数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结

1 利用极限的四则运算法则和简单技巧

极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1

（1

（2（3）若B ≠0

（4（5）[]

0lim ()lim (

)n

n

n x x x x f x f x →→⎡⎤==A ⎢⎥⎣⎦

（n 为自然数） i

由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

例1. 求225

lim 3

x x x →+-的极限

解：由定理中的第三式可以知道

()()222

22

lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=--

22

2

2

2

lim lim5

lim lim3x x x

x x x →→→→+=

+

2259

23+=

=--

例2. 求3

x →

(

)(

()(

)

3312

1

2

12

lim lim 312

x x x x x x x →→+-+++-=-++

()(

)

3

lim

312x x x →=-++

1

4=

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知()11112231n x n n =

+++⨯⨯-⨯L L ，求lim n n x →∞

解： 观察

11=1122-⨯ 111

=2323-

⨯ ()()111=n 1n n-1n

--⨯ 因此得到 ()11112231n x n n

=+++⨯⨯-⨯L L

1111111

1223311n n n

=-+-+-+---L L

1

1n =-

所以1lim lim 11n n n x n →∞→∞

⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭

2 利用导数的定义求极限

导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ∀∆，则

()()

00y f x x f x ∆=+∆-

如果

()()000lim

lim

x x f x x f x y

x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，

则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为()0'f x 。

即

在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0x 的导数。

例4.

()212lim

'22x x f x f x f πππ→

⎛⎫

- ⎪

⎝⎭

==⎛⎫- ⎪⎝⎭

12=

3 利用两个重要极限公式求极限

两个极限公式： （1

（2

）1lim 1x

x e x →∞

⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

但我们经常使用的是它们的变形：

（1，

（2

例5：x

x x x 10

)

1()

21(

lim +-→

解：为了利用极限e x x

x =+→1

)1(lim 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，

第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。

x

x x x 1

0)

1()21(lim +-→=x

x x

x 1

0)131(lim +-+→

1x 13x

3x x 1x

03x =lim 11x x +-⋅⋅-+→-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭

=313

310])131[(lim -+--+→=+-+

e x x x

x x

x

例6：20cos 1lim

x x

x -→

解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以

20cos 1lim

x x x -→

=22

02sin 2lim x x

x → =21)2

(2sin 21lim 220=→x x x

例7: 求

x

x x 1

)21(lim +→的极限

解：原式=221

210)21()21(lim e x x x

x x =⎥⎦

⎤+⋅⎢⎣⎡+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 4 利用函数的连续性

因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果)(x f 是初等函数,且0

x 是)(x f 的定义区间内的点, 则)

()(lim 00x f x f x x =→。

例8： 61

2arcsin

lim 1+→x x 解 :因为复合函数arcsin 是初等函数,而x 1→是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此

61

2arcsin

612arcsin

lim 1+=+→x x x

1=arcsin =

26π

例8：求x

x sin ln lim 2

π

→

解： 复合函数x sin ln 在2

π

=x 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处

的函数值

即有2sin ln sin ln lim 2

π

π

=→

x x

=1

ln 2

sin

lim =π

=0 5 利用两个准则求极限。

（1） 函数极限的迫敛性：若一正整数 N,当n>N 时，有n n n x y z ≤≤且

lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a

→∞=。

利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。

n x =

+

例9 ： 求n x 的极限

解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项

.......n x ≥

+

=

.......n x ≤

+=