线性回归方程的求法(需要给每个人发)
高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解
高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解
线性回归方程是一种用于拟合一组数据的最常见的数学模型，它可以用来预测一个因变量（例如销售额）和一个或多个自变量（例如广告费用）之间的关系。
下面是线性回归方程的公式详解：
假设有n个数据点，每个数据点包含一个因变量y和k个自变量x1,x2,...,xk。
线性回归方程可以表示为：
y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βk*xk + ε
其中，β0, β1, β2, ..., βk是模型的系数，ε是误差项，用来表示实际数据和模型预测之间的差异。
系数β0表示当所有自变量均为0时的截距，而β1, β2, ..., βk 则表示每个自变量对因变量的影响。
当系数为正时，自变量增加时因变量也会增加；而当系数为负时，自变量增加时因变量会减少。
通常，我们使用最小二乘法来估计模型的系数。
最小二乘法就是通过最小化所有数据点与模型预测之间的距离来找到最优的系数。
具体来说，我们可以使用以下公式来计算系数：
β = (X'X)-1 X'y
其中，X是一个n×(k+1)的矩阵，第一列全为1，其余的列为自变量x1,x2,...,xk。
y是一个n×1的向量，每一行对应一个因
变量。
X'表示X的转置，-1表示X的逆矩阵，而β则是一个(k+1)×1的向量，包含所有系数。
当拟合出线性回归方程后，我们可以使用它来预测新的数据点的因变量。
具体来说，我们可以将自变量代入方程中，计算出相应的因变量值。
如果模型的系数是可靠的，我们可以相信这些预测结果是比较准确的。
求线性回归直线方程的步骤
请同学们回忆一下,我们以前是否学过 变量间的关系呢?
两个变量间的函数关系.
相关关系与函数关系的异同点:
相同点:两者均是指两 个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系; 相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非 随机变量的关系,而相关关系是随机变量 与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系 不一定是因果关 系,也可能是伴随关系.
20
30
40
^ （4）当x=2时，y=143.063, 因此，这天大 约可以卖出143杯热饮。
小结：
（1）判断变量之间有无相关关系，简便方 法就是画散点图。 （2）当数字少时，可用人工或计算器，求 回归方程；当数字多时，用Excel求回归方 程。 （3）利用回归方程，可以进行预测。
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一
般规律； (3)求回归方程； (4)如果某天的气温是 2 C,预测这天卖出的热饮杯数。
0
解: (1)散点图
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0
10x y
2
x
i 1
2 i
10 x
110 10 0 1 110 10 0
a y bx 0 b 0 0
∴所求回归直线方程为 ^ y=x
小结：求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表 x , y , x y ；
i i i i
第二步：计算
x, y, xi , xi y
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
简单回归方程
简单线性回归方程是一种基本的回归分析模型，它只涉及一个因变量和一个自变量，并且这两个变量之间呈线性关系。
简单线性回归方程的公式为：y=β0+β1x+ε，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是模型参数，ε是误差项。
这个公式表示的是，因变量y的期望值E(y)与自变量x和误差项ε之间的关系。
具体来说，E(y)=β0+β1x。
这个公式是通过最小二乘法等统计方法，根据样本数据拟合得到的。
简单线性回归方程的应用非常广泛，例如在经济学、生物学、医学等领域都有广泛的应用。
通过简单线性回归方程，我们可以分析两个变量之间的关联性，预测未来趋势，以及进行统计推断等。
线性回归方程公式
线性回归方程公式线性回归是一种用于预测连续数值变量的统计方法。
它基于一个线性的数学模型，通过寻找最佳的拟合直线来描述自变量和因变量之间的关系。
线性回归方程公式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn是回归系数，ε是误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度。
线性回归的基本假设是：1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量的变化可以通过自变量的线性组合来解释。
2.残差独立同分布：误差项ε是独立同分布的，即误差项之间不存在相关性。
3.残差服从正态分布：误差项ε服从正态分布，即在每个自变量取值下，因变量的观测值呈正态分布。
4.残差方差齐性：在每个自变量取值下，因变量的观测值的方差是相等的。
线性回归的求解方法是最小二乘法，即通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的平方差来估计回归系数。
具体步骤如下：1.数据收集：收集自变量和因变量的观测数据。
2.模型设定：根据自变量和因变量之间的关系设定一个线性模型。
3.参数估计：通过最小化平方误差来估计回归系数。
4.模型检验：通过检验残差的随机性、正态性和方差齐性等假设来检验模型的合理性。
5.模型拟合：利用估计的回归系数对未知自变量的观测值进行预测。
6.模型评估：通过评估预测结果的准确性来评估模型的性能。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是回归系数，ε是误差项。
多元线性回归方程可以更准确地描述自变量和因变量之间的关系。
除了最小二乘法，还有其他方法可以用来求解线性回归模型，如梯度下降法和最大似然估计法等。
这些方法可以在不同的情况下选择使用，以获得更好的回归模型。
线性回归是一种经典的预测分析方法，被广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会科学、自然科学等。
通过建立合适的线性回归模型，可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，并用于预测未来的趋势和变化。
回归方程表格公式计算
回归方程表格公式计算介绍如下：
回归方程一般是指线性回归方程，可以用最小二乘法进行求解。
假设有m 个自变量，样本规模为n，则回归方程可以表示为：
y = b0 + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm + ε
其中，y 表示因变量，x1～xm 表示自变量，b0～bm 表示回归系数，ε 表示随机误差项。
根据最小二乘法的原理，将样本中的自变量和因变量对应组成矩阵X 和向量y，则可以求解如下的回归系数b：
b = (XTX)-1XTy
其中，XT 表示X 矩阵的转置，(XTX)-1 表示XTX 的逆矩阵，XTy 表示X 转置矩阵和y 向量的乘积。
由于逆矩阵和矩阵乘法等计算较为复杂，因此一般采用表格软件（如Excel）进行计算。
可以按照以下步骤进行回归方程的表格公式计算：
1.在Excel 中输入自变量x1～xm 和因变量y 的样本数据，将其组成矩阵X 和向量
y。
2.使用Excel 函数MMULT 计算X 转置矩阵XT 和X 矩阵的乘积，得到XTX 矩阵
3.使用Excel 函数MINVERSE 计算XTX 的逆矩阵，得到(XTX)-1
4.使用Excel 函数MMULT 计算(XTX)-1 和XTy 的乘积，得到回归系数向量b
5.根据回归方程y = b0 + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm + ε，将回归系数b 带回即可得
到回归方程。
注意，在使用Excel 进行计算时，需要保证样本规模足够大，以确保回归方程的有效性。
同时，还需要注意是否存在异常数据点、多重共线性等问题，以保证回归方程的准确性和可靠性。
11线性回归方程的求法
根据最小二乘法估计a 和 b就是未知参数a和b的最好估计，
i xi 1 2 y i x i2
2 ， x i i=1 n
x
， y
， xi yi
i=1
n
.
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
1 编号 身高/cm 165 体重/kg 48
2 3 4 5 6 7 8 165 157 170 175 165 155 170 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 ( x, y)称为 172cm的女大学生的体重。
n
样本点的中心 根据最小二乘法估计a 和 b就是未知参数 a和b的最好估计，
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
1 编号 身高/cm 165 体重/kg 48
2 3 4 5 6 7 8 165 157 170 175 165 155 170 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
施化肥量x 15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10
405 445
450 455
散点图
水稻产量
··
20
·
·
· · ·
施化肥量
30 40 50
x
探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？ 发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
线性回归方程的求法（需要给每个人发）
耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用第一公式：线性回归方程为ˆˆˆy bx a =+的求法：（1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n=+++⋅⋅⋅+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n=+++⋅⋅⋅+ （3） 求变量x 的系数ˆb，有两个方法 法1121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦（需理解并会代入数据）法2121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-⋅=⎡⎤+++-⎣⎦（这个公式需要自己记忆，稍微简单些）（4） 求常数ˆa，既ˆˆa y bx =- 最后写出写出回归方程ˆˆˆybx a =+。
可以改写为：ˆˆy bx a =-（ˆy y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据：求y 与x 的回归方程：解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x =+++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44y =+++= （3）求变量x 的系数ˆb，有两个方法 法1ˆb =[]11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=⎡⎤-+-+-+-⎣⎦--+--+--+--==⎡⎤-+-+-+-⎣⎦法2ˆb =[][]11222222222212...011325374 1.5457...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-⋅⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==⎡⎤⎡⎤+++-+++⎣⎦⎣⎦ (4)求常数ˆa，既525ˆˆ4 1.577a y bx =-=-⨯=最后写出写出回归方程525ˆˆˆ77ybx a x =+=+第二公式：独立性检验两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。
最小二乘法公式求线性回归方程
最小二乘法公式求线性回归方程最小二乘法是一种估计统计模型参数的常用方法，它是统计学领域中普遍使用的线性回归模型，回归模型指根据一个或多个自变量，研究它们对一个因变量的影响，从而建立变量之间的函数模型从而预测因变量的方法.最小二乘法可以用来快速求解线性回归问题.一、定义：最小二乘法（Least Squares Method, LSM）是统计学上用来估计未知参数的一种方法。
它通过最小化误差平方和来拟合模型参数，可以说是最经常用来求解回归方程的算法。
该算法由拉格朗日在18月1日提出,被广泛应用在统计学的各个领域.二、求解线性回归方程的原理：最小二乘法求解线性回归问题的思路是利用“损失函数”也就是误差平方和来求解。
《数学模型简明介绍》一书中提出了极小化损失函数这个思想。
它提出，在实际应用中，经常会把一组数学统计量来描述一组现象，并建立关系模型，用《数学模型简明介绍》中下文中所述的最小二乘法（LSM）模型来说，它的基本思想就是把待求的参数的残差（即模型和真实值之间的误差）平方和最小化，它就是最小二乘回归模型的标准假设函数了。
三、求解线性回归方程的步骤：1、通过数据样本建立数学模型，即y=ax+b；2、使得残差平方和最小，用下面的公式来求点X1到Xn这些点到线所有残差平方和,即:Σr^2=Σ(y-ax-b)^2;;3、得到残差平方和的偏导为零，求解得到结果，最小二乘法估计出的结果得到的系数a和b具有最小的残差平方和，即最小的均方根误差：a=Σ（x－x_平均数）（y－y_平均数）/Σ（x－x_平均数）^2;b=y_平均数－ax_平均数;四、求解线性回归方程的应用：1、最小二乘法可以用来拟合任意数据点及求解线性回归方程；2、可用于计算常见指标如样本均值，样本方差，协方差等统计特征以及诊断判断正确性；3、可用于数据预测；4、最小二乘法为回归分析提供了基础，研究多元回归模型，最小二乘法解析解也就能被推广到多元回归分析中；5、它可以用来估计广义线性模型（generalized linear model）的参数；6、最小二乘法能对线性不可分数据进行二分类判断；7、它可以用来提高决策树算法的准确性；8、最小二乘法可以用来求最优解，优化问题，最小投资成本，最优生产调度，最短路径。
线性回归方程
函数关系的是
（ D）
A 角的度数和正弦值
B 速度一定时，距离和时间的关系
C 正方体的棱长和体积
D 日照时间和水稻的亩产量
知识探究（二）：散点图
【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关 系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:
年龄 23 27 39 41 45 49 50
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
其中 yÙi = bxi + a .
思考4：为了从整体上反映n个样本数 据与回归直线的接近程度，你认为选 用哪个数量关系来刻画比较合适？
(x1， y1)
(xi，yi)
(xn，yn)
(x2，y2)
n
Q (yi yˆi )2 i1 ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 L ( yn bxn a)2
思考3:上述两个变量之间的关系是 一种非确定性关系,称之为相关关系, 那么相关关系的含义如何？
自变量取值一定时，因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系，叫 做相关关系.
练: 1、球的体积和球的半径具有（ A ）
A 函数关系
B 相关关系
C 不确定关系
D 无任何关系
2、下列两个变量之间的关系不是
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点 图的含义吗？ 在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的 两个变量的一组数据图形，称为散点图.
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
它们与表中相应的实际值应该越接近越好.
回归方程计算
回归方程计算回归方程是用来描述一个或多个自变量与因变量之间的关系的数学模型。
在统计学中，回归分析是一种常用的方法，用来估计自变量和因变量之间的关联度。
回归方程的计算涉及到很多数学知识和统计方法，下面我们来详细介绍一下回归方程的计算过程。
首先，我们需要明确回归方程的形式。
在简单线性回归中，回归方程通常表示为y = β0 + β1x + ε，其中 y 表示因变量，x 表示自变量，β0 和β1 分别是截距和斜率，ε 表示误差项。
而在多元线性回归中，回归方程的形式为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε，其中 x1, x2, ..., xn 分别表示多个自变量。
其次，我们需要通过最小二乘法来估计回归方程的参数。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与回归方程预测值的残差平方和来确定参数的值。
对于简单线性回归来说，参数β0 和β1 的估计值可以通过以下公式计算得到：β1 = Σ((xi - x)(yi - ȳ)) / Σ((xi - x)²)β0 = ȳ - β1x其中，x和ȳ 分别表示自变量 x 和因变量 y 的均值，xi 和 yi 分别表示第 i 个观测值，Σ 表示求和符号。
对于多元线性回归来说，参数的估计需要使用矩阵的运算方法。
参数向量β 的估计值可以通过以下公式计算得到：β = (X^T X)^(-1) X^T y其中，X 是自变量 x 的设计矩阵，y 是因变量 y 的观测向量，^T 表示矩阵的转置，^(-1) 表示矩阵的逆运算。
最后，我们需要检验回归方程的拟合程度。
通常使用残差分析、方差分析和回归系数的显著性检验来评估回归方程的拟合效果。
残差分析用于检验误差项的独立性和常数方差性，方差分析用于检验回归模型的显著性，回归系数的显著性检验用于确定自变量对因变量的影响是否显著。
综上所述，回归方程的计算涉及到参数估计和拟合效果检验两个方面。
通过适当的数学推导和统计方法，我们可以得到有效的回归方程，从而描述自变量和因变量之间的关系。
线性回归方程的求法
高考统计部分的两个重要公式 具体如何应用第一公式：线性回归方程为ˆˆˆybx a =+的求法： (1) 先求变量x 的平均值，即1231()n x x x x x n=+++⋅⋅⋅+ (2) 求变量y 的平均值，即1231()n y y y y y n=+++⋅⋅⋅+ (3) 求变量x 的系数ˆb，有两个方法 法1 121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦（需理解并会代入数据）法2 1221ˆni ii nii x y n x ybxn x==-⋅⋅=-⋅∑∑（题目给出不用记忆）[]1122222212...,...n n n x y x y x y n x y x x x n x++-⋅⋅=⎡⎤+++-⋅⎣⎦（这个公式需要自己记忆，稍微简单些）(4) 求常数ˆa，既ˆˆa y bx =- 最后写出写出回归方程ˆˆˆybx a =+。
可以改写为：ˆˆy bx a =- 例．已知,x y 之间的一组数据：求y 与x 的回归方程：解：（1）先求变量x 的平均值，即(0123) 1.54x =+++= （2）求变量y 的平均值，即1(1357)44y =+++=（3）求变量x 的系数ˆb，有两个方法 []11223344222212342222()()()()()()()()ˆ1()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y bx x x x x x x x --+--+--+--=⎡⎤-+-+-+-⎣⎦--+--+--+--==⎡⎤-+-+-+-⎣⎦法法2 ˆb =[][]112222222222212...011325374 1.5457...01234 1.5n n n x y x y x y nx y x x x nx++-⋅⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==⎡⎤⎡⎤+++-+++-⨯⎣⎦⎣⎦ (4) 求常数ˆa，既525ˆˆ4 1.577a y bx =-=-⨯= 最后写出写出回归方程525ˆˆˆ77ybx a x =+=+第二公式：独立性检验两个分类变量的独立性检验：注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。
线性回归方程b怎么求
线性回归方程b怎么求简介在统计学和机器学习中，线性回归是一种常用的预测模型。
它可以通过已知的自变量和因变量数据来建立一个线性方程，用于预测新的数据点。
线性回归方程中的系数b是一个重要的参数，表示自变量对因变量的影响程度。
那么，如何求解线性回归方程中的系数b呢？本文将详细介绍线性回归方程b的求解方法。
线性回归的基本原理线性回归是一种基于最小二乘法的回归分析方法。
最小二乘法的目标是使得模型预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
在线性回归中，假设自变量X和因变量Y之间的关系可以用一个线性方程来表示：Y = b0 + b1*X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，b0和b1是待求解的系数，ε是误差项，表示模型无法解释的随机差异。
为了求解系数b0和b1，我们需要最小化残差平方和。
首先，我们需要计算每个数据点的预测值和实际观测值之间的差异，即残差。
然后，我们将所有残差的平方求和，得到残差平方和。
最小二乘法的目标就是找到使得残差平方和最小的系数b0和b1。
求解线性回归方程b的方法1. 解析解法解析解法是指通过数学公式直接求解线性回归方程中的系数b。
对于简单线性回归（只有一个自变量），解析解法可以用下面的公式求解：b1 = Σ((Xi - X_mean) * (Yi - Y_mean)) / Σ(Xi - X_mean)^2b0 = Y_mean - b1 * X_mean其中，Xi和Yi是第i个数据点的自变量和因变量取值，X_mean和Y_mean是所有数据点的自变量和因变量的均值。
解析解法的优点是计算效率高，但它对于复杂的线性回归模型或者高维数据可能无法直接求解。
2. 数值优化法数值优化法是指通过迭代算法求解线性回归方程中的系数b。
常用的数值优化算法包括梯度下降法和最小二乘法。
梯度下降法是一种迭代算法，通过不断调整系数b的取值来逐步减少残差平方和。
具体步骤如下：1.初始化系数b的取值，可以随机选取或者根据经验选择一个初始值。
线性回归方程a尖公式
线性回归方程a尖公式第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术）平均值第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。
先求x,y的平均值X,Y再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX) 后把x,y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，应用十分广泛。
变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点，将散布在某一直线周围。
因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数。
分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
介绍线性回归方程的求法：1.根据所给样本计算两个相关变量的平均值(算术)。
2.分子和分母分开计算：(两个公式任意选择一个)分子。
3.计算b：b=分子/分母4.用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。
5.首先求x,y的平均X,Y。
6.用以下公式代入求解：b=(x1y1+x2y2+……xnyn-nXY)/(x1+x2+……xn-nX)之后，将x,y的平均数X,Y带入a=Y-bX。
7.求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)直线回归方程：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。
高中数学线性回归方程公式
高中数学线性回归方程公式1. 引言在高中数学学习中，线性回归是一种重要的统计方法，用于模拟和预测两个或更多变量之间的线性关系。
线性回归方程是深入了解线性回归的基础，本文将介绍高中数学中线性回归方程的公式及其应用。
2. 线性回归方程的定义线性回归方程是一种用于描述两个变量线性关系的方程。
通常情况下，我们用x来表示自变量（输入变量），用y来表示因变量（输出变量）。
线性回归方程可以用下面的形式表示：y = ax + b，其中a和b是常数，称为回归系数。
3. 确定回归系数为了确定回归方程中的回归系数a和b，我们需要一组已知的数据点，其中包含自变量x和因变量y的取值。
通过求解回归系数，我们可以找到最佳拟合线，使得该线尽可能地接近数据点。
3.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的确定回归系数的方法。
其基本思想是通过最小化预测值和真实值之间的残差平方和来找到最佳拟合线。
考虑到一组包含n个数据点的数据集{(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)}，回归方程的系数可以通过以下公式计算得到：a = (n∑(xi * yi) - ∑xi * ∑yi) / (n∑(xi^2) - (∑xi)^2)b = (∑yi - a * ∑xi) / n计算a和b之后，线性回归方程就可以得到。
4. 应用案例线性回归方程在实际问题中有广泛的应用。
以下是一个简单的应用案例：假设我们希望预测一个人的体重（y）与他们的身高（x）之间的关系。
收集了一组数据点如下：身高(x)（厘米）：165, 170, 175, 180, 185体重(y)（千克）：55, 60, 65, 70, 75使用最小二乘法计算回归系数：n = 5∑(xi * yi) = 165*55 + 170*60 + 175*65 + 180*70 + 185*75 = 169750∑xi = 165 + 170 + 175 + 180 + 185 = 875∑(xi^2) = 165^2 + 170^2 + 175^2 + 180^2 + 185^2 = 148500∑yi = 55 + 60 + 65 + 70 + 75 = 325a = (5 * 169750 - 875 * 325) / (5 * 148500 - 875^2) ≈ 0.7647b = (325 - 0.7647 * 875) / 5 ≈ -29.4118得到线性回归方程：y ≈ 0.7647x - 29.4118通过该方程，我们就可以预测其他身高对应的体重。
利用最小二乘法求线性回归方程
利用最小二乘法求线性回归方程
利用最小二乘法求线性回归方程 1使离差平方
和（i=1~n）∑（yi-yi'）最小的方法
结论：设回归方程为y'=bx+a;解得
回归直线方程：在一组具有相关关系的变量与数据的（x，y）间，最能体现x,y关系的直线（一条尽可能接近所有数据点的直线）
设回归方程为y'=bx+a;
要使直线最拟合，则使（i=1~n）∑（yi-yi'）最小，但yi-yi'可能为负，无法正确反映整体数据的切合程度，所以用平方，使得∑（yi-yi'）^2最小,由n组xi,yi,最终解得
利用最小二乘法求线性回归方程 1
线性回归模型
用最小二乘法最小化残差得损失函数为
最小化误差：
分别对W,b求偏导得：
对于比较简单的函数，我们令偏导=0就可求出最优值W与b:
其中
但对于下图所示的有多个最优解的情况，我们采用梯度下降法逐步寻找最优值，避免陷入局部最优解，计算量少很多。
多元线性回归最终求得：
推导过程
推导过程可见：。
如何求回归方程
如何求回归方程回归分析是一种经常被应用于数据评估和预测的方法。
它可以帮助我们通过分析两个或多个变量之间的关系，找出它们之间的模式，并通过这些模式建立回归方程，从而进行预测。
以下是如何求回归方程的详细步骤：第一步：收集数据。
为了建立回归方程，我们需要收集关于变量之间关系的数据。
这些数据可以来自某些实验室实验，或者是其他来源的统计数据。
第二步：绘制散点图。
为了更好地理解变量之间的关系，我们可以将它们的值绘制在散点图中。
这将给我们一个大致的印象，可以看出两个变量之间是否存在线性关系。
如果两个变量之间的散点图呈直线趋势，则它们显示出有很强的线性关系。
但如果它们之间的数据点散布在整个图中，那么它们可能不存在线性关系。
第三步：计算相关系数。
相关系数是用来度量两个变量之间线性相关强度的方法。
相关系数的值在-1到1之间，越接近于1则表示两个变量之间存在很强的正相关性，值越接近于-1则表示两个变量之间存在很强的负相关性，如果值接近于0则表示两个变量之间不存在线性关系。
经过计算得出的相关系数r，如果大于0.7或小于-0.7，则可以认为存在强匹配关系。
第四步：建立回归方程。
回归方程基于线性回归模型，使用一种称为最小二乘法的方法。
其中，回归方程的一般形式为：Y = a + bX。
其中，Y是因变量，X是自变量，a是截距，表示当X值为0时Y 的期望值，而b是斜率，表示因变量Y对自变量X的变化速率。
根据最小二乘法，它在所有数据点上生成一条最佳拟合直线。
因此，我们可以使用重复的自变量数据来计算a和b的值。
第五步：评估模型。
在建立了回归方程之后，我们可以通过计算平均误差和残差来评估模型的质量。
平均误差是指Y的实际值和预测值之间的平均差异。
残差是指Y的实际值和预测值之间的差异。
如果我们发现残差值很大，则可以认为回归方程不能很好地预测数据。
在实际应用中，回归方程可以用来预测未来数据，但要记住这只是一种预测方法，它只能提供一种预测结果的可能范围。
线性回归方程的求法(需要给每个人发)
耿先生总结的高考统计部分的两个
主要公式的具体若何运用
第一公式：
（1）
平均值,
（2） 平均值,
（
3）
有两个办法
入数据）
法
,稍微简
略些）
（4）
求
区分）
0 1 2 3
1 3 5 7
解：（1平均值,
（2
平均值,
（3
有两个办法
法
(4)求
第二公式：自力性磨练
两个分类变量的自力性磨
练：
留意：数据a
数据b数据c d
主要.解题步调如下
第一步：提出假设磨练问题（一般假设两个变量不相干）
第二步：列出上述表格
第三步：盘算磨练的指标
总计
计
上述结论都是概率性总结.切记事实结论.只是精确行描写.具体产生情形要和现实接洽！！！！。
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高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用
第一公式：线性回归方程为ˆˆˆy
bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n =
+++⋅⋅⋅+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n
=+++⋅⋅⋅+ （3） 求变量x 的系数ˆb
，有两个方法 法112
1()()ˆ()n
i i
i n i
i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦
（需理解并会代入数据） 法21
2
1()()ˆ()n
i i
i n i
i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx
++-⋅=⎡⎤+++-⎣⎦（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数ˆa ，既ˆˆa y bx =- 最后写出写出回归方程ˆˆˆy
bx a =+。
可以改写为：ˆˆy bx a =-（ˆy y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据：
求y 与x 的回归方程：
解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x =
+++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44
y =+++= （3）求变量x 的系数ˆb
，有两个方法
法1ˆb = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=⎡⎤-+-+-+-⎣⎦--+--+--+--==⎡⎤-+-+-+-⎣⎦
法2ˆb =[][]11222222222212...011325374 1.5457
...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-⋅⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==⎡⎤⎡⎤+++-+++⎣⎦⎣⎦ (4)求常数ˆa ，既525ˆˆ4 1.577a y bx =-=-⨯= 最后写出写出回归方程525ˆˆˆ77
y
bx a x =+=+
第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验：
注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。
数
据b 具有两个属性1x ，2y 。
数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。
解题步骤如下
第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关）
第二步：列出上述表格
第三步：计算检验的指标 2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 第四步：查表得出结论
例如你计算出2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50
例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50
上述结论都是概率性总结。
切记事实结论。
只是大概行描述。
具体发生情况要和实际联系！！
！！。