人大版微积分第三版课件定积分应用
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轴所围成的曲边梯形面积 S （如图6－13）
d
S ( y)dy c
如果在 [a, b] 上，总有
0 g(x) f (x)
则曲线 f (x) 与 g(x) 所夹的面积 S 为
b
b
S f (x)dx g(x)dx
a
a
b
[ f (x) g(x)]dx
a
一般地，在 [a, b] 上，曲线 f (x) 与 g(x)所夹图形面积
线
、 （ a b ）及 轴所围成的平面
图形绕 x轴旋转而成的旋转体，见图6-19，求它
的体积 Vx.
（1） 用分点 a x0 x1 x2 xn b
把区间 [a,b] 分成 n个小区间
[xi1, xi ](i 1, 2, , n)
这些小区间的长分别为 xi xi xi1(i 1, 2, , n)
Vx 2
a
[
f
( x)]2 dx
2
0
a 0
b2 a2
(a2
Leabharlann Baidu
x2 )dx
2
b2 a2
(a2x
1 3
x3)
a 0
4 ab2
3
Vy 2
b x2dy
0
2
b 0
a2 b2
(b2
y2 )dy
4 a2b
3
过 i (xi1 i xi )(i 1, 2, , n) 作与 x 轴垂
直的平面，将旋转体分成 n 个小旋转体.
2） 把每个小旋转体分别用底半径为 f (i ),高为xi (i 1, 2, , n)
的直圆柱来近似代替， 这些直圆柱的体积分别为 [ f (i )]2 xi (i 1, 2, , n)
4b a2 ab
a4
a2 x2 dx
例 求抛物线 y2 2x 与直线 y x 4
2
所围成的图形的面积.
解：求出抛物线与直线的交
点
，
，再画已知方
程的图形，见图6-17阴影部分.
S 4 ( y 4 y2 )dy
2
2
(
y2 2
4y
y3 ) 6
4 2
18
旋转体的体积
x 设一立体是以连续曲线 y f (x)( 0)、直
定积分的应用
平面图形的面积 旋转体的体积
已知函数 求由曲线 梯形的面积 .
在区间
，
，
上连续，如何 所围成的曲边
1. 如果在 见图6-10
则由定积分
上
，
的几何意义知：
2. 如果在
上
，见图6-11，
3. 对于在
上函数
面积 可以表示为
有时取正有时取负，见图6-12，
类似地，由曲线 x ( y)( 0)，直线 y c, y d 及 y
b
S f (x) g(x)dx
a
类似地，由曲线 ( y) 与 ( y)所夹图形的面积 S
d
S ( y) ( y)dy
c
例1 求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的面积
因为椭圆是关于坐标轴对称的，所以整 个椭圆的面积 是第一象限内那部分的 四倍，即有
a
S 4 ydx
4
ab
0
0a
4b a a2 x2 dx a0
n
因此整个旋转体体积 Vx
[ f (i )]2 xi
i 1
（3） 记
x
max
1in
xi
当分点数
n , x 0
整个旋转体的体积
n
Vx
lim
x0
i 1
[
f
(i )]2 xi
b
[
f
(
x)]2dx
a
同理可得绕y轴旋转而成的旋转体的体积的计算公式为
Vy
d [( y)]2dy
c
求椭圆
分别绕 轴与 轴旋转产生的旋转体体积
d
S ( y)dy c
如果在 [a, b] 上，总有
0 g(x) f (x)
则曲线 f (x) 与 g(x) 所夹的面积 S 为
b
b
S f (x)dx g(x)dx
a
a
b
[ f (x) g(x)]dx
a
一般地，在 [a, b] 上，曲线 f (x) 与 g(x)所夹图形面积
线
、 （ a b ）及 轴所围成的平面
图形绕 x轴旋转而成的旋转体，见图6-19，求它
的体积 Vx.
（1） 用分点 a x0 x1 x2 xn b
把区间 [a,b] 分成 n个小区间
[xi1, xi ](i 1, 2, , n)
这些小区间的长分别为 xi xi xi1(i 1, 2, , n)
Vx 2
a
[
f
( x)]2 dx
2
0
a 0
b2 a2
(a2
Leabharlann Baidu
x2 )dx
2
b2 a2
(a2x
1 3
x3)
a 0
4 ab2
3
Vy 2
b x2dy
0
2
b 0
a2 b2
(b2
y2 )dy
4 a2b
3
过 i (xi1 i xi )(i 1, 2, , n) 作与 x 轴垂
直的平面，将旋转体分成 n 个小旋转体.
2） 把每个小旋转体分别用底半径为 f (i ),高为xi (i 1, 2, , n)
的直圆柱来近似代替， 这些直圆柱的体积分别为 [ f (i )]2 xi (i 1, 2, , n)
4b a2 ab
a4
a2 x2 dx
例 求抛物线 y2 2x 与直线 y x 4
2
所围成的图形的面积.
解：求出抛物线与直线的交
点
，
，再画已知方
程的图形，见图6-17阴影部分.
S 4 ( y 4 y2 )dy
2
2
(
y2 2
4y
y3 ) 6
4 2
18
旋转体的体积
x 设一立体是以连续曲线 y f (x)( 0)、直
定积分的应用
平面图形的面积 旋转体的体积
已知函数 求由曲线 梯形的面积 .
在区间
，
，
上连续，如何 所围成的曲边
1. 如果在 见图6-10
则由定积分
上
，
的几何意义知：
2. 如果在
上
，见图6-11，
3. 对于在
上函数
面积 可以表示为
有时取正有时取负，见图6-12，
类似地，由曲线 x ( y)( 0)，直线 y c, y d 及 y
b
S f (x) g(x)dx
a
类似地，由曲线 ( y) 与 ( y)所夹图形的面积 S
d
S ( y) ( y)dy
c
例1 求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的面积
因为椭圆是关于坐标轴对称的，所以整 个椭圆的面积 是第一象限内那部分的 四倍，即有
a
S 4 ydx
4
ab
0
0a
4b a a2 x2 dx a0
n
因此整个旋转体体积 Vx
[ f (i )]2 xi
i 1
（3） 记
x
max
1in
xi
当分点数
n , x 0
整个旋转体的体积
n
Vx
lim
x0
i 1
[
f
(i )]2 xi
b
[
f
(
x)]2dx
a
同理可得绕y轴旋转而成的旋转体的体积的计算公式为
Vy
d [( y)]2dy
c
求椭圆
分别绕 轴与 轴旋转产生的旋转体体积