微积分上册复习.ppt
微积分课件-复习必备
经济应用
总结词
微积分在经济领域也有着广泛的应用,包括金融、生产 和市场分析等领域。
详细描述
金融学中,微积分用于研究资产价格、投资组合和风险 管理等,例如期权定价、资本资产定价模型和风险中性 定价等。生产领域中,微积分用于研究生产成本、生产 效率和生产优化等,例如生产函数、成本函数和利润函 数等。市场分析中,微积分用于研究市场需求、市场结 构和市场预测等,例如需求函数、供给函数和弹性分析 等。
极限概念
01
02
03
极限定义
极限是描述函数在某一点 的变化趋势的数学工具, 定义为“lim x→x0 f(x) = L”。
单侧极限
函数在某一点的左侧或右 侧的变化趋势,分别称为 左极限和右极限。
极限的性质
包括唯一性、有界性、局 部保号性等,这些性质在 研究函数的单调性、极值 等特性时非常重要。
导数概念
合运算问题。
洛必达法则
洛必达法则是求极限的重要方 法之一,通过求导数来简化极
限的计算。
极限题型
01
02
03
04
极限定义
极限是微积分中的基本概念, 通过理解极限的定义和性质,
可以解决各种极限题型。
无穷小与无穷大
掌握无穷小与无穷大的概念和 性质,有助于解决极限问题中 的无穷比值和无穷增量问题。
极限的四则运算
不定积分与定积分的性质
不定积分的线性性质
$int (u + v) dx = int u dx + int v dx$
定积分的线性性质
$int (u + v) dx = int u dx + int v dx$
积分的区间可加性
比较定理
微积分基础知识PPT演示课件
A lim f ( i )xi
0 i 1
6
4)无穷级数
1 1 1 1 1 lim n n 2 2 4 2 4 1 1 (1 n ) 2 1 lim 2 n 1 1 2
1 2n
7
具备的数学素质:
从实际问题抽象出数学模型的能力
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
2
三、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.会运用 数学能力。
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
y a0 a1 x an x 为初等函数
n
y a0 a1x an x 不是初等函数
n
y e sin x 1
x 2
x y x 1 y x, x,
x0 不是初等函数 x0 x 0 可表为 2 故为初等函数. y x , x0 20
1. 定义 设数集 D,若存在对应法则 f ,使对 x D , 存在唯一确定 y M R 与之对应,则称 f 是定义在数集D 上的函数。记作 f : D M ( x | y ). 函数 f 在点 x 的函数值,记为 f ( x ) , 全体函数值的集合称为函数 f 的值域,记作 f ( D) 。 即 f ( D) y | y f ( x), x D 。
o
x
-1
x sgn x x
13
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
《微积分总复习》PPT课件
20 求f (x)在分界点的极限值或判断它不存在;
30
极限 lim x x0
f
( x)存在时,比较极限值与函数值f
(x0 ).
2021/4/26
10
间断点分类总结
第一类间断点:x0 是 f x 的间断点,且在点x0 处f x 的
左 、 右 极 限 都 存 在.
第二类间断点:不是第一类的其它间断点.
14
dy f (x)dx.
复合函数的微分法则、微分形式不变性. 求微分方法:
(1)利用微分的定义 dy f '(x)dx,先求f (x),再乘以dx.
(2)利用微分形式的不变性
2021/4/26
15
隐函数的微分
例 y tan(x y) 求dy.
解法I 第一步,两边求微分, dy sec2 (x y)(dx dy) 第二步,解出dy,
x0 x
反 三 角 函 数 的0 型 极 限 0
定理 设x x 时,, , , 为无穷小量,
0
1
1
1, 1,
若极限
lim
1
存在,则有
lim
lim
1
.
xx0 1
xx0
xx0 1
lim (1 1 ) x e.
x
x
可以求 1 型极限
2021/4/26
9
连续
连续的实质是
lim
xx0
则
b
a f (x)dx F(b) F(a).
b f (x)dx
a
f
(x)dx
b a
F(x)
b a
F(b)
F(a).
1、直接积分法:就是直接利用已有的数学结论、积分基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本公式与积分的性质来计算积分的方法
微积分知识点总结ppt
微积分知识点总结ppt一、基本概念1. 导数的定义:导数的定义是函数在一点的导数,是该函数在这一点的切线的斜率。
2. 导数的性质:基本公式,和,积,商法则等。
3. 函数的极值:通过导数求函数的极值点及极值。
4. 函数的单调性:通过导数研究函数的单调性。
5. 函数的凹凸性:通过导数研究函数的凹凸性。
二、微分学1. 微分的概念:微分是函数在某一点处的导函数的表现,是切线的截距。
2. 微分的计算:通过导函数求微分。
3. 微分的应用:微分在函数的近似计算,误差估计及优化问题中的应用。
三、积分学1. 不定积分:通过求导数的逆运算求不定积分。
2. 定积分:通过Riemann和定积分求解面积及曲线弧长等问题。
3. 定积分的性质:定积分的基本性质及计算公式。
4. 定积分的应用:定积分在物理,力学,生物等领域的应用。
四、微积分基本定理1. 微积分基本定理的概念:微分与积分之间的关系。
2. 牛顿—莱布尼兹公式:微积分基本定理的应用。
3. 微积分基本定理的证明:微积分基本定理的几何和代数证明。
4. 微积分基本定理的应用:微积分基本定理在实际问题中的应用。
五、一元函数微积分1. 一元函数极限:一元函数极限的概念及计算方法。
2. 一元函数连续性:一元函数连续性的概念及计算方法。
3. 一元函数导数:一元函数导数的概念及计算方法。
4. 一元函数积分:一元函数积分的概念及计算方法。
六、多元函数微积分1. 多元函数极限:多元函数极限的概念及计算方法。
2. 多元函数连续性:多元函数连续性的概念及计算方法。
3. 多元函数偏导数:多元函数偏导数的概念及计算方法。
4. 多元函数积分:多元函数积分的概念及计算方法。
七、微分方程1. 微分方程的基本概念:微分方程的定义及分类。
2. 微分方程的解法:微分方程的解法及技巧。
3. 微分方程的应用:微分方程在物理,工程等领域的应用。
八、泰勒级数与麦克劳林级数1. 泰勒级数:泰勒级数的定义及计算方法。
高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)
如果A,B互相包含,即A B且B A,则称A与B相等,记为A=B。
如果把 y看作自变量,x 看作因变量,按照函数的定义就得到一个新的函数,这个新函数称为函数y=f(x)的反函数,记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义,必须x 0,且x2-4³0。
如果A,B互相包含,即A B且B A,则称A与B相等,记为A=B。
1
O
x
3.对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数,记为
y=logax(a>0,a 1). 对数函数的定义域是区间(0,+ ).
单调性:
若a>1,则logax单调增加; 若0<a<1,则logax单调减少.
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4.三角函数
U(a)。 设>0,则称区间(a-, a+)为点a 的邻域,记作U(a, ),
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左(右)邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a, b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a, b)
Oa
bx
(a, b]
Oa
bx
大学微积分课件(PPT版)
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程,可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程,可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法,可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分,需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况;对于瑕积 分,需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似,但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$,如果 当$x$趋近于$a$时,$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$,则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中,我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律,以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率,表示函数在该点的切线斜 率。
大学微积分上册第二章函数的连续性ppt课件
即
f
(x)
sin x
x
,
x0
为连续函数
1 , x 0
18
x 1, x 0
例8.函数
f
(x)
0,
x 0 在 x 0处,
x 1, x 0
f (0) 0,
lim
x0
f (x)
lim (x 1)
x0
1
lim
x0
f
(
x)
lim (
x0
x
1)
1
y
y x 1
1
o•
x
-1
y x 1
lim
x0
lim 2 sin
x0
x
2
cos
x0
x
2
0
所以 f (x) sin x在点 x0 处连续.
由 x0 的任意性知, f (x) sin x在整个数轴上连续,
所以 y sin x 为连续函数.
类似可证 y cosx 为连续函数.
7
定义3
设函数 y f (x) 在点 x0 某邻域内有定义,
23
定理3 (复合函数的连续性)
设函数 u g( x ) 在点 x x0 处连续, 函数 y f (u)在点u u0处连续, 则 函数 y f ( g( x )) 在点 x x0 处连续
g( x0 ) u0
lim f ( g( x )) f ( lim g( x ))
x x0
x x0
x 因 x 0 时, 函数值在-1与1之间变动无限多次,
称 x 0为函数 f (x) sin 1 的震荡间断点.
x
16
例6.函数 f ( x) x2 1 在 x 1处 无定义, 从而间断.
《微积分》PPT课件
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型 设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X - 型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解 设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦 限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部 分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y - 型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并 对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结 果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作
《微积分》PPT课件
x x0
f (x)
f
(x0 )
何时函数f(x)在 点 处间断?
(1)f(x)在点 x0 处无定义;
(2)f(x)在点
x0 处有定义,但
时,函数f(x)以常数A为极限,记作
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
定 义 2 . 5 : 若 对 于 任 意 给 定 的 正 数 , 总 存
在一个正数M,使得当x>M(x<-M)时,
恒 有 f (x) A< 成 立 , 则 称 当 x (x )
时,函数f(x)以常数A为极限,记作
y=arcsinx x [1,1], y [ , ]
22
y=arccos x [-1,1], y [0, ]
y=arctanx X R, y ( , ) 22
y=arccotx X R,y (0,)
1.4 初等函数(三角函数)
正弦函数和余弦函数
正切函数和余切函数
正割函数与余割函数
三角函数的基本关系式:
xx0
ua
2.4
被迫性定理 若在某个变化过程中,
恒有y≤x≤z,且 limy=limz=A,则limx=A
两个重要极限(必考)
单调有界定理
单调有界的数列
必有极限
} 单 调 增 + 有 上 界
单调减+有下界
数列收敛
定理 2.12
定义 2.9
定理 2.13
若数列 {an}满足 an an1(或an an1)(n N) 则称数列 {an}为单调增 加(或单调减少)数列。
当x 0时,等价无穷小量:
sinx~x tanx~x
arcsinx~x 1-cosx~x2
微积分基础知识ppt课件
.
9
2.邻域:
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的 邻 点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点 a的去心 邻的 ,域 记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
.
10
二、函数
1.定义 设数集 D,若存在对应法则 f ,使对 x D ,
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , a N b 因b 2 2 2 a a 此 ,收则x 敛当数n 3列a>a22bN的b时极xnx,限nx必n3满ba2唯2a足b一的. 不等式
.
37
两边夹准则
( 1 ) y n x n z n ( n 1 ,2 , )
n 1 1
2
.
7
具备的数学素质: ➢ 从实际问题抽象出数学模型的能力 ➢ 计算与分析的能力 ➢ 了解和使用现代数学语言和符号的能力 ➢ 使用数学软件学习和应用数学的能力
.
8
第0章 基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
基本初等函数(幂函数,指数函数,对数函数,三角函数 和反三角函数).
.
12
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
.
13
(2) 取整函数 y=[x]
《微积分》课件
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学,如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨,他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论,为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支,通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键,需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一:极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确,并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一:极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
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x x 1
3. 无穷小量的等价替换
1). x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x (x 0) 2). x ~ ln(1 x) ~ (ex 1) ( x 0)
3).
(1
cos
x)
~
1 2
x2
(x 0)
lim 例:
1 cos x
x0 (etan x 1) sin x
(C ) 0
(sin x)
cos x (arcsin x)
1 1 x2
( xa )' axa1 (cos x)' sin x (a x )' a x ln a (tan x)' sec2 x(arccos x)'
1 1 x2
(e x )' e x (cot x)' csc2 x
dx du dx
二:求导数和微分
lim lim 1. f '( x0 )
x0
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
例:f
(
x)
x
arctan1 x2, Nhomakorabeax
0求f
' (0)
0, x 0
2.复合函数的链式求导法则
1)y sin2 3x;2) y ln tan x2;3) y f (cos x);4) y e f ( x)
Ch3导数和微分
lim lim 1.导数的定义:f '(x0 )
x 0
y x
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) x
lim 已知 x 0
f ( x0
2x) 3x
f ( x0 )
2 ,则:f 3
'( x0 )
2. 导数的几何意义:切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
(loga
x )'
x
1 ln
a(sec
x
)'
sec
x
tan
x
(arctan
x
)
1
1 x
2
(ln x)' 1 x
(csc
x)'
csc
x cot
x (arc cot
x )'
1
1 x2
1.四则运算法则
1)(cf(x))' cf ' ( x);
2)( f ( x) g( x))' f ' ( x) g' ( x);
3.间断点类型
f ( x) arctan 1 x
f (x)
1
( x 1)( x 2)
(标准:左右极限是否存在)
都存在
第 一
相等
是否
可去间断
类
间 左右极限 断 点 是否存在
间 相等
断 点
跳跃间断
不相等
第 二 类 至少有一 间 个不存在 断 点
可能出现间断的地方: 1)使函数无意义的点; 2)分段函数的分界点
3.隐函数的求导法则
e xy 2 x y2 3
4.幂指函数的对数求导法则
y ln(1 x2 ),求y"
5.高阶导函数
1) y (sin x)x;2) y x2x
6.函数的微分:
dy y'dx
7.微分的近似计算:
f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 )x
三:1 求极值与单调区间的步骤:
3)( f ( x) g( x))' f ' ( x) g( x) f ( x) g'( x)
f ( x) ' f '( x)g( x) f ( x)g'( x)
4)
g(
x)
g2( x)
2.设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [( x)]的导数 为 dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
1. 恒等变型:因式分解,有理化
例:lim( x2 x x)
lim lim x
2. 两个重要极限1)
sin x 1;2)
1
(1 x) x e
x0 x
x0
lim lim 1)
x0
sin 3x x
; 2)
n
3n
sin
x 3n
lim lim 3)
1
(1 5 x) x ;4)
( x 3)x
x0
Ch1-2函数和极限
1.求函数定义域
1) y ln(2x 4) arcsin 2x 1 7
2) 已知f(x)的定义域为[0,1],求 f ( x2 )的定义域。
2.函数的连续性
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
如果f
(x)
eax
2a,
x
0
在(, )上连续,则a ?
ax 3cos 2x, x 0
上册总复习
考试题型:
1. 选择(2分*5=10) 2. 填空(2分*10=20) 3. 求极限 (5分*3=15) 4. 求导数和微分(5分*6=30) 5. 导数应用:单调性极值;凹凸性拐点(6分*2=12) 6. 导数在经济学中的应用 (7分*1=7) 7. 证明题(6分*1=6)
一:求极限的方法
L'(q) 2q 80=0,q=40 L"(q) 2, L"(40)<0 L(40) 1100
40是函数的唯一极大值点,即最大值点。
当产量是40时利润最大,最大利润为1100。
五:证明题
1、闭区间上连续函数的性质: 最大最小值原理;介值定理;零点定理
2、Rolle Th; Lagrange Th
⑴ 求函数的定义区间; ⑵ 求出函数的所有导数为0和导数不存在的点; ⑶ 上述点将f(x)的定义区间分成若干子区间; ⑷ 列表分析相应的f '(x),讨论单调性、极值情况; ⑸ 写出结论。
f ( x) e x ( x2 2x 1)
2、求函数的凹凸区间和拐点:
(1)求出函数的定义域; (2)求出二阶导数为零或不存在的点; (3)将上述点把定义域分成几个区间, (4)根据各区间内二阶导数的符号,列表 讨论凹凸性。
求 y 1 在点( 1 , 2)处的切线的斜率,
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
y ln(1 x2 )
四、导数在经济学中的应用 工厂生产某种产品,成本函数为C(q) = 20q+ 500, 需求函数为q 100 p,问:产量是多少时利润最大, 最大利润是多少?
解 : L(q) R(q) C(q) (100 q)q (20q 500) q2 80q 500
4. 未定式的洛必达法则
lim lim 0
f (x)
f '(x)
,, 0 xa
g( x)
xa
g'( x)
tan x x
1 2sin x
1)lim x0
x2 sin x
;
2)lim x
sin(
x
)
6
6
lim lim lim 3)
x0
x ln x;4)
x0
11
(
x
e
x
); 5) 1
x0
xx
导数基本公式