第二讲 最优化的数理结构(中级微观经济学-复旦大学,张军)

我们对 f ( x1, x2 ) 求全微分，并在点 x 处取值：
df f1dx1 f 2dx2

其中 f1, f 2 为函数 f ( x1 , x2 ) 在点 x 处的偏导数。

对
g ( x1, x2 ) c
全微分得:
g1dx1 g2dx2 0

对函数 f ( x1 , x2 ) 求两阶全微分：

凸函数(Convex Function)： 对函数 f ( x) ，如果定义域S（凸集）中的任何 两点 x1, x2 S , 0,1 , 如果有
f x1 (1 ) x2 f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
则称函数为凸函数。

这个性质可以用如下的式子来表达：
f ' ( x1 )( x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x1 )

即在同一个点用切线上的点估计的函数值小于 曲线上的值。

如果在点 x1 处函数泰勒展开：
1 f ( x2 ) f ( x1 ) f ' ( x1 )( x2 x1 ) f ' ' ( x1 )( x2 x1 )2 2
L a p1 0 x1 x1 L 1 p2 0 x2 L I p1 x1 p2 x2 0

求得
ap2 I ap2 1 x1 , x2 , ,并且有 p1 p2 p2
I ap2 。
二阶条件

无约束极值与泰勒展开:
f ( x) 在点
x0 附近的一个近似估计：
1 f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ' ' ( x0 )( x x0 )2 2 1 f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ' ' ( x0 )( x x0 )2 (( x x0 )2 ) 2
f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) 1 f ' ' ( x0 )( x x0 ) 2 2

将函数在最优解 x 处泰勒展开：
1 f ( x) f ( x ) f ' ( x )( x x ) f ' ' ( x )( x x )2 2

如果我们用下面的拉格朗日函数的偏导数代入
L11 f11 g11 L12 f12 g12 L22 f 22 g 22
则
d f L11dx 2 L12dx1dx2 L22dx2
2 2 1 2

写出矩阵的形式：
d 2 f ( dx)T Lxx dx
2 1 2
f11dx1 2 f12 dx1dx2 f 22dx2 f 2 d (dx2 )
2

对约束等式 g ( x1, x2 ) c 求二阶全微分，得到：
g 11dx 2 g12 dx1dx2 g 22dx2 g 2 d (dx2 ) 0

2 1
2
代入上式，有：

其中 x 是n维向量，是参数，我们称之为拉 格朗日乘子
L( x, ) f i gi 0, i 1,, n xi L( x, ) c g ( x) 0

非线性规划问题的求解：库恩－塔克条件
max
x
f ( x) g ( x) c x0
s.t.

第一步：作拉格朗日函数
L( x, ) f ( x) (c g ( x))

第二步：求一阶条件
L( x, ) L f i g i 0, xi 0, xi 0, i 1,, n xi xi
这样的关系，我们称之为互补松弛条件。
L L c g ( x) 0, 0, 0

比如，在此问题中，边际效用u , u 均为正（即 偏好关系满足局部非饱和性），推得不会有收 入剩余，否则可以通过继续增加消费，使得效 用增加，因此预算约束是紧的，即 0 ；另外， x1 0 由效用函数的形式， 。因此，需要讨论的 情形只有两种了：
1 2

x1 0, x2 0, 0 。此时库恩－塔克 第一种情形： 条件变为：
梯度向量 f x

等值面 f ( x) k 在点 x 处指向值增加（变化） 的法方向，也就是在点 x 处 f ( x) 值增加最快 的方向。

一般的，约束由等式 g ( x) c表示，点 x 的变 化向量 dx 是受限制的，具体的，将约束等式 全微分，
g1dx1 gn dxn 0
dx1 ( g1， ，g n） 0 dx n
g x dx 0
f x g x
或者
fx gx

等式约束极值的拉格朗日求解法：
max
x
f ( x) g ( x) c
s.t.
拉格朗日函数：
L( x, ) f ( x) (c g ( x))
g1 将 dx2 dx1 代入上式，得： g2
1 2 d f ( L11g 2 2 L12 g1 g 2 L22 g1 ) 2 dx1 g2
2 2 2

显然，等式右边括号外边的部分为正，所以 d f 的正负取决于括号部分的符号。
2
0
g1
g2
2 2
H g1 L11 L12 ( L11g 2 2L12 g1 g 2 L22 g1 ) g 2 L21 L22
L a p1 0 x1 x1 L 1 p2 0 x2 。 L I p1 x1 0
求得
x1
I a , x2 0, ,并且满足参数条件 I ap2 p1 I

第二种情形 x1 0, x2 0, 0 ：此时，库恩－ 塔克条件变为：
其中
dx ( dx 1 , dx2 )
L11 L12 Lxx L L 21 22

由微积分的知识，我们知道，如果在点 x 处 2 d 有 f 0 则函数 f ( x1 , x2 ) 取得极大值；如果在 点 x 处有 d 2 f 0 ，则函数 f ( x1 , x2 ) 取得极小 值。
因为 f ( x)在最优解 x 处的一阶导数为零，我们得：
f ( x) f ( x ) 1 f ' ' ( x )( x x ) 2 2

我们将 f ' ' ( x ) 0 称为函数 f ( x) 在点x 处附 近取得了极大值的二阶充分条件。同样，极小 值的二阶（充分）条件为 f ' ' ( x ) 0 。
中级微观经济学(上)
张军 经济学教授 复旦大学中国经济研究中心
第 2讲 最优化的数理结构
最优化的一阶条件 二阶条件 凹规划 比较静态 包络定理

最优化的一阶条件

无约束极值 一维情况下:
df ( x) f '( x) dx

若 f '( x) 0 ，则可以取dx 0，使得 df ( x) 0 ，即通 过点 x 的移动，可以使目标函数值增加； 若 f '( x) 0 ，则可以取 dx 0，从而 df ( x) 0 ，目标 函数值还可以继续增加。因此，当 f ( x) 取得极 值，即目标函数值不再增加时，上述情形不可 能发生，即有 f '( x) 0 。

约束极值的两阶条件:
max
x1 , x2
f ( x1 , x2 ) g ( x1 , x2 ) c
s.t.

构造拉格朗日函数
L( x1, x2 , ) f ( x1, x2 ) (c g ( x1, x2 ))

一阶条件:
L f1 g1 0 x1 L f 2 g 2 0 x2 L c g ( x1 , x2 ) 0
( f1dx1 f 2 dx2 ) ( f1dx1 f 2 dx2 ) d f d (df ) d ( f1dx1 f 2 dx2 ) dx1 dx2 x1 x2
2
dx2 dx2 ( f11dx1 f 21dx2 f 2 )dx1 ( f12dx1 f 22dx2 f 2 )dx2 x1 x2 dx2 dx2 2 f11dx f 21dx2dx1 f 2 dx1 f12dx1dx2 f 22dx2 f 2 dx2 x1 x2
f2 f2 f2 2 2 d f ( f11 g 11) dx1 2( f12 g12 )dx1dx2 ( f 22 g 22 )dx2 g2 g2 g2
2

将一阶条件
f 2 g2 0 代入，得：
2 2
d 2 f ( f11 g 11) dx1 2( f12 g12 )dx1dx2 ( f 22 g 22 )dx2
L a L p1 0, x1 0, x1 0 x1 x1 x1 L L 1 p2 0, x2 0, x2 0 x2 x2 L L I p1 x1 p2 x2 0, 0, 0
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如何求解？一般情况下，我们要讨论 x1 0, 0; x2 0, 0; 0, 0 组合成的8种情况，不 过，在这一具体的问题中，我们可以通过分析 题目中隐含的条件（经济含义）初步确定未知 量的范围，以减少讨论的可能情形。

把上面两个式子结合起来，就是非线性规划问 题在最优解处的一阶必要条件，我们称之为库 恩－塔克条件（Kuhn-Tucker Condition）。

与等式约束极值问题的一阶必要条件相比，库 恩－塔克条件是用不等式形式出现的，因此给 求解带来了很大的麻烦。下面我们用一个具体 的例子来看非线性规划库恩－塔克条件的求解 过程。

多维情形下：
df ( x) f x dx
dx1 df ( x) f x dx ( f1,, f n ) f1dx1 f ndxn dx n
dx
dx (dx1, dx2 )
p1x1 p2 x2 I , x1 0, x2 0

拟线性偏好（Quasi-Linear Preference）
max u ( x1 , x2 ) x2 a ln x1
x
s.t.
p1 x1 p2 x2 I x1 , x2 0

作拉格朗日数 L( x1, x2 , ) x2 a ln x1 (I p1x1 p2 x2 ) ， 一阶必要条件（库恩－塔克条件）：
凹规划

前面的讨论都是通过微分法，分析最优解在一 个小的邻域内应满足的条件，所以我们说这样 求得的解只是在这个小的邻域内成立的，是局 部的，因此我们称之为局部解(Local Optima)。 在整个定义域内，可能存在很多个满足这样性 质的点，因此我们需要比较各个局部解的目标 函数值的大小，才能确定哪个是整个规划问题 的最优解，我们称此解为全局解(Global Optima)。

通过我们对所求解经济问题的现实含义，对目 标函数及约束函数进行凹凸性的假设，我们可 以避免上述两个问题，保证一阶必要条件也是 充分条件，同时所求的局部解就是规划问题的 全局解。这是凹规划所讲的内容。

凸集（Convex Set）： 对集合S，其中的任意两点x1, x2 S , 0,1，如果 有x1 (1 ) x2 S , 则称集合S为凸集。

因此我们就把 H 称为加边的海赛行列式，就 像是由无约束极值问题的海赛行列式再加了两 条边。

2 d f 0 时，函数在点 x 处取得极大值，也 当 即 H 0 ，这就是约束极大值问题二阶充分 条件；同样，当 H 0 ， d 2 f 0 ，函数在点 x 处取得极小值，此为约束极小值问题的二阶充 分条件。