高中数学北师大版必修5 第三章3.1 基本不等式 作业 Word版含解析
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[学业水平训练]
1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A ．a 2＋b 2>2ab
B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b
≥2 答案：D
2．若实数a 、b 满足0 A.12 B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．a 解析：选B.∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.∵a 2＋b 2>2·⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝2×14＝12，又0 ，∴a 2＋b 2最大． 3．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长 率为s %，则s 与p ＋q 2 的大小关系是( ) A ．s ＝p ＋q 2 B ．s ≤p ＋q 2 C ．s >p ＋q 2 D ．s ≥p ＋q 2 解析：选B.由已知得(1＋s %)2＝(1＋p %)(1＋q %)≤ ⎝⎛⎭⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝⎛⎭⎫1＋p %＋q %22 ， 于是1＋s %≤1＋p %＋q %2 . 故s ≤p ＋q 2. 4．(2013·高考福建卷)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1， ∴22x ＋y ≤1， ∴2x ＋y ≤14 ＝2－2， ∴x ＋y ≤－2， 即(x ＋y )∈(－∞，－2]． 5.已知a ，b 都是正数，设M ＝ a b ＋b a ，N ＝a ＋b ，则( ) A ．M >N B ．M C ．M ＝N D ．M ≥N 解析：选D.∵a >0，b >0，∴b >0， a b ＋b ≥2a ，b a ＋a ≥2b . 于是a b ＋b ＋b a ＋a ≥2a ＋2b . 故a b ＋b a ≥a ＋b ，即M ≥N . 6．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b ＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________． 解析：∵1a ＋1b ≥2ab ，∴ab ≥4. 而x 2＋y 2≥2xy ，则xy ≤4.∴ab ≥xy . 答案：ab ≥xy 7．若a >1，0 解析：∵a >1，0 ∴－(log a b ＋log b a )＝(－log a b )＋(－log b a )≥2. 当且仅当－log a b ＝－log b a ， 即a >1，0 ∴log a b ＋log b a ≤－2. 答案：(－∞，－2] 8．已知M ＝x ＋1x －3 ，N ＝51－x 2(x >3)，则M 与N 的大小关系是________． 解析：∵x >3，∴x －3>0， ∴M ＝x －3＋1x －3＋3≥2（x －3）·1x －3 ＋3＝5， 又∵1－x 2<0，∴N ＝51－x 2<5即N <5. ∴M >N . 答案：M >N 9．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x 1≠x 2时，比较f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22与f （x 1）＋f （x 2）2的大小． 解：∵f (x )＝a x ，∴f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝a x 1＋x 2 2， 12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12 (ax 1＋ax 2)． ∵a >0且a ≠1，x 1≠x 2， ∴ax 1>0，ax 2>0，且ax 1≠ax 2， ∴12 (ax 1＋ax 2)> ax 1·ax 2＝a x 1＋x 22， 即f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<1 2[f (x 1)＋f (x 2)]． 10．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明：∵a >0，b >0，c >0， ∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ac . 于是2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca . ∵a ，b ，c 为不全相等的正实数，等号不成立， ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . [高考水平训练] 1．(2014·亳州检测)已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A ．log 2a >0 B ．2a －b <12 C ．2b a ＋a b <12 D ．log 2a ＋log 2b <－2 解析：选D.∵0 ， ∴log 2a <－1，故A 错误； 对于B ，∵a ＋b ＝1，12 ＜b ＜1， ∴－1＜1－2b ＜0. 又y ＝2x 在R 上为增函数， ∴2a －b ＝21－2b ＞2－1＝12 ，故B 错误； 对于C ，2b a ＋ a b ≥22b a ·a b ＝22＝4，故C 错误； 对于D ，∵0ab ，∴ab <14 .又∵log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )，∴log 2a ＋log 2b ，即log 2a ＋log 2b <－2，故选D. 2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________． ①1a ＋1b ≤14；②1a ＋1b ≥1；③ab ≥2；④1ab ≥1. 解析：由a >0，b >0，知a ＋b 2≥ab ，又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b ≥1. 答案：② 3．设a >0，b >0且满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围． 解：∵a ＋b ＋3＝ab ≤（a ＋b ）2 4 ， ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0. 又∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≥6. 4．已知a 、b ∈R ＋，a ＋b ＝1. 求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ≥252 . 证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1.