最速降线问题
最速降线最简单证明
最速降线最简单证明最速降线问题是数学中一个经典的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个点，使得从该点触底后，到目标点的时间最短。
为了解决这个问题，我们可以设定一个二维坐标系，其中起始点为原点O (0, 0)，目标点为P (x, y)。
同时，我们假设点P的横坐标x大于0，即目标点在原点的右侧。
我们需要找到这样一个点Q，使得从原点O出发经过Q点最短时间。
设点Q的横坐标为α，根据问题的对称性，我们可以假设点Q的纵坐标为0。
因此，点Q的坐标为(α, 0)。
我们假设点Q点处的切线，与横坐标轴的夹角为θ。
则根据三角函数的性质，我们可以得到：tanθ = y/α这表示切线的斜率为y/α。
我们知道，从点Q到点P所需的时间为t = √(α^2 + y^2) / V，其中V为垂直速度。
点Q处的切线斜率与速度向量的斜率相等。
假设速度向量的斜率为k，则有：k = tanθ = y/α由此可得：α = y/k将α的值代入到时间的表达式中，我们可以得到一个只涉及到k 和y的时间表达式：t = √(y^2+(y/k)^2) / V = √(y^2+k^2y^2)/Vk = y√(1+k^2) / Vk我们需要最小化时间t，即求极小值。
为了方便计算，我们可以对时间t取平方，即t^2。
由于t^2关于y的函数形式简单，我们可以通过求导数将其转化为极值的问题。
计算t^2的导数，我们可以得到：2t * dt/dy = 2y * √(1+k^2) / Vk + y * (1+k^2)^(-1/2) * 2k * dk/dy / Vk化简上式，我们可以得到：√(1+k^2) / k - k * (1+k^2)^(-1/2) * dk/dy = 0将上式中的k代入到之前的k = y/α中，我们可以得到：√(1+(y/α)^2) / y - (y/α) * (1+(y/α)^2)^(-1/2) * (1/α) * dy/dα = 0化简上式，我们可以得到：√(α^2+y^2)/α = 1/α * dy/dα移项并化简，我们可以得到：(α^2+y^2) / α^2 = dy/dα由于α = y/k，我们可以进一步化简上式，得到：(k^2y^2+y^2) / (y^2/k^2) = dy/dα化简上式，我们可以得到：(k^2+1) / k^2 = dy/dα上式左边是常数，因此dy/dα也是常数。
牛顿对最速降线的推导
牛顿对最速降线的推导自1687年英国物理学家约翰牛顿发表他的著名著作《自然哲学的数学原理》后，他的力学原理便开始受到科学家们的研究与追求。
在当时，“最速降线”（least-time path,LTP）是科学家们极其关注的一个课题。
而经过一番努力之后，牛顿也发现了这一规律。
最速降线说明了一个物理体在同一力场作用下，从一点到另一点所经历的所有可能路径中，用最少的时间运动到达另一点的路径。
最速降线的途中的路径均经历了力的作用，最终到达终点。
他的发现令人称道，牛顿以自身努力将其解决得相当彻底，而自此以后，最速降线的推导也受到了牛顿的追随者们的不断探究。
在牛顿的推导当中，他首先指出，当一个物体从一个地点沿着一条路径移动到另一个地点时，它在路径上受到的力与它在另一个地点移动的距离成正比，而与运动速度及方向是无关的。
而物体在路径上经过的时间则与它在两个地点的距离之和成正比。
基于此，牛顿推导出了一个总的路径数学表达式来描述路径上时间的最短运动路径。
牛顿的路径表达式写作为：中O为起点，P为终点，x1,x2,…, xn 分别为路径上的位置点和s为路径总长度。
根据牛顿的推导，时间最短的路径必定满足以上表达式，即距离最短的路径也是时间最短的路径。
此外，牛顿还指出，若构建一条时间最短的路径，则可以将其划分为若干小块，每一小块的速度是固定的并且与其他小块的速度无关，这也就是牛顿对最速降线的推导。
牛顿的最速降线推导不仅仅在物理学上有所应用，它在航空、海洋和运输等多个领域也都有实际应用，其中在很多运输系统中都起到了核心作用。
最速降线的运用可以节省很多运输时间，这正是牛顿对最速降线推导的重要性所在。
最后，值得指出的是，牛顿对于最速降线的推导给科学界带来了极大的指导意义，它引领着科学家们前进，也助力了科学的发展。
牛顿为我们提供了一种有效的推导方法，我们可以根据此探索更多有关最速降线的研究，进一步开发出更加实用的结果，造福社会。
总之，英国物理学家约翰牛顿发表的《自然哲学的数学原理》首次提出了对最速降线研究的可能性。
最速降线问题的力学解法
最速降线问题寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部。
如图所示，A 、B 、C 同时在曲线上静止释放，同时下滑到最低点O 。
建立适当的坐标系，求曲线的方程。
分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O 。
这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。
解：建立如图所示的坐标系，设曲线的方程为)(x f y =，小球的质量为m 。
在曲线上任取一点),(y x ，则该点切线的坡度为xy p d d =。
故小球的回复力21pmgp F +=。
由简谐运动的动力学定义设ks F =。
其中k 是常量，s 是原点与),(y x 的弧长，即x p s xd 102⎰+=。
于是得到方程x p k pmgp xd 11022⎰+=+。
作代换21pp u +=，得到22111u p -=+。
方程两边对x 求导得21d d uk x u mg-=。
该方程可以分离变量。
解方程得通解为C x mgku u u +=+-arcsin 211212。
由于点O 是平衡位置，则有00==x F，于是00==x u 。
这样可以确定0=C 。
为了使表达式更加简洁，我们新引入一个参数]2,0[2πθ∈使得2sin θ=u 。
这样我们得到了x 方向上的参数方程)sin (4θθ+=kmgx 。
引入θ的同时，我们也建立了p 与θ的关系2tan θ=p 。
为了求出)(θy 的表达式，由复合函数的求导法则知，θθd d d d d d x x y y ⋅=。
其中x y d d 已知，)(θx 已经求出。
解方程得'cos 4C k mg y +-=θ。
由00==x y 可以确定kmg C 4'=。
故y 方向上的参数方程为)cos 1(4θ-=kmgy 。
最速降线实验报告
最速降线实验报告实验目的，通过实验，验证最速降线的运动规律，并利用实验数据进行分析和计算。
实验仪器，小车、斜面、计时器、尺子、直尺、手机。
实验原理，最速降线是指物体在斜面上沿着特定角度的斜线运动，其速度在垂直方向上最小。
根据斜面的倾角和高度差，可以计算出小车在斜面上的加速度。
实验步骤：1. 在水平地面上放置斜面，并测量斜面的倾角和高度差。
2. 将小车放置在斜面的顶端，释放小车并启动计时器。
3. 观察小车沿着斜面运动的过程，并记录下小车到达底部所用的时间。
4. 重复实验多次，取平均值作为最终结果。
实验数据：斜面倾角，30°。
斜面高度差，1m。
小车到达底部所用时间，2.5s、2.3s、2.4s、2.6s、2.5s。
实验结果：根据实验数据和斜面参数，可以计算出小车在斜面上的加速度。
利用公式 a = gsinθ，其中g为重力加速度，θ为斜面倾角，可以求得小车在斜面上的加速度为a = 9.8m/s² sin30° = 4.9m/s²。
实验分析：通过实验数据和计算结果可以得出，小车在斜面上的加速度与斜面的倾角有关，倾角越大，加速度越大。
这符合最速降线的运动规律，即物体在斜面上运动时，其速度在垂直方向上最小。
实验结论：本实验验证了最速降线的运动规律，通过实验数据和计算分析，得出小车在斜面上的加速度为4.9m/s²。
实验结果与理论预期基本吻合，实验过程中未发现明显误差。
实验总结：最速降线实验是一项简单而有趣的物理实验，通过实验可以深入理解物体在斜面上的运动规律。
在实验过程中，要注意测量斜面参数的准确性，以及记录实验数据的精确性。
通过多次实验取平均值，可以减小误差，得到更可靠的实验结果。
通过本次实验，我对最速降线的运动规律有了更深入的理解，也掌握了实验操作的技巧和注意事项。
希望通过今后的实验学习，能够进一步提高实验技能，深化对物理知识的理解和应用。
最速降线问题
解 且y(0)=0,y(p)=q 这样 其E-L方程为 由于 所以有 则可得 上式对θ求导，所以 根据曲线过原点(0,0)及(p,q)可求出x0=0及r，这样，所求曲线为
应用
最速降线无论在数学上还是物理上都进行过严格的证明,对工程来说,其物理原理为在同一高度滚下的两个球, 两球下滚的原因都是受重力分力的作用,沿直线下滚的球,下滑的加速度保持不变,速度稳定地增加。沿着旋轮线 下滑时,开始的一段的坡度非常大,使得下滑的球在非常短的时间内取得的下滑速度非常大。虽然,在下滑的后半 阶段,坡度逐渐变小、速度增加变缓,但此时的下滑速度已经变得很大。所以,沿着旋轮线下滑在整个下滑阶段的 平均速度很大。即使旋轮线的长度比直线的长度大,沿着旋轮线下滑的时间也比直线短。
求解
列出表达式
最终解答
图1设 O, A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，如果不计摩擦和空气阻力，一质点 m在重力作用下 从 O点沿一曲线降落至。A(p,q) A点，问曲线呈何种形状时，质点降落的时间最短。
设曲线为 y=y(x)，坐标如图1所示，质点由 O点开始运动，它的速度 v与它的纵坐标有关系 式中， g是重力加速度。 在曲线上点 (x, y)处，质点的运动速度为 式中， s表示曲线的弧长， t表示时间，于是 由于点 O, A的横坐标分别是 0, p，则质点 m从 O点运动到 A点所需时间为 这样，质点由 O点运动到 A点所需时间 t是 y(x)的函数，最速降线问题就是满足边界条件的 所有连续函数 y(x)中，求出一个函数 y使泛函式取最小值。 对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。
旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆 线（旋轮线）又称等时曲线。
最速降线原理
最速降线原理
最速降线原理指的是在自然界的各种运动中，物体在重力作用下，沿着一条路径从起点到终点，所经过的路径是使得时间最短的路径。
该原理可以用来解释光的传播、水流的流动、自由落体等现象。
在光的传播中，光线在不同介质中传播时会发生折射，而根据最速降线原理，光线会选择一条路径，使得光线的传播时间最短。
在水流的流动中，水会沿着地形自然流动，以最短的时间到达低处。
这可以解释河流的形成和水的正常流动。
而对于自由落体运动，物体受到重力的作用，在空气阻力不考虑的情况下，物体会选择纵向下降的路径，以最短的时间到达地面。
最速降线原理是自然界中普遍存在的规律，可以用来解释各种运动现象，并且在工程和科学研究中也有着广泛的应用。
1-最速降线问题解析
这就是最速降线的微分方程数学模型。 3. 模型求解： 我们要求解上面微分方程，将上式变形为
1 2
y dx c y dy
y 令 c y tan t 从而，y c sin2 t , dy 2c sin t costdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos2t dt 积分后得到 c x 2t sin 2t c1 2 这曲线过原点，故由上面第一式得， t 0 时， x y0 于是，c1 0 。这样 而
1 2 mv mgy 2
或 v 2gy
从这里的几何关系得
1 1 sin cos 2 sec 1 y
1 1 sin cos 2 sec 1 y
这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得
2 y[1 y ] c y 0 0
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）
起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
最速降线问题
最速降线问题引言在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直线短故宫屋顶科技馆里的最速降线模型1，历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在《教师报》上发表了一封公开信。
信的内容是：请世界的数学家解决一个难题-“最速降线问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。
引起了数学家的极大兴趣。
之后此问题由Newton,Lebeniz,Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学科——变分学。
2，问题：确定一条连接两个定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B（介质的摩擦力和空气阻力忽略不计）。
3，建模3,1 模型假设：在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示，假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略摩擦力和阻力。
3,2模型建立设质点质量为m 重力加速度为g,质点的速度为v根据能量守恒得： 12mv 2=mgy 则 v =√2gy =ds dtsecθ=ds dx tan θ=dy dx(sec θ)2−(tan θ)2=1得 ds =√1+(ẏ)2dxdt =ds v =√1+(y )22gy dxt =∫√1+(y )22gy dx a性能泛函 J (t )=√2g ∫√1+(y )2y dx a 0即： L=√1+(y )2y由欧拉方程的：y (1+ẏ2)=c令y =cot τ 得y =c (sin τ)2=c2(1-cos(2τ))所以： dx=dyy =2c sin τcos τcot τdτ=c (1−cos (2τ))dτx(0)=0所以： x =∫c(1−cos(2τ))τ0dτ=c2(2τ−sin(2τ))令t=2τ得：{x=12c(t−sin t) y=12c(1−cos t)其中c可由y(a)=b 确定因此可知：最速下降曲线是圆滚线即是半径为c/2的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段（旋轮线）。
最速降线
rn 意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。
”这算是这个著名问题的起源了（为什么别人没有想起这个问题呢？所以说大科学家的素质就是思考、创新，要有思想，人没有思想，就和行尸走肉没有什么区别）。
可惜的是伽利略说这曲线是圆，但这却是一个错误的答案。
瑞士数学家约翰？伯努利在1696年再次提出这个最速降线的问题（problem of brachistochrone），向全欧洲数学家征求解答。
伯努利将此问题称为Brachistochrone，即希腊语中的“最短”（brochistos）和“时间”（chronos）合成而来。
人们当然会首先想到连接AB的直线。
伯努利说了：“虽然AB 间线段最短，但小球滚下来的时间不是最短。
如果在年底前（指1696年）没有人发现这条曲线，我将公布这条曲线。
”直线有可能不是最短时间的路径，因为小球从零速度开始滚下来，最初应该让路径陡一些，好更快地加速获得速度。
这有点像武侠小说中的挑战了，显然，伯努利自己是得出了答案，才敢下此战书的。
伯努利原定的截止期限是1696年年底，可是他只受到了一份解答，就是他的老师莱布尼兹（微积分的另一个独立发明人，也是个大数学家），莱布尼兹要求伯努利将截止期限延长到来年复活节（大致在3月下旬到4月下旬之间），以便让欧洲数学家们有更多时间来充分解决此道难题。
这个问题的难点在于，是求出一条曲线，实际就是求一个满足给出条件的未知函数，这在以前是前所未有的，有可能开创一个新的学科领域。
于是数学家们具有极大兴趣，纷纷开展研究。
有意思的是，伯努利在“战书”中还特别暗示了他的挑战对象，他写道：“……很少有人能解出我们的独特的问题，即使那些自称通过特殊方法……不仅深入探究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学领域的人，这些人自以为他们的伟大定理无人知晓，其实早已有人将它们发表过了”这简直是赤裸裸的指向伟大的伊萨克？牛顿了！伯努利提到的“定理”显然是指流数术（牛顿自己给微积分起的名字），而牛顿曾宣称自己早在莱布尼兹1684年发表微积分论文前就已经发现了这一理论。
最速降线原理
最速降线原理最速降线原理，又称费马原理，是数学中的一个重要原理，它描述了两点之间最短路径的特性。
这个原理在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨最速降线原理的相关概念、应用以及其在实际生活中的意义。
首先，我们来了解一下最速降线原理的基本概念。
最速降线原理指的是，两点之间的最短路径是一条曲线，其切线方向与两点之间的连线方向相同。
这条曲线被称为最速降线，因为在重力场中，物体沿着这条曲线下落的时间最短。
费马原理可以通过变分法来证明，它是微积分中的一个重要定理。
最速降线原理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在光的传播中，光线在两点之间传播的路径也是一条最速降线，这就解释了光的折射定律。
在天体运动中，行星绕太阳运动的轨迹也是一条最速降线，这就是开普勒定律的基础。
此外，在工程学中，最速降线原理也被应用于优化问题的求解中，比如最短路径问题、最优控制问题等。
最速降线原理在实际生活中也有着重要的意义。
我们在日常生活中常常需要求解最短路径问题，比如规划最佳的出行路线、设计最有效的物流配送方案等。
而最速降线原理提供了一个重要的数学工具，帮助我们解决这些实际问题。
另外，最速降线原理也启发了人们对于优化问题的思考，促进了科学技术的发展。
总的来说，最速降线原理是数学中的一个重要概念，它描述了两点之间最短路径的特性。
这个原理在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用，并在实际生活中发挥着重要的作用。
通过对最速降线原理的深入理解，我们可以更好地应用它解决实际问题，推动科学技术的发展。
希望本文对读者对最速降线原理有所帮助，谢谢阅读。
最速降线问题
也就无限增多ꎬ其形状就趋近我们所要求的曲线( 最速降
线)ꎮ 而折线的每一段趋向于曲线的切线ꎬ因而得出最速降
线的一个重要性质ꎮ 任意一点上切线和铅垂线所成的角度
的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数ꎬ具有这样性
质的曲线就是摆线ꎬ它是一个圆沿一直线缓慢地滚动ꎬ则圆
上一固定点所经过的轨迹ꎮ
【例 １】
( １) 光的反射
( ２) 光的折射
光在介质 １ 中传播的距离
ｓ１
＝ ＡＯꎬ速度
ｖＡ ꎬ时 间
ｔ１
＝
ｓ１ ｖＡ
ꎻ光
在介质 ２ 中传播的距离 ｓ２ ＝ ＯＢꎬ
速度
ｖＢ
ꎬ时间
ｔ２
＝
ｓ２ ｖＢ
ꎻ函数
Ｔ
＝
ｓ１ ｖＡ
＋ ｓ２ 存在最值ꎮ
ｖＢ
光从空间的一点到另一点ꎬ
是沿着光程为极值(最小、最大或常量) 的路程传播的ꎬ这是
费马原理ꎮ 约翰伯努利正是受此启发解出摆线方程ꎮ
α′ ＝ β′ ＝
２２βα在
直
角三
角
形
Ｒｔ △ＡＢＣ
中两个
锐角分别是 α 和 βꎬ我们可以让直角三角 Ｒｔ△ＡＢＣ 做如下变
换ꎮ 她所在的第一个坐标系( ａ) 是由 α 和 β 所确定的坐标
{ 系ꎬ经坐标变换
α′ ＝ β′ ＝
２２βα后来她到由
α′和
β′所确定的坐标系
ìïïｍ１ (ｂ)ꎬ经坐标变换 í
取时 间
Ｔ
的平方
Ｔ２
＝
æ ｓ１
ç
＋ ｓ２
ö２
÷
＝
æ ｓ１
ç
ö
÷
２
＋
æ
最速降线的详细原理
最速降线的详细原理最速降线（brachistochrone）是一个典型的物理问题，涉及到在决定两个点之间最快下降的时间和路线的问题。
这个问题被认为是微积分史上的重大里程碑之一，在光学、流体力学和射线追踪等多个领域得到广泛应用。
最速降线的基本原理是：两点之间的最快下降线是一个钟形曲线。
假设一滑块沿着两点之间的任意路径从高处（A点）向低处（B点）移动。
无论它在从A点到B点的路径中做多少个弯，只要路径的形状相同，滑块的下降时间将会是一样的。
然而，一个滑块沿任何路径下降时，其下降方向和地心引力的方向并不一致。
如果下降过程中滑块的一部分沿着地心引力的方向滑行，那么速度将会更快，应保证整个下降过程的时间最短。
钟形曲线的形状能够满足这个条件，因为钟形曲线中的任意两点之间的切线总是指向滑块的下降方向，并且代表着滑块在该点下降时的最大速度。
如果将两个钟形曲线分别连接A、B两点，沿这条路径下降的时间将是最短的。
最速降线的一个重要应用是建设过山车和滑雪坡道。
相比于直线路径，钟形曲线能够让滑行器的下降速度更快，体验更刺激。
钟形曲线的优势在于只有部分路径是直的，这就可以让滑行器在下降的过程中承受更大的向心力，加速后续的转弯。
如果整个路径都是直线，滑行器在高速下降的同时将不可避免地受到过强的力量，容易失控。
总之，钟形曲线在物理、工程学和娱乐设施中的广泛应用表明了它作为最速下降路径的确切性和优越性。
该问题的解决方法还涉及了微积分等数学技术，使得我们能够优化各种运动过程，并在实际应用中创造更为安全、有趣和高效的流程。
最速降线问题的泛函构造
最速降线问题的泛函构造王世恩红河学院理学院物理系，云南省，中国，661100摘要：本文在最速降线问题的一般性数学描述下，建立起泛函的概念。
并在泛函空间的构造上，建立起变分运算的基础，从而在要求泛函取极值的条件下，通过变分求解最速降线问题。
关键词：最速降线；泛函；变分。
最速降线的问题是1630年伽利略提出来的[1, 2]，伽利略认为最速降线应该是一段圆弧。
瑞士数学家约翰．伯努利后来了解了这个问题后并不这样认为。
1696年，伯努利再一次提出这个问题，并征求解答。
第二年，有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。
这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。
1726年，瑞典科学家欧勒开始关注这个问题。
1744年，欧勒给出了之类问题的普遍解法，并由此产生了泛函的概念和变分法。
今天，由最速降线问题发展起来的泛函变分已作为分析力学的重要基础[3]。
本文在接下来的一节，先给出最速降线问题的准确表述，再给出该问题的一般性数学描述；而在第二节，将建立泛函的概念，并在泛函空间的构造上，给出变分运算的基础；最后，在要求泛函取极值的条件下，通过变分，求解最速降线问题。
1. 最速降线问题的数学描述伽利略提出的最速降线问题是这样的：在给定的两个点之间，质点只在重力的作用下，沿什么样的曲线下滑所用的时间最短、最快捷？ 实际上，这个问题可考虑在A 、B 两个定点之间，质点只在重力的作用下假设沿曲线)(x f y =无摩擦地下滑。
如图1，取A 点为坐标系的原点，B 点的坐标为),(B B y x 。
质点下滑到),(y x 点时，由机械能守恒定律，质点的速度大小有gy dt ds v 2== (1) 其中的弧微分可有 dx y ds 2)(1'+= (2)于是就有dx gyy v ds dt 2)(12'+== (3)y 图1，假设质点只在重力的作用下沿A 和B两点间的曲线)(x f y =无摩擦地下滑。
最速降线问题
a
2
A2
这就是光学中的Snell折射定律
建立数学模型
若用与x 轴平行的直线将 分析；如图建坐标系， AB 分割成小段, 考虑在第k c x A 层与k+1层质点在曲线上的下 a 滑，依能量守恒律，可近似 k 认为质点在每层内的速度不 变，于是依辅助结论知
sin k sin k 1 vk vk 1
那么我们的问题成为
求某个 y ˆ E,使得
ˆ ) min T ( y ) T(y
yE
引进集合 E0 { ( x) C 1[0, c], (0) 0, (c) 0}
ˆ ( x) 是最速曲线函数,则 显然若 y ˆ ( x) ( x) E, R , E0 y
1
2
3
4
5
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？ 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点 何时越过l ？ 如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1 别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 为a, b, OD =c, 质点经过l于C OC=x 那么质点由A1到A2需时间
E0
由于 的任意性,得到
d ˆ, y ˆ )) f y ( y ˆ, y ˆ ) 0 ( f y ( y dx
d ˆ y ˆ f y ( y ˆ, y ˆ ) f ( y ˆ, y ˆ )] 0 上式乘以 可化为 [y dx
ˆ 满足方程 也就是说 y
从而下降时间
T dt
0 T S 0
0 R 2(1 cos ) d ds 0 v 2 gy
T
0
1最速降线问题
何时越过l ？
如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1
别为O,D, A1,A2 到l的距离分别
1
Dl
为a, b, OD =c, 质点经过l于C
O
C
2
OC=x 那么质点由A1到A2需时
A2
间:
x2 a2 (c x)2 b2
t
v1
v2
dt
x
cx
这曲线过原点，故由上面第一式得，t 0 时，x y 0
于是，c1 0。这样
x c 2t sin 2t
而
2
y c sin2 t c 1 cos 2t
2
x c 2t sin 2t
2
y c sin2 t c 1 cos 2t
2
若令 a c , 2t ，则联立上两式得
雅可布伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）著名数学家。 约翰.伯努利的哥哥，他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分， 并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在 tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。 雅可布在《学艺》上发表了一系列重要的论文，微分方程中的 “伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极 坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提 出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问 题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。 雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结 果还是对数螺线。
sin cos 1 1
解释最速降线简单原理
解释最速降线简单原理
最速降线是一种在优化问题中常用的方法，其基本原理是从一个起点开始，沿着某个方向一直走，让每一步都减小到最小值，直到达到全局最小值为止。
最速降线是一种对目标函数的梯度下降方法，其对目标函数进行了一步步的优化，通过找到局部最优解的方向，逐步减少目标函数值，直到找到全局最优解。
最速降线方法的主要目标是确定每一步的方向及步长，以使得目标函数值能够尽量地减少。
在实际应用中，最速降线方法通常结合梯度下降算法使用，其主要步骤如下：
1.选定起始点：首先，需要确定起始点，即从哪里开始进行优化。
这里可以采用随机或者手动指定的方法来确定起始点。
2.计算梯度：为了确定下一步的方向和步长，需要计算当前位置的梯度。
梯度是指目标函数在当前位置处的方向导数，其方向指向函数在该点上升最快的方向。
3.确定步长：在确定下一步的方向后，需要确定每一步的长度。
一般而言，步长可以通过预测当前位置到达全局最小值所需要的步数来确定。
4.更新位置：将步长和方向相乘，以更新当前位置。
也就是说，当前位置移动到下一个位置。
5.重复操作：一旦到达下一个位置，就需要重新计算梯度和确定步长，以便于尽可能地接近最优解。
不断重复这个过程，直到达到全局最优解时为止。
最速降线方法在优化问题中得到了广泛应用，比如在机器学习、神经网络和数据挖掘等领域。
其优点是简单易懂，容易实现，并且在很多情况下可以找到全局最优解，但缺点就是可能遇到局部最优解，无法达到全局最优解的情况。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况对最速降线方法进行调整和改进。
使用拉格朗日乘数法计算最速降线
使用拉格朗日乘数法计算最速降线一、引言在物理学和工程学中，我们经常需要研究物体在重力场中的运动规律。
而在研究物体在重力场中的运动问题时，经常需要求解最速降线的问题。
那么，如何使用拉格朗日乘数法来计算最速降线呢？接下来，我们将通过深入的探讨和分析，来揭示这一问题的解决方法。
二、什么是最速降线？最速降线是指在给定两点之间，一条曲线上一点到另一点的时间最短。
在重力场中，物体遵循最速降线原理，也就是物体在重力场中自由运动时，路径为最速降线。
对于给定两点之间的最速降线问题，我们需要找到一条曲线，使得物体从起点到终点所需的时间达到最小值。
三、拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法。
它的基本思想是将原问题转化为一个无约束优化问题，通过引入拉格朗日乘子来构建一个拉格朗日函数，然后求解该函数的驻点。
在最速降线问题中，我们需要将最速降线的约束条件转化为拉格朗日乘数形式，然后应用拉格朗日乘数法来求解。
四、使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤1. 建立参数方程我们需要建立最速降线的参数方程。
设最速降线为y=f(x)，起点为(x1,y1)，终点为(x2,y2)，则我们可以建立参数方程：x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b其中，参数t的范围为[a,b]。
2. 构建拉格朗日函数接下来，我们需要构建拉格朗日函数。
根据最速降线的约束条件，即起点和终点确定，我们可以建立拉格朗日函数：L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-k)其中，λ为拉格朗日乘子，g(x,y)为约束条件函数，k为约束条件的常数值。
3. 求解拉格朗日函数的偏导数我们需要求解拉格朗日函数关于x、y和λ的偏导数，并令其等于0，得到方程组：∂L/∂x=0∂L/∂y=0∂L/∂λ=0通过求解上述方程组，我们可以得到参数方程x=x(t)，y=y(t)的解。
4. 求解最速降线方程通过将参数方程带入原函数f(x,y)，我们可以求解出最速降线的方程，从而得到最速降线的数学表达式。
最速降线问题数学建模
最速降线问题数学建模最速降线问题是一个经典的数学问题，涉及到最优控制和变分法等领域。
下面是一个简单的数学建模过程：1.问题描述：给定一个高度为h的斜坡，一个物体从斜坡顶部释放，在重力作用下沿着斜坡滑下。
我们要找到一条路径，使得物体沿着这条路径滑到底部所需的时间最短。
2.变量定义：假设斜坡的高度为 h，物体的质量为 m，摩擦系数为μ，斜坡的角度为θ。
3.建立模型：(1) 物体沿着斜坡下滑时受到重力、摩擦力和斜坡的支持力的作用。
(2) 重力方向向下，大小为 mg；摩擦力方向与运动方向相反，大小为μmgcosθ；斜坡的支持力垂直于斜坡，大小为 mgcosθ。
(3) 物体的加速度 a = g - μgcosθ - gsinθ，其中 g 是重力加速度。
(4) 物体的速度 v = at，其中 t 是时间。
(5) 物体的位移 s = 1/2 at^2。
(6) 最速降线的目标是使得物体滑到底部所需的时间最短，即最小化t = sqrt(2h/a)。
4. 变分法求解：根据最速降线的定义，我们可以使用变分法求解这个最优化问题。
具体来说，我们可以通过求解以下变分问题来找到最速降线：(1) 定义一个参数化的路径函数 y(t)，表示物体在时间 t 时的位置。
(2) 定义一个泛函 F[y(t)]，表示物体沿着路径 y(t) 滑到底部所需的时间的平方，即 F = int [ (dy/dt)^2 dt ]。
(3) 求解 F[y(t)] 的极值问题，找到使得 F 最小的 y(t)。
5. 解的解析：经过一系列数学推导，我们可以得到最速降线的解析解。
在最速降线问题中，最速降线的形状是一条摆线。
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最速降线问题
“想象一个小球，仅受重力，从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点 B。
怎样设计这条斜坡，才能让小球在最短的时间内到达点 B？”
这个在数学史上被称为“最速降线”的知名问题，最早是由著名的意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）于 1630 年提出来的。
他在研究后认为最速降线应该是圆弧，但可惜的是这个答案并不是正确的。
时间又过了 60 多年，1696 年 6 月，来自瑞士巴塞尔（Barsel，这座城市不仅是数学世家伯努利的故乡，也是欧拉的故乡，有一个由欧拉解决的著名数论问题就是以这座城市命名的）的约翰・伯努利（Johann Bernoulli）在《教师学报》（Acta Eruditorum）上又重新提出这个问题，并向全欧洲的数学家提出公开挑战。
这个别出心裁却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家，而最后给出了正确解答的人也都是数学史上赫赫有名的
巨人。
这也让这次挑战成为了数学史上最激动人心的一场公开挑战。
数学家之间公开挑战的传统要追溯到 16 世纪在意大利的博洛尼亚（Bologna）。
16 世纪初的博洛尼亚曾是欧洲数学思想的大熔炉，全欧洲的学生都会来到博洛尼亚大学。
他们甚至还“发明”了一项新的观赏运动——数学比赛。
这听起来有些匪夷所思，但在当时确实有大批的观众从各地涌来，围观数学家们互相之间用数学斗法。
其中最有名的一次，是在塔塔里亚（Tartaglia）和费奥（Fior）间上演的，是一场关于求出一元三次方程通解的世纪智力大战。
言归正传，在约翰・伯努利发出挑战后的半年里，他收到的唯一一份答案来自《教师学报》的主编，他的老师莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）。
在莱布尼茨的要求下，他将接受答案的最后期限推迟到 1697 年的复活节，以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来。
我们都知道，过两点的直线段是两点间的最短路径。
但使质点的运动时间最短的运动轨迹，却不是那么的显而易见。
这个问题和以往人们见过的那些求极值的问题是有本质区别的。
借助微积分，人们可以求出一个函数的极值；但最速降线问题要求的并不是某个传统函数的极值点，而是要在一簇曲线（过 A、B 两点的所有曲线）中，求出能让质点运动时
间最短的那条。
这是一个以函数（小球的运动轨迹）为自变量，以实数（小球运动的时间）为函数值的函数，也就是所谓的泛函。
我们要求的就是这样一个泛函的极值。
正如后文将要介绍的那样，这类问题形成了一个全新的数学分支——变分学。
1697 年的复活节很快就到了，约翰・伯努利一共收到了五份正确答案。
这五份答案分别来自他自己，他的老师莱布尼茨，他的哥哥雅各布・伯努利（Jakob Bernoulli），他的学生洛必达（Guillaume Francois Antonie de L'Hospital），还有一位来自英国的匿名数学家。
最后这份答案虽然没有署名，但显然出自赫赫有名的牛顿（Issac Newton）之手。
虽然五人的解法各不相同，但他们的答案全都一样——最速降线就是摆线。
同一个答案
所谓摆线（cycloid），就是当圆沿一条直线运动时，圆周上一定点所形成的轨迹。
其实当时的数学家对这种曲线并不陌生，帕斯
卡和惠更斯都曾研究过这一重要的曲线。
但大部分人都没有想到，这条线同时也是人们苦苦追寻的最速降线。
而我们大家对摆线也不陌生。
还记得小时候玩过的那种能够画出各种漂亮曲线的玩具吗？一块塑料板上开着几个圆形的大洞，还有几块较小的圆形塑料片，不同半径处留有一些孔。
把这些看似普通的小圆片放进大圆孔中，再将圆珠笔插在小孔里并带动小圆片沿着大圆的圆周运动，就能在纸上留下各种美丽的曲线。
这些曲线也都是摆线，只不过是另一种被称为“内摆线”（hypocycloid）的摆线。
它们是由给定圆在另一个圆内运动时，圆周上一定点形成的轨迹。
不同的解法
让我们回到众人给出的最速降线的解法上。
莱布尼茨、牛顿、洛比达都是用他们擅长的微积分来解决这个问题的。
伯努利
兄弟的解法就值得特别地说一说了。
约翰的解法应该是最漂亮的解法了。
他利用了费马原理（Fermat's principle），将小球的运动类比成光线的运动。
费马原理又叫做“最短光时”原理，说的是光线在传播时总会选择光程极短的那条路径。
那么，“最速降线”就是在光速随高度下降而增加（加速度恒为重力加速度 g）的介质里光线传播的路径。
用这样的类比思想，约翰成功地算出了这条曲线就是前面提到的摆线。
这种解法出人意料地用到了费马原理，实在是太巧妙了！在物理学中，费马原理被认为是“最小作用量原理”（principle of least action）在几何光学中的特例。
而最小作用量原理则是物理学定律普遍遵循的规律，甚至被称为“物理定律的定律”。
不知你想过没有，当我们将一个小球抛出后，它为什么会沿着所谓的抛物线运
动？你可能会说，因为小球只受重力作用，根据牛顿第一定律，它在水平方向上速度恒定不变；而根据牛顿第二定律，它在竖直方向上做匀变速运动。
这两个运动合起来就使得小球的运动轨迹成了一条抛物线。
这确实不错，但现在让我们换一个角度来考虑这个问题。
从整体的角度考虑，小球在被抛出后，为什么不沿着其他的路径运动，却总是沿着抛物线运动呢？同样，我们在考察了连接小球起点和终点的所有曲线后，会发现只有在沿着抛物线运动时，小球的动能和势能的差在运动过程中对时间的积分（这就是所谓的“作用量”）才是最小的。
注意，在这里我们同样是在一簇曲线中，求出一条曲线使得某个量达到极值。
这种在一簇曲线中，求出某条曲线使得函数取到极值的思想就是变分的核心思想。
也就是说，我们又是在用变分求泛函的极值。
回过头来看看约翰・伯努利的哥哥——雅各布・伯努利的解法。
虽然雅各布的解法相对于约翰的解法来说更复杂更麻烦，但他的解法更具有一般性，体现了变分的思想。
约翰的学生，伟大的数学家欧拉吸收了这一思想，并从 1726 年开始发表相关的论文，最终于 1744 年首先给出了这类问题的解法，并创立了变分学这一新的数学分支。
投资者用它来计
算最大利润，工程师用它来计算最小损耗，建筑师用它来优化架构。
它成为了微积分理论中最强大的工具之一。