精品课件-最速降线问题(数学模型概述)
最短路线和最速降线
最短路线和最速降线一.最短路线1.问题设一辆汽车停止于A处并垂直于4B方向，此汽车可转弯的最小圆半径为R,求不倒车时由4移到B的最短路线。
（1）讨论AB>2R的情形。
（2 ）简单讨论AB<2R的情形。
2.假设将汽车视为一个点，汽车行走的路线视为一条曲线。
3.建模（1）讨论AB>2R的情形。
以43为Y轴正向，作一半径为R的圆厂与X轴切于4点，问题就是要找一条最短曲线连结AB,在4点切于X轴正向，且任一点的曲率半径不小于R。
直观上不难猜测出最短路径。
从疗点向圆厂做切线BC,那么由A点沿圆弧AC移到C点，再沿直线移到B点，这就是最短路径（如图1所示）。
为了证明这一事实，作一条直线/通过圆r的中心o和c点。
假设汽车沿某一条曲线r\由4点移到B点，因4、疗分别在直线/两侧，r\与/必有一交点c; ,r\被分成弧Ac;和弧BC,两段。
因BC与/垂直，弧BC］的长度必不小于线段BC的长度（当且仅当弧与线段BC重合时才可能相等）。
设弧AC,的参数方程为兀=x(5), y =y(s)/(O) = 0, y(0) = 0 其中S为弧长。
在点（x（s）』G））处，曲线的切线与X轴的夹角记为/依条件有d0 1，，Ids R当$ = 0时，8 = 0,故赵 1/M, 从而0 <s/R.研究曲线上的点与直线/的距离（在/的右边为正J (s) = x(5)cos a - (y(j) - R) siii a、a=乙 BOC因为dx ° dy . —=cos 乩亠=sin 0 ds dsx(5)= £ cos O(t)dt, y(5)=£' sin O(t)dtJ (5) = cos a ・J*。
cos O(t)dt - sin sin O(dt) - R)=£ cos(8(/) + a)dt + Rsma当 r >0 时，有 |^(r)| < t/Ro 当 0 G 5 兀一 a)时,-—+a < 0(t) + a < 丄 + a<n R R故 cos(Q(/) + a)> cos(丄 + a) R故当 (龙一a)时，J (5) > £ cos (— + a)dt + Rsma = R sin(— + 6Z) > 0这就是说，当汽车移动距离不超过7?（龙-a ）（就是弧AC 的长度）时，它不可能越过 直线/。
最优化之最速下降法PPT课件
那么目标函数 f(x)在Xk处沿方向dk下降的变化率为
5
最速下降法的方向选择
LLOOGGOO
lim lim fxkdkfxk gkTdk
0Leabharlann 0gkTdkgk dk cos
其中 为gk与dk的夹角。要使得变化率最小，只有当cos值为-1 时，才能达到，也即dk应取得负梯度方向。
J (a)
J (a)
11
开始
给定初始点， x 0 E n ， 0
程序图
LOGO
求 k 使其满足
m i0 nf(xkpk)f(xkkpk)
k : 0
计算 pk f (xk)
令
xk1xk kpk
是
pk
否
输出： xmin x k
结束
12
matlab仿真实例
LOGO
13
matlab仿真实例
LOGO
14
最速下降法的优缺点
LOGO
• 由于沿负梯度方向目标函数的最速下降性，很容易使人们误认为负梯 度方向是最理想的搜索方向，最速下降法是一种理想的极小化方法。 必须指出的是，某点的负梯度方向，通常只是在该点附近才具有这种 最速下降的性质。在一般情况下，当用最速下降法寻找极小点时，其 搜索路径呈直角锯齿状，在开头几步，目标函数下降较快；但在接近 极小点时，收敛速度长久不理想了。特别适当目标函数的等值线为比 较扁平的椭圆时，收敛就更慢了。优点是：程序简单，计算量小；并 且对初始点没有特别的要求。
7
•由式 dkf xk得，
LOGO
fx k 1T fx k0
即新点xk+1处的梯度是正交的，也就是说，迭代点列所走
的路线是锯齿型的，故收敛速度是很慢的。
1 最速下降法
) (λ > 0)
考查： g d = gk dk cosθ 考查：
T k k
gk = ∇f ( xk )
T gk dk 取极小值． 取极小值． 当 cosθ = −1 时，
dk = −gk .
结论： 结论 负梯度方向使 f ( x) 下降最快， 下降最快， 亦即最速 亦即最速 下降方向． 下降方向．
( x0 ) = (9,9)T , g0 = ∇f
T 7.2 g = 7.2 , g0 g0 . 1 x1 = x0 − T g0 = − 0.8 − 7.2 g0 Gg0 T 9×0.82 g1 g1 x2 = x1 − T g1 = 2 (−1) × 0.82 g1 Gg1
举例
最速下降法
用最速下降法求解： 用最速下降法求解：
1 2 9 2 m f ( x) = x1 + x2 in 2 2
x = (0,0)
*
T
x0 = (9, 1)
T
解：
(9,1)T , x0 =
x1 1 0 2 g( x) = ∇f ( x) = 9x , G( x) = ∇ f ( x) = 0 9. 2
步迭代时较高,常与其他方法一起使用. 步迭代时较高,常与其他方法一起使用.
(2) 对初始点没有特别要求, 有着很好的全局收敛性. 对初始点没有特别要求, 有着很好的全局收敛性. 缺点 最速下降法是线性收敛的， 最速下降法是线性收敛的，但当接近最优解 收敛速度很慢 很慢． 时，收敛速度很慢．
原因： 原因： d = −g ① k 的局部性质． k 仅反映 f ( x) 在 xk 处 的局部性质．
最速下降法
最速下降法
2.迭代原理
P(k)
f ( X (k) )
梯度的性质：函数f (X)在X(k)处P(的k) 负梯度X (方k) 向 f ( X (k) )
是X(k)处函数值下降最快的方向。
证明：
P(k)
一元函数泰勒公式：
P(k)
X p p (k)
(k)
(k)
f ( x(k) h) f ( x(k)) f ( x(k) )h (h)
线性规划3-4
最速下降法迭代原理：
min
XRn
f ( X )
x14
x22
2
f ( X ) (4 x13 , 2 x2 )T
p0
0
X1
X0
X 0 , p0 f ( X 0 ), min f ( X 0 p0 ) f ( X 0 0 p0 ), X 1 X 0 0 p0 0
X 0 (1,1)T , p0 f ( X 0 ) (4, 2)T
min f ( X )
XRn
当X (k ) X 时, f ( X (k) ) f ( X ) 0 (一阶必要条件)
f ( X (k) ) f ( X ) 0
f ( X (k) )
p(k)
线性规划3-4
3.迭代步骤
f ( X (k1) )
10 取初始点X (0) , 容许误差(精度) 0, 令k : 0k
p0 f ( X 0 ), p1 f ( X 1 ), pk f ( X k ),
min f ( X 0 p0 )
0
min f ( X 1 p1)
0
min f ( X k pk )
0
f ( X 0 0 p0 ), X 1 X 0 0 p0 f ( X 1 1 p1 ), X 2 X 1 1 p1 f ( X k k pk ), X k1 X k k pk
最优化方法-最速下降法
计算步骤
设f (X )是可微函数，精度要求为
X f ( ) K 1
，
X 0 为初始点。
(1)计算梯度
f
(
X
)
k
，初始k=0；
(2)
Pk
f
(
X
)
k
(3)求解 k
min f ( X k Pk)
s.t. 0
设 k 是一维搜索的最优解；
(4)求下一个点
评价
由例题中可以发现两次迭代的搜索方向满足：
P P P P T 0, T 0,...,
01
12
即相邻两个搜索方向 PK 与 PK1 正交，这是最速下降
法的搜索方向的基本形质。因此，最速下降法的迭代
路线呈锯齿形，尤其是在极小点附近，锯齿现象尤为
严重，从而影响了迭代速度。
评价
锯齿现象
最优化技术
第三章 7节 最速下降法
主要内容
1原 理
2 计算步骤
3 例题分析 4评 价
原理
定义：用来求解无约束多元函数 min f（x）
极小化问题的一种迭代算法。
拓展：
最速下降法又称梯度法，是 1847 年由著名数学家
Cauchy 给出的，它是解析法中最古老的一种，其他解析 方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是 最优化方法的基础。
X
)
0
(1,1)T
3-最优步长
2
X P ( ) f 5
0
0 2
1
0
应用一维搜索技术，解得函数最小值点 0 =0.2
举例分析
4-下一搜索点
X1
数值最优化(李董辉)第三章 最速下降法和Newton法PPT课件
4
第一节 最速下降法
1、 思想 ：每次沿最速下降方向进行搜索
5
2、 算法步骤
6
7
8
3、 最速下降法的收敛性
全局收敛性
9
收敛速度估计
10
从上图可以看出，最速下降法 具有锯齿现象 11
12
由上面的分析可知，最速下降法的收敛速度 比较慢，通常将其用在某些算法的初始阶段 求较好的初始点
25
结束语
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支 持与积极的参与。课程后会发放课程满意度评 估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和
意见，也请写在上边
26
感谢您的观看与聆听
本课件下载后可根据实际情况进行调整
27
唯楚有材 於斯为盛
最优化
博士
1
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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2
第三章 无约束问题算法(I)—— 最速下降法、 Newton法
第一节 最速下降法 第二节 Newton法及其修正形式
13
第二节 Newton法及其修正形式
1、思想：用近似二次函数的极小点作为原问题的新的近似解
14
2、 Newton法的算法步骤
(
20
3、Newton的 收敛性
21
4、 局部二次收敛性
22
5、 Newton法的修正形式
23
24
Q&A
人人思考，大声说出
下降速度最快的曲线数学建模
下降速度最快的曲线数学建模
在数学建模中，下降速度最快的曲线通常是指斜率为负且绝对值最大的曲线。
以下是一些常见的曲线模型，按照下降速度降序排列：
1.指数函数：y = e^(-x)，其中e是自然常数，斜率随着x的增
大而趋近于零。
2.负指数函数：y = -e^(-x)，与指数函数类似，但负号使斜率
为负数。
3.对数函数：y = ln(x)，斜率在x趋近于零时趋近于负无穷大。
4.幂函数：y = x^(-a)，其中a是一个正实数，斜率随着x的增
大而趋近于零。
当a>1时，下降速度更快。
5.倒数函数：y = 1/x，斜率随着x的增大而趋近于零。
线性关
系y = kx中的k决定了函数的下降速度。
需要注意的是，以上曲线仅仅是常见的模型，实际应用中可能还存在其他更复杂的曲线模型，如多项式函数、三角函数等，它们的下降速度会因具体的函数形式而有所不同。
根据具体问题的要求和限制，选择合适的曲线模型进行建模是数学建模中的重要一步。
最速降线
一、最速降线1、展品图片：2、外部结构：三条不同形状的轨道，轨道的顶端处于同一高度，轨道终点位置也在同一高度并设有电子计时器。
3、基本原理：三条轨道分别是：线段、旋轮线(即圆周上一定点在当圆周沿一条直线作纯滚动时的轨迹)和起点很陡的一段曲线，众所周知两点之间线段最短，但在本展品的演示中，其实它最慢，沿着旋轮线轨道的排球降落的最快,总体上说，物体沿一定轨道运行的时间不仅取决于轨道的路径长短，它与物体的速度和加速度也有着很大的关系，这利用高等数学中的泛函极值可以加以证明。
4、关键词：旋轮线5、外延应用：最速降线在建筑中也有着美妙的应用。
我国古建筑中的“大屋顶”，从侧面看上去，“等腰三角形”的两腰不是线段，而是两段最速降线。
按照这样的原理设计，在夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水，以最快的速度流走，对房屋起到保护的作用，同时，也有很好的美化艺术效果。
6、操作说明，注意事项，演示现象：将三只重量、体积相同的排球，放在三条不同形状的轨道的顶端，即位于相同的高度，启动开关让它们同时沿导轨滑下来，终点处设有电子计时器可以准确排列排球到达的先后顺序,这沿着中间的轨道滑下的排球先到终点，该轨道为最速降线。
7、示范讲解：现在各位看到的是最速降线，有三只重量、体积相同的排球，位于相同的高度，我们即将让它们同时出发，其终点也相同的，但是连接起点和终点的三条线是不同的，一条直线、两条曲度不同的曲线，究竟哪只球先到达终点呢？好！我们一起来看演示。
既不是直线上的那只球，也不是最弯的那条曲线上的球，结果是中间的那条线。
这是为什么呢？在儿童乐园中滑梯是常见的玩具。
有的滑梯的滑板是平直，还有一种滑梯是弯曲的，它的滑面就和我们这件展品中间的这条线是相同，通常人们称之为旋轮线。
这三只排球之所以能下滑，是因为受到重力的作用。
当滑板板面的坡度不同时在下滑方向上所受到的重力分力大小也不同。
重力分力越大的，下滑的加速度也越大，速度增加的就越快。
1-最速降线问题解析
这就是最速降线的微分方程数学模型。 3. 模型求解： 我们要求解上面微分方程，将上式变形为
1 2
y dx c y dy
y 令 c y tan t 从而，y c sin2 t , dy 2c sin t costdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos2t dt 积分后得到 c x 2t sin 2t c1 2 这曲线过原点，故由上面第一式得， t 0 时， x y0 于是，c1 0 。这样 而
1 2 mv mgy 2
或 v 2gy
从这里的几何关系得
1 1 sin cos 2 sec 1 y
1 1 sin cos 2 sec 1 y
这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得
2 y[1 y ] c y 0 0
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）
起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
最速降线问题
最速降线问题引言在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直线短故宫屋顶科技馆里的最速降线模型1，历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在《教师报》上发表了一封公开信。
信的内容是：请世界的数学家解决一个难题-“最速降线问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。
引起了数学家的极大兴趣。
之后此问题由Newton,Lebeniz,Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学科——变分学。
2，问题：确定一条连接两个定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B（介质的摩擦力和空气阻力忽略不计）。
3，建模3,1 模型假设：在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示，假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略摩擦力和阻力。
3,2模型建立设质点质量为m 重力加速度为g,质点的速度为v根据能量守恒得： 12mv 2=mgy 则 v =√2gy =ds dtsecθ=ds dx tan θ=dy dx(sec θ)2−(tan θ)2=1得 ds =√1+(ẏ)2dxdt =ds v =√1+(y )22gy dxt =∫√1+(y )22gy dx a性能泛函 J (t )=√2g ∫√1+(y )2y dx a 0即： L=√1+(y )2y由欧拉方程的：y (1+ẏ2)=c令y =cot τ 得y =c (sin τ)2=c2(1-cos(2τ))所以： dx=dyy =2c sin τcos τcot τdτ=c (1−cos (2τ))dτx(0)=0所以： x =∫c(1−cos(2τ))τ0dτ=c2(2τ−sin(2τ))令t=2τ得：{x=12c(t−sin t) y=12c(1−cos t)其中c可由y(a)=b 确定因此可知：最速下降曲线是圆滚线即是半径为c/2的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段（旋轮线）。
最速降线
rn 意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。
”这算是这个著名问题的起源了（为什么别人没有想起这个问题呢？所以说大科学家的素质就是思考、创新，要有思想，人没有思想，就和行尸走肉没有什么区别）。
可惜的是伽利略说这曲线是圆，但这却是一个错误的答案。
瑞士数学家约翰？伯努利在1696年再次提出这个最速降线的问题（problem of brachistochrone），向全欧洲数学家征求解答。
伯努利将此问题称为Brachistochrone，即希腊语中的“最短”（brochistos）和“时间”（chronos）合成而来。
人们当然会首先想到连接AB的直线。
伯努利说了：“虽然AB 间线段最短，但小球滚下来的时间不是最短。
如果在年底前（指1696年）没有人发现这条曲线，我将公布这条曲线。
”直线有可能不是最短时间的路径，因为小球从零速度开始滚下来，最初应该让路径陡一些，好更快地加速获得速度。
这有点像武侠小说中的挑战了，显然，伯努利自己是得出了答案，才敢下此战书的。
伯努利原定的截止期限是1696年年底，可是他只受到了一份解答，就是他的老师莱布尼兹（微积分的另一个独立发明人，也是个大数学家），莱布尼兹要求伯努利将截止期限延长到来年复活节（大致在3月下旬到4月下旬之间），以便让欧洲数学家们有更多时间来充分解决此道难题。
这个问题的难点在于，是求出一条曲线，实际就是求一个满足给出条件的未知函数，这在以前是前所未有的，有可能开创一个新的学科领域。
于是数学家们具有极大兴趣，纷纷开展研究。
有意思的是，伯努利在“战书”中还特别暗示了他的挑战对象，他写道：“……很少有人能解出我们的独特的问题，即使那些自称通过特殊方法……不仅深入探究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学领域的人，这些人自以为他们的伟大定理无人知晓，其实早已有人将它们发表过了”这简直是赤裸裸的指向伟大的伊萨克？牛顿了！伯努利提到的“定理”显然是指流数术（牛顿自己给微积分起的名字），而牛顿曾宣称自己早在莱布尼兹1684年发表微积分论文前就已经发现了这一理论。
最速降线问题
最速降线问题“想象一个小球，仅受重力，从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点 B。
怎样设计这条斜坡，才能让小球在最短的时间内到达点 B？”这个在数学史上被称为“最速降线”的知名问题，最早是由著名的意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）于 1630 年提出来的。
他在研究后认为最速降线应该是圆弧，但可惜的是这个答案并不是正确的。
时间又过了 60 多年，1696 年 6 月，来自瑞士巴塞尔（Barsel，这座城市不仅是数学世家伯努利的故乡，也是欧拉的故乡，有一个由欧拉解决的著名数论问题就是以这座城市命名的）的约翰・伯努利（Johann Bernoulli）在《教师学报》（Acta Eruditorum）上又重新提出这个问题，并向全欧洲的数学家提出公开挑战。
这个别出心裁却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家，而最后给出了正确解答的人也都是数学史上赫赫有名的巨人。
这也让这次挑战成为了数学史上最激动人心的一场公开挑战。
数学家之间公开挑战的传统要追溯到 16 世纪在意大利的博洛尼亚（Bologna）。
16 世纪初的博洛尼亚曾是欧洲数学思想的大熔炉，全欧洲的学生都会来到博洛尼亚大学。
他们甚至还“发明”了一项新的观赏运动——数学比赛。
这听起来有些匪夷所思，但在当时确实有大批的观众从各地涌来，围观数学家们互相之间用数学斗法。
其中最有名的一次，是在塔塔里亚（Tartaglia）和费奥（Fior）间上演的，是一场关于求出一元三次方程通解的世纪智力大战。
言归正传，在约翰・伯努利发出挑战后的半年里，他收到的唯一一份答案来自《教师学报》的主编，他的老师莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）。
在莱布尼茨的要求下，他将接受答案的最后期限推迟到 1697 年的复活节，以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来。
我们都知道，过两点的直线段是两点间的最短路径。
但使质点的运动时间最短的运动轨迹，却不是那么的显而易见。
1-最速降线问题
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
莱布尼茨和牛顿都得到了解答。
雅可布伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）著名数学家。
约翰.伯努利的哥哥，他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，
这是摆线的标准参数方程，这种曲线是半径为 a 的圆 周上一点沿 x 轴滚动产生的。见图。
y
o
x , y
2a
x
4. 结论： 需指出，使上图中摆线第一拱通过B点的 a 值只有一 个，因若让 a 从0增到 ，这一拱弧就逐渐膨大，扫过 整个第一象限，因而若适当选取 a，就能使它通过B。
Ref：尤明庆，最速降线求解和摩擦力影响的研究，河南理工大学学报，2005，24（1）
并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在 tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。 雅可布在《学艺》上发表了一系列重要的论文，微分方程中的 “伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极 坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提 出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问 题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。 雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结 果还是对数螺线。
即
y
y2 2 1 y
1 y y
2
c1
化简为
y[1 ( y)2 ] c
和伯努利解法的结果相同。
李腾-线搜索-最速下降-最优化问题第一讲
3.无约束最优化问题——线搜索技术
在无约束优化问题迭代算法的一般框架中，其中有一个迭代步： 步3 通过某种搜索方式确定步长因子������������，使得������(������������+������������*������������) < ������(������������)。 令 ������(������) = ������(������������ + ������*������������)，(2.2) 这样，搜索式(2.2) 等价于求步长������������ 使得������(������������) < ������(0)。
步2 计算左试探点. 若|������������ − ������������| ≤ ������, 停算, 输出������������. 否则, 令
������(������+1) := ������������, ������(������+1) := ������������, ������(������(������+1)) := ������(������������), ������(������+1) := ������������, ������(������+1) := ������(������+1) + 0.382(������(������+1) − ������(������+1)).
计算������(������(������+1)), ������ := ������ + 1, 转步1.
步3 计算右试探点. 若|������������ − ������������| ≤ ������, 停算, 输出������������. 否则, 令 ������(������+1) := ������������, ������(������+1) := ������������, ������(������(������+1)) := ������(������������), ������(������+1) := ������������, ������(������+1) := ������(������+1) + 0.618(������(������+1) − ������(������+1)). 计算������(������������+1), ������ := ������ + 1, 转步1.
最速降线变分法的推导
最速降线变分法的推导
最速降线问题是一个经典的变分法问题，它要求找出连接两个固定点A和B的一条曲线，使得一个质点在这条曲线上从A滑落到B的时间最短。
这个问题由伽利略在17世纪提出，并由约翰·伯努利在1696年向整个欧洲的数学界提出挑战。
为了解决这个问题，我们首先需要建立一个数学模型。
假设这条曲线是函数y=y(x)描述的，质点的起始位置是A(x1, y1)，终止位置是B(x2, y2)。
质点沿着曲线下滑时，其速度v由重力决定，可以表示为v = sqrt(2gy)，其中g是重力加速度。
质点在曲线上的运动时间T可以通过对速度进行积分来得到。
由于速度是位置的函数，我们可以使用变分法来找到使时间T最短的曲线。
时间T的表达式可以写为：
T = ∫sqrt(1 + (y')^2) / sqrt(2gy) dx
其中y'是y对x的导数，表示曲线的斜率。
为了找到使T最小的y(x)，我们需要用到变分法中的欧拉-拉格朗日方程。
这个方程可以表示为：
d/dx(∂F/∂y') - ∂F/∂y = 0
其中F是T的表达式中的被积函数，即F = sqrt(1 + (y')^2) / sqrt(2gy)。
将F代入欧拉-拉格朗日方程，经过一系列复杂的计算，我们可以得到最速降线的微分方程。
这个方程是一个非线性二阶微分方程，其解是摆线的一部分，也被称为旋轮线或最速降线。
通过解这个微分方程，我们可以得到最速降线的具体形状，从而找到使质点从A滑落到B时间最短的曲线。
这个解不仅在数学上具有重要意义，而且在工程学和物理学中也有广泛的应用。
最速降线的详细原理
最速降线的详细原理最速降线（brachistochrone）是一种优化问题，它的目标是找到两个点之间，使得质点沿着该路径下落的时间最短。
这个问题最早由约翰·伯努利在1696年提出，它在物理学、数学、工程学等领域都有着广泛的应用。
最速降线的求解可以通过变分法来实现。
变分法是一种数学工具，用于求解优化问题，它的基本思想是将变量看作函数，然后对这些函数进行微分和积分运算，最终得到一个最优解。
在最速降线的求解中，我们需要找到一条曲线，使得质点沿着该曲线下落的时间最短。
这个问题可以通过最小化路径积分来求解。
假设我们要求解从点A到点B的最速降线，我们可以将这条曲线表示为y(x)，其中x表示曲线上的位置，y表示曲线的高度。
我们也可以将曲线表示为参数形式，即x(t)和y(t)，其中t表示时间。
则质点的速度可以表示为v(t)=sqrt(2gy(t))，其中g表示重力加速度。
因此，质点在曲线上运动的时间可以表示为T = ∫(sqrt(1+y'(x)^2)/sqrt(2gy(x))) dx其中y'(x)表示y(x)的导数。
我们需要最小化这个路径积分，即使得T最小化。
这个问题可以通过欧拉-拉格朗日方程来求解。
欧拉-拉格朗日方程是变分法的核心工具，它是一种微分方程，用于求解最小化问题。
在最速降线的求解中，欧拉-拉格朗日方程可以表示为d/dx(dL/dy') - dL/dy = 0其中L表示拉格朗日量，它可以表示为L = sqrt(1+y'(x)^2)/sqrt(2gy(x))通过求解欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到最速降线的解析式。
这个问题的求解比较复杂，需要使用高等数学的知识，比如微积分、微分方程等。
但是，我们可以使用计算机来求解这个问题。
最速降线的应用非常广泛，比如在机械工程中，它可以用于设计滑轮系统和弹簧系统；在航天工程中，它可以用于设计火箭的轨迹和飞行器的降落轨迹；在物理学中，它可以用于求解质点在重力场中的运动等等。
最速降线问题
a
2
A2
这就是光学中的Snell折射定律
建立数学模型
若用与x 轴平行的直线将 分析；如图建坐标系， AB 分割成小段, 考虑在第k c x A 层与k+1层质点在曲线上的下 a 滑，依能量守恒律，可近似 k 认为质点在每层内的速度不 变，于是依辅助结论知
sin k sin k 1 vk vk 1
那么我们的问题成为
求某个 y ˆ E,使得
ˆ ) min T ( y ) T(y
yE
引进集合 E0 { ( x) C 1[0, c], (0) 0, (c) 0}
ˆ ( x) 是最速曲线函数,则 显然若 y ˆ ( x) ( x) E, R , E0 y
1
2
3
4
5
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？ 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点 何时越过l ？ 如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1 别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 为a, b, OD =c, 质点经过l于C OC=x 那么质点由A1到A2需时间
E0
由于 的任意性,得到
d ˆ, y ˆ )) f y ( y ˆ, y ˆ ) 0 ( f y ( y dx
d ˆ y ˆ f y ( y ˆ, y ˆ ) f ( y ˆ, y ˆ )] 0 上式乘以 可化为 [y dx
ˆ 满足方程 也就是说 y
从而下降时间
T dt
0 T S 0
0 R 2(1 cos ) d ds 0 v 2 gy
T
0
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• 5）模型分析:对求解结果在数学上进行预测，分析各变
量关系或特点性态，或根据结果作预测或得出最优决策 与控制方案.
• 6）模型检验:用实际现象，根据检验模型的合理性，通
用性（正确性）若与结果不符，要重新假设建模.
• 7）模型应用:若拓展结果正确，满足问题的要求，便可
另一个沿直线从A滑到B。（晚到达B）
Galilei认为速降线是圆弧线（错了）。
• 3.建模
3.1 模型准备
选取直角坐标系
参看下页图
3.2 模型假设
A
x
设想质点由A滑到B的路径，
使所需时间为最短（像光学一样）
依光学原理（史奈尔折射定律）得
s in c （常数）（1）
v
y
p(x, y)
B
3.3 模型建立。
所以d x ta n td y 2 c s in 2 td t c ( 1 2 c o s t)d t
积分得：
xc2t
2
sin2tc1
因为曲线过（0，0），所以当t=0时，有x=y=0.于是
据能量守恒定律，质点在一定高度处的速度，完全由其
到达该高度处所损失的势能确定，而与路径无关。该质
点质量为m，重力加速度为g，质点由A滑到点 p( x, y)的
速度为v.则
1mv2 mgy或v 2gy （2）
由几何关系，有 2
sin c o s1 1 1（3） se c 1 ta n 2 1 (y ')2
涉及：几何；力学；电学；化学；热学；扩散；医学；人 口；体育；社会经济等。
§4-1几何问题
建立几何问题的数学模型方法：
1）找出反映该问题的几何关系
2）把几何量的表达式代入该关系式
3）得到DE即几何问题的数学模型
模型三、 最速降线问题
1.历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在 《教师报》上发表了一封公开信。信的内容是：请世界 上的数学家解决一个难题- “最速降线问题” 此问题的 提出一时轰动了欧洲。引起了数学家的极大兴趣。之后
（1）由规律列方程：如数学定律、物理、力学、电学、 光学、生物学、药学、化学定律
（2）由微分法列方程：如微元法 dyf(x)dx （3）模拟近似法：有些象生物，经济学科的实际问题，
规律性不清楚，建模时在不同的假设下去近似模拟 实际现象，得到DE。求出解来与实际对比。看其能 否刻划某些实际现象。
本章研究DE模型的建模方法：
MF
Ch3.初等模型
• 简单方法建立问题的数学模型：
• 1.代数法
• 此方法涉及到以下四个例题: • 1）例3.1.1 生小兔问题（Fabonacci问题） • 2）例3.1.2 椅子问题（战略核武器杀伤力问题） • 3）例3.1.3 雨中行走问题 • 4）例3.1.4 动物形体问题
• 2.图解法
• 5）例3.4.5供电问题
• 另外还有 递推法
人狗鸡米渡河问题
•
夫妻过河问题
•
图形法
市场平衡问题
奇偶校验法（铺方砖法)及优化决策问题-工厂选址问题
• 作业p37,2,3,9
• 习题3 3.1；3.4；3.12；3.16
• 第一次作业
• 1. 3.12 候车问题 公共汽车每隔五分钟有辆公共汽车
通过，乘客到车站的任一时刻是等可能的，试分别用几 何概型，均匀分布概型求乘客候车不超过三分钟的概率 （假设公共汽车一来，乘客就上车）
以利用此模型解决实际问题.
• 注 可以Newton万有引力模型为例，叙述建模的七个步
骤.
Ch2建模的常用方法
（1）理论分析法（2）模拟方法（3）类比分析法 （4）数据分析法（5）人工假设法（6）物理系统建模法 请作习题二，2.5
MP
MOLeabharlann MSM准备M假设M建立
M应用
MAP
分析 检验
MAN，MT
M求解
最速降线问题(数学模型概 述)
6）依数学模型所用方法分为： ①初等模型 ② DE模型 ③优化模型 ④统计模 ⑤控制论模型⑥逻辑模型⑦扩散模型
7）依数学模型的领域分为： ①人口模型②交通模型③生态模型④生理模型 ⑤经济模型⑥社会模型⑦工程系统模型以及电力模型 8）依数学模型对象的了解程度分为：
①白箱模型 ②灰箱模型 ③黑箱模型. §1-4建模步骤和原则
1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的。 2）模型假设：由实际对象的特性和建模的目的，在掌握
必要资料基础上对问题进行必要的简化，并用精确的语 言作出假设。(关键一步)
• 3）模型建立:据假设 ，用适当数学工具刻划变量间的关
系，建立数学结构（公式，图形，表格）
• 4）模型求解:对模型求解，包括解方程，图解，逻辑推
• 1）例3.1 实物交换问题 • 2）例3.2.2 导弹核武器危机
• 3.量纲分析法
• 1）单摆运动
• 2）开普勒第三定律
• 4.初等概率法
• 1）例3.4.1 Buffon问题（投针问题）
• 2）例3.4.2 下赌注问题
• 3）例3.4.3 Banach火柴盒问题
• 4）例3.4.4生男生女问题
• 2. 3.16 已知某项提案有48%的选民支持，并假设职工
代表确实 能解决选民的观点。试问由435名代表组成的 职代会会通过这项提案的可能性有多大。
Ch4. DE模型（ Ch5. 差分方程模型 Ch6. 工程系统中的模型）
在化工、仪表、通讯、交通、生物、经济、医学、 工程及社会等领域中，有大量的系统是DE模型。建 模的方法可归纳为：
此问题由Newton，Lebeniz，Bernoulli兄弟所解决，从而 产生了一门新的学科-变分学。
• 2.问题：确定一条连接二定点A，B的曲线。使质点
在这曲线上用最短的时间由A滑向B点(介质的摩擦力 与空气阻力忽略不计）。
有人指出：连结A，B的直线段即为速度线。回答是 否定的。在1630年Newton实验：在铅垂平面内，取 两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B。（先到达B）
由（1）（2 ）（3） ，得：
y
1
(
y'
)2
c
y(0) 0
（4）
此为速降线的数学模型的DE.
3.4 模型求解 把（4）变为 ( y ' )2 c y
y
•
dy (cy） 12 cott
dx y
则
sin2t
y
y(cy)2cy
（5）
y c sin2 t, dy2csintcostdt