高中物理竞赛之曲线运动与天体运动(一)

h tan v0 cos
sin sin
sin
sin
h cos
v0 cos
lim v02 cos
10:40:038h tan
cos
2
sin
2
sin sin
v02 h
cot3
2
v02 h
h s
3
v02h2 s3
例2 如图所示，质点从O点由静止开始沿半径为R的圆周做速率均匀增大的
2b
2 2 2 1
10:40:40
方向与AO夹角
tan1
1
2 1
♠ 曲线运动轨迹的曲率
曲线的弯曲程度用曲率描述
曲线上某点的曲率定义为
K lim t0 s
圆周上各点曲率相同:
1
K
R R
曲线上各点对应的半径为该点
曲率倒数1/K的圆称为曲率圆,该
圆圆心称曲线该点的曲率中心!
10:40:40
B
vM
b 8 2 4 1
2
10:40:40
方向与AB夹角
tan1
2 2 1
续解
求质点的加速度
规律
aM aMA aA a科
相对中介参考系的加速度 aMA 0
牵连加速度
aA 2 2b
a科
2
b 2
a科
AM
aM
aA
Oω
B
aM
2
2b
2
2
b 2
2
2
2
2b
2
b 2
cos
45
2m
如图所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡与水平面成角度
α．他与水平成θ仰角扔出的石子落在斜坡上距离为L，求其抛出时初速度v0及以此 大小初速度抛出的石子在斜坡上可以达到的最大距离．
石子沿山坡方向做匀加速运动
L
v0
cos
t
1 2
g
sin
t2
石子沿垂直山坡方向做匀加速运动
t 2 v0 sin
s
R
例4 用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径,已知长半轴
与短半轴为a和b.
设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率v运动，这个运动在M1平
面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆，则两平面间夹角
cos1 b
对椭圆长轴端的A点: a v2
aA A
v2
对A点投影A1点: aA1 b
又
a A1
aA
法向加速度
an
a sin
v2 R
l
O
v2
a
R sin
而sin = l
2R 2v2
a
10:40:38
l
v at A
a an
如图所示，曲柄OA长40 cm,以等角速度ω=0.5rad/s绕O 轴反时针方向转动．由于曲柄的A端推动水平板B而使滑杆C沿竖直 方向上升，求当曲柄与水平线夹角θ=30°时，滑杆C的加速度．
cos
b a
aA
椭圆短轴端B点的曲率半径由
10:40:40
A
aB
v
A
M
b2
v
aA aB
Bv
a
v2
M1
A1 aAa1B B1
v cos
2
B
b B
a2 b
旋转半径为r、螺距为h的等距螺旋线，曲率半径处 处相同．试用运动学方法求解曲率半径ρ值．
设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时以 vh沿垂直于v0方向做匀速直线运动，每前 进一个螺距，完成一次圆周，即有
A 2u
由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而 2r
aA
产1生0:4的0:40，方向指向u沿ω方向转过90°的方向
O
返试回手x
如图所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面内
以等角速度ω绕顶点O转动，某一点M以等相对速度沿AB边运动，当
三角形转了一周时，M点走过了AB，如已知AB＝b，试求M点在A时
R
而
v
2 A
at
t
2
,
s
R
2 则an
at2t 2 R
an at
at t 2 R
2st 2 t2R
又 an tan
at 10:40:38
tan 2
s
A
aan
at vA
如图所示，质点沿一圆周运动，过M点时速度大小为v， 加速度矢量与圆相交成弦MA=l，试求此加速度的大小．
将M点加速度沿切向与法向进行分解! M
s v0t
h 1 gt 2 2
h
x
v0t 2
1 2
gt 2
2
,
方向与s成
s
tan1
gt 2v0
◎物体在时刻t的速度
vs v0 vh gt
10:4v0:40
v02
gt
2 ,方向与v0成v
tan1 gt v0
返回
s
v0
v
vh v
沿斜面方向的匀加速运动与垂 直斜面方向的上抛运动之合成!
以恒定速度u自盘心向外运动，试求质点的加速度．
本题讨论中介参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成
质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起 转动两者之合运动． 设某一瞬时质点沿槽运动到与O相距r的位置A
uA
经Δt时间，质点沿槽运动到与盘心O相距r+uΔt 的 位置B ，盘转过了角度ωΔt，故质点实际应在位置B′
球与斜面的分离速度
v球
v球 =10 2 m/s
球从与斜面分离到再次碰撞历时
t 2 v球 = 20 2 s 4s g cos 45o 5 2
v v
45o 球
g
注意到球沿斜面体方向初速度为零，加速度gsin45°
球再10:4与0:41斜面碰撞处距A
AA 1 2
g sin 45
t 2 40
处正对面的木排？这时船航行多少时间？
流水速度为 u kx
船的合速度为
V
u L
v
v
x
uL V
在岸边船的合速度大小 V0=v 方向如示 !
uL kL 2m/s
u中
k
L 2
1m/s=
v 2
v
u中 V
中间时刻船合速度沿x方向,航线如 示 30o
通过L的时间 t
L
v cos
60 2 cos 30o
V0=v
O
在Δt时间内，质点沿y方向速度增量为
v y u cost r ut sint u y
在Δt时间内，质点沿x方向速度增量为
B
vx u sint r ut cost r u
B r u t
注意到Δt→0时 cost 1
A ωr
sint t
10:40:39
t 2 0
2 r h
v0 vh
vh
设螺旋线上任一点的曲率半径为ρ
v0
则 an
v02 r
v02 vh2
h r
v02 vh2 v02
rLeabharlann 1 h24 2r 2
r
10:40:40
受恒力作用
v0
力与初速度垂直
s
轨迹为半支抛物线
x
匀变速曲线运动
水平方向匀速运动与竖直 方向自由落体运动的合成
◎物体在时刻t的位置
1
曲线运动与天体运动
一、曲线运动的发生条件
合外力方向与速度方向不在一直线
切向力改变速度大小
法向力改变速度方向
v
Ft
二、曲线运动的特点
速度方向一定变化
F Fn
三、求解曲线运动问题的运动学基本方法
10:40:38 矢量的合成与分解
微元法
♠ 曲线运动的加速度
v
质点的瞬时加速度定义为 a
为求一般的做曲线运动质点在任一
物体从坡末端B水平飞出后做平抛运动: A
S 2g H h 2h 2 H h .h
H
g
B
由基本不等式性质
h
当H h h, h H 时 2
Smax H
10:40:40
两个质点以加速度g在均匀重力场中运动．开始时
两个质点位于同一点，且其中一个质点具有水平速度v1＝3.0 m／s； 另一个质点水平速度v2＝4.0 m／s，方向与前者相反．求当两个质点 的速度矢量相互垂直时，它们之间的距离．
lim
t 0
t
点的瞬时加速度，通常将其分解为
法向加速度an与切向加速度at．
an
lim
t 0
vn t
at
lim
t 0
vt t
AB
vn vB v
vt
A点曲率圆半径
O
A点曲率圆
vn AB
aAvnA
lvimn
tt0
vA AB
t
lim vA
t0
»AB t
at
lim
t 0
v2
an
vt t
的速度与加速度．
求质点的速度
引入中介参照系-三角形OAB
质点对轴O的速度（相对速度）
b vMA 2
三角形A点对轴的速度（牵连速度）vA 2b
? 三速质度点关对系轴为O的vv速M度（绝vv对A速度vv）MvMA
Oω
vM
2b2 2
b2 2 4 2
2
2b b cos 45 2
AM
vA
vMA
45o
当两质点速度互相垂直时， v1
速度矢量关系如图示:
由矢量图得
v1 tan v2 cot tan
2 3
vy v1t
而vy v1 tan 2 3m/s
t v1 tan 0.2 3 s
g
v2
v2t vy
则S v v t 10:40:40
1
2
7 3m 5
如图，一仓库高25 m，宽40 m．今在仓库前l m、 高5 m的A处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离l为多大时，初速度 v0之值最小？（g取10 m/s2）
从A移A′，绳绕滑轮转过一小
角度Δθ→0:
v
v0
sin
1
1
v v0 sin sin
v0
v0
vt
vt
A
由加速度定义得： 由几何关系得：
v
A v
则a
a
lim
0
v lim t0 t
v0
sin
1
1 sin
h tan
t
h
cos
vt
lim v02 cos 0 htan
t
O
续解x
a Ay
lim
t 0
v y t
lim
t 0
u r
ut t
t
读题
u
2r
牵连加速度
a Ax
lim vx lim r ut ut r
t 0 t t0
t
2u
aA
r 2 4u2
方向与x成 tan1 r
2u
相对中介参考系的加速度 a相对
牵连加速度 a牵连 2r
y
a科 2u
v
A
成沿绳方向“收短”的分速度vn和
s vt
垂直于绳方向的转动分速度vt;
注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速 率v0也就是绳端A点沿绳方向移动速率vn:
vn v0
由图示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得：
10:40:38
v v0 sinθ
h2 s2 s v0
续解
求船的加速度
读题
在一小段时间Δt内,船头位置
a
10:40:38
例1 在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为v0，
试求船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少？
求船的速度
依据实际运动效果分解船的运动：
船及与船相系的绳端A的实际运动 v0
是水平向左的，这可看作是绳之A
端一方面沿绳方向向“前方”滑 h
vn
轮处“收短”，同时以滑轮为圆 心转动而成，即将实际速度v分解
cos 45o
v0
sin
vB g
sin 45o
14.6 m
木排停泊在河上，到岸的距离L＝60 m．流水速度
同离岸的距离成比例地增大，在岸边u0=0，而在木排边流速uL=2 m/s．小汽船离开岸驶向木排．船对水的速度v=7.2 km/h．问驾驶员
在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航
10:40:41
20 3 s
30o
岸
如图所示，一个完全弹性小球自由下落，经5m碰到 斜面上的A点．同时斜面正以V＝10m／s在水平面上做匀速运动，斜 面与水平面的倾角为45°．问在离A点多远处，小球将与斜面发生第 二次碰撞？
球以v=10 m/s入射，与斜面的接近速度
v球 =10 2 m/s
A
V
大小．
设Δt时间内，v2方向变化Δθ, Δθ→0时:A Fv1 vt 1
B
tan v1 t
L
L v2
A D
由加速度定义，猎犬 加速度
a lim v t0 t
lim v2
t0 t
a v1v2
10:40:39
L
B
v
v2
v2
例3 如图所示，圆盘半径为R，以角速度ω绕盘心O转动，一质点沿径向槽
运动，到达A点时质点的加速度与速度方向夹角为α，质点通过的弧s所对的圆心 角为β，试确定α与β间的关系．
质点沿圆周做速度大小、方向均变化
O
的运动．每个瞬时的加速度均可分解为
切向加速度at与法向加速度an，前者反映
β
质点速率变化快慢，后者反映质点速度
方向变化快慢．
由题给条件 at
2s t2
,
an
v
2 A
空中飞行时间
t 2 v0 sin
g cos
2v0
tan
g
g
距斜面最大高度
y
v0
H
x
H v02 sin2 2g cos
平10:4抛0:40 初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!
如图所示，小冰球从高为H的光滑坡顶由静止开始 下滑，这个坡的末端形如水平跳板．当跳板高h为何值时，冰球飞过 的距离s最远？它等于多少？
杆上A点加速度
aA l 2
B
C
aAy
aA
sin
1 2
l
2
A ω aA θ aaACy Oθ
杆A与B板接触点有相同沿竖直方向的加速度 !
此即滑杆C的加速度 aC aAy
代入数据得滑杆C的加速度 aB 0.05 m/s2
10:40:38
有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑，一猎犬 以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F处， 猎犬在D处，FD⊥AB，且FD＝L，如图．试求此时猎犬的加速度的
过B点时速度方向与水
vB
平成45°时，可以最
v0 B 45o
小的vB越过40m仓库顶
!h
A
l
S
H
由S
vB cos 45o
2vB sin 45o g
vB
gS
从A到B竖直方向分运动有
v0 sin 2 vB sin 452 2g H h