锐角三角函数培优题目

锐角三角函数培优题目

三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：

1．单调性；

2．互余三角函数间的关系；

3．同角三角函数间的关系．

平方关系：sin 2α+cos 2α=1；

商数关系：tgα=ααcos sin ，ctgα=α

αsin cos ； 倒数关系：tgαctgα=1．

【例题求解】

【例1】 已知在△ABC 中，∠A、∠B 是锐角，且sinA ＝

135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．

思路点拨 过C 作CD⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=

135=AC CD ，tanB=2=BD

CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A、∠B、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：

(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==

； （2）R C

c B b A a 2sin sin sin ===．

【例2】 在△ABC 中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( )

A ．32+

B ．32-

C ．0.3

D ．23-

思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．

注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．

（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．

【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC 的中点D 作DE⊥AB 于E ，连结CE ，求sin∠ACE 的值．

思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．

【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos∠DAC，

(1)求证：AC ＝BD ；

(2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；

(2) sinC=

AC

AD =1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．

【例5】 已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根．

(1)求实数p 、q 应满足的条件；

(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt△ABC 中两锐角A 、B 的正弦?

思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．

学历训练

A 组

1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα>21 ，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．

2．如图，在菱形ABCD 中，AE⊥BC 于E ，BC=1，cosB 135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．

4．化简:

(1)263tan 27tan 22-+ = ．

(2)sin 2l°+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．

5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )

A ．甲的最高

B ．丙的最高

C ．乙的最低

D ．丙的最低

6．已知 sinαcosα=8

1，且0°<α<45°则coα-sinα的值为( ) A ．

23 B ．23- C ．4

3 D ．43- 7．在△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D 是AC 的中点，则ctg∠DBC 的值是( ) A ．3 B ．32 C ． 23 D ．4

3 8．在等腰Rt△ABC 中．∠C＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan∠DBA=5

1，则AD 的长为( )

A ．2

B ．2

C ． 1

D ．22

9．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．

10．D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin∠CBD=4

3，

求AE 的长．

B 组

11．若0°<α<45°，且sinαconα=1673，则sinα= ． 12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．

13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．

14．设α为锐角，且满足sinα=3cosα，则sinαcosα等于( )

A ．61

B ．5

1 C ．9

2 D ．10

3 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成

30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积

是( )

A ．2

B ．23

C ．1

D ．2

1 16．如图，在△ABC 中，∠A＝30°，tanB=

23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．2

9 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．

18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC＝90°，∠CBD°=30°，求AC 的长．

19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．

20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．

(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)

(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为Cˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在Aˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数．