高等数学中极限问题的解法详析
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析函数极限是高等数学中的一个重要概念，常常用于研究各种复杂的数学问题。
在求解函数极限的过程中，有一些常用的技巧，可以使计算更加简洁、高效。
下面简要介绍一些常用的函数极限求法技巧。
一、分子分母同除分子分母同除是一种常用的技巧，可以化简分式，便于计算。
具体操作如下：假设要求的函数极限为：lim f(x) / g(x)当分子和分母都含有相同的项时，可以将它们同除以这个公共项，得到新的分式。
例如：将分子和分母都除以 (x+1) ，得到：这样就将原问题化简成了一个更简单的问题。
二、恒等式变形在计算函数极限时，可以通过运用一些基本恒等式进行变形，以使计算更加简单。
例如：1、三角函数的基本恒等式：sin^2 x + cos^2 x = 1这些恒等式可以用于化简三角函数的表达式，使计算更加简便。
2、指数运算的恒等式：a^x / a^y = a^(x-y)三、用等价无穷小代替函数极限中经常会涉及到等价无穷小的概念。
如果 lim f(x) = 0，lim g(x) = 0，且lim f(x) / g(x) = 1，那么就可以将 f(x) 用 g(x) 的等价无穷小代替，求解新的函数极限。
例如：可以用等价无穷小代替 sin x，得到：lim 1 / x = 0四、洛必达法则洛必达法则是一种用于求解 0/0 或∞/∞ 型无穷小的极限的方法，也是求导数时的基本工具。
该法则的核心思想是将原问题转化成一个求导数的问题，并通过对导数的求解来解决原问题。
具体操作如下：且在极限点 x0 处，f(x0) = 0，g(x0) = 0。
1、求出 f'(x0) 和 g'(x0)，如果两者都存在且g'(x0) ≠ 0，则原极限等于 f'(x0) / g'(x0)。
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + o(x-x0)其中 o(x-x0) 表示 x -> x0 时比 (x-x0) 高阶的无穷小量。
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。
在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。
下面是一些常用的函数极限求法技巧。
1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。
即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。
2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。
即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。
3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。
将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。
4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。
通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。
5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。
当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。
6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。
通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。
16种求极限的方法及一般题型解题思路分享
千里之行，始于足下。
16种求极限的方法及一般题型解题思路共享求极限是微积分中格外重要的概念，它可以挂念我们争辩函数的性质以及解决各种数学问题。
在求极限的过程中，有很多种不同的方法可以使用。
本文将介绍16种常见的求极限的方法，并共享一般题型的解题思路。
1. 代入法：将变量的值直接代入函数中，求出函数在该点的函数值。
这种方法适用于对于给定的变量值函数值可以直接计算的状况。
2. 合并同类项法：对于多项式函数，可以将同类项合并，化简为简洁的表达式，使得求极限更加便利。
3. 分子有理化法：对于分式函数，可以通过有理化分子的方法将其转化为整式的形式，使得求极限更加便利。
4. 凑微分法：对于含有微分的项，可以通过凑微分的方法将其转化为可求极限的形式。
5. 分部积分法：对于不定积分的形式，可以通过分部积分的方法将其转化为可求极限的形式。
6. 换元法：通过适当的变量替换，将原函数转化为简洁函数的形式，使得求极限更加便利。
7. 反函数法：对于已知函数，可以通过找到其反函数，将原函数的极限转化为反函数的极限来求解。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
8. 夹逼定理：假如一个函数在某点四周的两个函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么该点的极限存在且等于这两个函数的极限。
9. 洛必达法则：对于两个函数的极限，假如它们的导数的极限都存在且有限，那么这两个函数的极限相等。
这个法则对于解决0/0和∞/∞型的极限问题格外有用。
10. 先有界后无穷法则：假如一个函数在某个点四周有界，并且向正无穷或负无穷趋于极限，那么该点的极限等于无穷。
11. 拆分法则：假如一个极限可以通过拆分成多个极限来求解，那么可以分别求解这些极限，然后将结果合并。
12. 开放法则：对于含有无穷小量的表达式，可以将其开放成多项式的形式，然后求极限。
13. 不等式法则：可以通过利用一些不等式关系来限定函数的范围，从而求出极限的范围。
14. 递推法：对于递归定义的序列或函数，可以通过递推关系式来求出其极限。
高中数学极限问题解题思路与例题
高中数学极限问题解题思路与例题一、引言高中数学中，极限问题是一个重要的考点，也是学生们普遍感到困惑的一个难点。
正确理解和掌握极限问题的解题思路对于学习数学和应对考试都具有重要意义。
本文将从基本概念、解题思路和例题分析三个方面，详细介绍高中数学极限问题的解题方法。
二、基本概念1. 极限的定义极限是数学中一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的趋势。
对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近于一个常数L，那么我们就说函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。
掌握这些性质对于解题非常有帮助。
三、解题思路1. 分析题目在解决极限问题时，首先要仔细分析题目，明确题目中给出的条件和要求。
特别要注意是否存在不确定形式，如0/0、∞/∞等。
2. 利用基本极限高中数学中，有一些基本的极限公式是非常重要的，如lim(x→0)(sinx/x)=1、lim(x→∞)(1+x)^1/x=e等。
在解题时，可以利用这些基本极限公式来简化计算。
3. 利用极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的四则运算法则、复合函数的极限等。
在解题时，可以灵活运用这些性质来简化计算。
4. 利用夹逼定理夹逼定理是解决极限问题的常用方法之一。
当我们无法直接计算出极限时，可以通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们的极限都等于我们要求的极限，从而利用夹逼定理求出极限的值。
四、例题分析1. 例题一求极限lim(x→0)(x^2+sinx)/x。
解析：首先，我们可以利用基本极限lim(x→0)(sinx/x)=1，将题目转化为lim(x→0)(x+sinx)/x。
然后，利用极限的四则运算法则，将分子和分母分别求极限，得到lim(x→0)x/x+lim(x→0)sinx/x=1+0=1。
2. 例题二求极限lim(x→∞)(2x^2+x)/(3x^2-4x)。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。
I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。
它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。
下面通过一个例题来说明这个方法。
例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。
根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。
因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。
故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。
下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。
例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。
然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。
也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。
根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。
故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。
下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。
例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。
高数求极限的10个方法
详解高数求极限的方法极限主要包括数列极限和函数极限，两者的求法大同小异，如果分开讨论，比较麻烦，其实数列也可以看作是以正整数n为自变量的函数，所以它们也是可以综合起来的。
接下来介绍求极限的常用方法：一、求极限最常用到的方法，还是利用极限的四则运算法则。
它是基于一些常见的极限，再根据下面的法则求极限，包括：１、相反的收敛数列极限相反；２、互为倒数的收敛数列极限也互为倒数，其中除数不为零；３、和差积商的极限等于极限的和差积商，前提是这些数列的极限都存在，且作为除数的数列及极限非0；４、收敛的正项数列的幂的极限等于极限的幂，不论是乘方还是开方；５、以及收敛数列的绝对值收敛于极限的绝对值等。
二、利用极限的单调有界定理。
其中有界性是数列收敛的必要条件，如果数列无界，就一定发散，但有界数列却不一定收敛。
三、利用两个常见的极限求极限，就是当x趋于0时，sinx/x 的极限和1的无穷次方类型的极限。
四、等价无穷小替换，要熟记常见的等价无穷小的类型。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!五、用洛必达法则，针对０/0型或无穷/无穷型，对分子分母同时求导后求极限的方法。
主要分三种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方：对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)六、利用泰勒公式求极限的方法。
(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助。
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
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数学分析中极限的求法摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。
关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。
如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。
极限是研究数学分析的基本公具。
极限是贯穿数学分析的一条主线。
学好极限是从以下两方面着手。
1：是考察所给函数是否存在极限。
2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。
本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。
1：利用两个准则求极限。
(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a→∞= .利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。
例[1]n x =+求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项.......n x ≥+=.......n x ≤+=n x ≤≤又因为1x x ==lim 1n x x →∞=（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。
例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。
123,n y y y y a a a a ====++++证明：从这个数列构造来看 ny 显然是单调增加的。
用归纳法可证。
又因为23,n y y y === 所以得21n n y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的。
两端除以 n y得1n nay y <+因为1n y y ≥=则n a y ≤,从而11n ay +≤1n y ≤≤即 n y 是有界的。
根据定理{}n y 有极限，而且极限唯一。
令 lim n n y l→∞= 则 21lim lim()n n n n y y a -→∞→∞=+则2l l a =+. 因为 0,n y >解方程得l =所以lim n n y l →∞==2：利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。
2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。
通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。
首先对函数施行各种恒等变形。
例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。
例；求极限(1)2211lim 21x x x x →---(2)32lim3x x →-(3)3113lim()11x x x →--++(4) 已知111,1223(1)n x n n =+++⨯⨯-⨯求lim n n x→∞解：(1) 2211lim 21x x x x →---＝1(1)(1)lim (1)(21)x x x x x →+--+＝11lim 21x x x →++＝23(2)32lim 3xx →-＝x →x →＝14 (3)3113lim()11x x x →--++＝2312lim 1x x x x →---+＝21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-+-+＝212lim 1x x x x →---+＝-1(4) 因为111,1223(1)n x n n =+++⨯⨯-⨯111111111122334411n n n=-+-+-+--+---11n =-所以 1lim lim(1)1n n n x n →∞→∞=-=3：利用两个重要极限公式求极限两个极限公式 (1) 0sin 1limlim sin 1x x x x x x →→∞==(2)101lim(1)lim(1)xx x x x ex →∞→+=+=在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求下列函数的极限[4](1)230lim lim cos cos cos cos2222n n n x x xx →→∞⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(2)22lim(1)m m n m →∞- 解：(1)23cos cos cos cos2222n x x x x＝231sin cos cos cos cossin 222222sin 2n nn x x xx xx x＝1sin 2sin 2n nxx23lim cos cos cos cos2222n n x x xx→∞＝1 limsin 2sin 2n n nxx →∞sin =lim 2sin2n n n x x →∞＝sin xx230lim lim cos cos cos cos2222n x n x x x x →→∞⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭＝0lim x →sin xx ＝1 (2) 22lim(1)m m n m →∞-＝22222()2lim(1)m n m n mm n m --→∞-＝2222()2lim(1)m n mn m n m --→∞-＝0e ＝14：利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。
例：x>0 x 021sin ,()1,x f x xx ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩ 求 f(x)在x=0的左右极限 解：01lim sin x x x +→⋅＝1 01lim sin x x x -→⋅＝100lim ()lim ()1x x f x f x +-→→== 0lim ()1x f x →=5：利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。
如果 u=g(x) 在点0x 连续 g(0x )=0u ,而y=f(u)在点0x 连续，那么复合函数y=f(g(x))在点0x 连续。
即0lim (())(())(lim ())x x x x f g x f g x f g x →→==也就是说，极限号limx x →可以与符号f 互换顺序。
例：求1lim ln(1)xx x →∞+ 解：令 y ＝lnu, u ＝1(1)xx + 因为 lnu 在点 01lim ln(1)x x u ex →∞=+= 处连续 所以 1lim ln(1)xx x →∞+ ＝1ln lim(1)x x x →∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ ＝ln e ＝16：利用无穷小量的性质求极限：无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
如果lim ()0x x f x →=,g(x)在某区间0000(,),(,)x x x x δδ-+有界，那么0lim ()()0x x f x g x →⋅=.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
例：求sin limx xx →∞解： 因为 sin 1x ≤ 1lim0x x →∞=所以 sin limx xx →∞＝07：利用等价无穷小量代换求极限：等价无穷小量：当1y z →时，称y,z 是等价无穷小量：记为 y z 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。
但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。
例：求4303lim (sin )2x x x x →+解：sin 22x x∴4303lim (sin )2x x x x →+＝4303lim ()2x x x x →+＝4330lim 8x x x x→+＝88：利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，,x ∀则00()()y f x x f x =+-如果0000()()limlim x x f x x f x yx x →→+-=存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 0x 的导数记为 /0()f x .即/0000()()()limx f x x f x f x x →+-=在这种方法的运用过程中。
首先要选好f(x)。
然后把所求极限。
表示成f(x)在定点0x 的导数。
例：求 2lim()22x x ctg xππ→-⋅解：取f(x)= 2tg x .则22211lim()222lim 2(2)2lim 22x x x x ctg x tg x tg x tg x x πππππππ→→→-⋅==-⋅--＝2()()2lim2x f x f x πππ→--＝/1()2f π＝21(2sec 2)2x x π= ＝129：利用中值定理求极限：1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足 (i ) 在 [],a b 连续 .(ii )在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点ξ，使/()()()f b f a f b a ξ-=-例[2]：求30sin(sin )sin limx x xx →-解： []sin(sin )sin (sin )cos (sin )x x x x x x x θ-=-⋅⋅-+ ()01θ<<30sin(sin )sin limx x xx →-＝[]3(sin )cos (sin )limx x x x x x x θ→-⋅⋅-+＝20cos 1cos 0lim3x x x →-⋅＝0sin lim6x xx →-＝16-2：积分中值定理：设函数f(x) 在闭区间 [],a b 上连续;g(x) 在[],a b 上不变号且可积，则在[],a b 上至少有一点ξ使得()()()()bbaaf xg x f g x dxξ⋅=⋅⎰⎰()a b ξ≤≤例：求 40lim sin n n xdxπ→∞⎰解： 40lim sin n n xdxπ→∞⎰＝lim (0)4n n six πξ→∞⋅⋅-04πξ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ ＝lim(sin )4nn πξ→∞0=10：洛必达法则求极限：洛必达法则只能对00或∞∞型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。