2016年宁夏高考理科数学试题及答案

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2016年宁夏高考理科数学试题及答案
(满分150分,时间120分)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共24题,共5页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题 ,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知Z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是
(A )(-3,1) (B )(-1,3) (C )()1,+∞ (D )(),3-∞-
(2)已知集合{}1,2,3A =,{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈,则A
B =
(A ){1} (B ){1,2} (C ){0,1,2,3} (D ){-1,0,1,2,3}
(3)已知向量a=(1,m ),b=(3,-2),且(a+b )⊥b ,则m=
(A )-8 (B )-6 (C )6 (D )8
(4)圆2
2
x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=
(A )4-3 (B )3
-4
(C )3 (D )2 (5)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小明回合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
(A )24 (B )18 (C )12 (D )9
(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A )20π (B )24π (C )28π (D )32π (7)若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移
12
π
个单位长度,则平移后的图像对称轴为 (A )()26
k x k Z ππ
=
-∈
(B )()26
k x k Z π
π
=
+∈ (C )()212
k x k Z π
π
=
-∈
(D )()2
12
k x k Z π
π
=
+

(8)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的a 为2,2,5,则输入的s=
(A )7 (B )12 (C )17 (D )34 (9)若cos (
4π-α)=3
5
,则sin2α= (A )725 (B )15 (C )-15 (D )-7
25
(10)从区间
[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,n
x x x , 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x (y ),
22,x (y ),…,,n n x (y ),其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得
到的圆周率π的近似值为
(A )
4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n
(11 1F ,2F 是双曲线E :22
221a x y b
+=的左、右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴
垂直,121
sin 3
MF F ∠=
,则E 的离心率为
(A (B )3
2
(C (D )2
(12)已知函数f x ∈()(R )满足f x =f x (-)2-()
,若函数x 1
y=x
+与y=f x ()图像的x 1
y=f x x +()
交点为(1x ,1y );(2x ,2y ),…,(m x ,m y ),则1
()m
i i i x y =+=∑ (A )0 (B)m (C)2m (D)4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22~24题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本题共4小题,每小题5分。

(13)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c 若cosA=
45,cosC=5
13
,a=1,则b= 。

(14)α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果m ⊥n ,m ⊥α,n//β,那么α⊥β. ②如果m ⊥α,n//α,那么m ⊥n. ③如果α//β,m ⊂α,那么m//β
④如果m//n ,α//β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ___________ (填写所有正确的命题序号)。

(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3。

甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是_____________。

(16)若直线y=kx b +的曲线,y=1nx+2的切线,也是曲线y=1n(x+1)的切线,则b=_________ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)
n S 为等差数列{}n a 的的前n 项和,且1a =1,7S =28,记n b =[]lg n a ,其中[x]表示不超过显得最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1. (Ⅰ)求1b ,11b ,101b ;
(Ⅱ)求数列{n b }的前1000项和. (18)(本小题满分12分)
某种保险的基本保费为a (单位:元),继续购买该保险的投保人成为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
(19)(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD ,CD 上,AE=CF=,
EF 交于BD 于点H ,将DEF 沿EF 折到 D ′EF 的位置,OD ’=
.
(Ⅰ)证明:D ′H ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求二面角B- D ′A-C 的正弦值。

(20)(本小题满分12分)
已知椭圆E :2x t
+2
3y =1的焦点在X 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为K (K>0)的直线交
E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA. (Ⅰ)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,求K 的取值范围。

(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)讨论函数f(X)=
且f(X)>0,并证明当x>0时,(x-2)
+ x+2>0;(Ⅱ)证明:当a [0,1)时,函数g(X)=(x>0)有最小值。

设g(X)的最小
值为h(a),求函数h(a)的值域。

请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,在正方形ABCD 中,E ,G 分别在边DA ,DC 上(不与端点重合),且DE =DG ,过D 点作DF ⊥CE ,垂足为F . (Ⅰ)证明:B ,C ,G ,F 四点共圆;
(Ⅱ)若AB =1,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(+6)+=25x y .
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l 的参数方程是(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,10AB ,
求l 的斜率.
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数11
()2
2
f x x
x
,M 为不等式()2f x 的解集.
(Ⅰ)求M ; (Ⅱ)证明:当a ,b
M 时,1
a
b
ab .
答案:
一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.A 12.C 二、13.
13
21
14. ② ③ ④ 15.1和3 16.1-1n2 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(Ⅰ)n
a
n =,[lg ][lg ]n n b a n ==,10b =,11[lg11]1b ==,101[lg101]2b ==.
(Ⅱ)因为lg10=,lg101=,lg1002=,lg10003=.所以19n ≤≤时,[lg ]0n =. 当100999n ≤≤时,[lg ]2n =.当999n =时,[lg ]3n =. 所以数列{}n
b 的前1000项和
1000121000[lg1][lg2][lg3][lg1000]0901900231893T b b b =+++=+++
+=+⨯+⨯+=.
18.(Ⅰ)设一续保人本年度的保费高于基本保费的概率为1
p ,
则1
0.200.200.100.050.55p =+++=.
(Ⅱ)设所求概率为2
p ,则2
0.100.050.153
0.200.200.100.050.5511
p
+=
==+++.
(Ⅲ)续保人本年度的平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05 1.23a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以续保人本年度的平均保费1.23a 与基本保费a 的比值为1.23 1.23a a
=.
19.(Ⅰ)略..
20.(Ⅰ)当||||AM AN =时,1k =,直线:2l y x =+.代入椭圆方程整理得2
71640x x ++=.
因为直线l 与椭圆E 的交点为(2,0)A -,0
(,)M x y ,所以0
16
27
x
-+=-
,得0
27
x
=-

所以点212(,)77
M -,又212(,)77N --,所以△AMN 的面积1242144(2)27749
S =⨯⨯-+=.
(Ⅱ)令2
t a =,则直线AM 方程()y k x a =+. 联立椭圆直线方程,消去y 整理得22
2
23222(3)2(3)0a k x
k a x a a k +++-=.
于是230
22
23k a a x
a k -+=-
+,所以2323
2222
2333k a a k a x
a a k a k -=-
=
++,
所以
22
6||3a AM a k +,222266||133a ak AN k a a k
++.
因为
2||||AM AN =,所以22
22
6633a ak
a k k a ++,即2
3
2(2)63a k
k k
-=-.
所以2
3632
k
k t k -=-,
因为
3t >,所以2
36332k
k
k ->-,整理得320
2
k k ->-2k k <,
所以
k 的取值范围是.
21.(Ⅰ)对2()e 2
x
x f x x -=+求导,得2
2
()e (2)x
x f x x '=
+.
当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递增, 所以()(0)f x >. 因为(0)1f =-,所以2e
12
x
x x ->-+,
所以(2)e 20x
x x -++>.
(Ⅱ)对
2
e ()x ax a g x x --=
求导,得3
3
2(2)[
e ]e (2)(2)
2()x
x
x x a x a x x g x x
x -++-+++'==,0x >.
记2()e 2
x
x x a x ϕ-=++,0x >.
由(Ⅰ)知函数()x ϕ区间(0,)+∞内单调递增,所以()(0)x ϕϕ>, 又(0)10a ϕ=-+<,(2)0a ϕ=>,所以存在唯一正实数0
x ,使得0
02()e 02
x x
x a x ϕ-=+=+.
于是,当0
(0,)x x ∈时,()0x ϕ<,()0g x '<,函数()g x 在区间0
(0,)x 内单调递减;
当0
(,)x x ∈+∞时,()0x ϕ>,()0g x '>,函数()g x 在区间0
(,)x +∞内单调递增.
所以()g x 在(0,)+∞内有最小值0
00
2
0e
()x ax a
g x x --=,由题设0
020
e ()x ax a h a x --=.
又因为0
02e 2
x x
a x --=+.所以0
01
()e 2
x g x x =
+.
根据(Ⅰ)知,()f x 在(0,)+∞内单调递增,0
02e (1,0]2
x x a x -=-∈-+, 所以0
02x <≤.
令1()e (02)2
x
u x x x =
<≤+,则1()e
2
x
x u x x +'=>+,
函数()u x 在区间(0,2)内单调递增,所以(0)()(2)u u x u <≤, 即函数()h a 的值域为2
1e (,]24

22.(Ⅰ)在Rt △DEC 中,因为DF EC ⊥, 所以90FDC DCE FCB ∠=︒-∠=∠,
且DF CF DE
DC
=,因为DE DG =,BC CD =,所以DF FC DG
CB
=,
所以△DFG ∽△CFB .
所以DGF CBF ∠=∠.所以180FGC CBF ∠+∠=︒. 所以B ,C ,G ,F 四点共圆.
(Ⅱ)因为12
DE AD =,DG DE =,所以12
DG DC =.
因为B ,C ,G ,F 四点共圆,所以90GFB GCB ∠=∠=︒. 所以△GFB ≌△GCB .
所以△GCB 的面积11112
2
4
S =⨯⨯=.
23.(Ⅰ)由圆C 的标准方程2
2(6)25x y ++=,得221290x y x +++=,
所以圆C 的极坐标方程为2
12cos 90ρ
ρθ++=.
(Ⅱ)将cos ,sin x t y t αα
=⎧⎨
=⎩代入2
2(6)25x y ++=,
整理得2
12cos 110t
t α++=.
设A ,B 两点对应参数值分别为1
t ,2
t ,
则1
2
12cos t t
α
+=-,12
11t t
=.
所以1
2||||AB t
t =-2
3cos 8
α=,
解得cos α=,
所以tan α
或tan α=.
24.(Ⅰ)函数
12,,21
1()1,,
2212,.2x x f x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
,则不等式()2f x <可化为1,222,
x x ⎧≤-⎪⎨
⎪-<⎩或11
,
2212,
x ⎧-<<⎪⎨⎪<⎩或 1,
222,x x ⎧
≥⎪⎨⎪<⎩
解得11x -<<.
所以不等式()2f x <的解集为(1,1)-. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知(1,1)a ∈-,(1,1)b ∈-,所 以2
10a
->,210b ->,于是22(1)(1)0a b -->,即22(1)()0ab a b +-+>,
所以|1|||ab a b +>+.。

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