1.1线性回归方程的求法
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探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何 规律？
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
y
500 水稻产量
450
· ··
400
·
350 · · ·
300
散点图 施化肥量
10 20 30 40 50
x
探索2：在这些点附近可画直线不止一条，
r∈[-1,-0.75]--负相关很强;
r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
第一章 统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
（第二课时）
a. 比《数学3》中“回归”增加的内
• (1)|r|≤1．
• (2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接 近于0，相关程度越小．
• 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它 们的相关程度怎样呢？
负相关
正相关
相关系数
n
r=
i=1(xi-x)(yi-y) in=1(xi-x)2×i=n1(yi-y)2
ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，
1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一
定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫回归分析。
2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等
（1）所求直线方程 yˆ = bˆ x + aˆ 叫做回归直线方程；
其中
n
n
y bˆ =
(xi - x)(yi - y)
i=1 n
=
(xi - x)2
xi
- nxy
i
i=1
n xi2 - nx2
,
i=1
i=1
aˆ = y - bˆ x
（2）相应的直线叫做回归直线。 （3）对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
（参考数值：32.5 43 54 64.5 66.5 ）
小结：求回归直线方程的步骤
（1）作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分
布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。
（2）所求直线方程 yˆ = bˆ x + aˆ 叫做回归直线方程；
其中 n
n
y bˆ =
(xi - x)(yi - y)
哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？
发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
y 水稻产量
500
· · 450
(xi ,yi )
· · 400 |yi - y$i |
··· 350
(xi ,y$i )
300
10 20 30 40
怎样求回归直线？
施化肥量
50
x
n
Q(a,b)= (yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值. i=1
例2 （2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y (吨标准 煤)的几组对应数据。
X
3
4
y
2.5
3
5
6
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的
性回归方程 y bˆx aˆ
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断
用样本估计总体 变量间的相关关系
简 分 系 用样本 用样本
线
单层 统 随抽 抽 机样 样 抽
的频率 分布估 计总体
数字特 征估计 总体数
性 回 归 分
样
分布
字特征
析
统计的基本思想
实际
样本
抽样
y = f(x)
分析
y = f(x)
9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题
10. 正确理解分析方法与结果
什么是回归分析：
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。
根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。 虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此， X和Y之间存在一种相关关系。
（注意回归直线一定经过样本点的中心）
例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万 元)有如下的统计数据：
x
2
3
4
5
6
Y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由此资料所知y对x呈线性相关关系，试求： 1.回归直线方程 2.估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
解题步骤：
1.作散点图
2.把数据列表，计算相应的值，求出回归系数 3.写出回归方程,并按要求进行预测说明。
最小二乘法：yˆ = bˆ x + aˆ
nwk.baidu.com
n
bˆ =i=1i(n=x1i(-xxi)-(xy)i2-y) =
xiyi - nxy
i=1 n
xi2 - nx2
,
i=1
aˆ =y-bˆx.
其中x
=
1 n
n xi,y i=1
=
1 n
n yi. i=1
(x,y) 称为样本点的中心。
2、回归直线方程：
模拟
y$= f(x)
现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？ 不相关
两个变量的关系
函数关系
相关 关系
线性相关 非线性相关
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系
函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身 高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈 的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。
数学３——统计
容选修１-２——统计案例
5. 引入线性回归模型
1. 画散点图
2. 了解最小二乘法 的思想
y＝bx＋a＋e
6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因
3. 求回归直线方程
y＝bx＋a
4. 用回归直线方程 解决应用问题
7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系
8. 了解残差图的作用
i=1 n
=
(xi - x)2
xi
- nxy
i
i=1
n xi2 - nx2
,
i=1
i=1
aˆ = y - bˆ x
（3）根据回归方程，并按要求进行预测说明。
相关系数
• 1.计算公式
n
(xi - x)(yi - y)
r=
i=1
n
n
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
i=1
• 2．相关系数的性质
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
y
500 水稻产量
450
· ··
400
·
350 · · ·
300
散点图 施化肥量
10 20 30 40 50
x
探索2：在这些点附近可画直线不止一条，
r∈[-1,-0.75]--负相关很强;
r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
第一章 统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
（第二课时）
a. 比《数学3》中“回归”增加的内
• (1)|r|≤1．
• (2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接 近于0，相关程度越小．
• 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它 们的相关程度怎样呢？
负相关
正相关
相关系数
n
r=
i=1(xi-x)(yi-y) in=1(xi-x)2×i=n1(yi-y)2
ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，
1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一
定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫回归分析。
2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等
（1）所求直线方程 yˆ = bˆ x + aˆ 叫做回归直线方程；
其中
n
n
y bˆ =
(xi - x)(yi - y)
i=1 n
=
(xi - x)2
xi
- nxy
i
i=1
n xi2 - nx2
,
i=1
i=1
aˆ = y - bˆ x
（2）相应的直线叫做回归直线。 （3）对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
（参考数值：32.5 43 54 64.5 66.5 ）
小结：求回归直线方程的步骤
（1）作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分
布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。
（2）所求直线方程 yˆ = bˆ x + aˆ 叫做回归直线方程；
其中 n
n
y bˆ =
(xi - x)(yi - y)
哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？
发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
y 水稻产量
500
· · 450
(xi ,yi )
· · 400 |yi - y$i |
··· 350
(xi ,y$i )
300
10 20 30 40
怎样求回归直线？
施化肥量
50
x
n
Q(a,b)= (yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值. i=1
例2 （2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y (吨标准 煤)的几组对应数据。
X
3
4
y
2.5
3
5
6
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的
性回归方程 y bˆx aˆ
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断
用样本估计总体 变量间的相关关系
简 分 系 用样本 用样本
线
单层 统 随抽 抽 机样 样 抽
的频率 分布估 计总体
数字特 征估计 总体数
性 回 归 分
样
分布
字特征
析
统计的基本思想
实际
样本
抽样
y = f(x)
分析
y = f(x)
9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题
10. 正确理解分析方法与结果
什么是回归分析：
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。
根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。 虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此， X和Y之间存在一种相关关系。
（注意回归直线一定经过样本点的中心）
例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万 元)有如下的统计数据：
x
2
3
4
5
6
Y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由此资料所知y对x呈线性相关关系，试求： 1.回归直线方程 2.估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
解题步骤：
1.作散点图
2.把数据列表，计算相应的值，求出回归系数 3.写出回归方程,并按要求进行预测说明。
最小二乘法：yˆ = bˆ x + aˆ
nwk.baidu.com
n
bˆ =i=1i(n=x1i(-xxi)-(xy)i2-y) =
xiyi - nxy
i=1 n
xi2 - nx2
,
i=1
aˆ =y-bˆx.
其中x
=
1 n
n xi,y i=1
=
1 n
n yi. i=1
(x,y) 称为样本点的中心。
2、回归直线方程：
模拟
y$= f(x)
现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？ 不相关
两个变量的关系
函数关系
相关 关系
线性相关 非线性相关
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系
函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身 高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈 的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。
数学３——统计
容选修１-２——统计案例
5. 引入线性回归模型
1. 画散点图
2. 了解最小二乘法 的思想
y＝bx＋a＋e
6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因
3. 求回归直线方程
y＝bx＋a
4. 用回归直线方程 解决应用问题
7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系
8. 了解残差图的作用
i=1 n
=
(xi - x)2
xi
- nxy
i
i=1
n xi2 - nx2
,
i=1
i=1
aˆ = y - bˆ x
（3）根据回归方程，并按要求进行预测说明。
相关系数
• 1.计算公式
n
(xi - x)(yi - y)
r=
i=1
n
n
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
i=1
• 2．相关系数的性质