线性回归方程的求法(需要给每个人发)教程文件
线性回归计算方法及公式精编版
线性回归计算方法及公式精编版线性回归是一种常用的统计分析方法，用于建立一个线性关系的数学模型，以预测因变量与一个或多个自变量之间的关系。
它是一种简单但强大的预测模型，被广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、工程学等。
线性回归模型可以表示为：Y=β₀+β₁X₁+β₂X₂+...+βₚXₚ+ε其中，Y是因变量，X₁,X₂,...,Xₚ是自变量，β₀,β₁,β₂,...,βₚ是回归系数，ε是误差项。
线性回归的目标是找到最佳的回归系数，使得拟合的线性关系与实际观测值之间的差异最小化。
这个问题可以通过最小二乘法来求解。
最小二乘法是一种求解最小化误差平方和的优化方法。
以下是线性回归的计算方法及公式精编版：Step 1: 收集数据首先，需要收集自变量和因变量的观测值数据。
Step 2: 确定模型根据实际问题和数据分析的目的，确定线性回归模型中的自变量和因变量。
Step 3: 建立矩阵表示将问题转化为矩阵表示形式，以便于计算。
将自变量的观测值表示为X矩阵，因变量的观测值表示为Y矩阵。
Step 4: 计算回归系数通过最小二乘法，计算回归系数。
回归系数可以通过以下公式求解：β=(X'X)⁻¹X'Y其中，X'是X的转置，(X'X)⁻¹表示X'X的逆矩阵。
Step 5: 模型评估计算模型的拟合优度及回归系数的显著性。
常用的评估指标有决定系数R²和F检验。
决定系数R²用于度量模型对观测值的拟合程度，其计算公式为：R²=1-SSR/SST其中，SSR表示回归平方和，SST表示总平方和。
F检验用于检验回归系数的显著性，其计算公式为：F=(SSR/K)/(SSE/(n-K-1))其中，SSR表示回归平方和，SSE表示残差平方和，K表示自变量的个数，n表示观测值的个数。
Step 6: 模型应用使用建立的线性回归模型进行预测和推断。
以上是线性回归的计算方法及公式精编版。
求线性回归直线方程的步骤
请同学们回忆一下,我们以前是否学过 变量间的关系呢?
两个变量间的函数关系.
相关关系与函数关系的异同点:
相同点:两者均是指两 个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系; 相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非 随机变量的关系,而相关关系是随机变量 与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系 不一定是因果关 系,也可能是伴随关系.
20
30
40
^ （4）当x=2时，y=143.063, 因此，这天大 约可以卖出143杯热饮。
小结：
（1）判断变量之间有无相关关系，简便方 法就是画散点图。 （2）当数字少时，可用人工或计算器，求 回归方程；当数字多时，用Excel求回归方 程。 （3）利用回归方程，可以进行预测。
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一
般规律； (3)求回归方程； (4)如果某天的气温是 2 C,预测这天卖出的热饮杯数。
0
解: (1)散点图
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0
10x y
2
x
i 1
2 i
10 x
110 10 0 1 110 10 0
a y bx 0 b 0 0
∴所求回归直线方程为 ^ y=x
小结：求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表 x , y , x y ；
i i i i
第二步：计算
x, y, xi , xi y
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
线性回归计算方法及公式详解演示文稿
第八页，共30页。
确定系数：
简记为R2，即回归平方和SS回归与总离均 差平方和SS总的比例。
R2 ＝ SS回归／ SS总 可用来定量评价在Y的总变异中，由P个 X变量建立的线性回归方程所能解释的比 例。
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回归分析中的若干问题
• 资料要求：总体服从多元正态分布。但实际工作 中分类变量也做分析。
MS误差 ＝SS误差／(n-p-1) SS误差为残差平方和
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偏回归系数的假设检验
回归方程的假设检验若拒绝H0，则可分别对每一个 偏回归系数bj作统计检验，实质是考察在固定其 它变量后，该变量对应变量 Y 的影响有无显著 性。 H0： Bj=0 H1： Bj不为零 ＝0.05
F ＝ （Xj 的偏回归平方和／1） / MS误差
• n足够大，至少应是自变量个数的5倍
• 分类变量在回归分析中的处理方法 有序分类： 治疗效果：x=0(无效 ) x=1(有效) x=2(控制)
无序分类： 有k类，则用k－1变量（伪变量）
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• 如职业,分四类可用三个伪变量：
y1 y2 y3
工人 1 0 0
农民
在正负无穷大之间；F(x)则在0－1之间取 值，并呈单调上升S型曲线。人们正是利用Logistic 分布函数这一特征，将其应用到临床医学和流行病 学中来描述事件发生的概率。
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以因变量D＝1表示死亡，D＝0表示生存，以P（D＝1／X） 表示暴露于药物剂量X的动物死亡的概率，设
第十六页，共30页。
• 向后剔除法（backward selection) 自变量先全部选入方程，每次剔除一个使 上述检验最不能拒绝H0者，直到不能剔除 为止。
(完整word版)线性回归方程的求法(需要给每个人发)
耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用ˆ+a ˆ=bx ˆ的求法：第一公式：线性回归方程为y（1）先求变量x 的平均值，既x =（2）求变量y 的平均值，既y =1(x 1+x 2+x 3+⋅⋅⋅+x n )n 1(y 1+y 2+y 3+⋅⋅⋅+y n )n ˆ，有两个方法（3）求变量x 的系数bˆ=法1b∑(x -x )(y -y )iii =1n∑(x -x )ii =1n（题目给出不用记忆）2(x1-x )(y 1-y )+(x 2-x )(y 2-y )+...+(x n-x )(y n-y )][（需理解并会代入数据）=222⎡⎤(x -x )+(x -x )+...+(x -x )2n ⎣1⎦nˆ=法2b∑(x -x )(y -y )iii =1∑(x -x )ii =1n（题目给出不用记忆）2=[x 1y1+x 2y 2+...x ny n]-nx ⋅y,（这个公式需要自己记忆，稍微简单些）2222⎡⎣x 1+x 2+...+x n ⎤⎦-nx ˆˆ=y -bx ˆ，既a （4）求常数aˆ+a ˆ-a ˆ=bx ˆ。
可以改写为：y =bx ˆ（y ˆ与y 不做区分）最后写出写出回归方程y例．已知x ,y 之间的一组数据：x0123y1357求y 与x 的回归方程：解：（1）先求变量x 的平均值，既x =（2）求变量y 的平均值，既y =1(0+1+2+3)=1.541(1+3+5+7)=44ˆ，有两个方法（3）求变量x 的系数b2222⎡⎤(x -x )+(x -x )+(x -x )+(x -x )1234⎣⎦ˆ法1b=(0-1.5)(1-4)+(1-1.5)(3-4)+(2-1.5)(5-4)+(3-1.5)(7-4)5==22227⎡⎣(0-1.5)+(1-1.5)+(2-1.5)+(3-1.5)⎤⎦(x1-x )(y 1-y )+(x 2-x )(y 2-y )+(x 3-x )(y 3-y )+(x 4-x )(y 4-y )][=ˆ=法2b[x 1y1+x 2y 2+...x ny n]-nx ⋅y=[0⨯1+1⨯3+2⨯5+3⨯7]-4⨯1.5⨯4=52222⎡⎤x +x +...+x -nx 12n ⎣⎦2222⎡⎤0+1+2+3⎣⎦7ˆ=4-ˆ=y -bx ˆ，既a (4)求常数aˆ+a ˆ=bx ˆ=最后写出写出回归方程y第二公式：独立性检验两个分类变量的独立性检验：525⨯1.5=77525x +77y1a ca +cy2b d总计x 1a +b c +d a +b +c +d注意：数据a 具有两个属性x 1，y 1。
线性回归计算方法及公式(共31张PPT)
Logistic回归的参数估计
• Logistic回归模型的参数估计常用最大似然法，最大似然法 的基本思想是先建立似然函数或对数似然函数，似然函数 或对数似然函数达到极大时参数的取值，即为参数的最大 似然估计值。其步骤为对对数似然函数中的待估参数分别 求一阶偏导数，令其为0得一方程组，然后求解。由于似然 函数的偏导数为非线性函数，参数估计需用非线性方程组 的数值法求解。常用的数值法为Newton-Raphson法。不同 研究的设计方案不同，其似然函数的构造略有差别，故 Logistic回归有非条件Logistic回归与条件Logistic回归两种。
记Logit(P)=ln[p/(1-p)],则上式可表示为：
Logit(P) ＝ Bo+BX
这里X的取值仍是任意的， Logit(P)的值亦 在正负无穷大之间，概率P的数值则必然在 0－1之间。 p/(1-p)为事件的优势， Logit(P)为对数优势，故logistic回归又称对 数优势线性回归
一般地，设某事件D发生（D＝1）的概 率P依赖于多个自变量（x1,x2, …,xp)，且
y =B0+B1x1+B2x2+…+Bp xp+ (模型）
B0、B1、B2和Bp为待估参数， 为残差。 • 由一组样本数据，可求出等估参数的估计值b0、b1、b2和bp,
，得到如下回归方程：
ŷi =b0+b1x1+b2x2+…+bp xp
• 由此可见，建立回归方程的过程就是对回归模型中的参数 （常数项和偏回归系数）进行估计的过程。
• 逐步引入－剔除法（stepwise selection)
线性回归方程求法
实际
样本
抽样
y = f(x)
分析
y = f(x)
模拟
y = f(x)
线性回归方程求法
现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？ 不相关
两个变量的关系
函数关系
相关 关系
线性相关 非线性相关
线性回归方程求法
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身 高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈 的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的
性回归方程 y bˆx aˆ
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3 2 . 5 4 3 5 4 6 4 . 5 6 6 . 5 ）
9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题
10. 正确理解分析方法与结果
线性回归方程求法
什么是回归分析：
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。
根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。 虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此， X和Y之间存在一种相关关系。
线性回归计算方法及公式36页PPT
• 向前引入法（forward selection)
自变量由少到多一个一个引入回归方程。 将 corr(y , xj)最大而又能拒绝H0者，最 先引入方程，余此类推。至不能再拒绝 H0为止。
• 向后剔除法（backward selection)
自变量先全部选入方程，每次剔除一个使 上述检验最不能拒绝H0者，直到不能剔 除为止。
多元线性回归
• 多元线性回归是简单线性回归的直接推广，其包含一 个因变量和二个或二个以上的自变量。
• 简单线性回归是研究一个因变量（Y）和一个自变量 （X）之间数量上相互依存的线性关系。而多元线性回 归是研究一个因变量（Y）和多个自变量（Xi）之间数 量上相互依存的线性关系。
• 简单线性回归的大部分内容可用于多元回归，因其基 本概念是一样的。
y =B0+B1x1+B2x2+…+Bp xp+ (模型）
B0、B1、B2和Bp为待估参数， 为残差。 • 由一组样本数据，可求出等估参数的估计值b0、b1、b2
和bp,，得到如下回归方程：
ŷi =b0+b1x1+b2x2+…+bp xp
• 由此可见，建立回归方程的过程就是对回归模型中的 参数（常数项和偏回归系数）进行估计的过程。
回归方程中自变量的选择
• 多元线性回归方程中并非自变量越多越 好，原因是自变量越多剩余标准差可能 变大；同时也增加收集资料的难度。故 需寻求“最佳”回归方程，逐步回归分 析是寻求“较佳”回归方程的一种方法。
选择变量的统计学标准
• R2最大
R2 ＝ SS回归／ SS总
• adjR2最大： adjR2＝1－MS误差/ MS总
11线性回归方程的求法
500
y
水稻产量
450
400 |yi - yi | 350 300 10
n
· · ··
(xi ,yi )
· · ·
20
(xi ,yi )
怎样求回归直线？
施化肥量
30 40Байду номын сангаас50
x
Q(a,b)= (yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值.
i=1
ˆ ˆ 最小二乘法： y ˆ = bx+a
回归分析的内容与步骤：
回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。
其主要内容和步骤是，
首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量； 其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；
由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验； 统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。
（1）作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分 布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。 （2）所求直线方程
ˆ +a ˆ ˆ = bx y
叫做回归直线方程；
其中
ˆ= b
(x
i=1
n
i
- x)(yi - y) = - x)
2 i
x y
i i=1 n
n
i
- nxy
2
(x
i=1
n
x
i=1
,
2 i
- nx
模 分 析 拟
y = f(x)
y = f(x)
现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？ 不相关 两个变量的关系
函数关系 相关 关系
线性相关 非线性相关
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高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用
第一公式：线性回归方程为ˆˆˆy
bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n =
+++⋅⋅⋅+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n
=+++⋅⋅⋅+ （3） 求变量x 的系数ˆb
，有两个方法 法112
1()()ˆ()n
i i
i n i
i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦
（需理解并会代入数据） 法21
2
1()()ˆ()n
i i
i n i
i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx
++-⋅=⎡⎤+++-⎣⎦（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数ˆa ，既ˆˆa y bx =- 最后写出写出回归方程ˆˆˆy
bx a =+。
可以改写为：ˆˆy bx a =-（ˆy y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据：
求y 与x 的回归方程：
解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x =
+++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44
y =+++= （3）求变量x 的系数ˆb
，有两个方法
法1ˆb = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=⎡⎤-+-+-+-⎣⎦--+--+--+--==⎡⎤-+-+-+-⎣⎦
法2ˆb =[][]11222222222212...011325374 1.5457
...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-⋅⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==⎡⎤⎡⎤+++-+++⎣⎦⎣⎦ (4)求常数ˆa ，既525ˆˆ4 1.577a y bx =-=-⨯= 最后写出写出回归方程525ˆˆˆ77
y
bx a x =+=+
第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验：
注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。
数
据b 具有两个属性1x ，2y 。
数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。
解题步骤如下
第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关）
第二步：列出上述表格
第三步：计算检验的指标 2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 第四步：查表得出结论
例如你计算出2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50
例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50
上述结论都是概率性总结。
切记事实结论。
只是大概行描述。
具体发生情况要和实际联系！！
！！。