，定义路径上的广义坐标为q(t)和广义速度为dq(t)/dt。
广义坐标q(t)是质点的位置和速度的参数化描述，它是时间的函数。
根据广义坐标的定义，质点的位移可以表示为dq(t) = q'(t)dt，其中q'(t)是广义速度dq(t)/dt。
根据广义坐标和广义速度的定义，质点的虚位移可以表示为dq(t) = εq'(t)dt，其中ε是任意小量。
现在考虑一个包含质点的系统，假设在t1时刻和t2时刻之间有一个固定的路径q(t)，同时也存在其他无限接近路径q(t)+εq'(t)。
根据前面的定义，这两条路径分别对应了质点的虚位移dq(t)和dq(t)+εq'(t)。
根据作用量的定义，这两条路径上的虚功分别可以表示为F·dq(t)和F·(dq(t)+εq'(t))。
接下来，我们需要对作用量进行泰勒展开。
根据泰勒展开的近似，一个函数在其中一点附近可以近似为该点的函数值加上导数与自变量的线性关系。
对于作用量来说，根据前面的推导，我们可以将两个虚功项展开为：F·dq(t) = F·(q'(t)dt) = F·(q'(t) + εq''(t)dt) ≈F(q'(t))dt + εF'(q'(t))q''(t)dtF·(dq(t) + εq'(t)) = F·(q'(t)dt + εq'(t)dt) = F·(q'(t)+ εq'(t))dt = F(q'(t))dt + εF'(q'(t))q'(t)dt其中，F(q'(t))表示力在广义速度q'(t)处的函数值，F'(q'(t))表示力在广义速度q'(t)处的导数。
哈密顿原理的推导
02 03
广义坐标和广义力
在非完整系统中，广义坐标不再完全独立，需要引入广义力来描述系统 受到的约束反力。哈密顿原理在形式上仍然保持不变，但需要将广义力 纳入考虑。
应用实例
非完整系统广泛存在于实际物理问题中，如滚动摩擦、滑动摩擦等。通 过应用非完整系统的哈密顿原理，可以推导出相应的运动方程，进而分 析系统的动力学行为。
应用实例
相对论性哈密顿原理在宇宙学、黑洞物理等领域具有广泛应用。例如，通过该原理可以推 导出爱因斯坦场方程，描述引力与时空几何的关系。
哈密顿原理在现代物理学中的应用前景
量子力学与量子场论
在量子力学和量子场论中，哈密顿原理提供了从经典到量子的桥梁。通过引入算符和波函数等概念，可以将哈密顿原 理应用于微观粒子的运动规律研究。
主函数$S$是拉格朗日函数$L$对时间$t$的积分，即$S=int_{t_1}^{t_2}Ldt$。
通过变分法求解$delta S=0$，可以得到质点系的真实运动方程，即拉格朗日方程 $frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}-frac{partial L}{partial q}=0$。
广义相对论与宇宙学
广义相对论是描述引力与时空关系的理论框架，而哈密顿原理为广义相对论提供了变分法的基础。在宇宙学中，利用 哈密顿原理可以研究宇宙的演化、黑洞的性质等问题。
高能物理与粒子物理
在高能物理和粒子物理领域，哈密顿原理可用于描述基本粒子的相互作用和衰变过程。结合实验数据， 可以进一步揭示物质的基本结构和相互作用机制。
在理论物理、应用数学以及工程科学等领域，哈密顿原理都扮演着重要的角色。
哈密顿原理是变分法的一个应用，通过求解最小作用量原理来确定系统的运动方程 。
7第5章哈密顿原理
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
5 最优控制-极小值原理
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
动力学中的哈密顿原理
动力学中的哈密顿原理动力学是研究物体运动规律的学科，它揭示了物体运动背后的力学性质和动力学原理。
其中，哈密顿原理是一项重要的原理，它被广泛应用于各个领域，从天体力学到量子物理。
本文将介绍哈密顿原理的基本概念和应用，并探讨其在动力学中的重要性。
哈密顿原理是由英国物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出的，它是牛顿运动定律的一个推导出来的原理。
它的核心思想是“作用量极值原理”，即对于一系统所受的所有可能的路径，其实际遵循的是使作用量取极值的路径。
这里的作用量是一个物理量，它可以看作是描述系统运动的一种综合性度量，它与物体的轨道、力学特性等密切相关。
据哈密顿原理，对于系统的运动，其真实路径是能使作用量取极小值的路径。
这意味着，在给定初始状态和边界条件下，系统的运动将在所有可能的路径中选择那些使作用量最小的路径。
这一原理为研究物体运动提供了一种新的观点和描述方式，并且通过它可以推导出牛顿运动定律，从而揭示了物体运动背后的深层次规律。
应用哈密顿原理可以得到所谓的哈密顿方程，它是描述一个系统运动的重要方程。
哈密顿方程由广义坐标和广义动量构成，它们可以通过系统的动能和势能导出。
哈密顿方程提供了一种全新的视角来理解系统的运动，通过对哈密顿方程的求解，可以得到系统的运动轨迹和动力学特性。
哈密顿原理在许多领域都具有重要应用。
首先，在经典力学中，哈密顿原理为研究物体的运动提供了一种统一的方法和框架。
通过哈密顿方程，可以方便地描述和求解各种力学问题，从而揭示了物体运动的规律。
其次，在天体力学中，哈密顿原理被广泛应用于研究行星运动、天体轨迹等问题。
通过哈密顿原理，我们可以对行星轨道进行精确的计算和预测，揭示出太阳系中行星的运动规律。
此外，哈密顿原理还被应用于场论、量子力学和统计物理等领域，为研究微观粒子和宏观系统的行为提供了一种基本的方法和原则。
总的来说，哈密顿原理是动力学中的一个重要原理，它为研究物体的运动和力学性质提供了一种新的观点和方法。
固体核磁共振 基础原理
固体核磁共振之答禄夫天创作19.1固体核磁共振基来源根基理19.1.1 核磁共振的基来源根基理及固体核磁中主要的相互作用如果我们将样品分子视为一个整体,则可将固体核磁中探测到的相互作用分为两年夜类：样品内部的相互作用及由外加环境施加与样品的作用.前者主要是样品内在的电磁场在与外加电磁场相互作用时发生的多种相互作用力,这主要包括：化学环境的信息（分子中由于内在电磁场屏蔽外磁场的强度、方向等）,分子内与分子间偶极自旋偶合相互作用,对自旋量子数为>1/2的四极核尚存在四极作用.外部环境施加与样品的主要作用有：1)由处于纵向竖直方向的外加静磁场作用于特定的核磁活性的核上发生的塞曼相互作用（Zeeman Interaction）, 核子相对映的频率为拉莫尔频率（Larmor Frequency）;2) 由处于x-y平面的振荡射频场发生的作用与待测样品的扰动磁场.与溶液核磁共振技术测定化学结构的基本思路, 在固体核磁共振实验中也是首先利用强的静磁场是样品中核子的能级发生分裂,例如对自旋量子数I=1/2的核会发生两个能级,一个顺着静磁场方向从而招致体系的能量较低；另一个则逆着静磁场排列的方向使得体系相对能量较高.经能级分裂后,处于高能级与低能级的核子数目分布发生改变,而且符合波尔兹曼分布原理：即处于低能级的核子数目较多而高能级的数目较少,最终发生一个沿竖直向上的净磁化矢量.此磁化矢量在受到沿x-y平面的振荡射频磁场作用后发生一扭矩最终将沿竖直方向的磁化矢量转动一特定的角度.由于这种射频脉冲施加的时间只是微秒量级,施加完射频脉冲后,体系中剩下的主要相互作用将会使这种处于热力学不稳定状态的体系恢复到热力学稳定的初始状态.在磁化矢量的恢复过程中,溶液核磁中主要存在的相互作用有：化学位移,J-偶合等相对较弱的相互作用, 而相对较强的分子间偶极自旋偶合相互作用在年夜大都体系中由于分子的热运动而被平均化.可是在固体核磁共振实验中,由于分子处于固体状态从而难以使体系中的偶极自旋偶合作用通过分子热运动而平均化.另外值得指出的是与化学位移,J-偶合等相互作用的强度相比,分子间偶极自旋偶合作用是一种远强于前两者的一种相互作用.通常情况下,化学位移与J-偶合一般都处于Hz量级,可是偶极自旋偶合作用强度却处于kHz 量级,所以如果不采纳特殊手段压制偶极自旋偶合作用带来的谱线展宽, 通常静态条件下观察到的核磁共振谱往往是信息被偶极自旋偶合作用掩盖下的宽线谱（图2所示为乙酸胆固醇酯在静态下以通常的去偶方式所获得的图谱与溶于CDCl3后所测得的溶液核磁图谱的比较,从中可看出固体核磁图谱在没有特殊技术处置下出现的是毫无精细结构的宽包峰.）.因此,在固体核磁中只有采纳特殊技术首先压制来自强偶极自旋偶合作用招致谱线宽化的影响,才有可能观察到可用于解析物质化学结构的高分辨固体核磁共振谱.图1上图蓝线所示为乙酸胆固醇酯的固体13C NMR（静态,未进行强功率去偶）而下图红线记录的是将其溶于CDCl3后的溶液状态的核磁共振谱.由此可见在固体状态由于化学位移各向异性及强偶极相互作用等因素的存在使谱线展宽为毫无精细结构的图谱.在固体核磁测试中,虽然质子的自然丰度与旋磁比都比力高,可是由于体系中质子数目多,相互偶极自旋耦合强度远高于稀核,例如13C和15N等,因此在年夜大都情况下固体核磁采纳魔角旋转技术(Magic Angle Spinning MAS)与交叉极化技术(Cross Polarization CP)可获得高分辨的杂核固体核磁谱.对1H 必需采纳魔角旋转与多脉冲结合方式（Combined Rotation and Multipulse Spinning CRAMPS）将质子的磁化矢量转至魔角方向方能获得高分辨质子谱.19.1.2魔角旋转技术在静态固体NMR谱中主要展现的是化学位移各向异性、偶极自旋耦合和四极相互作用的信息,这些物理作用往往展现出的是宽线谱.如果在研究中对这些信息不感兴趣,而更多关注于化学位移与J-耦合时,可通过将样品填充入转子,并使转子沿魔角方向高速旋转,即可实现谱线窄化的目的. 这是因为上述作用按时间平均的哈密顿量均含有因子（1-3cos2θ）, 因此如果将样品沿θ=54.7°（即正方体的体对角线方向）旋转时,上述强的化学位移各向异性、偶极自旋偶合和四极相互作用被平均化,而其他相对较弱的相互作用便成为主要因素,因此有利于获得高分辨固体核磁共振谱.值得指出的是由于1H 核的自然丰度非常高,因此1H-1H核之间的偶极作用远强于13C-13C之间的相互作用,因此在不是太高的旋转速度下就可以实现压制13C-13C之间的偶极相互作用,但要实现完全压制1H-1H核之间的偶极作用在许多固体核磁共振谱仪上还是难以实现的.实验中一般采纳两种气流：bearing gas 和driving gas（见图3所示）,前者使样品管能够浮起而且在样品管旋转过程中具有使其处于平衡状态的功能,后者通过吹动样品管的锯齿帽而使之沿魔角所在方向进行高速旋转.图2魔角旋转实验的示意图,其中白色部份代表样品管,样品管头部的红色条纹代表样品管的锯齿状Kel-F或BN制成的用于高速旋转的帽.为使样品管稳定高速旋转必需采纳两种气流：bearing gas 和driving gas.当魔角旋转速度非常高的情况下可将粉末状样品在静态图谱中所出现的各向异性粉末状图案（Powder pattern）简化为各向同性的化学位移峰逐渐显现,可是当沿魔角旋转速度不够快时,经魔角旋转后所获得的图谱出获得各向同性的暗示化学位移的单峰外,尚存在一系列称为旋转边带（Spinning sideband）的卫星峰.各旋转边带之间的间距（用Hz暗示）正好是样品管的旋转速度,而且均匀分布在各向同性的化学位移所在的主峰的两侧.当旋转速度加快时,旋转边带的间距也加年夜,具体实例见图4,最终出现为各向同性的化学位移.图3固体核磁共振实验中旋转边带与魔角旋转速度的相互关联关系目前样品管的旋转速度随样品管的尺寸分歧可在1-35 kHz范围内调解,这对自然丰度比力低的核,例如：13C,15N可以有效抑制体系中的同核偶极相互作用,但对自然丰度很高的核,例如1H,19F 等,由于体系中的偶极作用强度往往年夜于100 kHz,因此如果纯真依靠魔角旋转技术是难以获得高分辨图谱的.19.1.3交叉极化技术对13C,15N等体系虽然通过魔角旋转技术有效地压制了同核偶极相互作用,可是这些核的旋磁比比力小,自然丰度比力低,因此如果采纳直接检测这些核的实验方法将招致整个实验过程的灵敏度非常低.为进一步提高这些核的实验灵敏度,又发展了交叉极化技术.通过该技术可将1H核的磁化矢量转移到13C或15N等杂核上,从而提高这些杂核的实验灵敏度.通过交叉极化技术测定固体杂核的核磁共振脉冲法式如下：图4交叉极化的脉冲序列.此脉冲序列的净结果是将核磁活性较高的核的磁化矢量传递给核磁活性较低的核的磁化矢量, 从而提高相关杂核固体核磁共振实验的灵敏度.交叉极化过程的详细物理解释需要采纳平均哈密顿理论（Average Hamiltonian Theory）,在此仅对此过程进行简单的描述.起初施加于氢核上的90ºx脉冲将氢沿z方向的初始磁化矢量转变到-y方向,这时施加于氢的脉冲磁场的相位迅速由x-轴转酿成-y轴.经过此相位转变后,氢的磁化矢量就被锁定在-y轴上,因为此时氢的磁化矢量的方向与外在脉冲静磁场的方向一致,即这时沿-y 方向的磁场如同外加静磁场所起的作用一样,会使氢的磁化矢量沿脉冲磁场所在的-y方向发生能级分裂,使得在此坐标系中氢的α*H 和β*H的数目分布有所分歧.值得指出的是此时杂核在-y方向的磁化矢量为零,其α*X和β*X之间的数目分布相等.此时若在杂核x 上沿-y方向也施加一脉冲磁场,而且使得γH B1(1H)=γx B1(x)(Hartmann-Hahn Condition)时,氢从低能态可吸收来自杂核的偶极相互作用的能量跳到高能态,而相应的杂核的一部份核子则从高能态跳回到低能态,使得原来磁化矢量为零的状态转酿成极化状态.整个极化转移过程可由图6 暗示.图5交叉极化过程的定性解释在交叉极化进行前由于锁场脉冲磁场的作用如同静磁场一样,因此在脉冲磁场所在的旋转坐标系中发生1H的能级分裂,使其α态与β态数目分歧,当在此旋转坐标系中对杂核X施加一脉冲磁场使得体系满足哈特曼-哈恩（Hartmann-Hahn Condition）条件时,即:ωH=ωX,氢核与杂核就可以通过偶极作用发生能量转移,能量转移的结果是氢在α态与β态数目不同减小,而杂核原来低能级与高能级之间本没有数目不同,经此过程后,发生一定的数目不同,所以到达活化杂核的目的,使杂核在固体核磁共振实验中的灵敏度获得极年夜的提高.在整个交叉极化过程中由于1H核与X核之间的偶极作用满足如下的关系式：从式中可以看到1H核与X核之间偶极作用只与z方向有关,而与x-y平面无关,然而交叉极化过程是在-y方向完成的,因此在交叉极化前后,总偶极强度坚持不变.因此通过交叉极化过程后,氢核的磁化矢量减少而杂核X的磁化矢量增加,两种核增加与减少的幅度与核的种类、交叉极化的动力学过程等多种因素有关.19.1.4 固体核磁共振的异核去偶技术在测定杂核的固体核磁共振实验过程中,采纳魔角旋转技术能够比力有效地去除同核间的偶极偶合作用（例如：13C-13C;15N-15N 等）,可是对这些核与氢核间的偶极偶合作用则比力有限,为此还发展了多种去偶技术抑制这些杂核间的偶极耦合作用.值得指出的是虽然在溶液核磁体系中已发展了多种去偶技术,可是由于在溶液体系中相应的作用力远小于固体状态的作用力,因此在固体核磁共振实验中所采纳的去偶功率往往在100-1000瓦量级,而非溶液状态的瓦级.固体核磁共振实验中高功率去偶技术的采纳带来的一个不成防止的注意事项就是防止样品在照射过程中由于发生的热招致其变性.固体核磁共振实验中之所以采纳高功率去偶技术是为了进一步提高图谱的分辨率与灵敏度.经过高功率照射后使原来存在偶极作用的氢与杂原子之间的作用消失,这样原来所出现的多峰就合并为一个,使得谱线的强度增加,而且使谱图的重叠减弱,有利于识谱.可是不成防止的是在此过程中由于去偶技术的采纳也使得反映有关原子周围的化学环境、原子间相对距离等信息被消除19.1.5固体核磁共振实验的特点(1) 固体核磁共振技术可以测定的样品范围远远多于溶液核磁,由于后者受限于样品的溶解性,对溶解性差或溶解后容易蜕变的样品往往比力难以分析,可是这种困难在固体核磁实验中不存在；(2) 从所测定核子的范围看,固体核磁同溶液核磁一样不单能够测定自旋量子数为1/2的1H,19F,13C,15N,29Si,31P ,207Pb,还可以是四极核,如：2H,17O等,所以可分析样品的范围非常广泛；(3)是一种无损分析.(4) 所测定的结构信息更丰富,这主要体现在固体核磁技术不单能够获得溶液核磁所测得的化学位移、J-耦合等结构方面的信息,还能够测定样品中特定原子间的相对位置（包括原子间相互距离、取向）等信息,而这些信息,特别是对粉末状样品或膜状样品,通常是其他惯例手段无法获得的信息.（5）能够对相应的物理过程的动力学进行原位分析,从而有助于全面理解相关过程.（6）能够根据所获信息的要求进行脉冲法式的设定,从而有目的有选择性的抑制不需要的信息可是保管所需信息.19.1.6固体核磁共振应用简介（1）研究对象无机资料（玻璃、沸石分子筛等）,有机高分子资料（高分子固体）,生物体系（膜卵白）,液晶资料等（2. ）研究内容有机小分子、高分子、无机化合物的粉末状、多晶、单晶样品及膜试样的化学结构、空间结构的表征与分析；固相反应的反应动力学,反应机理、特定物种的结构变动19.2 实验部份19.2.1实验内容1. 利用交叉极化与魔角旋转技术研究有机固体小分子化合物的聚集态结构2. 利用交叉极化与魔角旋转技术研究有机高分子化合物的聚集态结构19.2.2实验目的(1) 了解固体核磁共振仪的基本结构与主要组成单位；(2) 掌握固体核磁中交叉极化与魔角旋转技术的原理(3) 了解固体核磁的主要应用领域及所能获得的主要结构信息；(4) 了解与掌握固体核磁的制样、进样方法,基本把持步伐19.2.3仪器名称及型号400MHz固体核磁共振仪BRUKER Avance III 400 MHz 宽腔固体核磁共振仪19.2.4固体核磁共振仪器结构固体核磁共振仪主要由以下几部份组成：磁体部份,射频发生器, 接收器/发射器转换开关,探头, 接收器,进样与载气及计算机控制单位.（1）超导磁体磁体部份通常要求在分歧部位磁体的变动量不超越10-9,只有这样所测定的实验结果才有完全可信度,否则由于磁场的不稳定性轻则招致谱线的展宽（直接影响对拉莫尔频率分歧非常小的体系的分辨）,重则直接招致测试结果的可信度.目前主要采纳的是超导磁体,这是由于超导体能够在无外加能量的情况下支持年夜电流, 一旦充电后,超导磁体能够在为外加干扰的情况下提供极其稳定的磁场.射频发生器单位式核磁共振仪中发生射频辐射的部份.（2）射频发生器通常情况下,核磁共振仪中根据所测核的拉莫尔频率的分歧配备多个射频单位.在射频单位中包括射频合成器、脉冲门、脉冲法式单位和放年夜器.射频合成器会发生一频率固定的电磁振荡信号,其振荡频率位于仪器的参考频率,记为：ωref.对400 MHz的核磁共振仪其频率合成器发生的振荡频率为400 MHz, 相应的该射频合成器的输出信号的波形为：S synth∼cos(ωref t+φ),其中φ是相应射频的相位,t是时间.在许多NMR实验中射频脉冲的相位可以快速变换,而这种变换是通过脉冲法式单位控制的.脉冲门能够截取所发生的连续波脉冲使之酿成部连续状态,但脉冲门翻开时,由射频合成器发生的脉冲得以进入后续系统,但当脉冲门关闭时,射频合成器发生的连续波将无法进入后续系统.脉冲门翻开的时间称为脉宽.脉冲门的开放与否及相关时间亦由脉冲法式单位控制.射频放年夜器是将所发生的门控调制的信号放年夜到一定水平进而输入到探头.通常情况下,放年夜器信号的输出功率在几瓦到一千瓦范围.放年夜的射频信号通过双轴导线传入到接收器/发射器转换开关.（3）在接受器/发射器转换开关该部件存在合并的两组导线：一组通向固定与静磁场中的探头,另一组通向可检测由核自旋发生的微弱的射频信号的接受器单位.因此此部份的功能就是当正向的由放年夜器发出的强射频信号传入接受器/发射器转换开关时,它会将此信号输入探头而不是检测器,反之,当反向的有关核磁共振响应的弱信号进来时,它会导向检测器而非放年夜器.（4）探头探头是核磁共振仪中最复杂的部份, 它具有以下方面的功能：1)由于它的存在,才华使样品进入均匀的静磁场中；2）在探头中存在发生射频波以照射样品以及检测相应从样品中发生的射频辐射的射频电子线路；3）为保证固体核磁图谱能获得更精细的结构信息,就必需将样品在魔角方向进行高速旋转,因此在固体核磁中探头中存在将样品管倾斜至魔角方向并使其沿此方向进行高速旋转的装置；4）探头中存在使样品温度恒定的装置；5）在特定的场所,探头中还存在一些特殊线圈（梯度场线圈）能发生空间上分布不均匀的磁场,这些线圈的存在对减短样品的检测时间,选择性收集所需要的磁化矢量,抑制不需要的磁化矢量等方面具有极其重要的作用.另外探头中尚存在一对容抗电路,通过这对容抗电路可调谐探头的感应频率与外来的射频发生器完全匹配,有利于发生共振,从而使之能够完全吸收来自前者的能量,同时经过调谐后探头所接受的NMR信号会员强于未经调谐的探头,有利于提高NMR实验的灵敏度.（5）接收器仪器的接受器单位的电子线路与设计往往都比力复杂,其基本组成主要有以下几部份：信号预放年夜器、四相位接受器、数模转换器、信号相移单位（Signal Phase shifting）.NMR信号经过接受器/射频发生器转换开关后进入信号预放年夜器,信号预放年夜器是一种低噪音射频放年夜器,通过它能够将微弱的NMR信号放年夜到伏特级.因此为了使微弱的NMR信号得以及时放年夜,信号预放年夜器往往被置于最靠近磁场的部位,从而使信号在传递过程中的损失到达最小.信号必需传入计算机才华进行分析,因此就必需将振荡变动的NMR电流信号数字化.将连续电流或电压酿成数字化形式的器件就是数模转换器（Analogue-to-digital converters ADCs）.在核磁共振实验中所测定的频率位于MHz范围,对如此快的频率变动数模转换器是很难将其数字化的.可是对我们关心的核磁共振信号而言,其真正的变动区间是在kHz 范围内,为此我们采纳四相位接受器的方法将所观察到的初始NMR信号与射频发生器的参考信号加以比对,减去参考信号从而发生一相对的拉莫尔频率（Ω0=ω0-ωref, 其中ω0是初始NMR信号的频率, 其范围落在MHz 范围内；ωref是射频发生器发生的参考射频脉冲,其范围也落在MHz 范围内；Ω0是经过四相位接受器处置后的获得的相对拉莫尔频率,其范围往往小于 1 MHz）.经过这种处置后,后续的数模转活就可以精确进行.另外在核磁共振实验中所发生的频率会年夜于（例如：500.001000 MHz）或小于参考频率(例如： 499.999000 MHz),可是经过上述转变过程后分别酿成+1.000kHz与-1.000 kHz.如果纯真只依靠频率的变动是无法区分出这两种情况的,为此接受器提供两个输出信号：S A(t)∼cos(Ω0t)exp(-λt)S B(t)∼sin(Ω0t)exp(-λt)这两个信号可分别视为单一复数信号的实部与虚部.由于复数信号的采纳就可以从相位角度轻松地域分出共振信号的频率是较参比信号快还是慢.由于四相位接受器的采纳所以发生两个输出信号,这两个信号输出单位分别接于各自的数模转换器上.数模转换器是一套每隔特定的时间快速丈量输入信号电压年夜小的电子线路,而且将所测的相关数据转换成一串“1”与“0”的暗示的信息.核磁共振的信号是通过在一整套分歧的时间点连续测定并转化成相应的数字化信息而实现的.转换后的数字化信息就可存入计算机加以处置.在数字化过程中所取点的间隔时间称为取样间隔(sampling interval),取样间隔的倒数就是取样带宽（sampling bandwidth）或谱宽（spectral width）.对固体与溶液核磁共振实验而言,谱宽通常分别是4 MHz与250 kHz,相对应的取样间隔为250 ns 与4μs.在许多核磁共振实验中,射频脉冲的相位与NMR信号的相位会随实验的进行而静态变动.这种静态变动有利于消除核磁共振实验中的伪峰,而且有助于区分分歧类型的核磁共振信号.射频脉冲的相位可通过脉冲门加以调控,而信号相位单位的调控可通过信号离开探头进入接受器/数字化进程后加以调控.目前有两种罕见的对信号相位进行调控的方法：1）接受器参考相位法：四相位接受器可以比力所测定的NMR 信号与来自射频发生器的参比波的相位.如果在整个信号检测阶段,射频发生器的参比波相位变动为另一值,例如φrec,那么信号的相位亦将改变同样的数值；2）数字化器相位调整：经数字化后的复数信号通过一个叫做后数字化相位移动器(post-digitization phase shifter)后首先乘以特定的复数因子exp(-iφdig),然后再传入计算机,就获得相位改变的信号.经数字化处置后的信号在经过计算机进行傅立叶变换、相位校正等处置据可获得一张核磁共振图谱.（6）进样与载气及计算机控制单位.对固体核磁共振仪而言为了要获得高精细结构的固体核磁共振图谱,首先必需采纳魔角旋转技术压制强偶极作用招致的谱线展宽,为此固体核磁共振仪尚配有一整套设备以满足以上要求.例如能够使样品管在竖直位置与魔角位置自如转换的装置,能够将样品平安地进入及弹出探头系统并能保证推动样品管沿魔角方向进行高速旋转的载气系统等附属设备.因此通常的核磁共振仪的结构图可展示于图1.图6固体核磁共振仪的基本结构框图19.2.5试剂与样品金刚烷（Adamantane）聚苯胺（Polyaniline）粉末聚酯（PET）薄膜19.2.6实验步伐（1）样品的制备与就位要获得一张高质量的固体核磁CP/MAS谱图,对惯例有机物或无机物需要年夜约 100-200 mg 左右的样品（为获得高质量的图谱,样品的纯度应当尽可能的高）,将这些样品在研钵中研细,直到体系中确保无任何硬块状碎片存在.然后利用装填工具将所得粉末状样品填充至转子中, 并利用挤压器（Pressor）将样品夯实而且均匀地填入转子内.（注意：在使用挤压器时,必需保证用力方向始终坚持竖直向下,绝对应该防止用力扭曲,否则会折断挤压器！！！）在样品制备过程中,样品填充高度为转子顶部2 mm 左右,此高度是为了盖转子的帽而预留的.手工盖上转子的帽,在盖帽过程中应尽可能用较小的力以防止破坏帽上所带有的锯齿.用装有乙醇溶剂的洗瓶将转子外部洗干净,（注意：绝对应当防止盖帽不严招致乙醇进入转子中）.用吸水纸擦干转子外部的乙醇溶液,并用黑色记号笔在转子底部的弧形部份画半个圆弧以利于记录转子的转速.将样品放入磁场中,在气动控制单位中按下“INSER””键,选定样品管的转动速率,然后按下“GO”,等候样品管旋转稳定.（2） CP/MAS 实验参数的设定。
5哈密顿原理范文
5哈密顿原理范文哈密顿原理（Hamilton's principle）是类似于欧拉-拉格朗日方程的一个变分原理，它被广泛应用于经典力学和理论物理的研究中。
哈密顿原理是由威廉·哈密顿在19世纪提出的，他认为物理系统的运动路径可以通过使作用量取极值来描述。
为了理解哈密顿原理，我们首先需要明确什么是作用量（action）。
作用量是描述一个物理系统在一段时间内的整体运动的量，它是路径积分的泛函。
在经典力学中，作用量的形式为：S = ∫L(q, q', t) dt其中，S是作用量，L是拉格朗日量，q是广义坐标，q’是广义坐标的导数，t是时间。
拉格朗日量L是描述系统的动力学性质的函数，它是广义坐标和它们的导数的函数。
根据哈密顿原理，路径使作用量取极值的物理系统的运动路径满足以下条件：∂S/∂q=0和∂S/∂t=0这两个条件分别称为广义力学方程和广义运动方程。
从广义力学方程可以得到欧拉-拉格朗日方程：d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0这是描述系统运动的方程，通过这个方程可以推导得到系统的运动轨迹。
从广义运动方程可以得到哈密顿正则方程：dq/dt = (∂H/∂p)dp/dt = - (∂H/∂q)其中，q和p分别是广义坐标和它们的共轭动量，H是哈密顿量，它是拉格朗日量L通过勒让德变换得到的。
哈密顿正则方程是描述系统运动的另一种形式，它将系统的动力学性质转化为了广义坐标和动量的方程。
哈密顿原理的意义在于它提供了一种处理动力学问题的方法，通过求解作用量取极值问题，我们可以得到系统的运动轨迹。
而哈密顿原理的导出过程则要借助于变分法和勒让德变换等数学工具。
哈密顿原理的应用非常广泛，不仅可以用于经典力学中的运动方程的推导，还可以用于理论物理的研究中。
例如，在量子力学中，路径积分形式的作用量可以用来计算系统的波函数，从而描述了系统的行为。
总而言之，哈密顿原理是描述物理系统运动的一个重要原理，它通过使作用量取极值来确定系统的运动路径。
哈密顿原理的应用
哈密顿原理的应用什么是哈密顿原理？哈密顿原理是经典力学中的一种基本原理，用于描述自然界中物体在运动过程中所遵循的原理。
哈密顿原理可以简单地表述为：物体在运动过程中，其真实路径是使作用量（或称为作用积分）取得极值的路径。
哈密顿原理的数学表述从数学角度上看，哈密顿原理可以通过积分方程来表述。
假设一个运动系统的Lagrange函数为L(q, \dot{q}, t)，其中 q 为广义坐标，\dot{q} 为广义速度，t 为时间。
那么，根据哈密顿原理，系统的状态将会沿着满足以下方程的路径运动：\delta \int L(q, \dot{q}, t) dt = 0这个方程是一个变分问题，通过对方程求驻点来得到系统的真实路径。
其中，\delta 表示变分（即微小变化）。
哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
下面列举几个典型的应用：1.经典力学：哈密顿原理是经典力学中最基本的原理之一。
它可以用来推导出Lagrange方程和Hamilton方程，从而描述物体在运动过程中所遵循的规律。
通过哈密顿原理，我们可以得到物体在势能场中的运动方程，并进一步研究力的作用和能量的变化规律。
2.量子力学：哈密顿原理在量子力学中也有重要的应用。
量子力学中的体系可以使用波函数描述，而波函数的演化过程可以通过哈密顿算符来描述。
哈密顿原理可以用来推导量子力学中的薛定谔方程，从而描述量子体系的演化规律。
3.优化问题：哈密顿原理的变分问题求解方法可以应用于优化问题中。
通过建立适当的Lagrange函数，并使用哈密顿原理进行求解，我们可以得到优化问题的最优解。
这在工程学、经济学等应用中都有重要的作用。
4.控制理论：哈密顿原理在控制理论中有着广泛的应用。
控制理论研究的是如何通过给定系统的模型和特定的控制策略来使系统达到预期的状态。
哈密顿原理可以提供一种优雅的数学框架，用于描述控制系统的演化过程，并求解最优控制问题。
总结哈密顿原理是一种基本的物理原理，在经典力学、量子力学、优化问题和控制理论等领域得到了广泛的应用。
ch5经典分子动力学方法
势函数 U 应看作是离子间相互作用势 V 和外势 Uext之和
18
Verlet算法
根据Taylor公式，在t 时刻求t +h 时刻的坐标和作用 力时，分成向前和向后的Taylor展开式
将上面两式相加得到
从而得到坐标的计算公式
19
Verlet算法
将两个Taylor展开式相减可以得到
从而得到速度或动量的计算公式
22
原胞
• 为了计算简便，取一个立方形的体积为分子动力学原胞。 设原胞的线度大小为L，则体积为L3。 • 由于引进这样的立方体箱子， 将产生六个我们不希望出现的表面。
• 模拟中碰撞这些箱子的表面的粒子 应当被反射回到原胞内部，特别是 对粒子数目很少的系统。 • 然而这些表面的存在对系统的任何 一种性质都会有重大的影响。
• 对于孤立的保守系统，每个粒子在势场U中运动，则 1 2 Lqi , q i , t mi q i - U i 2 • 系统整体的Lagrange函数是 1 2 L Lqi , q i , t mi q i - U i 2 i i i • 得到第i个粒子的牛顿运动方程（α指每个粒子的自由度）
16
粒子运动方程的数值解法
设粒子的坐标、速度、动量及其作用力分别用x(t)，v(t)， p(t)，f(x,t)表示，其初始值为x(0)，v(0)，p(0)，f(0)。则决 定粒子运动的牛顿方程是
同时
17
粒子运动方程的数值解法
由于数值计算求解微分方程是用差分的方法，习惯上将 时间的变化间隔 ∆t 用 h 表示，叫做时间步长。 坐标预测的Taylor展开式：
21
原胞
• 分子动力学模拟方法往往用于研究大块物质在给定密度下 的性质，而实际计算模拟不可能在几乎是无穷大的系统中 进行。 • 所以必须引进一个叫做分子动力学原胞 的体积元，以维持一个恒定的密度。 • 对气体和液体，如果所占体积足够大，并且系统处于热平 衡状态的情况下，那么这个体积的形状是无关紧要的。 • 对于晶态的系统，原胞的形状是有影响的。
高中课件 氢原子光谱实验规律的应用
正确。
3.如图所示为氢原子最低的四个能级,当氢原子在这些能级间跃迁时:
(1)有可能放出________种能量的光子。 (2)在哪两个能级间跃迁时,所放出光子波长最长?波长是多少?
【解析】(1)N=n n 1 4=46种1。
1
22 32
1 2
所以
R( 1
1 22
1 42
)
1 1
4 16
27 。
2 1 1 20
49
(2)当n=3时,对应的波长最长,代入巴尔末公式有:
1=1.10×107×( 解1得λ1≈6.5×10-7
1 22
)m312-1
m
光子能量为E1=hν1=h
c 1
6.631034 3108 6.5 107
1
＝R
(
1 22
1 n2
)
进行计算时,n只能取大于2的整数。
2.广义巴尔末公式:
广义的巴尔末公式
1
1 R(m2
1 n2
)
,式中m=1,2,3,…,对每一个m,有n=m+1,
m+2,m+3,…,构成一个谱线系,当m=1,2,3,…时,分别对应赖曼系,巴尔末系,
帕邢系……
3.氢原子光谱关键词转化:
2.根据巴尔末公式,可求出氢原子光谱在可见光的范围内波长最长的2条谱线, 其波长分别为654.55×10-9 m和484.85×10-9 m,求所对应的n值。
【解析】据巴尔末公式
654.551=101.910×107× 1 =1.10×107×(
484.85 109
解得n1=3,n2=4。
第一章 Hamilton系统
力学 原理
变分 原理
积分原理
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的 规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起 来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的 定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一 门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由 它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说 一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该 学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。 不变分 原理 微分原理 如牛顿第二定律、达朗贝尔原理等
dP d 2r F m 2 ma dt dt
由牛顿第二定律的表达式我们可以看出其具有以下两个明显的特点： （1）该定律着重讨论质点在力作用下所获得的加速度或在几何空间的 运动轨迹，这使得以此为基础的整个牛顿力学具有较强的直观性，但同 时也使得牛顿力学的应用具有很大的局限性，只能用于解决纯力学领域 的问题。 （2）该定律是着眼于单需要解算的独立方程个数也越多，这便是牛顿力学 运算较复杂的原因。
经典 力学
分析 力学
分析力学是Lagrange等人于十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的 方法完全是数学分析，故称之为分析力学。它以 达朗贝尔原理和Hamilton原理为基础，分析质量 和物体的能量情况，由此探讨物体机械运动规律。 分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、 拉格朗日函数、Hamilton函数等，动能和势能是 其中最关键的量。分析力学的体系和方法不局限 于力学领域，对于物理学的其他领域也非常有用， 其原因是它将物理规律抽象为数学原理，揭示了 物理规律背后更普遍的性质。
heisenberghamilton量的推导过程
heisenberghamilton量的推导过程哈密顿量是量子力学中描述系统总能量的运算符，它在量子力学中起着非常重要的作用。
这里，我们将讨论海森堡（Werner Heisenberg）在推导哈密顿量中的贡献。
在狭义相对论和量子力学的发展中，狄拉克（Paul Dirac）引入了一个运动方程，描述粒子的运动和动量。
这个方程相当于描述粒子的物理量（如位置和动量）的一组方程。
然而，物理学家们很快发现，在狭义相对论和量子力学相结合的公式中，位置和动量之间的关系不再是简单的。
为了解决这个问题，海森堡在1925年提出了所谓的矩阵力学。
他发现可以使用力学中的矩阵形式，而不是传统的函数形式，来描述位置和动量之间的关系。
在这个新的描述框架中，位置和动量不再被认为是测量结果，而是算符或矩阵，它们作用在态函数上。
对于经典力学中的动量和势能函数，能量被定义为动能和势能之和。
然而，在量子力学中，动量和位置是互换的，而且动能和势能通过哈密顿量（H）来表示。
因此，我们需要推导哈密顿量的表达式。
首先，我们首先从力学中的动能开始。
动能通常表示为动量（p）平方除以2倍的质量（m）。
在量子力学中，位置和动量是算符，因此动能也可以用位置和动量的算符表示。
动能算符（T）可以写为：T=p^2/(2m)接下来，我们将推导势能的算符表示。
势能（V）通常是位置（x）的函数，在量子力学中，位置被表示为位置算符（X）。
因此，势能也可以用位置算符表示。
势能算符（V）可写为：V=V(x)最后，我们可以通过将动能算符和势能算符相加得到系统的哈密顿量算符（H）：H=T+V要得到最终的哈密顿量算符表达式，我们需要将位置算符和动量算符表示为其他算符的组合。
这里，我们引入了所谓的升降算符（即产生算符和湮灭算符），它们是用来描述粒子的运动的。
经过一番计算，得到了位置算符和动量算符的算符表达式：X=√(ℏ/(2mω))*(a+a^†)P=i√(ℏmω/2)*(a-a^†)其中，a和a^†分别是升降算符。
哈密顿图
性质2：在外圈中不能同时出现，否则不能完成该图。
从而得出若出外圈点不为邻连接点，则不能完成该图。
证：因为在该外圈中若出现a1→ak(ak≠（a b)）则由性质2即可得出不成立。
性质2的证明
证：不妨将每个点看成是可以抹掉的，当路径经过该点时将其抹掉，则该点处形成a与b之间的断路，不难理解当与同时存在时其路径必存在a与b之间的断路，两弧段不能形成闭合，故不能完成该图。（可看作为ai被孤立于a1与ak（1<i<k）之间，不能与其它点连接）
哈密顿图即可被一个“咽环“覆盖.
定义2：每一层外圈环不闭合的图形，如右图：
称之为三层圈环的“咽环“。
（注：这里的一层“环“不具闭合性）
简单的来讲就是可以把一根闭合的线构造出多重不闭合的内环，但环与环之间有连接上一层连接到下一层从而到最后闭合。
大体思路为：将点与点之间的直线段转化为弧，则所有的哈密顿图皆可向“咽环“转化，如果不能转化成”咽环“则此图不是哈密顿图，反之亦然。
若k=3,则：不妨列出其路径
⑴a1→b1→b1→…→
⑵a1→b1→c1→…→b
若余图全部完成则最后必经步骤为：
1′a1→b1→c1→…→b1→b2→a2→a1
2″a1→b1→b1→…→b2→b2→a2→a1
→…→中包含步骤：b3→a3
不妨设c中有足够好的条件满足1′2″的需求。
②若a→b存在两个相邻路径间无此类点（b1）,则必先完成内圈点且此出圈点比为a2或an才构成哈密顿图。
找出构成哈密顿图的路径及其理论依据
数学与计算机学院班级：数学（二）班姓名：江志宏学号：20081396
摘要：判断一个图中是否含有哈密顿圈，并给出较为普遍的方法找出该图中的哈密顿圈，给出判断的路径图。
heisenberg hamilton量的推导过程
heisenberg hamilton量的推导过程
（最新版）
目录
1.海森堡哈密顿量的概念
2.推导过程概述
3.详细推导过程
3.1 波函数的定义
3.2 哈密顿算子与薛定谔方程
3.3 海森堡不确定性原理的引入
3.4 推导得出海森堡哈密顿量
正文
海森堡哈密顿量是量子力学中一个重要的概念，它是由德国物理学家沃纳·海森堡提出的。
海森堡哈密顿量的提出，解决了量子力学体系中一些基本问题，例如如何描述一个粒子的位置和动量等。
在推导海森堡哈密顿量的过程中，我们首先要了解波函数的定义。
波函数是描述粒子状态的复函数，它包含了粒子的所有信息。
通过波函数，我们可以计算出粒子的位置、动量等性质。
然后，我们需要引入哈密顿算子和薛定谔方程。
哈密顿算子是描述粒子能量的算子，而薛定谔方程则是描述粒子演化的基本方程。
通过这两个工具，我们可以推导出海森堡哈密顿量。
在推导过程中，我们还需要引入海森堡不确定性原理。
这个原理指出，在一个给定的时间里，我们不能同时准确地测量一个粒子的位置和动量。
这个原理的引入，使得我们的推导更加完整和严谨。
最后，通过以上的推导，我们得出了海森堡哈密顿量的表达式。
这个
表达式不仅描述了粒子的能量，还包含了粒子的不确定性。
这个结果，不仅深化了我们对量子力学的理解，也为我们在实际中测量粒子的性质提供了理论依据。
总的来说，海森堡哈密顿量的推导过程是一个严谨而深入的过程，它涉及到了量子力学的许多基本概念和原理。
哈密顿原理的应用方面
哈密顿原理的应用方面1. 简介哈密顿原理是一种用于描述物理系统的基本原理，它是由物理学家威廉·哈密顿在19世纪提出的。
哈密顿原理描述了物理系统的演化过程，并给出了系统的运动方程。
除了在物理学中的应用外，哈密顿原理在其他领域也有非常重要的应用。
本文将介绍哈密顿原理在不同领域的应用方面。
2. 力学中的应用在经典力学中，哈密顿原理被广泛应用于描述物理系统的运动。
通过应用哈密顿原理，可以推导出系统的运动方程，进而解析系统的运动轨迹。
力学中的哈密顿原理提供了一种更为简洁和直观的描述物理系统运动的方法。
应用哈密顿原理，我们可以得到以下结论：- 系统的运动遵循最小作用量原理，即作用量的变分为零； - 粒子的运动方程可以通过极小化动作积分得到； - 哈密顿原理可用于推导广义动量和广义力的表达式；3. 量子力学中的应用在量子力学中，哈密顿原理被应用于描述量子力学系统的演化过程。
哈密顿原理在量子力学中的应用通常被称为路径积分法。
通过路径积分法，我们可以计算出量子体系在给定时间间隔内从一个状态过渡到另一个状态的概率幅。
应用哈密顿原理在量子力学中，我们可以得到以下结论： - 量子体系的演化可以用路径积分来描述； - 路径积分给出了从一个状态到另一个状态的概率幅； - 路径积分法可以用于计算量子系统的物理量期望值；4. 光学中的应用在光学中，哈密顿原理被应用于描述光线的传播和折射。
通过应用哈密顿原理，可以推导出光学系统的折射定律和成像原理。
这些定律和原理对于解释光学现象和设计光学器件非常有用。
应用哈密顿原理在光学中，我们可以得到以下结论： - 光的传播遵循最小时间原理，即光线的传播路径是使时间变化量最小的路径； - 光的折射可以通过最小作用量原理来解释； - 光的成像可以通过光线传播的哈密顿原理来解释；5. 量子场论中的应用在量子场论中，哈密顿原理也被广泛应用。
通过应用哈密顿原理，可以推导出量子场的运动方程和量子态的演化方程。
哈密顿密度
哈密顿密度哈密顿密度是物理学中的一个重要概念，它在描述物理系统的动力学过程中起着关键的作用。
哈密顿密度通常用于量子场论和量子力学中，用于描述系统的能量和动量分布。
本文将介绍哈密顿密度的概念、重要性以及其在物理学中的应用。
我们来了解一下哈密顿密度的定义。
哈密顿密度是哈密顿量的密度形式，它描述了物理系统的能量密度分布。
在经典力学中，哈密顿量是描述系统能量的函数，它由系统的动能和势能构成。
而在量子力学中，哈密顿量是一个算符，描述了系统的能级和能量本征态。
哈密顿密度则是将哈密顿量在空间中的每一点上进行局部化，得到的密度形式。
哈密顿密度在物理学中具有重要的作用。
首先，它可以用来描述物理系统的能量分布。
通过对哈密顿密度的积分，我们可以得到系统的总能量。
其次，哈密顿密度还可以用来描述系统的动量分布。
根据量子力学的基本原理，动量算符是由哈密顿量算符和位置算符之间的对易关系得到的。
因此，通过对哈密顿密度的导数，我们可以获得系统的动量密度分布。
除了能量和动量分布，哈密顿密度还可以用来描述系统的演化过程。
根据量子场论的基本原理，系统的演化可以由哈密顿量的作用算符来描述。
而哈密顿密度则是将哈密顿量在空间中的每一点上进行局部化得到的，因此可以用来描述系统在空间中的演化过程。
通过对哈密顿密度的分析，我们可以研究系统的稳定性、相变以及其他动力学过程。
哈密顿密度在物理学的研究中有着广泛的应用。
在粒子物理学中，哈密顿密度被用来描述基本粒子的相互作用和动力学过程。
在固体物理学中，哈密顿密度被用来描述晶格振动和电子结构等现象。
在量子场论中，哈密顿密度被用来描述场的量子化和相互作用。
此外，哈密顿密度还在统计物理学、天体物理学等领域有着广泛的应用。
哈密顿密度是物理学中的一个重要概念，用于描述物理系统的能量和动量分布。
它可以用来描述系统的能量密度和动量密度分布，以及系统的演化过程。
哈密顿密度在物理学的研究中有着广泛的应用，在粒子物理学、固体物理学、量子场论等领域发挥着重要作用。
河南省卢氏县实验高中2025届高三物理第一学期期末联考试题含解析
河南省卢氏县实验高中2025届高三物理第一学期期末联考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、如图所示为氢原子的能级图，按照玻耳理论，下列说法正确的是（ ）A ．当氢原子处于不同能级时，核外电子在各处出现的概率是一样的B ．一个氢原子从n =4能级向基态跃迁，最多可辐射6种不同频率的光子C ．处于基态的氢原子可以吸收14 eV 的光子而发生电离D ．氢原子从高能级跃迁到低能级，核外电子的动能减少，电势能增加2、如图所示，竖直放置的两端开口的U 形管，一段空气柱被水银柱a 和水银柱b 封闭在右管内，水银柱b 的两个水银面的高度差为h 。
现将U 形管放入热水槽中，则系统再度达到平衡的过程中（水银没有溢出，外界大气压保持不变）（ ）A ．空气柱的压强变大B ．空气柱的长度不变C ．水银柱b 左边液面要上升D ．水银柱b 的两个水银面的高度差h 不变3、我国成功地发射了北斗三号组网卫星，如图为发射卫星的示意图。
先将卫星发射到半径为1r r =的圆轨道 上做匀速圆周运动，到A 点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B 点时，再次改变卫星的速度， 使卫星进入半径为23r r =的圆轨道做匀速圆周运动。
已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定 值，卫星在椭圆轨道上A 点时的速度为v ，卫星的质量为m ，地球质量为M ，引力常量为G ，则发动机在A 点对卫星做的功与在B 点对卫星做的功之差为（不计卫星的质量变化）（ ）A ．25293GMmmv r + B ．25293GMmmv r - C ．25384GMm mv r+D ．2493GMm mv r-4、某电磁轨道炮的简化模型如图所示，两圆柱形固定导轨相互平行，其对称轴所在平面与水平面的夹角为θ，两导轨长为L ，间距为d ，一质量为m 的金属弹丸置于两导轨间，弹丸直径为d ，电阻为R ，与导轨接触良好且不计摩擦阻力，导轨下端连接理想恒流电源，电流大小恒为I ，弹丸在安培力作用下从导轨底端由静止开始做匀加速运动，加速度大小为a 。
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t2
t1
Ldt
Ldt 0
t1
t2
为作用函数或主函数
S 0
23
(3) 说明 • 通过变分，可把微分方程变为简单形式，即哈 密顿正则方程，哈密顿用该方程提供一个普遍 原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广义 相对论提供了桥梁。 • 能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则 方程，适用于其它形式的物质运动，如电动力 学、统计物理、相对论、量子力学。
d L dt q
t2
t1
d L 1 dt q
s
L q dt 0 q
但
d L dt q
L d d L q q q dt q q dt L d L q q 代入上式得： dt q q
1 2 1 2 kx dt 0 Ldt mx 0 2 2
t
上式变为
kxxdt 0 x m
t 0
x为任意，且dt任意，所以有
kx 0 m x
26
例2 轻弹簧一端挂一质量为m的质点，另一端为悬点O，弹簧 倔强系数为 k，不受力时原长为 l，摆动限于铅垂平面内，试 用哈密顿原理求出质点的运动微分方程。
t1
S
t2
t1
d x x x x x kxx dt 0 x x 0 mx dt t t x 0 x t 0 m x d x m x x kx x dt 0
t
0 0
18
二、哈密顿原理
1.位形空间和运动路径
(1) 位形空间
受有完整约束的力学体系, 由s个广义坐标组成的空 间，称为位形空间.
一般地，广义坐标 q ( 1, 2
s) 是时间t的函数。在以
q1 , q2 ,
, q 为坐标轴所张成的S维空间中，随着t从t1连续
变化到t2，体系从位形空间中的位置q(t1)连续变化到q(t2)，位 形空间的“点”则描绘出一条轨迹。
则(1)式为：
2 mr r t mr t mr mr mg cos k (r l ) rdt 1 1 t1 t2 2 t2 2 mr 2mrr mgr sin dt 0. t1 t2 t2
S L(q, q, t )dt
t1
t2
哈密顿作用量S 随函数q(t )的变化而变化， S是函数 q(t)的泛函. 20
(2) 哈密顿原理 力学系统从时刻 t1到 t2的一切可能(约束条件所 允许)的运动中，使哈密顿作用量S取极值(泛函取极 值)的运动才是实际发生的运动.
S L(q, q, t )dt 0.
1
t 0 q P q
P2
0
22
t2
t1
d L 1 dt q
s
d L L q q dt 0 dt q
t2
L d L q q q dt q q
§5.7 哈密顿原理
• 变分法简介 • 哈密顿原理 • 哈密顿原理的应用
1
一.变分法简介
1.力学体系的变分原理 (1) 定义 凡力学原理用到变分运算的,叫做力学的变分原理 (2) 意义 它是在基本定律基础上用变分法得到的，提出了 区分真实运动与同样条件下可能的运动的规则。
(3) 力学的变分原理有
t1
mgr sin k ( r l ) r dt 0. (1)
d r r (r r ) r r , 且： r |t1 r |t2 0, dt d 2 2 |t1 |t2 0, r (r ) 2rr r 2， dt
y
B
时间T的值与函数y(x)有关， 最速落径问题实质就是求泛函 T[y(x)]的极值问题，而求 关于泛函的极值就是变分问题，即求
(T [ y( x)]) 0
4.泛函的变分 (1) 泛函宗量的变分
泛函 J y( x)，其宗量 y( x) 的变分，是指当自变量x 不变时，泛函定义域中两个函数的差，即
y y( x) - y0 ( x).
这种自变量不变时的变分，称为等时变分.
(2) 泛函的变分
泛函 J y( x)的变分，
是指当自变量 x 不变时，函数的变分 y ， 所引起的泛函 J 的变化，即
J J y( x) y J y(x)
y
y1 ( x)
微分dy ：由于dx 0所引起的同一函数 的变化量,
l y( x) ds
xB xA
y
y1 ( x)
y ( x)
b
xB
xA xB
(dx) 2 (dy ) 2 1 y '2 dx.
a
o
x
xA
函数 y(x) 不同，则弧长 l 不同.
5
(2) 泛函与复合函数的说明 a.复合函数仅随自变量的变化而变化，泛函随函数 的变化而变化；
24
三、哈密顿原理的解体步骤
, t ) ； （1） 按照求拉格朗日方程的步骤求 L( q , q
（2） 将L代入
S Ldt 0
t1
t2
中计算，
（3）正确使用变分规则，求出结果。
例：用哈密顿原理推出一维线性谐振子的运动方程。 解：先得到拉氏函数
1 2 1 2 kx L mx 2 2 t 2 由哈密顿原理： S Ldt 0
C与C'是两个轨道(宗量函数),两个轨道的两端点P 1 ,P 2相同.
设一质点M沿C运动， 它们同时自 P1出发，同时 到达 P2. 则在P1和P2 点有
t 0 q P q
1
P2
0
15
叫做不动边界条件
1）
P Q Q q dq q dq
B
A
x
B
z
设曲线AB方程为 y = y(x)，质点沿曲线运动速度为
2 2 2 ds ( dx ) ( dy ) 1 y ' 2 gy dx dt dt dt
O
A
y ( x)
x
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
T dt
A
B
B
A
xB 1 y '2 ds dx. xA 2 gy 2 gy
2 mr mr mg cos k (r l ) rdt t1 2 mr 2mrr mgr sin dt 0. t1 t2
代入哈密顿原理方程，
Ldt 0
t1
t2
t2
t1
k 1 2 2 2 2 m r r mgr cos (r l ) dt 0 2 2
2 2 mr r mr r mr mg cos r
t2
(i) A B A B (ii) AB A B B A A B A A B (iii) 2 B B
(iv) dy d y
证 ( iV ) :
假定C是S维位形空间的一条曲线，且为质点遵 循运动定律的轨道，即动力轨道或真实轨道。 C’为临近C的一条曲线，但不是质点的动力轨道.
解：s=2, 取弹簧的长度r及与y轴夹角φ 为广义坐标.
1 2 1 2 T mr m r 2 2 k V mgr cos (r l ) 2 2
1 k 2 2 2 L T V m r r mgr cos (r l )2 2 2
b.复合函数只有单一曲线，泛函有许多条曲线.
3.泛函的极值 (1) 变分问题
求泛函的极值问题，称为变分问题. 数学上的变分法是为了解决最速落径问题发展起 来的。
(2) 最速落径问题
O
A
x
铅直平面内, 在所有联接二个定点 A,B的曲线中,找出一条曲线,使得初 速度为零的质点,在重力作用下,自A 点无摩擦下滑时,以最短时间到达B点. y
dq dq dt 2 dt dt d q dq d t 2 dt dt
d 可见 与 一般不能对易。若 t 0 dt dq d 则 q dt dt
等时变分
d 在等时变分时 与 的先后次序可以对易. dt
L q 1 q
s
t1
t2
t1
L L q q dt 0 q 1 q
s
因为
q
பைடு நூலகம்
t1
q
s
t2
0
t2
t1
Ldt 0
L L L q q q 1 q
d ( q ) (dt ) dq dt (dt ) 2 d d ( t ) ( q ) dq dt (dt ) 2
若是等时变分，即 t 0，所以上式为 dq dt d ( q ). dt
17
dq dt
不等时变分
t1
t2
对于完整保守系,在给定的起始位置和相同的约束 条件下,体系的真实运动对应于哈密顿作用量取极值.
由拉格朗日方程，推导保守力系作用下的哈密 顿原理.
L q 0, 1, 2, , s 由拉氏方程各项乘 q ,对 求和，
然后沿着一条可能的运动轨道自P1 运动到P2 ,对t 积分，