[2018年最新整理]微积分人大3版
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泰勒中值定理： 定理7.13 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b) 内具有直到(n+1)的阶导数，则当x(a, b)时，f(x)可以表 示为 1 f (x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) n + f (x0) (x-x0) +R n(x) ， n! 1 其中 R n(x) = f ( n+1) ( )(x-x0) n+1(在 x0 与 x 之间)。 (n + 1)! 展开式 称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n 阶泰勒公式， 而R n(x)的表达式 称为拉格朗日型余项。
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泰勒公式：
1 f (x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) + f (x0) (x-x0) n +R n(x) 。 ， n!
麦克劳林公式： 当x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是
为了达到一定精确度的要求，可考虑用 n 次多项式 Pn (x)近似f(x)。
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一、泰勒公式
设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数， 我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ + an (x-x0)n 来近似表达 f(x) ，我们自然希望 Pn(x) 与 f(x) 在 x0 的各阶导 数(直到(n+1)阶导数)相等：
a0 = f(x0)，
a1 = f (x0)，
1 a2 = f (x0)， 2! 1 a3 = f (x0)， 3! 1 (n) an = f (x0)。 n!
f (x0)=Pn(x0) =2!a2，
f (x0)=Pn(x0) =3!a3， f (n)(x0)=Pn(n)(x0) = n!an。
f ( n ) ( 0) n f (0) 2 f(x)=f(0)+f (0)x + x + + x +R n(x)， 2! n! 1 ( n+1) n+1 其中 R n(x) = f ( )x 。 (n + 1)!
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二、泰勒级数
如果f(x) 在区间 (a, b) 内具有各阶导数都存在，则对 于任意的正整数n，泰勒公式都成立。当n时，如果 R n(x)0，则得幂级数 1 f(x)=f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) + f (x0) (x-x0) n+ ， n! 这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数。 在泰勒级数中取x0=0，得 f ( n ) ( 0) n f (0) 2 f(x)=f(0)+f (0)x + x + + x + ， 2! n! 此级数称为f(x)的麦克劳林级数。
) 2 n 1 n na -2， n-3， Pn( (n ( x ( x ( ) x ) x = ) = ) = a = a 2 3! n + a ! + a a 2 + ( a + 。 3 x 4 ( 2 x 3 a ) 2 x ( + x a ) a ( + x x ( x ) x + x ) + ) + na + + n ( x ( + n + x n 1) ( a ) n a ( 1)( x ， ( x x n x ) 2) ) ( x x ) 0 1 21 3 n 2 03 0 4 2 0 0 0 n 0 n n 0 0 n 0
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多项式系数的确定：
1 ak = f k!
于是所求多项式为
(k )
( x0 ) (k=0, 1, 2, , n)
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ + an (x-x0)n
1 Pn(x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) + f (x0) (x-x0) n 。 n!
§7.6 泰勒公式与泰勒级数
一、泰勒公式
泰勒中值定理 泰勒公式与麦克劳林公式
二、泰勒级数
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一、泰勒公式
根据函数的微分，有 f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+o(x-x0) (当|x-x0|很小时)， 略掉o(x-x0)，得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0) (当|x-x0|很小时)， 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0)。 近似公式的不足：精确度不高，误差难于估计。
f(x0)=Pn(x0)， f (x0)=Pn(x0)， f (x0)=Pn(x0)， f (x0)=Pn(x0)， f (n)(x0)=Pn(n)(x0)。
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多项式系数的确定：
f(x0)=Pn(xFra Baidu bibliotek) =a0，
f (x0)=Pn(x0) =a1，
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泰勒中值定理： 定理7.13 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b) 内具有直到(n+1)的阶导数，则当x(a, b)时，f(x)可以表 示为 1 f (x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) n + f (x0) (x-x0) +R n(x) ， n! 1 其中 R n(x) = f ( n+1) ( )(x-x0) n+1(在 x0 与 x 之间)。 (n + 1)! 展开式 称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n 阶泰勒公式， 而R n(x)的表达式 称为拉格朗日型余项。
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泰勒公式：
1 f (x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) + f (x0) (x-x0) n +R n(x) 。 ， n!
麦克劳林公式： 当x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是
为了达到一定精确度的要求，可考虑用 n 次多项式 Pn (x)近似f(x)。
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一、泰勒公式
设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数， 我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ + an (x-x0)n 来近似表达 f(x) ，我们自然希望 Pn(x) 与 f(x) 在 x0 的各阶导 数(直到(n+1)阶导数)相等：
a0 = f(x0)，
a1 = f (x0)，
1 a2 = f (x0)， 2! 1 a3 = f (x0)， 3! 1 (n) an = f (x0)。 n!
f (x0)=Pn(x0) =2!a2，
f (x0)=Pn(x0) =3!a3， f (n)(x0)=Pn(n)(x0) = n!an。
f ( n ) ( 0) n f (0) 2 f(x)=f(0)+f (0)x + x + + x +R n(x)， 2! n! 1 ( n+1) n+1 其中 R n(x) = f ( )x 。 (n + 1)!
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二、泰勒级数
如果f(x) 在区间 (a, b) 内具有各阶导数都存在，则对 于任意的正整数n，泰勒公式都成立。当n时，如果 R n(x)0，则得幂级数 1 f(x)=f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) + f (x0) (x-x0) n+ ， n! 这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数。 在泰勒级数中取x0=0，得 f ( n ) ( 0) n f (0) 2 f(x)=f(0)+f (0)x + x + + x + ， 2! n! 此级数称为f(x)的麦克劳林级数。
) 2 n 1 n na -2， n-3， Pn( (n ( x ( x ( ) x ) x = ) = ) = a = a 2 3! n + a ! + a a 2 + ( a + 。 3 x 4 ( 2 x 3 a ) 2 x ( + x a ) a ( + x x ( x ) x + x ) + ) + na + + n ( x ( + n + x n 1) ( a ) n a ( 1)( x ， ( x x n x ) 2) ) ( x x ) 0 1 21 3 n 2 03 0 4 2 0 0 0 n 0 n n 0 0 n 0
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多项式系数的确定：
1 ak = f k!
于是所求多项式为
(k )
( x0 ) (k=0, 1, 2, , n)
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ + an (x-x0)n
1 Pn(x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) + f (x0) (x-x0) n 。 n!
§7.6 泰勒公式与泰勒级数
一、泰勒公式
泰勒中值定理 泰勒公式与麦克劳林公式
二、泰勒级数
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一、泰勒公式
根据函数的微分，有 f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+o(x-x0) (当|x-x0|很小时)， 略掉o(x-x0)，得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0) (当|x-x0|很小时)， 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0)。 近似公式的不足：精确度不高，误差难于估计。
f(x0)=Pn(x0)， f (x0)=Pn(x0)， f (x0)=Pn(x0)， f (x0)=Pn(x0)， f (n)(x0)=Pn(n)(x0)。
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多项式系数的确定：
f(x0)=Pn(xFra Baidu bibliotek) =a0，
f (x0)=Pn(x0) =a1，