精品课件-最速降线问题(数学模型概述)

所以d x ta n td y 2 c s in 2 td t c ( 1 2 c o s t)d t
积分得：
xc2t
2
sin2tc1
因为曲线过（0，0），所以当t=0时，有x=y=0.于是
（1）由规律列方程：如数学定律、物理、力学、电学、 光学、生物学、药学、化学定律
（2）由微分法列方程：如微元法 dyf(x)dx （3）模拟近似法：有些象生物，经济学科的实际问题，
规律性不清楚，建模时在不同的假设下去近似模拟 实际现象，得到DE。求出解来与实际对比。看其能 否刻划某些实际现象。
本章研究DE模型的建模方法：
• 1）例3.1 实物交换问题 • 2）例3.2.2 导弹核武器危机
• 3.量纲分析法
• 1）单摆运动
• 2）开普勒第三定律
• 4.初等概率法
• 1）例3.4.1 Buffon问题（投针问题）
• 2）例3.4.2 下赌注问题
• 3）例3.4.3 Banach火柴盒问题
• 4）例3.4.4生男生女问题
据能量守恒定律，质点在一定高度处的速度，完全由其
到达该高度处所损失的势能确定，而与路径无关。该质
点质量为m，重力加速度为g，质点由A滑到点 p( x, y)的
速度为v.则
1mv2 mgy或v 2gy （2）
由几何关系，有 2
sin c o s1 1 1（3） se c 1 ta n 2 1 (y ')2
最速降线问题(数学模Biblioteka Baidu概 述)
6）依数学模型所用方法分为： ①初等模型 ② DE模型 ③优化模型 ④统计模 ⑤控制论模型⑥逻辑模型⑦扩散模型
7）依数学模型的领域分为： ①人口模型②交通模型③生态模型④生理模型 ⑤经济模型⑥社会模型⑦工程系统模型以及电力模型 8）依数学模型对象的了解程度分为：
①白箱模型 ②灰箱模型 ③黑箱模型. §1-4建模步骤和原则
涉及：几何；力学；电学；化学；热学；扩散；医学；人 口；体育；社会经济等。
§4-1几何问题
建立几何问题的数学模型方法：
1）找出反映该问题的几何关系
2）把几何量的表达式代入该关系式
3）得到DE即几何问题的数学模型
模型三、 最速降线问题
1.历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在 《教师报》上发表了一封公开信。信的内容是：请世界 上的数学家解决一个难题- “最速降线问题” 此问题的 提出一时轰动了欧洲。引起了数学家的极大兴趣。之后
以利用此模型解决实际问题.
• 注 可以Newton万有引力模型为例，叙述建模的七个步
骤.
Ch2建模的常用方法
（1）理论分析法（2）模拟方法（3）类比分析法 （4）数据分析法（5）人工假设法（6）物理系统建模法 请作习题二，2.5
MP
MO
MS
M准备
M假设
M建立
M应用
MAP
分析 检验
MAN，MT
M求解
• 2. 3.16 已知某项提案有48%的选民支持，并假设职工
代表确实 能解决选民的观点。试问由435名代表组成的 职代会会通过这项提案的可能性有多大。
Ch4. DE模型（ Ch5. 差分方程模型 Ch6. 工程系统中的模型）
在化工、仪表、通讯、交通、生物、经济、医学、 工程及社会等领域中，有大量的系统是DE模型。建 模的方法可归纳为：
• 5）例3.4.5供电问题
• 另外还有 递推法
人狗鸡米渡河问题
•
夫妻过河问题
•
图形法
市场平衡问题
奇偶校验法（铺方砖法)及优化决策问题-工厂选址问题
• 作业p37,2,3,9
• 习题3 3.1；3.4；3.12；3.16
• 第一次作业
• 1. 3.12 候车问题 公共汽车每隔五分钟有辆公共汽车
通过，乘客到车站的任一时刻是等可能的，试分别用几 何概型，均匀分布概型求乘客候车不超过三分钟的概率 （假设公共汽车一来，乘客就上车）
MF
Ch3.初等模型
• 简单方法建立问题的数学模型：
• 1.代数法
• 此方法涉及到以下四个例题: • 1）例3.1.1 生小兔问题（Fabonacci问题） • 2）例3.1.2 椅子问题（战略核武器杀伤力问题） • 3）例3.1.3 雨中行走问题 • 4）例3.1.4 动物形体问题
• 2.图解法
理，定理证明，特点性分析等（设计技术，计算技巧）
• 5）模型分析:对求解结果在数学上进行预测，分析各变
量关系或特点性态，或根据结果作预测或得出最优决策 与控制方案.
• 6）模型检验:用实际现象，根据检验模型的合理性，通
用性（正确性）若与结果不符，要重新假设建模.
• 7）模型应用:若拓展结果正确，满足问题的要求，便可
另一个沿直线从A滑到B。（晚到达B）
Galilei认为速降线是圆弧线（错了）。
• 3.建模
3.1 模型准备
选取直角坐标系
参看下页图
3.2 模型假设
A
x
设想质点由A滑到B的路径，
使所需时间为最短（像光学一样）
依光学原理（史奈尔折射定律）得
s in c （常数）（1）
v
y
p(x, y)

B
3.3 模型建立。
由（1）（2 ）（3） ，得：

y
1

(
y'
)2


c
y(0) 0
（4）
此为速降线的数学模型的DE.
3.4 模型求解 把（4）变为 ( y ' )2 c y
y
•
dy (cy） 12 cott
dx y
则
sin2t
y
y(cy)2cy
（5）
y c sin2 t, dy2csintcostdt
1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的。 2）模型假设：由实际对象的特性和建模的目的，在掌握
必要资料基础上对问题进行必要的简化，并用精确的语 言作出假设。(关键一步)
• 3）模型建立:据假设 ，用适当数学工具刻划变量间的关
系，建立数学结构（公式，图形，表格）
• 4）模型求解:对模型求解，包括解方程，图解，逻辑推
此问题由Newton，Lebeniz，Bernoulli兄弟所解决，从而 产生了一门新的学科-变分学。
• 2.问题：确定一条连接二定点A，B的曲线。使质点
在这曲线上用最短的时间由A滑向B点(介质的摩擦力 与空气阻力忽略不计）。
有人指出：连结A，B的直线段即为速度线。回答是 否定的。在1630年Newton实验：在铅垂平面内，取 两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B。（先到达B）