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解
d dx
1 et2dt
cos x
d cosxet2dt, dx 1
ecos2x(cosx) sinxecos2 x,
lim
x0
1 et2dt
cos x
x2
sinxecos2 x lim
x0
2x
1. 2e
.
8
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
x
证明函数
F(x)
也是
f
( x)的一个原函数,
.
13
F (x ) (x ) Cx[a,b]
令 xa F ( a ) ( a ) C ,
a
Q(a)a f(t)dt0 F (a)C ,
x
QF(x)a f(t)dtC,
x
a f(t)dtF(x)F(a),
令 xb
b
f(x)dxF(b)F(a).
a
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牛顿—莱布尼茨公式
证
0
b(x)
F (x) f(t)dt f(t)dt
a(x)
0
b( x)
a( x)
f (t)dt f (t)dt,
0
0
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
.
7
例1
1 et2dt
求极限
lim
x0
cos x
x2
.
分析：这是 0 型不定式，应用洛必达法则. 0
4.2.1 原函数存在定理
1、变速直线运动问题
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时
间间隔[T1,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t) 0,
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为 T2 v ( t )d t T1
另一方面这段路程可表示为 s(T 2)s(T 1)
T T 12v(t)dts(T2)s(T1),
0
x
2
,
0 f (t)dt
x
f( x ) 0 ,( x 0 ) f (t)dt 0, 0
又 (xt)f(t)0,且 不 0 ， 0 恒 tx,为
x
0(xt)f(t)dt0, F (x ) 0(x 0 ).
故 F ( x ) 在 ( 0 , ) 内 为 单 调 增 加 函 数 .
.
10
例 3 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
x
(x)a f(t)dt.
.
4
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函数
x
( x) a f (t)dt
在[a, b]上具有导数，且它的导数是
( x) d dx
x
a f (t)dt f ( x) .
y
证
xx
(xx) f(t)dt
a
y f(x)
( x x ) ( x )
其s中 (t)v(t).
.
3
2、积分上限函数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为 [a, b]上的一点， 考察定积分
x
x
a f(x)dxa f(t)dt.
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对每个取
定的 x值，定积分有一个对应值，所以它在[a, b]
上定义了一个函数，称为积分上限函数，记为：
(x)
xx
x
a f(t)dta f(t)dt o a x xxb x
.
5
x
x x
x
af(t)d t x f(t)d t af(t)d t
xx
y
x f (t)dt,
由积分中值定理得
(x)
oa
f() x [x ,x x ],
x xxb x
(或 [xx,x])
f (), lim lim f()
在 [ 1 ,2 ] 上 规 定 当 x 1 时 ， f(x ) 5 ,
原 式
1
2xdx
2
5dx
0
1
6.
.
o 1 2x
16
例6 求积分 2 max{x,x2}dx.
b
f ( x)dx F (b) F (a) 仍成立. a
.
15
例4 求定积分 2(2cosxsinx1)dx. 0
解
原式
2 six n cx o x s 0 2
3
2
.
例5
设
f(x)52x
0x1
,
求
1x2
2
0
f ( x )dx .
2
1
2
y
解 0f(x )d x 0f(x )d x1f(x )d x
.
14
abf(x)dxF(b)F(a)F(x)ba
F(x) b a
微积分基本定理表明：
一 个 连 续 函 数 在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 等 于 它 的 任 意 一 个 原 函 数 在 区 间 [ a ,b ]上 的 增 量 .
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意: 当a b时，
.
12
4.2.2 牛顿—莱布尼茨公式
定理 2（微积分基本定理）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上
的一个原函数，则
b f ( x)dx F (b) F (a) . a
证 已 知 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
又
( x)
x
a
f
(t )dt
x
2x f (t )dt 1在 (0,1) 内只有一个解. 0
证
令
x
F(x)2x f(t)dt1,
0
f(x)1, F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 为 单 调 增 加 函 数 .F (0 ) 10 ,
1
1
F(1)1 0 f(t)dt 0[1 f(t)]dt 0,
0 tf
x
(t )dt
在(0,)内为单调增
0 f (t)dt
加函数.
证
d
x
tf (t )dt
xf(x),
d
x
f (t )dt f(x),
dx 0
dx 0
x
x
xf(x) f(t)dtf(x) tf(t)dt
F(x)
0 x
0 2
0 f(t)dt
.
9
x
f(x) (xt)f(t)dt
F(x)
x
x x 0
x 0
x 0, x (x )f(x ).
.
6
补充 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，
b( x)
则 F ( x) f (t )dt 的导数F( x)为 a( x)
F(x) d b(x) dx a(x)
f(t)dt
f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
所以F ( x) 0即原方程在 (0,1) 内只有一个解.
.
11
定理 （原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函数
x
( x) a f (t)dt 就是 f ( x)在[a, b]上的一个原
函数.
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.