勾股定理全章教案 人教版(优秀教案)
人教版初中数学八年级下册《勾股定理》教案
人教版初中数学八年级下册《勾股定理》教案一. 教材分析人教版初中数学八年级下册《勾股定理》是学生在学习了平面几何基本概念和性质、三角形的知识后，进一步研究直角三角形的一个重要性质。
本节课通过探究勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，为后续学习勾股定理的运用和解决实际问题打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、操作、推理能力。
但勾股定理的证明较为抽象，需要学生能够克服困难，积极思考，理解并掌握证明过程。
三. 教学目标1.了解勾股定理的定义和证明过程。
2.能够运用勾股定理解决直角三角形的相关问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：勾股定理的定义和证明过程。
2.教学难点：勾股定理的证明过程和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法、讲解法、实践操作法等，引导学生主动参与，积极思考，培养学生的创新精神和实践能力。
六. 教学准备1.教具：直角三角形、尺子、三角板、多媒体设备。
2.学具：学生用书、练习册、文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示古代数学家赵爽的《勾股定理图》，引导学生观察、思考，提出问题：“为什么说这是一个直角三角形？它的两条直角边的边长是多少？”2.呈现（10分钟）教师引导学生观察、操作，发现直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
教师呈现勾股定理的表述：“在一个直角三角形中，斜边和直角边的平方和等于斜边的平方。
”3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作，运用勾股定理计算直角三角形的边长。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师通过多媒体展示一系列直角三角形的问题，引导学生运用勾股定理解决问题。
学生独立思考，教师选取部分学生进行讲解。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：“勾股定理在其他领域的应用有哪些？”学生分组讨论，分享自己的看法。
人教版八年级下册17.1.2勾股定理优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，树立学生自信心，培养积极的学习情感。
2.感受数学与生活的紧密联系，提高学生对数学知识的应用意识。
3.培养学生尊重事实、严谨治学的科学态度，弘扬我国古代数学家的伟大成就。
4.注重培养学生的人际关系和团队协作精神，使学生在合作交流中共同成长。
（三）学生小组讨论
1.组织学生分组讨论，鼓励学生发表自己的观点和想法。
2.引导学生相互倾听、尊重他人的意见，培养团队合作精神。
3.设计合作活动，如共同探究、解决问题，提高学生的协作能力。
4.关注小组内的每个成员，关注学生的个体发展，使学生在合作中成长。的学习内容，明确勾股定理的定义、表达式和证明方法。
3.设计具有思考性的练习题，让学生在解决问题中加深对勾股定理的理解。
4.鼓励学生反思自己的学习过程，总结勾股定理的证明方法和应用技巧。
（三）小组合作
1.组织学生分组讨论，鼓励学生发表自己的观点和想法。
2.引导学生相互倾听、尊重他人的意见，培养团队合作精神。
3.设计合作活动，如共同探究、解决问题，提高学生的协作能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解勾股定理的内容，掌握勾股定理的表达式及其应用。
2.了解勾股定理的发现和证明过程，了解我国古代对勾股定理的研究成果。
3.学会运用勾股定理解决实际问题，提高问题解决能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、猜想、证明等环节，培养学生主动探究、积极思考的科学精神。
2.运用合作交流、讨论分享等学习方式，提高学生的团队协作能力和沟通能力。
5.培养学生具有良好的心理素质和抗压能力，面对挑战，敢于尝试，勇于创新。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理优秀教学案例
2.自主探究：让学生通过观察、实验、推理等方法，发现并证明勾股定理。
3.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享学习心得，培养合作精神。
4.巩固练习：设计有针对性的练习题，让学生在实践中掌握勾股定理。
5.课堂讨论：组织学生分享自己的解题心得，丰富数学思维。
3.引导学生认识数学在生活中的应用，提高他们运用数学解决实际问题的能力。
4.培养学生团队协作、沟通交流的能力，增强他们的社会责任感。
三、教学重点与难点
1.教学重点：勾股定理的定义及其证明方法，勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学难点：勾股定理的推导过程，运用勾股定理解决复杂直角三角形问题。
四、教学过程
2.生活实例：展示一些生活中常见的直角三角形现象，如建筑物、家具等，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高他们运用数学解决实际问题的意识。
3.提问引导：教师提问：“你们知道什么是勾股定理吗？”“勾股定理在我国古代是如何被发现的？”引发学生的思考和讨论。
（二）讲授新知
1.勾股定理的定义：引导学生通过观察、实验、推理等方法，发现并证明勾股定理。例如，可以让学生分组讨论，每组设计一个实验来验证勾股定理。
2.自主探究，培养能力：在讲授新知环节，我引导学生通过观察、实验、推理等方法，自主发现并证明勾股定理。这种自主探究的学习方式，培养了学生的数学思维能力，提高了他们的问题解决能力。
3.小组合作，增强合作精神：在学生小组讨论环节，我将学生分成若干小组，让他们选择一个证明方法进行讨论。这种小组合作的方式，既能够提高学生的团队合作能力，又能够促进学生之间的沟通交流。
1.激发学生兴趣：通过故事、图片等素材，引发学生对勾股定理的好奇心，激发他们学习数学的兴趣。
第十七章勾股定理(教案)-2024学年人教版八年级数学下册
3.勾股数及其性质
a.勾股数的定义
b.勾股数的特点
c.勾股数的应用
4.勾股定理在生活中的应用实例
a.建筑领域
b.艺术设计
c.自然科学等其他领域的应用
5.练习与拓展
a.勾股定理相关练习题
b.拓展勾股定理的相关知识，如勾股数在其他数学领域的应用等
c.创设实际情境，让学生运用勾股定理解决实际问题，提高学生的实际操作能力。
2.教学难点
a.勾股定理的数学证明：对于八年级学生来说，理解并掌握勾股定理的数学证明是难点。教师需要运用直观、生动的教学方法，如动画演示、实际操作等，帮助学生理解证明过程。
b.勾股定理在实际问题中的应用：学生在运用勾股定理解决实际问题时，往往会遇到难以确定直角三角形的情况，需要教师引导学生学会识别直角三角形，并正确应用勾股定理。
1.教学重点示例：
在讲解勾股定理的概念及其证明时，教师可以通过动画演示、实际操作等方式，引导学生观察直角三角形的特性，得出勾股定理的表述。并通过数学证明，让学生理解勾股定理的严谨性。
2.教学难点示例：
在解决实际问题中，教师可以给出以下例子：一根旗杆斜靠在墙上，旗杆与地面的夹角为30°，旗杆与墙面的距离为3米，求旗杆的长度。学生需要识别出这是一个直角三角形问题，并运用勾股定理求解。在这个过程中，教师需要引导学生正确识别直角三角形，并给出具体的解题步骤。
4.培养学生的数学建模素养，通过勾股定理在生活中的应用实例，引导学生发现生活中的数学规律，学会构建简单的数学模型。
5.培养学生的数学抽象与数学关联素养，使学生能够从具体问题中抽象出勾股定理的数学本质，理解数学知识之间的内在联系，提高数学知识的系统性和综合性。
三、教学难点与重点
人教版数学八年级下册17.1勾股定理优秀教学案例
2.教师巡回指导，对学生在探究过程中遇到的问题给予及时帮助和解答。
3.组织小组成果展示，让学生分享自己的学习心得和证明方法，互相学习和借鉴。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结勾股定理的证明方法，并运用该定理解决实际问题。
2.总结本节课的学习重点和难点，强调勾股定理在数学史上的重要地位和现实生活中的应用。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握勾股定理的定义和证明方法，能够熟练运用勾股定理解决实际问题。
2.培养学生运用几何图形和逻辑推理来分析问题、解决问题的能力。
3.引导学生了解勾股定理在数学史上的重要地位，以及它在现实生活中的应用。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流的形式，引导学生主动探究勾股定理的证明过程，提升学生的动手实践和思维创新能力。
在现实生活中，勾股定理也有着广泛的应用。例如，在建筑、工程、艺术等领域，勾股定理都发挥着重要作用。因此，本节课的学习不仅有助于提高学生的数学素养，还能激发学生学习数学的兴趣，培养其运用数学知识解决实际问题的能力。
为了更好地进行教学，我将以生动的故事、丰富的实例和实际应用为载体，引导学生探究勾股定理的证明过程，让学生在理解的基础上掌握这一重要定理。同时，我将注重培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、探究活动等形式，提高学生的动手实践和思维创新能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体课件展示古代建筑中的勾股定理应用实例，如中国的赵州桥、埃及的金字塔等，让学生直观地感受到勾股定理在现实生活中的重要作用。
2.通过设置有趣的故事情境，如古代数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的过程，激发学生的好奇心和求知欲。
第一课时勾股定理优秀教学案例
1.布置巩固性作业：让学生运用勾股定理解决实际问题，如计算房屋建筑中的长度、设计直角三角形图案等。检查学生对勾股定理的理解和应用能力。
2.布置拓展性作业：让学生探索其他数学定理或公式，如平方根、立方根等。培养学生的探索精神和创新能力。
3.鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的优点和不足。指导学生制定改进措施，提高学习效果。
此外，我还注重课堂评价的多元化，充分关注学生的个体差异，给予他们积极的评价和鼓励，使他们在课堂上充满自信，更好地投入到学习过程中。整个教学过程既注重知识的传授，又重视学生的全面发展，体现了新课程改革的理念和要求。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握勾股定理的内容，理解直角三角形三边之间的关系，能够运用勾股定理解决实际问题。
（一）导入新课
1.故事导入：讲述毕达哥拉斯如何通过观察木匠修鞋匠的鞋子长度比例，发现了勾股定理。引导学生关注古代数学家的伟大发现，激发学生学习兴趣。
2.实物模型导入：展示古代的勾股定理证明雕塑，让学生直观地感受数学与艺术的完美结合。引发学生对勾股定理的好奇心，激发他们的探究欲望。
3.现实生活实例导入：分析房屋建筑、自行车轮胎等实例，让学生感受到勾股定理在实际应用中的重要性，引发学生思考。
2.鼓励学生提出问题，培养他们的问题意识和批判性思维。例如，在教学过程中，让学生大胆质疑，挑战古代数学家的证明方法。
3.创设循序渐进的问题序列，引导学生逐步深入探究勾股定理。例如，从简单的情形开始，让学生观察、实验、猜测，逐步引导学生得出勾股定理的结论。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养他们的团队协作能力和沟通能力。例如，在探究勾股定理的过程中，让学生分组讨论，相互启发，共同解决问题。
人教版八年级数学下17.1勾股定理(3)优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和好奇心，激发学生学习数学的内在动力。
2.培养学生的自信心和自主学习能力，让学生体验到成功的喜悦。
3.通过解决实际问题，培养学生的应用意识，让学生认识到数学与生活的紧密联系。
4.培养学生严谨治学的态度，养成积极主动、认真负责的学习习惯。
人教版八年级数学下17.数学下册第17.1节勾股定理（3），学生在学习了勾股定理的基础上，进一步探究勾股定理的应用。通过前面的学习，学生已经掌握了勾股定理的表述和证明，但对勾股定理的理解还停留在表面，对勾股定理在实际问题中的应用还不够熟练。因此，本节课的教学目标是让学生深入理解勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体课件展示房屋装修、篮球架安装等实际生活中的例子，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.提出问题：“在这些实际问题中，我们如何运用数学知识来解决呢？”引导学生思考，为新课的引入做好铺垫。
3.教师总结：通过实际例子，我们可以发现一个规律——直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是我们今天要学习的勾股定理。
（二）问题导向
1.自主探究：引导学生通过自主学习，发现问题、解决问题，培养学生的自主学习能力。
2.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享彼此的想法和成果，促进学生之间的思维碰撞。
3.教师引导：在学生探究过程中，教师要善于引导学生，给予必要的提示和帮助，引导学生正确思考。
（三）小组合作
1.小组讨论：让学生在小组内进行讨论交流，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。
3.教师评价：教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的成长和进步，给予鼓励和指导。
勾股定理教学设计(优秀3篇)
勾股定理教学设计(优秀3篇)《勾股定理》教学设计篇一教学目标具体要求：1.知识与技能目标：会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。
3.情感态度与价值观目标：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。
重点：勾股定理的应用难点：勾股定理的应用教案设计一、知识点讲解知识点1：（已知两边求第三边)1．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________。
2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是______________。
3．三角形ABC中，AB=10,AC=一qi,BC边上的高线AD=8,求BC的长？知识点2：利用方程求线段长1、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=壹五km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？（2）DE与CE的位置关系（3）使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处？利用方程解决翻折问题2、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？3、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。
4.如图，将一个边长分别为4、8的矩形形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EF 的长是多少？5、折叠矩形ABCD的一边AD,折痕为AE,且使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm，以B点为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系。
求点F和点E坐标。
6、边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。
人教版数学八下17.1《勾股定理》教案3篇
初中数学教学案例18.1勾股定理（第一课时）教学目标知识技能数学思考解决问题情感态度教学重点教学难点教具教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图情景引人[活动1]讲述资料故事提出问题1：数学家大会为什么用该图做会徽呢?它有什么特殊的含义吗？教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．问题2：你听说过“勾股定理”吗？教师关注：学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣.引人课题18.1《勾股定理》（板书课题）[活动2]学生观察图片发表见解．生1.会徽是很具有代表性的东西，比如2008年体育奥运会的会徽是五环旗.生2.我在其他的资料里见过这个图案.生3.课本面上也有这样的图案.（同学们积极踊跃的发言,学习积极性很高）学生当听到是“赵爽弦图”时，好奇之心更加强烈，学习热情很高.对“勾股定理”表示不从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料．探究新知A BC你知道他是通过什么途径找到怎样的三边关系的吗？问题1.你能发现S A 、S B 、S C之间的关系吗？问题2.等腰直角三角形的三边a、b、c之间有什么关系？出示幻灯片3169254913否也有这样的性质呢？在本次活动中，教师重点关注：(1)教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形C的面积.理解观察图片后结合课本上的内容，学生很快就发现这一关系式SA+ SB=SCa2 + b2 = c2纷纷举手回答，并总结：等腰直角三角形的两条的平方问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇心和主动学习的欲望．为学生提供参与数学活动的时间和组内交流(2)幻灯片展示答案(3)引导学生将三个正方形面积的关系转化为直角三角形三条边之间的关系，并用自己的语言叙述出来：[活动3] 实践验证早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用赵爽弦图验证了“勾股定理”幻灯片展示赵爽弦图教师详细介绍赵爽弦图的拼割过程.问题：.你能利用手中的材料通过其他的拼法验证勾股定理吗？试试看，你能拼几种在独立探究的基础上，学生分组（前后位四人一组）合作交流.用不同的方法得出大正方形C的面积生1：把C“补” 成边长为7的正方形面积的一半.生2：将正方形C分“割”成若干个直角边为整数的三角形当答案不同、意见有分歧时，所有同学都在积极思考，大胆发言，各抒己见，直到探求出正确结果.学生总结命题：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方空间，让学生积极动手，发挥学生的主体作用，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高．，得出猜想实践验证在本次活动中，教师重点关注：（1）学生能否进行合理的拼图．对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助；（2）学生能否用语言准确的表达自己的观点．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（板书）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理全章教案 人教版(优秀教案)
第十八章 勾股定理． 勾股定理（一）一、教学目标．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点．重点：勾股定理的内容及证明。
．难点：勾股定理的证明。
三、例题的意图分析例（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为和的直角△，用刻度尺量出的长。
以上这个事实是我国古代多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是，长的直角边（股）的长是，那么斜边（弦）的长是。
再画一个两直角边为和的直角△，用刻度尺量的长。
你是否发现与的关系，和的关系，即，，那么就有勾股弦。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析例（补充）已知：在△中，∠°，∠、∠、∠的对边为、、。
求证：＋。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：△小正大正 ×21＋（－），化简可证。
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理优秀教学案例
2.开展多元化的评价活动，如课堂提问、小组讨论、课后作业等，全面了解学生的学习情况，给予针对性的指导。
3.鼓励学生积极参与教学评价，让他们在评价中学会自我认识、自我提高，培养他们的自信心和自尊心。
四、教学内容与过程
1.利用多媒体展示我国古代建筑中蕴含的勾股定理元素，如古代城墙、宫殿等，让学生感受到数学文化的魅力。
2.创设实际问题情景，如测量学校旗杆的高度、计算操场跑道的长度等，引导学生运用勾股定理解决问题。
3.通过讲述数学家的故事，如毕达哥拉斯发现勾股定理的传说，激发学生对数学知识的探究欲望。
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略能够激发学生的思维，培养他们自主探究、解决问题的能力。在本章节中，我将：
5.作业与实践相结合
在作业设计上，本案例将理论性与实践性相结合，让学生在实际操作中巩固所学知识。作业任务既有实际问题的求解，也有勾股定理证明的挑战，有助于培养学生的动手能力和逻辑思维能力。
1.提出具有挑战性的问题，如“如何用勾股定理解决实际问题？”“有没有其他方法证明勾股定理？”等，引导学生深入思考。
2.鼓励学生提出自己的疑问，培养他们的问题意识，帮助他们从多角度、多层次理解勾股定理。
3.设计问题链，引导学生逐步深入探讨勾股定理的内涵和外延，提高他们的逻辑思维能力。
（三）小组合作
小组合作学习有助于培养学生的团队精神和协作能力，提高课堂教学效果。在本章节教学中，我将：
3.通过一个动画短片，介绍勾股定理的发现者——古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，为学生揭示勾股定理的历史背景。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将按照以下步骤进行：
第十七章勾股定理(教案)2023-2024学年人教版数学八年级下册
6.增强学生的合作交流意识，通过小组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通技巧。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表述及其在直角三角形中的应用，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b.通过实际案例和练习题，指导学生识别直角三角形的特征，强调在实际问题中如何定位直角三角形，并准确应用勾股定理。
c.对于勾股定理逆定理的理解，教师可以通过构造非直角三角形和直角三角形的对比，让学生通过观察和分析，总结出直角三角形的特性，从而掌握判断方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量旗杆的高度或者计算建筑物与地面的距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述及其计算方法。对于难点部分，如定理的证明，我会通过直观的图形演示和逐步的逻辑推理来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
人教版八年级下册数学教案：第十七章勾股定理
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示勾股定理的基本原理。
人教版八年级下册数学教案：第十七章勾股定理
一、教学内容
人教版八年级下册数学教案：第十七章勾股定理
1.勾股定理的概念及表述
a.直角三角形的定义
b.勾股定理的内容及数学表达式
2.勾股定理的证明
a.几何拼贴法
b.代数推导法
3.勾股定理的应用
a.计算直角三角形中未知边的长度
b.解决实际问题，如建筑、测量等领域的应用
举例：在解决实际问题时，学生可能不知道如何将问题转化为直角三角形的计算，或者不知道如何选择合适的计算方法。
c.勾股数的拓展：学生需要从简单的勾股数例子中，拓展到一般性的勾股数求解。
举例：在求解勾股数时，学生可能不清楚如何从特例推广到一般情况，或者不知道如何判断一个数是否为勾股数。
d.勾股定理的推广：学生需要理解勾股定理在非直角三角形及多边形中的应用。
总之，在本次勾股定理的教学过程中，我深刻认识到关注学生个体差异、提高课堂互动性和实践性、加强口语表达和逻辑思维训练等方面的重要性。在今后的教学中，我将不断调整和优化教学方法，以期提高学生的学习效果。
五、教学反思
在本次勾股定理的教学过程中，我发现学生们对几何图形和数学推导有着不同的接受程度。有的同学能够迅速理解勾股定理的概念和证明过程，而有的同学则在理解上存在一定的困难。这让我意识到，在今后的教学中，需要针对不同学生的特点进行差异化教学。
人教版勾股定理教案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解勾股定理的表述及证明；（2）学会运用勾股定理解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和创新能力；（2）学会运用几何图形辅助解题，提高空间想象力。
3. 情感态度与价值观：（1）感受数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣；（2）培养学生的团队协作精神和自主学习能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）勾股定理的表述及证明；（2）运用勾股定理解决实际问题。
2. 教学难点：（1）勾股定理的证明；（2）运用勾股定理解决复杂实际问题。
三、教学准备1. 教师准备：（1）熟练掌握勾股定理的相关知识；（2）准备相关教学案例和实际问题；（3）制作教学课件和教学道具。
2. 学生准备：（1）预习勾股定理的相关内容；（2）准备好笔记本和文具。
四、教学过程1. 导入新课（1）利用课件展示勾股定理的历史背景和应用场景；（2）引导学生思考：为什么会有勾股定理的发现？它有什么意义？2. 探究新知（1）引导学生通过观察、思考、讨论，得出勾股定理的表述；（2）讲解勾股定理的证明过程，让学生理解并掌握证明方法；（3）运用几何图形辅助讲解，提高学生的空间想象力。
3. 课堂练习（1）布置练习题，让学生运用勾股定理解决问题；（2）引导学生互相讨论、交流，共同解决问题。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，让学生巩固知识点；（2）强调勾股定理在实际生活中的应用价值。
五、课后作业（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长；（2）一个直角三角形的一条直角边长为5cm，斜边长为10cm，求另一条直角边长。
2. 深入研究勾股定理的证明方法，尝试找出其他证明勾股定理的方法。
六、教学策略1. 案例分析：（1）通过分析生活中的实际案例，让学生了解勾股定理的应用；（2）引导学生运用勾股定理解决实际问题，培养学生的实践能力。
2. 分组讨论：（1）将学生分成若干小组，进行讨论和交流；（2）鼓励学生发表自己的观点和思路，培养学生的团队协作精神。
勾股定理的优秀教案
勾股定理的优秀教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版数学八年级下册17.1.2勾股定理优秀教学案例
问题导向是我在教学中的重要策略。我会提出一系列与勾股定理相关的问题，引导学生进行思考和探究。如：“直角三角形三边之间有什么数量关系？”“如何证明勾股定理？”“勾股定理在实际生活中有哪些应用？”等问题。通过问题的提出，激发学生的好奇心，引导学生主动参与课堂讨论，从而提高他们对勾股定理的理解和掌握。
（三）小组合作
小组合作是我在教学中的另一个重要策略。我会将学生分成若干小组，让他们在小组内进行讨论、交流和合作。例如，在讲解勾股定理的证明过程中，我会让学生分组进行探讨，每组尝试用不同的方法证明勾股定理。通过小组合作，学生能够互相学习、互相启发，提高他们的团队协作能力和沟通能力。同时，小组合作也有助于培养学生的自主学习能力和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课时，我会利用多媒体课件展示一些与勾股定理相关的实际问题，如测量房屋的高度、计算篮球架的距离等。让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们解决问题的欲望。接着，我会提出一个问题：“你们认为直角三角形三边之间有什么数量关系？”让学生进行思考和讨论，为新课的学习做好铺垫。
同时，我还希望学生在面对勾股定理这一抽象概念时，能够保持耐心和毅力，克服困难，积极探究。在小组讨论和解决问题过程中，学生能够培养自信心，学会欣赏他人的优点，尊重他人的意见，提高他们的情感素养。
三、教学策略
（一）情景创设
在教学过程中，我注重情景的创设，以激发学生的学习兴趣和积极性。通过引入生活中的实际问题，如测量房屋的高度、计算篮球架的距离等，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们解决问题的欲望。同时，我还会利用多媒体课件展示直角三角形和勾股定理的相关图片，让学生在直观的视觉感受中，更好地理解和学习勾股定理。
在知识与技能方面，我还要求学生能够理解和运用勾股定理推导出其他相关几何定理，如30°-60°-90°三角形的性质等。同时，学生应能够运用勾股定理解决一些实际问题，如计算直角三角形的面积、距离等问题。
人教版数学八年级下册17.1勾股定理(第一课时)优秀教学案例
4.总结归纳：教师组织学生进行总结，让学生分享自己在学习勾股定理过程中的收获和感悟。通过总结归纳，教师帮助学生巩固所学知识，构建知识体系，提高学生的知识运用能力。
2.教师设计具体情境，如测量未知边长的直角三角形，让学生面临实际问题，引出勾股定理的学习需求。
3.教师利用多媒体课件，展示勾股定理的动态演示，帮助学生直观理解勾股定理的含义和应用。
（二）讲授新知
1.教师引导学生从特殊到一般，思考直角三角形边长之间的关系，引导学生发现勾股定理的规律。
2.教师给出勾股定理的定义，解释勾股定理的表达式，并通过几何图形的演示，帮助学生理解勾股定理的含义。
（三）小组合作
1.教师将学生分为若干小组，鼓励学生相互讨论、交流，共同探究勾股定理的证明方法。
2.教师设计合作任务，如共同制作勾股定理的演示道具，让学生在实践中深化对勾股定理的理解。
3.教师组织小组竞赛，激发学生的竞争意识和团队合作精神，提高学生的学习积极性。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，如在学习勾股定理的过程中遇到了哪些困难，如何克服等。
2.学生通过教师引导，运用数学归纳法证明勾股定理，培养逻辑思维与推理能力。
3.学生通过解决实际问题，运用勾股定理，提高问题解决能力，培养创新实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生感受数学文化的魅力，了解勾股定理的历史背景，提高对数学学科的兴趣。
2.学生在探究过程中，培养克服困难、勇于探索的精神，增强自信心。
五、案例亮点
人教版数学八年级下册17.1勾股定理(第1课时)优秀教学案例
3.教师引导学生运用数形结合的思想，将抽象的数学问题具体化，提高学生的数学思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对古代数学文化的兴趣，培养学生对数学的热爱，提高学生的学科素养。
2.通过赞美勾股定理的美，让学生感受数学的严谨、精确，树立正确的数学观念。
5.人文素养培养：教师在教学过程中注重培养学生的人文素养，让学生体会数学的博大精深，感受数学的美。这种教学方式使学生在学习数学知识的同时，也能够提升自己的综合素质，培养自己的审美情趣。
本节课的案例亮点体现了教学的实用性、互动性和人文性，充分调动了学生的积极性、主动性，使学生在探究、合作、交流中收获知识，提高能力。同时，注重培养学生的人文素养，让学生体会数学的博大精深，感受数学的美。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示古代中国建筑中的勾股定理应用，如赵州桥、故宫等，让学生感受数学与实际生活的紧密联系。
2.创设有趣的问题情境，如“勾股定理是如何被发现的？”、“你能用勾股定理解决生活中的问题吗？”等，激发学生的好奇心，引发学生的思考。
3.教师总结并提出本节课的学习目标，引导学生明确本节课的学习内容。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结，让学生明确勾股定理的定义、证明方法及其应用。
2.学生通过自我评价、同伴评价等方式，反思自己在探究过程中的表现，发现自身的不足，提高自我调控能力。
3.教师针对学生的学习情况，给予及时的反馈和评价，关注学生的成长过程，激发学生的学习动力。
在整个教学过程中，教师应以引导者、组织者、合作者的角色，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性，使学生在探究、合作、交流中收获知识，提高能力。同时，注重培养学生的人文素养，让学生体会数学的博大精深，感受数学的美。
人教版初中数学八年级下册第十七章：勾股定理（全章教案）
1第十七章 勾股定理教材简析本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理．本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理．本章主要研究并揭示直角三角形三边之间的关系的勾股定理与勾股定理的逆定理．勾股定理是一个著名的几何定理，在西方也被称为毕达哥斯拉定理．勾股定理有几百种证明方法，本章主要介绍的是我国古代数学家赵爽的证明方法，这种方法利用直角三角形的面积与正方形的面积关系，数形结合，直观、简洁．勾股定理在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本章是直角三角形相关知识的延续，同时也让学生进一步认识无理数，充分体现了数学知识的紧密相关性、连续性．在中考中，主要考查勾股定理及三角形判别条件的应用，常与三角形的其他知识结合考查．三角形的其他知识结合考查．教学指导【本章重点】勾股定理，勾股定理的逆定理．勾股定理，勾股定理的逆定理． 【本章难点】勾股定理的证明，勾股定理的应用．勾股定理的证明，勾股定理的应用． 【本章思想方法】1．体会转化思想，体会转化思想，如：如：如：应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，从而构造直角三角形从而构造直角三角形求解．求解．2．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解．．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解．课时计划17.1 勾股定理3课时课时17.2 勾股定理的逆定理1课时课时17.1 勾股定理第1课时 勾股定理及其证明教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．了解勾股定理的发现过程．．了解勾股定理的发现过程． 2．掌握勾股定理的内容．．掌握勾股定理的内容． 3．会用面积法证明勾股定理．．会用面积法证明勾股定理． 【过程与方法】经历观察—猜想—归纳—验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，体验解决问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．二、重难点目标 【教学重点】勾股定理的探究及证明．勾股定理的探究及证明． 【教学难点】掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P22～P24的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.2．(1)教材P23“探究”，如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A 、B 、C 、A ′、B ′、C ′的面积．′的面积．解：A的面积＝4；B的面积＝9；C的面积＝52－4×12×(2×3)＝13；所以A＋B＝C.A′＝9；B′＝25；C′＝82－4×12×(5×3)＝34；所以A′＋B′＝C′所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)阅读、理解教材P23～P24“赵爽弦图”证明勾股定理．“赵爽弦图”证明勾股定理．解：朱实＝12ab；黄实＝(a－b)2；正方形的面积＝4朱实＋黄实＝(a－b)2＋12ab×4＝a2＋b2－2ab＋2ab＝a2＋b2.又正方形的面积＝c2，所以a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再作三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．证明：a2＋b2＝c2.图1 图2【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理． 【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a＋b，∴它们的面积相等．又∵左边的正方形面积可表示为a2＋b2＋12ab×4，右边的正方形面积可表示为c2＋12ab×4，∴a2＋b2＋12ab×4＝c2＋12ab×4，∴a2＋b2＝c2.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．【例2】 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b为两直角边，c为斜边．为斜边．(1)若a＝3，b＝4，则c2＝____，c＝____；(2)若a ＝6，b ＝8，则c2＝____，c ＝____；(3)若c ＝41，a ＝9，则b ＝____； (4)若c ＝17，b ＝8，则a ＝____.【互动探索】(引发学生思考)根据勾股定理求解．【分析】(1)c 2＝a 2＋b 2＝32＋42＝25，则c ＝5.(2) c 2＝a 2＋b 2＝62＋82＝100，则c ＝10.(3) 因为c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝c 2－a 2＝412－92＝40.(4)因为c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝c 2－b 2＝172－82＝15.【答案】(1)25 5 (2)100 10 (3)40 (4)15【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.a 2＋b 2＝c 2的常用变形b ＝c 2－a 2，a ＝c 2－b 2.活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC 中，∠C ＝90°若 a ＝5，b ＝12，则，则c ＝13；若c ＝41，a ＝9，则b ＝40. 2．等腰△ABC 的腰长AB ＝10 cm ，底BC 为16 cm ，则底边上的高为6_cm ，面积为48_cm 2. 3．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c . (1)若a ＝1，b ＝2，求c ； (2)若a ＝15，c ＝17，求b .解：(1)根据勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2＝12＋22＝5.∵c >0，∴c ＝ 5. (2)根据勾股定理，得b 2＝c 2－a 2＝172－152＝64.∵b >0，∴b ＝8. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝15，AD 为BC 边上的高，且AD ＝12，求△ABC 的周长．的周长．【互动探索】应考虑高AD 在△ABC 内和△ABC 外的两种情形．【解答】当高AD 在△ABC 内部时，如图1.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝202－122＝162，∴BD ＝16.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得CD 2＝AC 2－AD 2＝152－122＝81，∴CD ＝9.∴BC ＝BD ＋CD ＝25，∴△ABC 的周长为25＋20＋15＝60.当高AD 在△ABC 外部时，如图2.同理可得，BD ＝16，CD ＝9.∴BC ＝BD －CD ＝7，∴△ABC 的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC 的周长为42或60.图1图2【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD 在△ABC 内的情形，忽视高AD 在△ABC 外的情形．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！第2课时 勾股定理的应用教学目标一、基本目标 【知识与技能】能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题．能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题． 【过程与方法】经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件． 【情感态度与价值观】培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情． 二、重难点目标 【教学重点】 勾股定理的简单应用．勾股定理的简单应用．【教学难点】运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题．运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P25的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．在△ABC 中，∠C ＝90°90°..若BC ＝6，AB ＝10，则AC ＝8. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．的长．【互动探索】(引发学生思考)观察图形：“多直角三角形嵌套”图形→已知边长，求高CD →利用等面积法求解．【解答】∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ， ∴由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝4 cm. 又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝4×35＝125(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【例2】 如图，侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m,10 s 后，汽车与他相距500 m ，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？【互动探索】(引发学生思考)要求敌方汽车的速度，需要算出BC的长．在Rt△ABC中利用勾股定理即可求得BC.【解答】由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2，即5002＝BC2＋4002，所以BC＝300 m.故敌方汽车10 s行驶了300 m，所以它1 h行驶的距离为300×6×60＝108 000(m)，即敌方汽车的速度为108 km/h.【互动总结】(学生总结，老师点评)用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为( D )A．30 cm2 B．130 cm2C．120 cm2 D．60 cm260cm.2．直角三角形两直角边长分别为5 cm、12 cm，则斜边上的高为133．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200 m，结果他在水中实际游了520 m，求该河流的宽度为多少？，求该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB＝AC2－BC2＝5202－2002＝480(m)． 即该河流的宽度为480 m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图1，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现有绳子从D出发，底面是正方形，边长为沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？′点，问绳子最短是多少厘米？图1图2图3【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．【解答】如图2，由题易知，DD ′＝3 cm ，B ′D ′＝2×2＝4(cm)．在Rt △DD ′B ′中，由勾股定理，得B ′D 2＝DD ′2＋B ′D ′ 2＝32＋42＝25； 如图3，由题易知，B ′C ′＝2 cm ，C ′D ＝2＋3＝5 (cm)．在Rt △DC ′B ′中，由勾股定理，得B ′D 2＝B ′C ′2＋C ′D 2＝22＋52＝29. 因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理的简单运用：(1)由直角三角形的任意两边的长度，可以应用勾股定理求出第三边的长度．(2) 用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！第3课时 利用勾股定理表示无理数教学目标一、基本目标 【知识与技能】进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法．进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法． 【过程与方法】通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力．论交流能力和空间想象能力．【情感态度与价值观】让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用． 二、重难点目标 【教学重点】探究用勾股定理表示无理数的方法．探究用勾股定理表示无理数的方法． 【教学难点】会用勾股定理表示无理数．会用勾股定理表示无理数．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．教材P27，利用勾股定理在数轴上画出表示1，2，3，4，…的点．，…的点．3.13的线段是直角边为正整数3,2的直角三角形的斜边．的直角三角形的斜边．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )A．5＋1 B．－5＋1C．5－1 D． 5【互动探索】(引发学生思考)先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．【分析】图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的位置，再根据A 的位置来确定a 的值．活动2 巩固练习(学生独学)1．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：又进一步进行练习：首先画出数轴，先画出数轴，设原点为点设原点为点O ，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，且AB ＝3.以点O 为圆心，OB 为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P ，则点P 的位置在数轴上( C )A ．1和2之间之间B ．2和3之间之间C ．3和4之间之间D ．4和5之间之间2．如图，OP ＝1，过P 作PP 1⊥OP 且PP 1＝1，根据勾股定理，得OP 1＝ 2 ；再过P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得OP 2＝ 3；又过P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2；….依此继续，得OP 2018＝2019，OP n ＝n ＋1(n 为自然数，且n ＞0)．3．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：面积为8平方单位的正方形的边长为8，8是直角边长为2,2的两个直角三角形的斜边长，画图如下：活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，每个小格的顶点叫做格点，以以格点为顶点分别按下列要求画三角形．格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数； (3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【互动探索】(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；(2)先找出几个能构成勾股数的无理数，再画出来即可，如画一个边长2，22， 10的三角形；(3)画一个边长为10的正方形即可．【解答】(1)直角三角形的三边分别为3,4,5 ，如图1. (2)直角三角形的三边分别为2，22， 10，如图2. (3)画一个边长为10的正方形，如图3.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了格点三角形的画法，需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 利用勾股定理表示无理数．利用勾股定理表示无理数．练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！17.2 勾股定理的逆定理教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念．掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念． 【过程与方法】经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理．经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理． 【情感态度与价值观】激发学生解决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值．际价值．二、重难点目标 【教学重点】掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念．掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念． 【教学难点】利用勾股定理的逆定理解决问题．利用勾股定理的逆定理解决问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P31～P33的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2；那么这个三角形是直角三角形．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．3．两个命题的题设、两个命题的题设、结论整好相反，结论整好相反，结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．4．一般地，一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，那么它也是一个定理，那么它也是一个定理，称这两个称这两个定理互为逆定理．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形． (1)在△ABC 中，∠A ＝20°，∠B ＝70°； (2)在△ABC 中，AC ＝7，AB ＝24，BC ＝25；(3)△ABC 的三边长a 、b 、c 满足(a ＋b )(a －b )＝c 2.【互动探索】(引发学生思考)分别已知三角形的边和角，如何判定一个三角形是直角三角形呢？【解答】(1)在△ABC 中，∵∠A ＝20°，∠B ＝70°， ∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°， 即△ABC 是直角三角形．是直角三角形．(2)∵AC 2＋AB 2＝72＋242＝625，BC 2＝252＝625， ∴AC 2＋AB 2＝BC 2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形．是直角三角形． (3)∵(a ＋b )(a －b )＝c 2， ∴a 2－b 2＝c 2， 即a 2＝b 2＋c 2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形．是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断直角三角形的常用方法有两种：(1)两锐角互余的三角形是直角三角形(即有一个角等于90°的三角形是直角三角形)；(2)利用勾股定理的逆定理判断三角形的三边是否满足a 2＋b 2＝c 2(c 为最长边)．【例2】写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，判断这个命题的真假，并说明理由．并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)原命题的题设为等腰三角形，结论为腰上的高相等，然后交换题设与结论得到其逆命题；可根据三角形面积公式判断此命题的真假．【解答】命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，且CD ＝BE .∵BC ＝BC ，∴△CBD ≌△BCE (HL)， ∴∠DBC ＝∠ECB ， ∴△ABC 为等腰三角形．为等腰三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．【例3】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后相距30海里．海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，如果知道“远航”号沿东北方向航行，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？号沿哪个方向航行吗？【互动探索】(引发学生思考)根据“路程＝速度×时间”分别求得PQ 、PR 的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR 是直角三角形，从而求解．【解答】根据题意，得PQ ＝16×1.5＝24(海里)，PR ＝12×1.5＝18(海里)，QR ＝30海里． ∵242＋182＝302， ∴PQ 2＋PR 2＝QR 2，∴∠QPR ＝90°90°.. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS ＝45°， ∴∠SPR ＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．即“海天”号沿西北方向航行．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．活动2 巩固练习(学生独学)1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( C ) A ．5,6,7 B ．10,8,4C ．7,25,24D ．9,17,152．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)同旁内角相等，两直线平行；同旁内角相等，两直线平行；(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．如果两个角是直角，那么这两个角相等．解：(1)“同旁内角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角相等，逆命题不成立．(2)“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立．是直角，逆命题不成立．3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2－1，c ＝m 2＋1，那么a 、b 、c 为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 解：对．因为a 2＋b 2＝(2m )2＋(m 2－1)2＝4m 2＋m 4－2m 2＋1＝m 4＋2m 2＋1＝(m 2＋1)2，且c 2＝(m 2＋1)2，所以a 2＋b 2＝c 2，即a 、b 、c 是勾股数．m ＝2时，勾股数为4、3、5；m ＝3时，勾股数为6、8、10；m ＝4时，勾股数为8、15、17.4．如图，已知在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝2 cm ，AD ＝ 5 cm ，CD ＝5 cm ，BC ＝4 cm ，求四边形ABCD 的面积．的面积．解：如图，连结BD ∵∠A ＝90°，AB ＝2 cm ，AD ＝ 5 cm ，∴根据勾股定理，得BD ＝3cm.又∵CD ＝5 cm ，BC ＝4 cm ，∴CD 2＝BC 2＋BD 2，∴△BCD 是直角三角形，∴∠CBD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝ 12AB ·AD ＋12BC ·BD ＝ 12×2×5＋12×4×3＝ ()5＋6cm 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE ＝14CB ，试判断AF 与EF 的位置关系，并说明理由．的位置关系，并说明理由．【互动探索】观察图形，猜测AF ⊥EF .证明△AEF 为直角三角形可得AF ⊥EF .【解答】AF ⊥EF .理由如下：设正方形的边长为4a .∵F 是CD 的中点，CE ＝14CB ，∴EC ＝a ，BE ＝3a ，CF ＝DF ＝2a .在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE 2＝AB 2＋BE 2＝16a 2＋9a 2＝25a 2.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF 2＝CE 2＋CF 2＝a 2＋4a 2＝5a 2.在Rt △ADF 中，由勾股定理，得AF 2＝AD 2＋DF 2＝16a 2＋4a 2＝20a 2.∴AE 2＝EF 2＋AF 2，∴△AEF 为直角三角形，且AE 为斜边．为斜边．∴∠AFE ＝90°，即AF ⊥EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2－b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．是直角三角形．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题． 练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！。
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六、课堂练习
．填空题
⑴在△，∠°，，，则。
⑵在△，∠°，，，则。
⑶在△，∠°，，：：，则，。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。
⑸已知直角三角形的两边长分别为和，，则第三边长为。
⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。
五、例习题分析
例（补充）在△，∠°
⑴已知,求。
⑵已知,求。
⑶已知,求。
⑷已知：：,求。
⑸已知，∠°，求，。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
三、例题的意图分析
例（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。
× ＋（－），化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例已知：在△中，∠°，∠、∠、∠的对边为、、。
求证：＋。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边× ＋
第十八章勾股定理
．勾股定理（一）
一、教学目标
．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点
．重点：勾股定理的内容及证明。
．难点：勾股定理的证明。
你是否发现与的关系，和的关系，即，，那么就有勾股弦。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
五、例习题分析
例（补充）已知：在△中，∠°，∠、∠、∠的对边为、、。
求证：＋。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：△小正大正
．已知：如图，在△中，，在的延长线上。
求证：⑴－·
⑵若在上，结论如何，试证明你的结论。
．勾股定理（二）
一、教学目标
．会用勾股定理进行简单的计算。
．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点
．重点：勾股定理的简单计算。
．难点：勾股定理的灵活运用。
三、例题的意图分析
例（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
右边（）
左边和右边面积相等，即
× ＋（）
化简可证。
六、课堂练习
．勾股定理的具体内容是：。
．如图，直角△的主要性质是：∠°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系：；
⑵若为斜边中点，则斜边中线；
⑶若∠°，则∠的对边和斜边：；
⑷三边之间的关系：。
．△的三边、、，若满足＋，则°；若满足＞＋，则∠是角；若满足＜＋，则∠是角。
．已知：如图，在△中，∠°， ，，是边上的高，求的长。
．已知等腰三角形腰长是，底边长是，求这个等腰三角形的面积。
七、课后练习
．填空题
在△，∠°，
⑴如果，，则。
⑵如果∠°，，则。
⑶如果∠°，，则。
⑷如果，，则。
⑸如果、、是连续整数，则。
⑹如果，：：，则。
．已知：如图，四边形中，∥，⊥，
⊥，∠°，1cm，求的长。
八、参考答案
课堂练习
．； ；，；，，；或 ； ， ；
．；．。
课后练习
．； ； ；；；；．
课后反思：
．勾股定理（三）
一、教学目标
．会用勾股定理解决简单的实际问题。
．树立数形结合的思想。
例（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。
四、课堂引入
复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。
例（补充）已知直角三角形的两边长分别为和，求第三边。
分析：已知两边中较大边可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例（补充）已知：如图，等边△的边长是。
⑴求等边△的高。
⑵求△。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要
创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
七、课后练习
．已知在△中，∠°，、、是△的三边，则
⑴。（已知、，求）
⑵。（已知、，求）
⑶。（已知、，求）
．如下表，表中所给的每行的三个数、、，有＜＜，试根据表中已有数的规律，写出当时，，的值，并把、用含的代数式表示出来。
、、
、、
、、
、、
……
……
，、
．在△中，∠°， ，一动点从向以每秒2cm的速度移动，问当点移动多少秒时，与腰垂直。
让学生画一个直角边为和的直角△，用刻度尺量出的长。
以上这个事实是我国古代多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是，长的直角边（股）的长是，那么斜边（弦）的长是。
再画一个两直角边为和的直角△，用刻度尺量的长。
四、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。