稳定婚姻问题

Stable Matching Problem(上)

问题的提出

《算法》的第一堂课讲了关于稳定匹配（Stable Matching）的问题，这是一个由现实情况引出的一个很有趣的问题。假设说现有一堆学生准备到一堆公司实习，每个学生心目中对这些公司都有一个喜好排序，但为了保证成功率，每个学生都向所有的公司投递了申请。公司收到学生申请后，根据各自的要求和喜好对所有学生也有一个满意度排序，并依据排序向一部分学生发出了offer，现在假设A公司向学生X 发出了offer，由于各个公司的进度不一样，在学生X接到A公司的offer后他又收到了B公司的offer，相较而言，X更喜欢B公司，于是他决定放弃A公司的offer转投到B公司门下。由于X的离去，A公司就少了一个实习生，于是它又向待聘的学生Y发出offer，学生Y于是放弃已经接受的公司C，转投到公司A门下，那么就这样情况开始连续失控….

以上混乱情况的出现，在于公司和学生之间没有一个要求保持现状的强制体系，用专业的话语来讲也即是该过程不是自强化（self-reinforcing）的。大家都可以根据自己喜好随时改变自己之前做出的决定，于是整个情况开始不可控制。

在上述情况下，提出了我们的问题：给定一组雇主E和申请人A之间的优先权，我们能否把A合理的分配给E，以使得对于每个雇主E和未分配为E工作的申请人A之间，以下两种情况至少存在其一：

1、E对于它接受的所有人都比A满意

2、A对于为他分配的公司比E满意。

如果上述情况成立，那么这种分配就是稳定的，个人兴趣将制止申请人A和公司E之间出现幕后交易。这里，我们引出几个概念：

1、不稳定对（unstable pair）：在以下情况同时存在的时候，申请人x和公司y是不稳定的：

A、相对已经分配好的公司，x更喜欢y；

B、相对其中一个已经录用的学生，y更喜欢x。

2、稳定分配（stable assignment）：不存在不稳定对的分配

经典的男女配对问题

OK！马上就将进入我们今天的经典问题，给定一组男人和一组女人，每个人在心目中都对所有的异性有一个倾慕度排序，从最喜欢到最不喜欢依次排序1、2、3。现在给出问题，如何对这些男女进行配对使得在分配好后不出现偷情的现象。先看下面：

图1

概念１：完美匹配（perfect matching）：每个男的都分到一个女的，每个女的也有一个男的，并且实行严格的一夫一妻制。

概念2：稳定性（stability）：对于分配好的每个人都没有机会通过私自组合（私奔）来破环我们的分配。

例如：假设在我们的分配中，m1和w1是一对，m2和w2是一对，但是在他们排序表中，相较w1和w2，m1更喜欢w2，同时w2也更喜欢m1，而不是给她分配的m2，这样就出现了w1和m2更情投意合，如是他们私奔了。这样的分配就是不稳定的了。

概念3：稳定匹配（stable matching）：没有不稳定对（unstable pair）的完美匹配。

现在我们再回到图1，假设给出以下组合，问是否稳定？X-C, Y-B, Z-A，即如图2所示：

图2

很明显，我们会发现这样的组合是不稳定的，因为在这样的组合下Xavier—Amy或者Xavier---Bertha都有机会会出现私奔。

OK！现在让我们将他们重新分配如下：X-A, Y-B, Z-C，如图3所示：

图3

好了，现在这样分配后，会发现男男女女们虽然对自己的配偶不一定满意，但是却无论如何找不到和他（她）情投意合的私奔对象，于是我们的分配也稳定了！

最佳室友分配问题

牵红线的问题解决了，那我们会想到对于这类似的问题，我们的稳定匹配是不是总是存在呢？！答案是否定的！请看下面的最佳室友问题：话说有A、B、C、D四个学生，学校规定2个人一间寝室，4个人理想的舍友排序如下：

图4

问如何将这四个人两两组合得到稳定匹配呢？我们会发现无论如何组合都不会出现稳定的匹配：若A-B, C-D则B-C unstable、A-C, B-D则A-B unstable、A-D, B-C则A-C unstable！

所以我们可以得出，在最佳室友这个问题上，稳定匹配并不总是存在的！

G—S算法提出

经过以上的分析，我们可以给出男女匹配的算法了，这个算法叫做Propose-and-reject algorithm（求婚-拒绝算法，也叫G-S算法）【由Gale和Shaply于1962年提出】，算法的目的即使找出一个稳定匹配，算法如下：

Initially all mÎM, and w Î W are free.

while there is a man m who is free and hasn't proposed to every woman

Choose such a man m

Let w be the highest-ranked woman in m’s preference list to whom m has not yet proposed

If w is free then

(m,w) become engaged(约会)

Else w is currently engaged to m'

If w prefers m' to m then

m remains free

Else w prefers m to m'

(m,w) become engaged

m' becomes free

Endif

Endif

Endwhile

Return the set S of engaged pairs

对以上算法进行分析，我们会发现两个现象：1、女人从接到第一个求婚起就开始一直保持约会的状态，并且她约会的对象会越来越好（从她的排序表来看）；2、男人求婚的对象（女人）会越来越差！

算法证明

下面，我们对这个算法的正确性证明如下：

1、算法的有限性——算法最多会在执行完n2次while循环的时候结束：每次while循环，一个男人向一个女人求婚，因为一共有n个男人和n个女人，所以最多只有n2次求婚。

2、算法的完美性——所有的男女都进行了配对：（反证法）假设男人M在算法结束后没有配对，那么相