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同济大学(高等数学)-第二章-导数与微分
第二篇 一元函数微积分第二章 导数与微分微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时,函数大体上变化了多少,即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用．第1节 导数的概念1.1 导数概念的引入1。
1。
1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程s 与运动时间t 的函数关系式记为()s s t =，求在0t 时刻时质点的瞬时速度0()v t 为多少？整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻0t 改变到时刻0t t +∆，在时间增量t ∆内，质点经过的路程为00()()s s t t s t ∆=+∆-，在t ∆时间内的平均速度为00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆， 当时间增量t ∆越小时，平均速度v 越接近于时刻0t 的瞬时速度0()v t ,于是当0t ∆→时，v 的极限就是质点在时刻0t 时的瞬时速度0()v t ，即00000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆． 1.1.2 平面曲线的切线斜率问题已知曲线:()C y f x =，求曲线C 上点000(,)M x y 处的切线斜率．欲求曲线C 上点000(,)M x y 的切线斜率，由切线为割线的极限位置,容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限．图2—1如图2—1所示，取曲线C 上另外一点00(,)M x x y y +∆+∆，则割线0M M 的斜率为000()()tan M M f x x f x y k x x+∆-∆===∆∆ϕ． 当点M 沿曲线C 趋于0M 时,即当0x ∆→时，0M M 的极限位置就是曲线C 在点0M 的切线0M T ，此时割线的倾斜角ϕ趋于切线的倾斜角α，故切线的斜率为00000()()lim tan limlimx x x f x x f x yk x x∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ϕ． 前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题,虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景,从数学角度看,却有着相同的数学形式,即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质—-导数．1。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
同济大学微积分第三版课件第二章第七节
3!
3! 5!
相应的误差分别为
R4x5 1!x5,R6x7 1!x7.
y
P1 x x
P5xx31!x351!x5
y sin x
O
x
P3
x
x
1 3!
x3
利用Mathematica可以做出函数y sin x与其近似多 项式的图形. 从图中可以看到, y sin x与其泰勒多项
式 Pn x 随着 n 的增大而越来越贴近.
y P1 x
y P5 x y P13 x y P9 x y P17 x
y sin x
y P3 x y P11 x
y P19 x
y P7 x
y P15 x
常见函数的麦克劳林展开式:
co sx11x21x4 2 ! 4 !
2 m 1 m !x2mR 2m 1x,
其中
R2m1xcos2 xm m 2!1πx2m2.
f nn!x0xx0n.
⑶
上式称为函数 f x 的 n 阶泰勒多项式.
例1 求 f x ex 在 x 0 处的1阶和2阶泰勒多项式.
解 因 f0 1 ,f0 1 ,f0 1
故而1阶泰勒多项式为:
P 1 x f0 f0 x 1 x .
2阶泰勒多项式为:
P 2 x f0 f0 x f2 0 x 2 1 x x 2 2 .
lim x3
lim3!x3
, 6
故原极限为
1
lim
x0
sin x
x
x2
1
e 6.
知识回顾 Knowledge Review
x1 x1
y
x
1
12
,
y21,y22,
同济大学微积分第三版课件第二章第六节
曲线有水平切线. 若记点 C y
的横坐标为 , 则有
C
y f x
f ( ) 0.
A
B
Oa
bx
进一步观察, 当 f a f b 时, 又看到在曲线弧 AB
上, 至少有一点 C, 弧 AB在该点处的切线 CT 平行于弦
AB, 又切线CT 的斜率是 f (b) f (a) , 以 记C 的横坐
例3 设函数 y x 4 , 画出曲线在 0,100,10中的图
x
形, 在同一平面上作出过点 1,5,8,8.5的割线, 并作
相应的切线.
割线的斜率为: k 0.5. 所以, 割线方程:
y 0.5x 4.5. 为求切点的x 坐标, 求解方程:
4 1 0.5.
π 2
上连续,
可导,
且
g x 1 sin x 0 x 0, π / 2, 即满足定理的条
件, 现求 0,π / 2, 使得
f π / 2 f 0 f g π / 2 g 0 g .
因
f g
π π
/ /
2 2
当 x 0 时,
f (x0 x) f (x0 ) 0; x
由函数 f (x) 在点 x0处的可导性及极限的保号性, 得
f (x0 )
f(x0 )
lim
x 0
f (x0 x) x
f (x0 ) 0,
f (x0)
f(x0 )
lim
x 0
f ( ) 0.
证 因 f Ca,b,故f x必在a,b上取到最大值 M 与 最小值 m.若 M m, f C a,b, 有
同济大学微积分第三版课件第二章第五节
第五节 函数的微分与 函数的线性逼近
一、微分的定义
本节要点
二、微分的计算
三、微分的意义与应用
一、微分的定义
1.引例
首先我们来看一个具体的例
x
子: 一块正方形的金属薄片受
温度变化的影响, 其边长从 x
变化到 x x, 问此薄片的面
x0
积改变了多少？
分析: 当边长为 x 时, 相应的
A x0 x2
近似, 其近似误差 f (x) f x0 x ox 是 x 的
高阶无穷小. x 越小, 则近似程度就越高.
例4 在 x 0 的邻近, 求 f (x) ln1 x的一次近似.
解 在(5)中, 取 x0 0, 即有
f (x) f 0 f 0 x,
y lim x0 x
f (x0 ),
由极限与无穷小的关系: 得
y x
f (x0 )
其中 为无穷小. 从而
y f (x0)x x f (x0)x ox,
即: 函数y f (x)在x0 处可微分, 且有
dy f (x0 )x.
的增量 x 微分, 记为dy, 即 dy Ax.
3.可微的条件
定理 函数 y f (x) 在点 x0 处可微的充要条件是函数
y f (x)在点 x0 处可导且有
dy f (x0 )x.
证 必要性: 设函数 y f (x) 在点 x0 处可微分, 则由
定义, 对给定的自变量的增量x, 相应函数的增量为
在M处的切线, 由此得:
MQ x,QN y, y QP f (x0 )x dy.
当 x 很小时， f (x0 x)
一、微分的定义
本节要点
二、微分的计算
三、微分的意义与应用
一、微分的定义
1.引例
首先我们来看一个具体的例
x
子: 一块正方形的金属薄片受
温度变化的影响, 其边长从 x
变化到 x x, 问此薄片的面
x0
积改变了多少？
分析: 当边长为 x 时, 相应的
A x0 x2
近似, 其近似误差 f (x) f x0 x ox 是 x 的
高阶无穷小. x 越小, 则近似程度就越高.
例4 在 x 0 的邻近, 求 f (x) ln1 x的一次近似.
解 在(5)中, 取 x0 0, 即有
f (x) f 0 f 0 x,
y lim x0 x
f (x0 ),
由极限与无穷小的关系: 得
y x
f (x0 )
其中 为无穷小. 从而
y f (x0)x x f (x0)x ox,
即: 函数y f (x)在x0 处可微分, 且有
dy f (x0 )x.
的增量 x 微分, 记为dy, 即 dy Ax.
3.可微的条件
定理 函数 y f (x) 在点 x0 处可微的充要条件是函数
y f (x)在点 x0 处可导且有
dy f (x0 )x.
证 必要性: 设函数 y f (x) 在点 x0 处可微分, 则由
定义, 对给定的自变量的增量x, 相应函数的增量为
在M处的切线, 由此得:
MQ x,QN y, y QP f (x0 )x dy.
当 x 很小时， f (x0 x)
高等数学同济大学第六版1-01-函数课件
x cos y
y arccos x
反正弦函数 y arcsin x
证明 x 1,1 , arcsin x arccos x
y arcsin x
2
记 arcsin x [ ， ], 2 2 arccos x [0, ]，
x [1,1], y arcsin x [
0, x a H ( x) 1, x a
1
o a x
Heaviside 是一位英国的电子工程师，他 用 Heaviside 函数来描述事物由量变到质 变的一个过程与状态。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
Байду номын сангаас
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
, ] cos 2 2
1 sin 2 1 x 2 ,
sin 1 cos 2 1 x 2 , x 2 1 x 2 1,
反余弦函数 y arccos x
sin( ) sin cos cos sin
函 数
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。 微积分的研究是以极限的思想为基 本思想，以极限的方法为基本方法—— 极限是基本工具。 但根本上，微积分这一学说的诞生 的基础是——笛卡儿的解析几何。
2 2
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
函数的几何特性
1．函数的有界性:
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
自然定义法: 定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数值.
例1 求下列函数的定义域
(1) y 3 x 1 x
x(,0) (0,3
(2) y lg(x2 4)
x (, 2) (2, )
练习：求下列函数的定义域
以 C = C( s )表示这个函数，其中 s 的单位是 km，C 的单位是元。按问题的规定：
当 0 < s 3 时，C = 10； 当 3 < s 10 时，C = 10 + 2( s – 3 )= 2s + 4； 当 s > 3 时，C = 10 + 2( 10 – 3 )+ 3( s – 10 )= 3s – 6 .
U (a) { x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
o
记作U
(a).
o
U (a) {x 0 x a }.
3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
同济大学微积分课件ch.ppt
例 求函数z x2 y3 2xy 在点1,2 处的导数.
解 zx 2x 2y, zy 3y2 2x,
所以 zx 1,2 6, zy 1,2 4.
x 例 设 z arctan y ,求 zx , zy.
解 由一元复合函数的求导法则得
11 y
zx
1
x 2
y
y
x2
, y2
zy
1
2z
a2
2z .
y2
x2
证
z cos x ay,
x
2z x2
sin
x
ay ,
z a cos x ay,y2z x2来自a2sin x
ay .
从而有
2z
a2
2z .
y2
x2
例 验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程
2z 2z 0.
x2 y2
证
z
x
x2
x
y2
,
2z x2
lim y z lim f x0, y0 y f x0, y0
y y 0
y 0
y
存在，则称此极限为函数z f x, y 在点 x0, y0 对 y
的偏导数，记作
z
, y x0 , y0
zy
x0, y0
,
f ,
y x0 , y0
fy x0, y0 .
当函数z f x, y 在点 x0, y0 同时存在对 x, y 的偏导数， 则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 可偏导.
yx
x
y
,
2z z
z yy
y2
y
y
.
而其中的第二与第三项称为混合偏导.
高等数学(同济第六版)课件 第四、五章 3. 微积分基本公式
(sec x 1) sec xd sec x
2 2
4 0
sec4 xd sec x sec2 xd sec x
1 1 1 5 4 1 3 4 sec x 0 sec x 0 (4 2 1) ( 2 2 1) 5 3 5 3
4 0
2 sin x cos 2 x 1 ( 2) dx sin x d cos x d cos x cos x cos x cos x 3
1 (cos x )d cos x cos x 1 1 2 ( t )dt t ln t C t 2
mx n , ( p 2 4q 0) 型的积分 基本类型4： 2 x px q mx n mx n 先将分母分解因式： 2 x px q ( x a )( x b ) mx n A B 由： ( x a )( x b ) x a x b
| sin x cos x | dx | sin x cos x | dx (cos x sin x )dx (sin x cos x )dx
4 0 4 0
2 0
2 4 2 4
(sin x cos x )
4 0
( cos x sin x )
2 4
( 2 1) ( 1 2 ) 2( 2 1)
y x 2 和 x y 2 所围成的图形的面积. 例2 求由曲线
解 A
1
0
xdx x 2dx
0
1
2 x 3
31 2
1 21 2 1 1 x 0 3 3 3 3 0
同济大学高等数学上课件D全微分
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z
fx (x ,y ) x fy (x ,y ) y x y
lxyi m00 0,
lim
x0
y0
0
注意到 xy , 故有
z fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y o()
所以函数 zf(x,y)在点 (x, y) 可微.
令 δx,δy,δz分别表示 x , y , z 的绝对误差界,
那 么
z 的绝对误差界约为
δ z fx ( x ,y )δ x fy ( x ,y )δ y
z 的相对误差界约为
zzffx((xx,,yy))δxffy((xx,,yy))δy
第十三页，共25页。
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特别注意
解: 由欧姆定律可知 RU244( 欧) I6
所以 R 的相对误差约为
δ R δU δ I 0.3 + 0.5 RU I
R 的绝对误差约为
δ R R = 0.032 ( 欧 )
第十六页，共25页。
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内容小结
1. 微分定义: (zf(x,y))
z fx(x ,y ) x fy(x ,y ) yo()
2) f(x,0)0, fx(0,0)0;同理 fy(0,0)0.
3) 当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y) ysin
1 x2 y2
x2 y
cos
(x2 y2)3
1 x2 y2
当 P ( x ,y ) 点 沿 y 射 x 趋 ( 0 ,0 线 ) 时 于 ,
lim
(x,x) (0,0)
[f(x x ,y y )f(x,y y)]
同济大学微积分ppt课件
集合的差: A \ B x x A但x B
4
集合的运算满足如下运算率：
交换率: A B B A, A B B A
结合率: 分配率:
A B C A B C,
A B C A B C
A B C A C B C, A B C A C B C.
11
T
T(X)
X Y
12
例 设 X 1,2,3,Y 2,4,6,8,
T
X Y,
x
2
x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1,1,Y ,,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
13
2. 几类重要映射
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D, 数集 X D,
如果M 0,x X , 都有 f x M , 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
有界
O
x
M
O
x
M 无界
22
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z ,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z,
T
x
(sin x)2.
17
三、一元函数
1.概念
4
集合的运算满足如下运算率：
交换率: A B B A, A B B A
结合率: 分配率:
A B C A B C,
A B C A B C
A B C A C B C, A B C A C B C.
11
T
T(X)
X Y
12
例 设 X 1,2,3,Y 2,4,6,8,
T
X Y,
x
2
x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1,1,Y ,,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
13
2. 几类重要映射
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D, 数集 X D,
如果M 0,x X , 都有 f x M , 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
有界
O
x
M
O
x
M 无界
22
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z ,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z,
T
x
(sin x)2.
17
三、一元函数
1.概念
同济大学微积分课件 PPT
1,1 1,.
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
(同济大学)高等数学课件D5微分
求
解:
dy
1
1 ex2
d(1 ex2 )
1
1 e
x2
ex2
d(x2)
1 1 ex2
ex2
2xdx
2 xe x 2 1 ex2
dx
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例2. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) d(cos(x y)) 0
sin x dy y cos x dx sin(x y) (dx dy) 0
★ 导数与微分的区别:
1. 函数
f
(
x
)
在点x
处的导数
0
是一个
定数
f ( x0 ),
而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x的线性函数,它的
定义域是R, 实际上, 它是无穷小.
lim dy
x x0
lim
x x0
f ( x0 )( x
x0 )
0.
2. 从几何意义上来看, f ( x0 ) 是曲线 y f ( x) 在
点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率, 而微 dy f ( x0 )
( x x0 )是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线
方程在点 x0 的纵坐标增量.
2.
d(arctanex )
1 1 e2x
de x
3. d tan x d sin x
ex 1 e2x
dx
sec3 x
4. d ( 1 cos 2 x C ) sin 2 x d x 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5. 设
同济大学微积分课件ch6_1
n 维空间中.
为了方便，下面的讨论我们仅限于二维Leabharlann 间的讨论.1.邻域 设P 0
x0 , y0 R2 , 为正数，称集合
U P0 , P R 2 P, P0
x, y
x x0
2
y y0 ,
2
为点 P 0
为此我们引入 n 维空间及相应点集的概念.
我们用
R
2
x, y x, y R.
表示二维空间下点的集合.
R3
x, y, z x, y, z R.
2 n i
表示三维空间下点的集合.
n 更一般， 我们用 R 表示 n 元有序数组的集合，即
Rn
x , x ,, x x R, i 1,2,, n.
所以， lim
x , y 0,0
f x, y 0.
sin xy . 例 求极限 lim x 0 x y 2
解 因
sin xy sin xy sin xy y, 而 lim 1. x 0 x xy xy y 2
所以
sin xy sin xy lim lim y 1 2 2. x 0 x 0 x xy y 2 y 2
P x0 , y0 是 D的聚点，且 P x0 , y0 D, 如果 0 0
x , y x0 , y0
lim
f x, y f x0 , y0 ,
则称函数 f x, y 在点 P 0
连续，或称 f x, y 是 D 上的连续函数，记作
2
3 称 u f x, y, z 为二元函数， x, y, z D R .
同济大学微积分第三版课件第三章第十一节
例9 计算反常积分 解 因
∫
x −1 5 5 x −1+1 x ∫1 x − 1dx = ∫1 x − 1 dx 5 5 1 = ∫ x − 1dx + ∫ dx 1 1 x −1
x→1
3 2 5
lim +
x
dx. 1 x −1 = ∞, 所以
5
x
5 2 28 = . = ( x − 1) + 2 x − 1 1 3 3 1
例10 计算反常积分
∫
+∞
1 x x −1
1
dx.
注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分. 解 注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分
∫
+∞
1
dx ∫0 t (1 + t 2 )dt x x − 1 dx = 2tdt
+∞ 0
1
x −1 = t2
+∞
2t
= 2∫
1 dt = π. 2 1+ t
∫
0
−∞
f ( x ) dx, ∫
+∞
0
都收敛, 都收敛 则称反常积分 为
+∞
∫
+∞
−∞
收敛, f ( x ) dx 收敛
+∞
且定义其值
∫
−∞
f ( x ) dx = ∫
0
−∞
f ( x )dx + ∫
0
f ( x )dx.
⑶
否则称反常积分
∫
+∞
−∞
发散的 f ( x ) dx 是发散的.
以上这三类积分都称为无穷限的反常积分 以上这三类积分都称为无穷限的反常积分. 无穷限的反常积分
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一一对应：既单又满的映射称为一一对应. 例 在前面的两例中，例2是一一对应，而例1则不是.
14
3. 逆映射与复合映射
逆映射：设T 是X 到Y 的一一映射，则对Y中任一元素y,
可以确定X中的唯一元素 x,满足 T x y, 称此对应
关系为映射T 的逆映射，记为T 1.
例
设
X
1,2,3,Y
2, 4, 6,
1
O
x
O x
2
2
1
23
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
xx
域内是无界函数.
解
设
M
0 ，取x0
2n
1
/
2
，
其中
n
1
2
M
2
1
1
2
M
2
则
f
x0
2n
2
M
所以 f x 无界.
24
y
y 1 sin 1 xx
O
x
25
单调性 设函数 f x 的定义域为D, 区间 I D,
(x, y) y f (x), x D,
称为y f x 的图象. 而数集D 则称为函数y f x
的定义域.
18
注：在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的 方式给出，即定义域为使表达式有效的一切实数.
例 y 1 x, 则定义域为 ,1.
例 y 1 x 1, 则定义域为 1 x2
4
集合的运算满足如下运算率：
交换率: A I B B I A, A U B B U A
结合率: 分配率:
AI BI C AI BI C,
AUB UC AUB UC
AI B UC AUC I B UC, AUBI C AI CI BI C.
5
3.区间和邻域
设 a,b是实数，且 a b,
X Y
12
例 设 X 1,2,3,Y 2,4,6,8,
T
X Y,
x
2x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1,1,Y ,,
X YTx Nhomakorabeatan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
13
2. 几类重要映射
设 T 是 X到 Y 的映射.
满射：若 Y T X ,即y Y , x X ,使得y T x. 单射：若 x1 x2 , 则必有T x1 T x2 .
开区间:
a,b x a x b;
闭区间:
a
b
x
a,b x a x b;
a
b
x
6
半开半闭区间: a,b x a x b;
a
b
x
(a,b] x a x b;
a
b
x
7
无穷区间:
(, ) x x .
x
[a, ) x a x
a
x
(a, ) x a x
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
y f x
f x1
O x1
x2
单调增加函数图形
f x2 x O x1
x2
x
单调减少函数图形
27
奇偶性 设函数 f x 的定义域为 D 关于原点对称，
如果对任意的 x D, 都有
f x f x 就称 f x 为偶函数；
如果对任意的 x D, 都有
例：设 X R,Y 1,1, Z 0,1,
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z ,
T2
y
y2,
则复合映射T2 oT1为
X Z,
T
x
(sin x)2.
17
三、一元函数
1.概念
从数集D到实数集 R的任一映射 f 称为定义在D 上的
一元函数，通常记为 y f x.而 R R 中的集合
如果对任意的 x1, x2 I , 当 x1 x2 时，总有
f x1 f x2 , 则称函数 f x为区间 I 上的单调增加函数；
如果 x1 x2 时，总有
f x1 f x2 , 则称函数 f x为区间 I 上的单调减少函数.
26
图形特征：
y f x2
y f x
y
f x1
8
邻域：
设a, 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
U (a, ) x x a
x | a x a a,a
a
a
a x
9
如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点a 的空
心邻域：
o
U (a, ) x 0 x a
x | a x a , x a a , a Ua, a
1,1 U1,.
19
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 y sgn x,
1 x 0,
y
sgn
x
0
x 0,
y
1 x 0.
y sgn x
O
x
20
例 取整函数 y x.
y
4 3 2 1
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
21
2. 函数的几种特性
预备知识
1
一、集合
1. 集合的概念 在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称 为一个集合. 集合中的事物称为该集合的元素.
如果元素 a在集合 A 中，记为
a A;
否则，记为
a A.
2
只有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集.
常用数集:
自然数集: N 0,1,2,L ,n,L
整数集: 有理数集: 复数集:
a
a
a x
10
二、映射
1. 映射的概念
设 X ,Y是两个非空集合，如果存在一个法则 T , 使得 对 X中的每个元素x, 按此法则在 Y 中有唯一的元素y 与之对应，那么称T 为从X 到Y 的映射，记作
T : X Y.
而元素 y称为 x 的象，记作T x， 即
y T (x).
11
T
T(X)
Z 0,1,2,L , n,L
Q
p q
p
Z
,
q
Z
*
C a bi a,b R,i2 1
3
2.集合的运算
设 A, B 是两个集合，由此定义如下几个集合：
集合的交: 集合的并: 集合的差:
AI B x x A且x B AUB x x A或x B
A \ B x x A但x B
T
X Y
x
2x
则：
Y X
T 1
y
y 2
15
复合映射：设有映射 T1 : X Y1,T2 : Y2 Z , 其中
Y1 Y2 , 由此可以确定一个从 X到 Z 的映射 T ,
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
.
称此映射为由T1,T2 构成的复合映射，记为T2 oT1.
Y1 Y2
X
Z
16
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D, 数集 X D,
如果M 0,x X , 都有 f x M , 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
有界
O
x
M
O
x
M 无界
22
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
,
2
上无界.
y
y y tan x
y sin x
14
3. 逆映射与复合映射
逆映射：设T 是X 到Y 的一一映射，则对Y中任一元素y,
可以确定X中的唯一元素 x,满足 T x y, 称此对应
关系为映射T 的逆映射，记为T 1.
例
设
X
1,2,3,Y
2, 4, 6,
1
O
x
O x
2
2
1
23
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
xx
域内是无界函数.
解
设
M
0 ，取x0
2n
1
/
2
，
其中
n
1
2
M
2
1
1
2
M
2
则
f
x0
2n
2
M
所以 f x 无界.
24
y
y 1 sin 1 xx
O
x
25
单调性 设函数 f x 的定义域为D, 区间 I D,
(x, y) y f (x), x D,
称为y f x 的图象. 而数集D 则称为函数y f x
的定义域.
18
注：在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的 方式给出，即定义域为使表达式有效的一切实数.
例 y 1 x, 则定义域为 ,1.
例 y 1 x 1, 则定义域为 1 x2
4
集合的运算满足如下运算率：
交换率: A I B B I A, A U B B U A
结合率: 分配率:
AI BI C AI BI C,
AUB UC AUB UC
AI B UC AUC I B UC, AUBI C AI CI BI C.
5
3.区间和邻域
设 a,b是实数，且 a b,
X Y
12
例 设 X 1,2,3,Y 2,4,6,8,
T
X Y,
x
2x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1,1,Y ,,
X YTx Nhomakorabeatan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
13
2. 几类重要映射
设 T 是 X到 Y 的映射.
满射：若 Y T X ,即y Y , x X ,使得y T x. 单射：若 x1 x2 , 则必有T x1 T x2 .
开区间:
a,b x a x b;
闭区间:
a
b
x
a,b x a x b;
a
b
x
6
半开半闭区间: a,b x a x b;
a
b
x
(a,b] x a x b;
a
b
x
7
无穷区间:
(, ) x x .
x
[a, ) x a x
a
x
(a, ) x a x
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
y f x
f x1
O x1
x2
单调增加函数图形
f x2 x O x1
x2
x
单调减少函数图形
27
奇偶性 设函数 f x 的定义域为 D 关于原点对称，
如果对任意的 x D, 都有
f x f x 就称 f x 为偶函数；
如果对任意的 x D, 都有
例：设 X R,Y 1,1, Z 0,1,
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z ,
T2
y
y2,
则复合映射T2 oT1为
X Z,
T
x
(sin x)2.
17
三、一元函数
1.概念
从数集D到实数集 R的任一映射 f 称为定义在D 上的
一元函数，通常记为 y f x.而 R R 中的集合
如果对任意的 x1, x2 I , 当 x1 x2 时，总有
f x1 f x2 , 则称函数 f x为区间 I 上的单调增加函数；
如果 x1 x2 时，总有
f x1 f x2 , 则称函数 f x为区间 I 上的单调减少函数.
26
图形特征：
y f x2
y f x
y
f x1
8
邻域：
设a, 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
U (a, ) x x a
x | a x a a,a
a
a
a x
9
如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点a 的空
心邻域：
o
U (a, ) x 0 x a
x | a x a , x a a , a Ua, a
1,1 U1,.
19
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 y sgn x,
1 x 0,
y
sgn
x
0
x 0,
y
1 x 0.
y sgn x
O
x
20
例 取整函数 y x.
y
4 3 2 1
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
21
2. 函数的几种特性
预备知识
1
一、集合
1. 集合的概念 在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称 为一个集合. 集合中的事物称为该集合的元素.
如果元素 a在集合 A 中，记为
a A;
否则，记为
a A.
2
只有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集.
常用数集:
自然数集: N 0,1,2,L ,n,L
整数集: 有理数集: 复数集:
a
a
a x
10
二、映射
1. 映射的概念
设 X ,Y是两个非空集合，如果存在一个法则 T , 使得 对 X中的每个元素x, 按此法则在 Y 中有唯一的元素y 与之对应，那么称T 为从X 到Y 的映射，记作
T : X Y.
而元素 y称为 x 的象，记作T x， 即
y T (x).
11
T
T(X)
Z 0,1,2,L , n,L
Q
p q
p
Z
,
q
Z
*
C a bi a,b R,i2 1
3
2.集合的运算
设 A, B 是两个集合，由此定义如下几个集合：
集合的交: 集合的并: 集合的差:
AI B x x A且x B AUB x x A或x B
A \ B x x A但x B
T
X Y
x
2x
则：
Y X
T 1
y
y 2
15
复合映射：设有映射 T1 : X Y1,T2 : Y2 Z , 其中
Y1 Y2 , 由此可以确定一个从 X到 Z 的映射 T ,
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
.
称此映射为由T1,T2 构成的复合映射，记为T2 oT1.
Y1 Y2
X
Z
16
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D, 数集 X D,
如果M 0,x X , 都有 f x M , 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
有界
O
x
M
O
x
M 无界
22
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
,
2
上无界.
y
y y tan x
y sin x