单侧置信区间
《数理统计》第7章§7单侧置信区间
单侧置信区间
1/4
对这类“ 对这类“好”指 对这类“坏 < 指 对这类“< α”1, 若存在统计量 θ = θ( X , X ,L, X ) ∀0 1 n 标2 标 满足 ∀ θ ∈Θ 有 关心下限 关心上限 P{θ < θ } =1−α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) 满足 ∀ θ ∈Θ 有
P{ θ < θ } =1−α 则称 (−∞,θ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为 单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章 参数估计
§7
单侧置信区间
2/4
的样本, 为来自总体 设 X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 为来自总体 X ~ N(µ,σ 2 ) 的样本, µ,σ 2均未知.试求 µ 的置信水平为 1−α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. µ,σ 2 的无偏估计分别是 X, S 2 且 , X −µ ~ t(n −1) S/ n 对于给定的置信水平 1−α ,可查表求得 tα (n −1) 使得 怎样直接写出置信下限 µ ~ X − S t(n −1) ~ − t( X − µ XS µ n −1) P n < tα (n −1) = 1−α n α S / n 故 µ 的单侧置信下限为 等价地有 tα(n −1) µ = X − S tα (n −1) n P{ X − S tα (n −1) < µ } = 1−α n µ 的置信上限是什么 故 µ 的单侧置信下限为 µ= X− S ttα((n−1) = + S −1) µ X nαn n
高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
第七节单侧置信区间
即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的 的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数 表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 现要根据所抽取的 的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的 单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知 为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 定义 给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定 的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间 单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信 单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称 置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法 思路: 思路 同双侧量区间的求法 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均 收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)
置信度(置信区间计算方法)
推导
选取枢轴量 T X ~ T (n 1)
S
n X 由P t (n 1) 确定t ( n 1) 2 S 2 n
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
ch73
常选最小的一个.
75
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch73
76
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
— 称为枢轴量 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). 例如 X～N ( , 1 / 5)
P(T1 T2 ) 1
则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
置信区间或区间估计. T1 置信下限 T2 置信上限
ch73
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
( 引例中 a 1.96, b 1.96 )
由 a g ( X1, X 2 , X n , ) b 解出 T1 , T2
得置信区间 ( T1 , T2 ) 引例中
( T1 , T2 ) ( X 1.96 1 , X 1.96 1 ) 5 5
ch73 78
置信区间常用公式
非参数法,单侧95%置信区间计算例题
非参数法,单侧95%置信区间计算例题
95%置信区间的计算公式如下图：
95%置信区间的意义：假设上面统计的结果为[ 170-10, 170+10]，怎么说明最低身高为160，最高身高为180。
这个统计结果有95%的可信度。
95%置信区间是用来估计参数的取值范围的方法。
比如：在我们用样本去估计整体均值的实验过程中。
假设我们做了100组统计均值实验后，算出95%的置信区间后，其中有95个置信区间包含整体均值，5个不包含。
置信区间计算公式是什么？
置信区间的计算公式取决于所用到的统计量。
置信区间是在预先确定好的显著性水平下计算出来的，显著性水平通常称为α，绝大多数情况会将α设为0.05。
置信度为(1-α)，或者100×(1-α)%。
如果α=0.05，那么置信度则是0.95或95%，后一种表示方式更为常用。
置信区间的常用计算方法为Pr(c1<=μ<=c2)=1-α。
公式汇总
二）组距分组次数分布表（重点。
简单应用）若观测变量的取值变动均匀，则应采用等距分组。
分组的组数不宜太少，也不宜过多。
1.确定组数:记变量值的个数为N，组数为m，则斯特吉斯公式为：m＝1＋3.322lgNlg20=lg2+1=1.3010lg60=lg2+lg3+1=0.3010+0.4771+1=1.7781lg50=1.6989lg2=0.3010lg3=0.4771lg5=0.6990lg7=0.8451 这几个是应该记住的。
非常实用等距分组的组距为w，则由下式可计算出w的最低值为：W＝【max（xi）－min（xi）】/m（一）算术平均数算术平均数又称均值，它是一组变量值的总和与其变量值的个数总和的比值，是测度变量分布中心最常用的指标。
1.简单算术平均数＝（x1＋x2＋…＋x n）/n2.加权算术平均数＝Σx i f i/Σf i＝Σx i*（f i/Σf i）式中f i/Σf i为各组的频率。
（2）组距数列算术平均数的计算方法。
组中值＝（上限＋下限）/2缺下限组的组中值＝上限－邻组组距/2 缺上限组的组中值＝下限＋邻组组距/23.应用算术平均数应注意的几个问题（1）算术平均数容易受极端变量值的影响。
2）权数对算术平均数大小起着权衡轻重的作用，但不取决于它的绝对值的大小，而是取决于它的比重。
（3）根据组距数列求加权算术平均时，需用组中值作为各组变量值的代表。
5.算术平均数的变形——调和平均数令xf＝m（3）数学期望的性质：1）设c为常数，则E（c）＝c。
2）设X为随机变量，a为常数，则E（aX）＝aE（X）。
3）设X、Y是两个随机变量，则E（X士Y）＝E（X）＋E（Y）。
4）设X、Y是相互独立的随机变量，下限公式：m0＝L＋△1/（△1＋△2）*d上限公式：m0＝U－△1/（△1＋△2）*d式中：m0代表众数；L和U分别代表众数组的下限和上限；d代表众数组的组距；△1代表众数组的次数与前一组次数之差；△2代表众数组的次数与后一组次数之差。
03 第三节 置信区间
第三节 置信区间前面讨论了参数的点估计, 它是用样本算出的一个值去估计未知参数. 即点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有给出这个近似值的误差范围.例如, 在估计某湖泊中鱼的数量的问题中, 若根据一个实际样本, 利用最大似然估计法估计出鱼的数量为50000条, 这种估计结果使用起来把握不大. 实际上, 鱼的数量的真值可能大于50000条, 也可能小于50000条.且可能偏差较大.若能给出一个估计区间, 让我们能较大把握地(其程度可用概率来度量之)相信鱼的数量的真值被含在这个区间内, 这样的估计显然更有实用价值.本节将要引入的另一类估计即为区间估计, 在区间估计理论中, 被广泛接受的一种观点是置信区间, 它由奈曼(Neymann)于1934年提出的.内容分布图示★ 引言 ★ 置信区间的概念★ 例1 ★ 例2★ 寻求置信区间的方法 ★ 例3 ★ )10(-分布参数的区间估计 ★ 例4 ★ 单侧置信区间★ 例5 ★ 例6★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-3内容要点：一、置信区间的概念定义1 设θ为总体分布的未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本, 对给定的数)10(1<<-αα, 若存在统计量),,,,(),,,,(2121n n X X X X X X θθθθ==使得,1}{αθθθ-=<<P则称随机区间),(θθ为θ的α-1双侧置信区间, 称α-1为置信度, 又分别称θ与θ为θ的双侧置信下限与双侧置信上限.注: 1. 置信度α-1的含义: 在随机抽样中, 若重复抽样多次, 得到样本n X X X ,,,21 的多个样本值),,,(21n x x x , 对应每个样本值都确定了一个置信区间),(θθ, 每个这样的区间要么包含了θ的真值, 要么不包含θ的真值. 根据伯努利大数定理, 当抽样次数充分大时, 这些区间中包含θ的真值的频率接近于置信度(即概率) α-1, 即在这些区间中包含θ的真值的区间大约有)%1(100α-个,不包含θ的真值的区间大约有%100α个. 例如, 若令95.01=-α, 重复抽样100次, 则其中大约有95个区间包含θ的真值, 大约有5个区间不包含θ的真值.2. 置信区间),(θθ也是对未知参数θ的一种估计, 区间的长度意味着误差, 故区间估计与点估计是互补的两种参数估计.3. 置信度与估计精度是一对矛盾.置信度α-1越大, 置信区间),(θθ包含θ的真值的概率就越大, 但区间),(θθ的长度就越大, 对未知参数θ的估计精度就越差. 反之, 对参数θ的估计精度越高, 置信区间),(θθ长度就越小, ),(θθ包含θ的真值的概率就越低, 置信度α-1越小. 一般准则是: 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度.二、寻求置信区间的方法寻求置信区间的基本思想: 在点估计的基础上, 构造合适的函数, 并针对给定的置信度导出置信区间.一般步骤:(1) 选取未知参数θ的某个较优估计量θˆ; (2) 围绕θˆ构造一个依赖于样本与参数θ的函数 );,,,,(21θn X X X u u =(3) 对给定的置信水平α-1,确定1λ与2λ,使,1}{21αλλ-=≤≤u P通常可选取满足2}{}{21αλλ=≥=≤u P u P 的1λ与2λ，在常用分布情况下, 这可由分位数表查得;(4) 对不等式作恒等变形化后为αθθθ-=≤≤1}{P , 则),(θθ就是θ的置信度为α-1的双侧置信区间。
概率论第七章参数估计2区间估计
箱数。由条件可以把X1, X 2,
,
X
视为独立同分
n
布随机变量，而n箱的总重量Tn X1 X 2 X n
是独立同分布随机变量之和。
由条件知E(Xi ) 50, D(Xi ) 5; E(Tn ) 50n, D(Tn) 5 n
16
由 查表得 由于总体方差 未知, 因此 的置信水平为0.95 的置信区间为:
即:
17
3） 方差的区间估计
设
为总体
的一个样本
是 的无偏估计
并且样本函数：
由于 分布无对称性
即：
18
由 分布表的构造
即 置信区间：
/2
/2
2 1
(n
1)
2 / 2 (n 1)
2
19
标准差σ的一个置信水平为 1 的置信区间
36
对给定的置信水平 使
，确定分位数
即
于是得到 的置信水平为 信区间为
的单侧置
37
即 的置信水平为 的单侧置信下限为
将样本值代入得 的置信水平为0.95的单侧置信下限是 1065小时
38
例9 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时 （单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下 10.5 11.0 11.2 12.5 12.8 假设制造单位产品所需工时
(5.20 0.49) (4.71, 5.69)
9
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
上例中同样给定 0.05 ,可以取标准正态分
布上α分位点-Z0.04和Z0.0X
n
z0.04} 0.95
z0.04
则μ的置信度为0.95的置信区间为
[X
n
z0.01
单侧置信区间
μ的置信水平为1-α的单侧置信区间
S X t ( n 1 ), n
μ的置信水平为1-α的单侧置信下限为
S X t ( n 1) n
又例如,μ未知,
2
( n 1) S 2
2
~ ( n 1)
2
给定α,找
12 ( n 1)
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ),
由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1 , X 2 ,, X n ) ,
Θ,
使得
P{ } 1 ,
称随机区间( , ) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限. 对于给定值α ( 0 <α <1 ), 如果有统计量 使得
( n 1) S 2 5 0.039 0.41 2 1 ( n 1) 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 ) ，其中 2 已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
思考题答案：
n
X
z
练习题：
1. 为研究某汽车轮胎的磨损特性,随机抽了16只轮胎 使用,记录其使用到磨坏时所行驶的路程(公里),得
X , S 2 分别是样本均值和样本方差.
未知，
2
X ~ t ( n 1), S/ n
给定α,
找 t (n 1), 使
X P t ( n 1) 1 S / n
S P X t ( n 1) 1 n
x 41116, s 6346.
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。
置信区间
sn2
m n
作为1 的2近似置信区间。
3.方差
2 1
22且 为2 未知
由第七章定理五知,统计量
(x y) (1 2 ) mn(m n 2)
(m
1)S
2 m
(n
1)S
2 n
mn
服从t(m+n-2)分布。由此可得1 2
的置信区间为
(*)
x
y
t1 2
(m
n
2)
(m
1)s
2 m
(n
于是
x1.96
14.75
n
x 1.96
15.15
n
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差DX未知，对EX进行区间估计
上面的讨论是在DX已知的情况下进行的， 但实际应用中往往是DX未知的情况。
设x1,x2,,xn为正态总体N(,2)的一个 样本，由于2未知，我们用样本方差S2来
代替总体方差2，
n
1
2
n
欲使区间长度
2z 1 2
L n
2
z 1
2
L
n
即要求
4(z ) 2 2
1
n
2
L2
第五节 二正态总体均值差和方差比的区间估计
一. 二正态总体均值差的区间估计
设 x1 , 和, xm y分1 ,别来, y自m 于正态总
体N 和N (1,的12 ) 两独立(样2 ,本22 )，相应的
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。
解 当＝0.05时，1-=0.95,查表得
z1 z0.975 1.96
单侧置信区间
一个，第三步略改即可．
参数估计
单侧置信区间
例 设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X ~ N( ， 2 ) 的样本，且 2 已知， 未知．求 的置信度为 1 (0 1) 的单侧置信下限．
解 根据统计量的定理知 U X ~ N (0，1) ． / n
于是，对给定置信度1 ，存在 u 使
PLeabharlann X / nu
1
，
即
P
X
n
u
1
．
参数估计
单侧置信区间
所以， 的置信度为1 的单侧置信下限为 X
n
u
．将上例所求得的单侧置信下
限X
n
u
与同一置信度的双侧置信区间的置信下限
X
n
u
/2
比较发现，只是
2
与
的差别．此种规则对前面介绍的各种条件下的正态总体都适用，即只需将双侧置信区间的
置信上（或下）限中的 换成 ，就是相应条件下相应参数的同一置信度的单侧置信区 2
参数估计
单侧置信区间
定义 设总体 X 的分布函数是 F(x； ) ，其中 是未知参数；又设 X1 ，X2 ， ，Xn 是
总体的一个样本．对给定的值 (0 1) ，若统计量ˆ1( X1 ，X 2 ， ，X n ) 满足
P{ ˆ1} 1 ，
（6-25）
则称随机区间 (ˆ1 ， ) 为 的置信度为1 的单侧置信区间，并称ˆ1 为置信度为1 的
概率论与数理统计
参数估计
单侧置信区间
在前面的讨论中，我们所求的未知参数
的置信区间 (ˆ1 ，ˆ2 ) 都是双侧的．然而，在解决 某些问题时，我们可能不是同时关心它们的 “上限”和“下限”，即有时“上限”和“下 限”的重要性是不对称的，我们可能只关心某 一个界限．因此，在某些问题中，只需要讨论 单侧置信上限或下限就可以了．由此实际背景， 我们引进单侧置信区间的概念．
《概率论与数理统计教学课件》8第八章置信区间与假设检验之间的关系及p值
H0 : 0, H1 : 0 也有类似的对应关系 . 若已求得单侧置信区间 ( ( X1, X2, , Xn ), ), 则当0 ( ( x1, x2, , xn ), ) 时接受 H0;
当0 ( ( x1, x2, , xn ), ) 时拒绝 H0 . 反之, 若已求得检验问题 H0 : 0 , H1 : 0
若 0 ( , ), 则接受 H0; 若 0 ( , ), 则拒绝 H0 .
反之 ,对于任意的0 , 考虑显著性水平为 的假设检验问题:
H0 : 0, H1 : 0 .
假设它的接受域为
( x1, x2, , xn ) 0 ( x1, x2, , xn ). 即有 P0 { ( X1, X2 , , Xn ) 0 ( X1, X2 , , Xn )} 由0 的任意性,
要
拒绝H
，再
0
取
0.01也要拒绝H0，但不
能知道将再降低一些是否也要拒绝H0. 而p值法
给出了拒绝 H0的最小显著性水平 . 因此p值法比
临界值法给出了有关拒绝域的更多的信息.
二、典型例题
例2 用p值法检验本章第一节例2 的检验问题
H 0 : 0 0.545, H1 : 0 0.05 解 用Z检验法 , 现在检验统计量Z x 0 的观察
(, ( X1, X2 , , Xn ))与显著水平为 的左边检 验问题 H0 : 0, H1 : 0 有类似的对应关系. 若已求得单侧置信区间 (, ( X1 , X2 , , Xn )),
则当0 (, ( x1, x2, , xn ))时接受 H0; 当0 (, ( x1, x2, , xn ))时拒绝 H0.
那么在检验问题
H0 : 0, H1 : 0中 p值 P0 {t t0 } t0右侧尾部面积, 如图3;
第六章第三节 单侧置信区间
§6.3 单侧置信区间定义6.3.1 设总体X 含有未知参数θ，对于给定的数)10(<<αα，若由样本,,(21X X ),n X 可确定一个统计量),,(ˆˆ2111nX X X θθ=，使得 αθθ-=<1}ˆ{1P , 则称),ˆ(1+∞θ为参数θ的置信度为α-1的单侧置信区间， 1ˆθ称为置信度为α-1的单侧置信下限。
若存在 ),,(ˆˆ2122nX X X θθ=，使得 αθθ-=<1}ˆ{2P , 则称)ˆ,(2θ-∞为参数θ的置信度为α-1的单侧置信区间，2ˆθ称为置信度为α-1的单侧置信上限。
求单侧置信区间的方法与双侧置信区间类似。
以总体方差2σ未知，求总体均值μ的置信区间为例。
设,,(21X X ),n X 为总体的一个样本，由于~(1)X T t n Sμ-=-, 对给定的置信度α-1，有（见图6.3.1）{(1)}1X P t n Sαμα-<-=-, 图6.3.1 即 αμα-=-->1)}1({n t n SX p ,于是，μ的置信度为α-1的单侧置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--),1(n t n S X α, （ μ的单侧置信下限为 )1(ˆ1--=n t n SX αθ,若求μ的单侧置信上限，可仿照上面的步骤，类似地求出μ的置信度为α-1的单侧置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞-)1(,n t n S X α, μ的单侧置信上限为 )1(ˆ2-+=n t n S X αθ ,例6.3.1 设某种材料强度),(~2σμN X ，今进行5次测试，，得样本强度均值21160/X kg cm =，样本均方差2/75.99cm kg ，试求材料强度均值μ的0.99的置信下限。
解 由题设，99.01=-α，5=n ，查t 分布表，得=-)1(n t α747.3)4(01.0=t ， 将1160X =和99.75S =代入式（6.3.3），得材料强度均值μ的0.99的置信下限为10.01ˆ(4)1160 3.747992.8X θ==-= 这说明这批材料强度有99%可能超过2/8.992cm kg 。
第七节单侧置信区间
一. 单侧置信区间定义 定义: 给定 (0 1), 若由样本 X1 , X 2 X n 确定
的 ( X1 , X2 Xn ) (或 ( X1 , X2 , X n )) 满足: P ( ) 1 (或 P( ) 1 ) 则称随机区间: ( , ) (或 (, )) 是 的置信度为1 的单侧置信区间。 称为置信 度为 1 单侧置信下限（或称 置信度为1 的单侧置信上限)
为为置信度
概率统计
二. 单侧置信区间的求法 思路: 同双侧量区间的求法 不同处： 在求单侧置信区间时不是查双侧 点，而是查单侧 分位点。
分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查，现抽取 20 个家庭，所得的月平均 2 收入 X 234.7 （元）， s 1590.85
即:
X
s
n
t ( n 1)
X 234.7
t (n 1) t0.05 (20 1) t0.05 (19) 1.7291
概率统计
所求的 的单侧置信下限为:
s
1590.85 8.92 20 n
234.7 8.92 1.7291 234.7 15.43 219.3(元)
第绍的置信区间中置信限都是双侧的，但在 有些实际问题，人们所关心的只是参数在一个方 向的界限。 例如， 对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过 长没什么问题，过短就有问题了.
这时，可将置信上限取为 +∞,而只着眼于置信下限, 这样求得的置信区间称为 单侧置信区间.
得:该区域职工家庭人均月收入的 最低下限为219.3 (元).
概率统计
区间估计
置信水平的大小是根据实际需要选定的
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
ˆ , ˆ ]，使 们求出一个尽可能小的区间 [ 1 2 ˆ ˆ } 1 P{ 1 2 ˆ , ˆ ]为 的 置信水平为1 的 称区间 [ 1 2
1.96 1.96
u
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
置信区间为 [ X 1.96
n , X 1.96
n]
由 P(-1.75≤U≤2.33)=0.95
f ( u)
1.75
2.33
u
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
置信区间为 [ X 1.75
n , X 2.33 n]
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, ) 的分布，确定常数a, b，使得 P(a ≤S(T, )≤b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: ˆ ˆ
P{1 2 } 1
ˆ , ˆ ] 就是 的100( 1 )％的置信区间 则[ 1 2
实用中应在保证足够可靠的前提下， 尽量使得区间的长度短一些。
例：设X 1 , X 2 ,..., X n是取自正态总体N ( ,4)的样本， 其中为未知参数，在置信水平1 下，要求的双 侧置信区间的长度不超过l，问n至少取多大？又在 半，问n至少取多大？ X 解：由 ~ N (0,1), 2得的置信区间为 n
教材上讨论了以下几种情形：
2 单个正态总体均值 和方差 的区间估计
2 两个正态总体均值差 1 2和方差比 12 2 的区间估计
σ已知， 的 置信区间为
ggsurvfit置信区间
ggsurvfit置信区间摘要：1.置信区间的概念和作用2.ggsurvfit 的简介和主要功能3.ggsurvfit 置信区间的计算方法和原理4.ggsurvfit 置信区间的应用实例和结果解读5.使用ggsurvfit 设置置信区间的注意事项正文：一、置信区间的概念和作用置信区间是指由样本统计量所构造的一个区间，用以估计总体参数的真实值所在范围。
在统计学中，置信区间是对某个参数的区间估计，通常用来表示我们对这个参数的真实值有多大的把握。
置信区间可分为单侧置信区间和双侧置信区间，单侧置信区间表示的是某一方向的区间估计，而双侧置信区间则表示的是两个方向的区间估计。
二、ggsurvfit 的简介和主要功能ggsurvfit 是一款基于R 语言的生存分析软件包，主要提供生存分析相关的统计方法和模型拟合。
其主要功能包括生存函数估计、风险函数估计、生存曲线拟合、风险曲线拟合、生存分析模型拟合等。
在生存分析中，我们通常使用Kaplan-Meier 估计生存函数，使用Log-rank 检验进行生存曲线比较，使用Cox 比例风险模型进行生存分析。
三、ggsurvfit 置信区间的计算方法和原理在ggsurvfit 中，我们可以使用置信区间函数来计算生存分析模型的置信区间。
其计算方法和原理主要基于Bootstrap 重抽样方法和Wald 区间估计方法。
Bootstrap 重抽样方法是一种基于样本数据进行重复抽样的方法，用以估计样本统计量的标准误差和置信区间。
Wald 区间估计方法是一种基于最小二乘法和t 分布理论的区间估计方法，用以估计参数的真实值所在范围。
四、ggsurvfit 置信区间的应用实例和结果解读假设我们使用ggsurvfit 进行了一项生存分析研究，研究对象为某种疾病的患者，研究目的是预测患者的生存时间。
我们可以使用ggsurvfit 的置信区间函数来计算生存时间的置信区间，从而估计疾病的预后。
具体操作如下：1.安装并加载ggsurvfit 包：install.packages("ggsurvfit") 和library(ggsurvfit)2.读取数据并进行生存分析：使用ggsurvfit() 函数拟合生存分析模型，并计算生存函数、风险函数等3.计算置信区间：使用conf.int() 函数计算置信区间4.查看结果：输出结果，包括置信区间、估计值、标准误差等五、使用ggsurvfit 设置置信区间的注意事项在使用ggsurvfit 设置置信区间时，我们需要注意以下几点：1.样本量：样本量越大，置信区间的精度越高，估计的参数越接近总体参数的真实值。
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图估法
F (t ) 1 e
tm t0
1 ln ln m ln t ln t 0 1 F (t )
Y ln ln 1 , X ln t , B ln t 0 1 F (t )
Y mX B
μ /η σ /η (%) -2.0 F(t) 99.9 99.8 99.0 95.0 90.0 80.0 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.5 0.4 0.3 0.2 0.15 0.1 0 10 20 30 40 50 100 200 500 1000 2000 t 3000 4000 5000 -1.0 0.0 1.0 lnt 2.0 3.0 4.0
i
试验结果出现的概率
P n! f (t i , 1 , 2 ,, l )dti
i 1 n
极大似然函数:
L( )
L() f (t i ,θ )
i 1
n
单调函数，为了求解方便：
ln L(θ ) ln f t i ,θ
i 1 n
参数估计：
ln L (θ ) 0 1 ln L (θ ) 0 2 ln L (θ) 0 l
矩法
, tn
极大似然法 图估法 最小二乘法
矩法
ˆ
n
t
i 1
n
i
n
t
ˆ
2
(t
i 1
i
t)
2
n
S
2
极大似然估计法(MLE)
MLE（Maximum Likelihood Estimation) 是样本试验结果出现概率 达到最大的估计方法。
设总体分布具有故障概率密度函 数 f (t,1 , 2 ,, l ) ，其中 θ ( , i 1,2,, l ) 为待估参数。我们从总体中抽取n个样 本进行寿命试验，得到试验的寿命数 据 t1 , t 2 ,, t n 。我们认为第一个故障样 本在区间(t1 , t1 dt1 )内故障，第二个样本 在区间 (t 2 , t 2 dt2 ) 内故障，……，第n个 样本在区间 (t n , t n dtn ) 内故障，则试验 结果出现的概率为:
S (t ) t 总的试验时间为 (n, 无, t 0）
i 1
r
i
(n r )t 0
• • •
(n, 有, t 0） 总的试验时间为 S (t ) nt 0
(n, 无, r）
(n, 有, r）
总的试验时间为
S (t ) t i (n r )t r
i 1
r
总的试验时间为 S (t ) ntr
(t ) (0 S )e S
kt
1 k ln Tr 经过Tr 后产品所剩余缺陷的百分比
M S = 100% 0 S S 期望的故障率
可靠性测定试验
点估计
全数寿命试验
区间估计 截尾寿命试验
点估计的方法
试验数据: t1 , t2 ,
现将观察到的r个故障时间按小到大排列为 t1 , t 2 ,, t n ，其故障均发生在相应故障时间 的dt区间内:
无故障 （ 0 一次故障 ） （ ） （ …… t r 1 无故障 一次故障 ） （ ） ( 无故障
t1 t1
t1 dt1
tr tr
tr t dt r r
t0
)
则这一试验结果出现的概率为:
lnt
t e
1 m 0
a
最小二乘法
任意分布
1 1 1 m B 1iit ln ln t Y X log Ft (it ) 0 i ti ln ln (tF ) (t ) 1 1F
分布类型 指数分布
Y mX B
Xi
Yi
1 ln 1 F (t ) 1 ln ln 1 F (t )
n
× …… ×
n ……
× ×
× × × ×
截 尾 寿 命 试 验
2 1 0 ×
2 1 0 ×
t0
( n, 无，t0) n × …… × 2 1 0 × r ( n, 无，r ) ( n, 有，r ) 2 1 0 × × n ( n, 有，t0 ) × …… × × ×
t0
×
r
截尾寿命试验参数估计
n ln L( , 2 ) (t i ) i 1 2 0 n 2 ( t ) i ln L( , 2 ) n i 1 0 2 2 4 2 2
2 2
n ti ˆ i 1 n n ˆ )2 (ti 2 i 1 ˆ n
Y m
N 50
N 50
X -m
lnt
Y B
t0的估计
Y mX B
Y B
Y b X b lnt
ˆ0 e B e b t
F(t)
t0
t 0m e a
1
Y
的估计
0 ma B
a
B ln t0 ma
B ln t0 ma
X
F(t)
t0 e B
ln ln
1 1 F (t ) μ /η σ /η
2.0 1.0 0.0 -1.0 -2.0
-3.0 -4.0
-5.0 -6.0 -7.0 10000
m的估计
t1 , t 2 ,, t n
• 中位秩法
F(t)
n(t i ) F (t i ) N
n(t i ) 0.32 F (t i ) N 0.36
ˆ r r S (t ) t i (n r )t 0 i 1 r
r t i (n r )t 0 1 i 1 S (t ) ˆ ˆ r r
(N,无,tr)
r i 1
指数分布
nr r r exp ti (n r )tr i 1
似然函数: L( ) (n ) r e nt
0
ln L( ) r (ln n ln ) nt 0
d ln L( ) r nt 0 0 d
r r ˆ nt0 S (t )
ˆ
1 nt0 S (t ) ˆ r r
(n,有,r) 类似于(n, 有,t0)
i 1
n
m t i i 1
n
t0
n m t i ln t i ln L( m, t ) n n 0 ln t i i 1 0 m m i 1 t0 n m t ln L( m, t 0 ) n i 1 i 2 0 t 0 t0 t0
(N,无,t0) 指数分布
L( ) f (t i , ) R(t 0 )
i 1 r nr r r exp t i (n r )t 0 i 1
r ln L( ) r ln t i (n r )t 0 i 1
n
i
X )(Yi Y )
2 2 ( X X ) ( Y Y ) i i
该分布越合适
X X i / n, Y Yi / n
f 2 (t ) f1 (t )
T环境应力筛选方法 温度循环试验时 (t ) 间为40h; 随机振动连续施 (t ) 振时间5min; 试验时间的推导 (典型的浴盆曲 线):
0 M
Tr
t
0 (t ) 早期故障率 M (t ) 剔除缺陷后的故障率
故障率随时间变化规律为:
(N,有,t0)
指数分布
因为有替换，就相当于试样可以允许一次以上的 故障，其故障次数X服从以为 t 参数的泊松分布:
(t ) k t P( X k ) e k! k 0,1,2,
现有n个试样同时开始试验，可以证明其故障总 次数 N (t ) 服从以 n t 为参数的泊松分布:
(nt ) nt P[ N (t ) k ] e k!
k
k 0,1,2,
在区间(0,t)内没有试样故障和在区间内发生一 次故障的概率为: (nt ) 0 nt nt P[ N (t ) 0] e e 0! 1 (nt ) nt P[ N (t ) 1] e ndt 1!
第四单元
可靠性试验
可靠性试验的特点
具有破坏性—以发现产品在设计、 材料和工艺方面的各种缺陷为目 的 必须施加应力—环境应力或工作 应力 可以给出可靠性指标
可靠性试验的分类
可靠性筛选试验 可靠性测定实验 可靠性增长试验 可靠性鉴定和验收试验 加速寿命试验
环境应力筛选试验
ESS (Environment stress screen) 是通 过向电子产品施加合理的环境应力和电应 力，将其内部的潜在缺陷加速变成故障， 并通过检验发现和排除的过程，是一种工 艺手段。其目的是筛选剔除早期失效的产 品，提高产品的可靠性水平。
ˆ0 ˆ ,t m
(3)正态分布MLE
L( , 2 )
i 1 n 2 1 1 ti exp 2 2
2 ( t ) i i 1 n
n n ln L(, 2 ) ln 2 ln 2 2 2
P ne nt1 d t1 (n 1)e n (t2 t1 ) n d t 2 (n r )e n (tr tr 1 ) n d t r e n (t0 tr ) e n (t0 tr ) n!(n) r e nt0 d t1 d t 2 d t r