人教A版高中数学必修五2.4 第1课时 等比数列 教学能手示范课

►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
3
3
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
an q q q q qn1
an1
( n 1) 个q
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即：an a1
qn1 an
a1qn1
-------累乘法
an a1qn1
3.等比与等差数列的对比：
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
已知等比数列a1，a2，a3， 能否用a1和q、n来表示an？
，an，
，公比为q，
an1 q an an1 an q
an a1qn1
a2 a1q
a3 a2 q a1q 2
a4 a3q a1q3
证明：
a2 q a3 q a4 q
a1
a2
a3
an q an1
a2 a3 a4 a1 a2 a3
定义 — 如果一个数列从第2项起，每一项与
它前一项的比. 等于同. 一. 个. 常. 数. .
公比 — 通项 —
a n q
an1
an=
a qn1 1
几何意义
—
等比数列各项对应的点都 在类似指数函数图象上.
【说明】①数列{
an q
an
}为等比数列
an1
；
②公比是 唯一 的常数；
例 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，
1.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，
每一项与它的前面一项的比等于同一个常数， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等 比数列的公比，用字母q表示
用符号表示为：a2 a3 ... an1 ... q
a1 a2
an
即 an1 q(q 0, n N * ) an
概念辨析
指出下面数列哪些是等比数列哪些不是? (口答）
求证： a b c , ab bc ca , 3 abc 也成等比数列。
3
证明：由题设 得：
3 ac b2
a b c 3 abc a b c 3 b3 ab b2 bc ( ab bc ca )2
3
3
3
3
∴ a b c , ab bc ca , 3 abc 也成等比数列
1) 2，4，16，64 ，．．．．．． 2) 16，8，4，2，0 ，．．．．． 3）2, -2, 2, -2．．．．．． 4）1, 1, 1, 1 ．．．．．． 5) a, a, a, a, ．．．．．．
不是
不是 是 是
不一定
小结： 若一个数列是等比数列，则 1. an≠0 (即等比数列的每一项都不为0) 2. q≠0 （公比是非零常数） 3. q=1时，等比数列是常数列，
逐代的种子数组成等比数列，记为 a n
其中
a1 120, q 120,a5 12012051 2.5 1010
答：到第5代大约可以得到种子2.5 1010粒.
例2.一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18，求它的第1项与第2项。
例3.求下列各等比数列的通项公式：
（1）a n
2，a3
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d，
d
an n
am m
an=a1qn-1
an=amqn-m，
qnm
an am
练习：下面等比数列的通项公式是什么？ （１） １，２，２２，２３，…，２６３
(1) an=2n-1 n N ,1 n 64
（２）５，２５，１２５，６２５，……
强调：
1.同号的两项才有等比中项，且有两个。
2. {an} 是等比数列
an2 an1an1(n 2, an 0)
5、等比数列的图象：
例：在坐标系中，画出通项公式为an 2n1的数列 的图象和函数y 2x1的图象，观察图象并总结。
结论：
等比数列各项对应的点都在类似指数函数图象上.
小结 ㈠等比数列
(2) an=5n n N ,
（ 3 ）４，－８，１６，－３２，……
(3) an=4×(-2)n-1 n N ,
例1.培育水稻新品种，如果第一代得到 120粒种子，并且从第一代起，由以后 各代的每一粒种子都可以得到下一代的 120粒种子，到第5代大约可以得到这个 新品种的种子多少粒？
解：由于每一代的每一粒种子都可得120粒种子， 所以每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，
a，a 1.08，a 1.082，a 1.083，a 1.084
11 1 ， 2 ，4 ，
，(1 )，n1
2
2，4，8，……，238
a，a 1.08，a 1.082，a 1.083，a 1.084
问题：上述三个数列有什么共同的特点？
从第二项起，每一项与它的前一项地比都有等于同 一个常数。
二、等比数列
8
(2)a1 5，且2an 1 3an
(3)a1，且
an1 an
n n 1
4、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使 a、G、b成等比数列，那么G叫做 a与b的等比中项。
如果G是a与b的等比中项，那么
G a
b G
，即
G2
ab
因此，G
ab
反过来，如果a,b 同号，G等于 ab
或 ab 那么G是 a,b 的等比中项。
一、引入：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
1 11 24
( 1 )n1 2
一位数学家曾说过：你如果能将一张报纸
对折38次，我就能顺着它在今晚爬上月球。
报纸的层数：
2，4，8，…，238
我国1996年的国民生产总值为a亿元，以后每一 年都比上一年增长8%，则从1996年到2000年的 国民生产总值分别为：
是否存在既是等比数列，又是等差数列的数列?
存在，如：1，1，1，1，……
4. q＞0时，数列各项同号， q＜0时，所有奇数项符号相同， 所有偶数项符号相同，
如：４，－８，16，－32，……q=-2 5，满足an+1=qan的数列一定是等比数列吗?
不一定，如：2，0，0，0，…… 但反之成立。
2.等比数列的通项公式：