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i
试验结果出现的概率
P n! f (t i , 1 , 2 ,, l )dti
i 1 n
极大似然函数:
L( )
L() f (t i ,θ )
i 1
n
单调函数，为了求解方便：
ln L(θ ) ln f t i ,θ
i 1 n
参数估计：
ln L (θ ) 0 1 ln L (θ ) 0 2 ln L (θ) 0 l
f 2 (t ) f1 (t )
T
*
t
GJB1032电子产品环境应力筛选方法 温度循环试验时 (t ) 间为40h; 随机振动连续施 (t ) 振时间5min; 试验时间的推导 (典型的浴盆曲 线):
0 M
Tr
t
0 (t ) 早期故障率 M (t ) 剔除缺陷后的故障率
故障率随时间变化规律为:
m
1 F (t )
B
X i ti
X i ln ti
0
威布尔分布 正态分布 对数正态分 布
m
1
X i ti
1
1
F (t )
ln t 0
X i logt i
1
F (t )
1
相关系数
γ∈(0,1), 越接近1表示
(X
i 1 n i 1
(N,无,t0) 指数分布
L( ) f (t i , ) R(t 0 )
i 1 r nr r r exp t i (n r )t 0 i 1
r ln L( ) r ln t i (n r )t 0 i 1
Y m
N 50
N 50
X -m
lnt
Y B
t0的估计
Y mX B
Y B
Y b X b lnt
ˆ0 e B e b t
F(t)
t0
t 0m e a
1
Y
的估计
0 ma B
a
B ln t0 ma
B ln t0 ma
X
F(t)
t0 e B
n
i
X )(Yi Y )
2 2 ( X X ) ( Y Y ) i i
该分布越合适
X X i / n, Y Yi / n
• Weibull分布类似 • 对数正态分布类似
图估法
F (t ) 1 e
tm t0
1 ln ln m ln t ln t 0 1 F (t )
Y ln ln 1 , X ln t , B ln t 0 1 F (t )
Y mX B
μ /η σ /η (%) -2.0 F(t) 99.9 99.8 99.0 95.0 90.0 80.0 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.5 0.4 0.3 0.2 0.15 0.1 0 10 20 30 40 50 100 200 500 1000 2000 t 3000 4000 5000 -1.0 0.0 1.0 lnt 2.0 3.0 4.0
(t ) (0 S )e S
kt
1 k ln Tr 经过Tr 后产品所剩余缺陷的百分比
M S = 100% 0 S S 期望的故障率
可靠性测定试验
点估计
全数寿命试验
区间估计 截尾寿命试验
点估计的方法
试验数据: t1 , t2 ,
ˆ0 ˆ ,t m
(3)正态分布MLE
L( , 2 )
i 1 n 2 1 1 ti exp 2 2
2 ( t ) i i 1 n
n n ln L(, 2 ) ln 2 ln 2 2 2
S (t ) t 总的试验时间为 (n, 无, t 0）
i 1
r
i
(n r )t 0
• • •
(n, 有, t 0） 总的试验时间为 S (t ) nt 0
(n, 无, r）
(n, 有, r）
总的试验时间为
S (t ) t i (n r )t r
i 1
r
总的试验时间为 S (t ) ntr
100%筛选
环境应力
激发故障数/可能发生故障数（%） 100 随机振动 温 80 扫频振动 40 定频振动 20 40 60 振动时间（min） 0 度 循 环 随 机 振 动 恒 定 高 温 电 应 力 扫 频 振 低 温 定 频 振 动 综 合 环 境 潮 湿 加权值 360
筛选时间的确定
f (t )
L( ) f (ti , ) R(tr )
r ln L( ) r ln ti (n r )tr i 1
r r S (t ) ti (n r )tr i 1 r ti (n r )tr 1 i 1 S (t ) ˆ ˆ r r ˆ r
现将观察到的r个故障时间按小到大排列为 t1 , t 2 ,, t n ，其故障均发生在相应故障时间 的dt区间内:
无故障 （ 0 一次故障 ） （ ） （ …… t r 1 无故障 一次故障 ） （ ） ( 无故障
t1 t1
t1 dt1
tr tr
tr t dt r r
t0
)
则这一试验结果出现的概率为:
第四单元
可靠性试验
可靠性试验的特点
具有破坏性—以发现产品在设计、 材料和工艺方面的各种缺陷为目 的 必须施加应力—环境应力或工作 应力 可以给出可靠性指标
可靠性试验的分类
可靠性筛选试验 可靠性测定实验 可靠性增长试验 可靠性鉴定和验收试验 加速寿命试验
环境应力筛选试验
ESS (Environment stress screen) 是通 过向电子产品施加合理的环境应力和电应 力，将其内部的潜在缺陷加速变成故障， 并通过检验发现和排除的过程，是一种工 艺手段。其目的是筛选剔除早期失效的产 品，提高产品的可靠性水平。
lnt
t e
1 m 0
a
最小二乘法
任意分布
1 1 1 m B 1iit ln ln t Y X log Ft (it ) 0 i ti ln ln (tF ) (t ) 1 1F
分布类型 指数分布
Y mX B
Xi
Yi
1 ln 1 F (t ) 1 ln ln 1 F (t )
矩法
, tn
极大似然法 图估法 最小二乘法
矩法
ˆ
n
t
i 1
n
i
n
t
ˆ
2
(t
i 1
i
t)
2
n
S
2
极大似然估计法(MLE)
MLE（Maximum Likelihood Estimation) 是样本试验结果出现概率 达到最大的估计方法。
设总体分布具有故障概率密度函 数 f (t,1 , 2 ,, l ) ，其中 θ ( , i 1,2,, l ) 为待估参数。我们从总体中抽取n个样 本进行寿命试验，得到试验的寿命数 据 t1 , t 2 ,, t n 。我们认为第一个故障样 本在区间(t1 , t1 dt1 )内故障，第二个样本 在区间 (t 2 , t 2 dt2 ) 内故障，……，第n个 样本在区间 (t n , t n dtn ) 内故障，则试验 结果出现的概率为:
ˆ , ˆ ,, ˆ 1 2 l
全数寿命试验MLE
(1)指数分布
L( ) e
t1
e
t 2
e
n
t n
e
n
ti
i 1
n
ln L( ) n ln t i
i 1
ˆt ˆ R(t ) e
d ln L() n ti 0 d i 1
i 1
n
m t i i 1
n
t0
n m t i ln t i ln L( m, t ) n n 0 ln t i i 1 0 m m i 1 t0 n m t ln L( m, t 0 ) n i 1 i 2 0 t 0 t0 t0
n
n ˆ
n i 1
t
i
1 i 1 ˆ ˆ n
t
n
i
(2)Weibull 分布的MLE
m L(t , m, t 0 ) t 0
n
t
i 1
n
i 1 t0 m 1 i
tim
n
百度文库
e
ln L(m, t 0 ) nln m ln t 0 (m 1) ln t i
P ne nt1 d t1 (n 1)e n (t2 t1 ) n d t 2 (n r )e n (tr tr 1 ) n d t r e n (t0 tr ) e n (t0 tr ) n!(n) r e nt0 d t1 d t 2 d t r
(N,有,t0)
指数分布
因为有替换，就相当于试样可以允许一次以上的 故障，其故障次数X服从以为 t 参数的泊松分布:
(t ) k t P( X k ) e k! k 0,1,2,
现有n个试样同时开始试验，可以证明其故障总 次数 N (t ) 服从以 n t 为参数的泊松分布:
似然函数: L( ) (n ) r e nt
0
ln L( ) r (ln n ln ) nt 0
d ln L( ) r nt 0 0 d
r r ˆ nt0 S (t )
ˆ
1 nt0 S (t ) ˆ r r
(n,有,r) 类似于(n, 有,t0)
ˆ r r S (t ) t i (n r )t 0 i 1 r
r t i (n r )t 0 1 i 1 S (t ) ˆ ˆ r r
(N,无,tr)
r i 1
指数分布
nr r r exp ti (n r )tr i 1
ln ln
1 1 F (t ) μ /η σ /η
2.0 1.0 0.0 -1.0 -2.0
-3.0 -4.0
-5.0 -6.0 -7.0 10000
m的估计
t1 , t 2 ,, t n
• 中位秩法
F(t)
n(t i ) F (t i ) N
n(t i ) 0.32 F (t i ) N 0.36
n
× …… ×
n ……
× ×
× × × ×
截 尾 寿 命 试 验
2 1 0 ×
2 1 0 ×
t0
( n, 无，t0) n × …… × 2 1 0 × r ( n, 无，r ) ( n, 有，r ) 2 1 0 × × n ( n, 有，t0 ) × …… × × ×
t0
×
r
截尾寿命试验参数估计
n ln L( , 2 ) (t i ) i 1 2 0 n 2 ( t ) i ln L( , 2 ) n i 1 0 2 2 4 2 2
2 2
n ti ˆ i 1 n n ˆ )2 (ti 2 i 1 ˆ n
(nt ) nt P[ N (t ) k ] e k!
k
k 0,1,2,
在区间(0,t)内没有试样故障和在区间内发生一 次故障的概率为: (nt ) 0 nt nt P[ N (t ) 0] e e 0! 1 (nt ) nt P[ N (t ) 1] e ndt 1!
试验结果出现的概率
P n! f (t i , 1 , 2 ,, l )dti
i 1 n
极大似然函数:
L( )
L() f (t i ,θ )
i 1
n
单调函数，为了求解方便：
ln L(θ ) ln f t i ,θ
i 1 n
参数估计：
ln L (θ ) 0 1 ln L (θ ) 0 2 ln L (θ) 0 l
f 2 (t ) f1 (t )
T
*
t
GJB1032电子产品环境应力筛选方法 温度循环试验时 (t ) 间为40h; 随机振动连续施 (t ) 振时间5min; 试验时间的推导 (典型的浴盆曲 线):
0 M
Tr
t
0 (t ) 早期故障率 M (t ) 剔除缺陷后的故障率
故障率随时间变化规律为:
m
1 F (t )
B
X i ti
X i ln ti
0
威布尔分布 正态分布 对数正态分 布
m
1
X i ti
1
1
F (t )
ln t 0
X i logt i
1
F (t )
1
相关系数
γ∈(0,1), 越接近1表示
(X
i 1 n i 1
(N,无,t0) 指数分布
L( ) f (t i , ) R(t 0 )
i 1 r nr r r exp t i (n r )t 0 i 1
r ln L( ) r ln t i (n r )t 0 i 1
Y m
N 50
N 50
X -m
lnt
Y B
t0的估计
Y mX B
Y B
Y b X b lnt
ˆ0 e B e b t
F(t)
t0
t 0m e a
1
Y
的估计
0 ma B
a
B ln t0 ma
B ln t0 ma
X
F(t)
t0 e B
n
i
X )(Yi Y )
2 2 ( X X ) ( Y Y ) i i
该分布越合适
X X i / n, Y Yi / n
• Weibull分布类似 • 对数正态分布类似
图估法
F (t ) 1 e
tm t0
1 ln ln m ln t ln t 0 1 F (t )
Y ln ln 1 , X ln t , B ln t 0 1 F (t )
Y mX B
μ /η σ /η (%) -2.0 F(t) 99.9 99.8 99.0 95.0 90.0 80.0 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.5 0.4 0.3 0.2 0.15 0.1 0 10 20 30 40 50 100 200 500 1000 2000 t 3000 4000 5000 -1.0 0.0 1.0 lnt 2.0 3.0 4.0
(t ) (0 S )e S
kt
1 k ln Tr 经过Tr 后产品所剩余缺陷的百分比
M S = 100% 0 S S 期望的故障率
可靠性测定试验
点估计
全数寿命试验
区间估计 截尾寿命试验
点估计的方法
试验数据: t1 , t2 ,
ˆ0 ˆ ,t m
(3)正态分布MLE
L( , 2 )
i 1 n 2 1 1 ti exp 2 2
2 ( t ) i i 1 n
n n ln L(, 2 ) ln 2 ln 2 2 2
S (t ) t 总的试验时间为 (n, 无, t 0）
i 1
r
i
(n r )t 0
• • •
(n, 有, t 0） 总的试验时间为 S (t ) nt 0
(n, 无, r）
(n, 有, r）
总的试验时间为
S (t ) t i (n r )t r
i 1
r
总的试验时间为 S (t ) ntr
100%筛选
环境应力
激发故障数/可能发生故障数（%） 100 随机振动 温 80 扫频振动 40 定频振动 20 40 60 振动时间（min） 0 度 循 环 随 机 振 动 恒 定 高 温 电 应 力 扫 频 振 低 温 定 频 振 动 综 合 环 境 潮 湿 加权值 360
筛选时间的确定
f (t )
L( ) f (ti , ) R(tr )
r ln L( ) r ln ti (n r )tr i 1
r r S (t ) ti (n r )tr i 1 r ti (n r )tr 1 i 1 S (t ) ˆ ˆ r r ˆ r
现将观察到的r个故障时间按小到大排列为 t1 , t 2 ,, t n ，其故障均发生在相应故障时间 的dt区间内:
无故障 （ 0 一次故障 ） （ ） （ …… t r 1 无故障 一次故障 ） （ ） ( 无故障
t1 t1
t1 dt1
tr tr
tr t dt r r
t0
)
则这一试验结果出现的概率为:
第四单元
可靠性试验
可靠性试验的特点
具有破坏性—以发现产品在设计、 材料和工艺方面的各种缺陷为目 的 必须施加应力—环境应力或工作 应力 可以给出可靠性指标
可靠性试验的分类
可靠性筛选试验 可靠性测定实验 可靠性增长试验 可靠性鉴定和验收试验 加速寿命试验
环境应力筛选试验
ESS (Environment stress screen) 是通 过向电子产品施加合理的环境应力和电应 力，将其内部的潜在缺陷加速变成故障， 并通过检验发现和排除的过程，是一种工 艺手段。其目的是筛选剔除早期失效的产 品，提高产品的可靠性水平。
lnt
t e
1 m 0
a
最小二乘法
任意分布
1 1 1 m B 1iit ln ln t Y X log Ft (it ) 0 i ti ln ln (tF ) (t ) 1 1F
分布类型 指数分布
Y mX B
Xi
Yi
1 ln 1 F (t ) 1 ln ln 1 F (t )
矩法
, tn
极大似然法 图估法 最小二乘法
矩法
ˆ
n
t
i 1
n
i
n
t
ˆ
2
(t
i 1
i
t)
2
n
S
2
极大似然估计法(MLE)
MLE（Maximum Likelihood Estimation) 是样本试验结果出现概率 达到最大的估计方法。
设总体分布具有故障概率密度函 数 f (t,1 , 2 ,, l ) ，其中 θ ( , i 1,2,, l ) 为待估参数。我们从总体中抽取n个样 本进行寿命试验，得到试验的寿命数 据 t1 , t 2 ,, t n 。我们认为第一个故障样 本在区间(t1 , t1 dt1 )内故障，第二个样本 在区间 (t 2 , t 2 dt2 ) 内故障，……，第n个 样本在区间 (t n , t n dtn ) 内故障，则试验 结果出现的概率为:
ˆ , ˆ ,, ˆ 1 2 l
全数寿命试验MLE
(1)指数分布
L( ) e
t1
e
t 2
e
n
t n
e
n
ti
i 1
n
ln L( ) n ln t i
i 1
ˆt ˆ R(t ) e
d ln L() n ti 0 d i 1
i 1
n
m t i i 1
n
t0
n m t i ln t i ln L( m, t ) n n 0 ln t i i 1 0 m m i 1 t0 n m t ln L( m, t 0 ) n i 1 i 2 0 t 0 t0 t0
n
n ˆ
n i 1
t
i
1 i 1 ˆ ˆ n
t
n
i
(2)Weibull 分布的MLE
m L(t , m, t 0 ) t 0
n
t
i 1
n
i 1 t0 m 1 i
tim
n
百度文库
e
ln L(m, t 0 ) nln m ln t 0 (m 1) ln t i
P ne nt1 d t1 (n 1)e n (t2 t1 ) n d t 2 (n r )e n (tr tr 1 ) n d t r e n (t0 tr ) e n (t0 tr ) n!(n) r e nt0 d t1 d t 2 d t r
(N,有,t0)
指数分布
因为有替换，就相当于试样可以允许一次以上的 故障，其故障次数X服从以为 t 参数的泊松分布:
(t ) k t P( X k ) e k! k 0,1,2,
现有n个试样同时开始试验，可以证明其故障总 次数 N (t ) 服从以 n t 为参数的泊松分布:
似然函数: L( ) (n ) r e nt
0
ln L( ) r (ln n ln ) nt 0
d ln L( ) r nt 0 0 d
r r ˆ nt0 S (t )
ˆ
1 nt0 S (t ) ˆ r r
(n,有,r) 类似于(n, 有,t0)
ˆ r r S (t ) t i (n r )t 0 i 1 r
r t i (n r )t 0 1 i 1 S (t ) ˆ ˆ r r
(N,无,tr)
r i 1
指数分布
nr r r exp ti (n r )tr i 1
ln ln
1 1 F (t ) μ /η σ /η
2.0 1.0 0.0 -1.0 -2.0
-3.0 -4.0
-5.0 -6.0 -7.0 10000
m的估计
t1 , t 2 ,, t n
• 中位秩法
F(t)
n(t i ) F (t i ) N
n(t i ) 0.32 F (t i ) N 0.36
n
× …… ×
n ……
× ×
× × × ×
截 尾 寿 命 试 验
2 1 0 ×
2 1 0 ×
t0
( n, 无，t0) n × …… × 2 1 0 × r ( n, 无，r ) ( n, 有，r ) 2 1 0 × × n ( n, 有，t0 ) × …… × × ×
t0
×
r
截尾寿命试验参数估计
n ln L( , 2 ) (t i ) i 1 2 0 n 2 ( t ) i ln L( , 2 ) n i 1 0 2 2 4 2 2
2 2
n ti ˆ i 1 n n ˆ )2 (ti 2 i 1 ˆ n
(nt ) nt P[ N (t ) k ] e k!
k
k 0,1,2,
在区间(0,t)内没有试样故障和在区间内发生一 次故障的概率为: (nt ) 0 nt nt P[ N (t ) 0] e e 0! 1 (nt ) nt P[ N (t ) 1] e ndt 1!