初中数学圆的技巧及练习题

初中数学圆的技巧及练习题
一、选择题
1．下列命题错误的是（）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三角形一定有外接圆和内切圆
C．等弧对等弦
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．
【详解】
A、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题；
B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题；
C、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题；
D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题；
故选C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答，难度不大．
2．如图，已知AB是⊙O是直径，弦CD⊥AB，AC=22，BD=1，则sin∠ABD的值是()
A．2B．1
3
C．
2
3
D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据垂径定理，可得BC的长，再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC是直角三角形，利用勾股定理求得AB的长，得到sin∠ABC的大小，最终得到sin∠ABD
【详解】
解：∵弦CD⊥AB，AB过O，
∴AB平分CD，
∴BC =BD ，
∴∠ABC =∠ABD ，
∵BD =1，
∴BC =1，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB =90°，
由勾股定理得：AB 3=
=，
∴sin ∠ABD =sin ∠ABC =
3AC AB = 故选：C ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°、勾股定理和三角函数，解题关键是找出图形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解
3．下列命题中，是假命题的是( )
A ．任意多边形的外角和为360o
B ．在AB
C V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V
C ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边
D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关的知识点逐个分析．
【详解】
解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题；
B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题；
C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；
D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.
故选D ．
【点睛】
本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义．
4．如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF=EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF=40°，则∠F 的度数是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】
连接FB，
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，
∴∠FEB＝1
2
∠FOB=70°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，
∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，
故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
5．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=2
5
，则线段AC的长为（）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由
⊙O的半径是5，sinB=2
5
，即可求得答案．
【详解】
解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，
由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，
∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，
∴∠B=∠D，即sinB=sinD=2
5
，
∵半径AO=5，∴CD=10，
∴
2 sin
105
AC AC
D
CD
===，
∴AC=4，
故选：C.
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
6．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()
A．54°B．27°C．36°D．46°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB 的度数，然后利用圆周角解答即可.
【详解】
解：∵OA ＝OB ，
∴∠OBA ＝∠OAB ＝54°，
∴∠AOB ＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
∴∠ACB ＝12
∠AOB ＝36°． 故答案为C ．
【点睛】 本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.
7．如图，O e 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为( )
A 32π
B 332π
C ．23π
-
D 33
π
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴∠AOB =60°，∴△OAB 是等边三角形，OA =OB =AB =2，
设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG ⊥AB ，
∴OG =OA •sin 60°33
∴S 阴影=S △OAB ﹣S 扇形OMN =12×2×3﹣2
60(3)360
π⨯=32π-．故选A ．
8．如图，用半径为12cm ，面积272cm π的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）
A ．12cm
B ．6cm
C ．6√2 cm
D ．63 cm
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．
【详解】 72π=2
12360
n π⨯ 解得n=180°，
∴扇形的弧长=
18012180
π⨯=12πcm ． 围成一个圆锥后如图所示：
因为扇形弧长=圆锥底面周长
即12π=2πr
解得r=6cm ，即OB=6cm
根据勾股定理得22126=63-，
故选D ．
【点睛】
本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以学生学过的知识一定要结合起来．
9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，若∠A=30°，PC=3，则⊙O 的半径为（ ）
A ．3
B ．23
C ．32
D ．233
【答案】A
【解析】
连接OC ，
∵OA=OC ，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC 是⊙O 切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC •tan30°3
故选A
10．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323
y x =
+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )
A ．3
B ．2
C 3
D 2 【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意，画出图形，令直线3x+ 23x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，作OH ⊥CD 于H ；
然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C 、D 两点的坐标值；
再在Rt△POC中，利用勾股定理可计算出CD的长，并利用面积法可计算出OH的值；最后连接OA，利用切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POH中，利用勾股定理，得到21
PA OP
=-，并利用垂线段最短求得PA的最小值即可.
【详解】
如图，令直线3x+23x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y=3D（0，3
当y=033，解得x=-2，则C（-2，0），
∴22
2(23)4
CD=+=，
∵1
2
OH•CD=
1
2
OC•OD，
∴223
3⨯
=
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴2221
PA OP OA OP
=-=-
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA22
(3)12
-=
故选D.
【点睛】
本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
11．如图，O e 中，若66OA BC AOB ⊥∠=o 、，则ADC ∠的度数为（ ）
A ．33°
B ．56°
C ．57°
D ．66°
【答案】A
【解析】
【分析】 根据垂径定理可得»»AC
AB =，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】
∵OA ⊥BC ，
∴»»AC
AB =， ∵∠AOB=66°，∠AOB 和∠ADC 分别是»AB
和»AC 所对的圆心角和圆周角， ∴∠ADC=
12
∠AOB=33°， 故选：A ．
【点睛】 本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理是解题关键．
12．一个圆锥的底面半径是5，高为12，则这个圆锥的全面积是（ ）
A ．60π
B ．65π
C ．85π
D ．90π
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案.
【详解】
∵圆锥的底面半径是5，高为12， 2251213+=，
∵圆锥的侧面积=51365ππ⨯⨯=，
圆锥的底面积=2525ππ⨯=，
∴圆锥的全面积=652590πππ+=，
故选：D.
【点睛】
此题考查圆锥的全面积，圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系，熟记计算公式是解题的关键.
13．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG 上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上．若BC＝1，GH＝2，则CG的长为（）
A．12
5
B
．6C．21
+D．22
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC=x，OG=y，
由勾股定理可知：
222
222
222
11
{
22
r x
r x x y
r y
=++
=++
=++
（）①
（）②
（）③
，②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣
22=0，∴（x+y）2﹣22=（y+2）2﹣x2，∴（x+y+2）（x+y﹣2）=（y+2+x）（y+2﹣x）．∵x+y+2≠0，∴x+y﹣2=y+2﹣x，∴x=2，代入①得到r2=10，代入②得到：10=4+（x+y）2，∴（x+y）2=6．∵x+y＞0，∴x+y=6，
∴CG=x+y=6．
故选B．
点睛：本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数列方程组解决问题，难点是解方程组，利用因式分解法巧妙求出x的值，学会把问题转化为方程组，用方程组的思想去思考问题．
14．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需
．．（）个这样的正五边形
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
如图，
∵多边形是正五边形，
∴内角是1
5
×（5-2）×180°=108°，
∴∠O=180°-（180°-108°）-（180°-108°）=36°，
36°度圆心角所对的弧长为圆周长的
1 10
，
即10个正五边形能围城这一个圆环，
所以要完成这一圆环还需7个正五边形.
故选B.
15．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）
A．3m B．33C．35D．4m
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.
BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=
故小猫经过的最短距离是35.m
故选C.
16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是¶CD
上一点，且¶¶DF BC =，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E 的度数为（ ）
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
【答案】B
【解析】
【分析】 先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数，再由圆周角定理得出∠DCE 的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵»»DF
BC =，∠BAC=25°， ∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC ﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
17．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C 作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（）
A．5
3
π﹣23B．
5
3
π+23C．23﹣πD．3 +
5
3
π
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OE.可得S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE.根据已知
条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE=60o,CE=23,所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.
【详解】
解：连接OE，可得S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE，
由已知条件可得，BC=OC=CD=2，又,BO=OE=4，
∴∠BOE=o
60，可得CE=23，
S
扇形BOE=
2
604
360
π⋅⋅8
=
3
π，
S
扇形BCD
2
902
==
360
π
π
⋅⋅
，
S△OCE=
1
=223=23
2
⨯⨯，
∴S
阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE=
8
--23
3
ππ=
5
-23
3
π，
故选A.
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式、三角形面积公式，牢记公式并灵活运用可求得答案.
18．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）
A．2 B．3C．2D．1 2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】
连接OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵PA是圆的切线，
∴∠PAO=90°，
∵tan∠AOC =PA OA
,
∴PA= tan60°×1=3.
故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.
19．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）
A．23B．13C．4 D．32
【答案】B
【解析】
【分析】
如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.
【详解】
如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；
∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD=AD=3；
∴OD=AD-OA=2；
Rt△OBD中，根据勾股定理，得：
OB= 22
+=
BD OD13
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.
20．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）
A．4 B．2C3D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到CH=BH，»»
=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出
AC BC
BH，计算即可．
【详解】
如图BC与OA相交于H
∵OA⊥BC，
∴CH=BH，»»
，
AC AB
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB⋅sin∠3，
∴3
故选D．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．。