同济大学微积分ch5_1PPT课件
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微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 D f ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
y
y f (x)
-x f (x)
f (x)
o
xx
奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx
奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件 下保持相应的奇、偶性。
解： D( 7) 1, 5
D(1 2) 0,
D(D( x)) 1,
(5) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
例.
已知函数
y
f
(
x)
2 1
x, x,
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
同济大学微积分第三版课件第二章第六节
曲线有水平切线. 若记点 C y
的横坐标为 , 则有
C
y f x
f ( ) 0.
A
B
Oa
bx
进一步观察, 当 f a f b 时, 又看到在曲线弧 AB
上, 至少有一点 C, 弧 AB在该点处的切线 CT 平行于弦
AB, 又切线CT 的斜率是 f (b) f (a) , 以 记C 的横坐
例3 设函数 y x 4 , 画出曲线在 0,100,10中的图
x
形, 在同一平面上作出过点 1,5,8,8.5的割线, 并作
相应的切线.
割线的斜率为: k 0.5. 所以, 割线方程:
y 0.5x 4.5. 为求切点的x 坐标, 求解方程:
4 1 0.5.
π 2
上连续,
可导,
且
g x 1 sin x 0 x 0, π / 2, 即满足定理的条
件, 现求 0,π / 2, 使得
f π / 2 f 0 f g π / 2 g 0 g .
因
f g
π π
/ /
2 2
当 x 0 时,
f (x0 x) f (x0 ) 0; x
由函数 f (x) 在点 x0处的可导性及极限的保号性, 得
f (x0 )
f(x0 )
lim
x 0
f (x0 x) x
f (x0 ) 0,
f (x0)
f(x0 )
lim
x 0
f ( ) 0.
证 因 f Ca,b,故f x必在a,b上取到最大值 M 与 最小值 m.若 M m, f C a,b, 有
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
同济大学微积分课件ch.ppt
例 求函数z x2 y3 2xy 在点1,2 处的导数.
解 zx 2x 2y, zy 3y2 2x,
所以 zx 1,2 6, zy 1,2 4.
x 例 设 z arctan y ,求 zx , zy.
解 由一元复合函数的求导法则得
11 y
zx
1
x 2
y
y
x2
, y2
zy
1
2z
a2
2z .
y2
x2
证
z cos x ay,
x
2z x2
sin
x
ay ,
z a cos x ay,y2z x2来自a2sin x
ay .
从而有
2z
a2
2z .
y2
x2
例 验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程
2z 2z 0.
x2 y2
证
z
x
x2
x
y2
,
2z x2
lim y z lim f x0, y0 y f x0, y0
y y 0
y 0
y
存在，则称此极限为函数z f x, y 在点 x0, y0 对 y
的偏导数，记作
z
, y x0 , y0
zy
x0, y0
,
f ,
y x0 , y0
fy x0, y0 .
当函数z f x, y 在点 x0, y0 同时存在对 x, y 的偏导数， 则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 可偏导.
yx
x
y
,
2z z
z yy
y2
y
y
.
而其中的第二与第三项称为混合偏导.
同济大学微积分第三版课件第二章第四节
y0 1 .
2
对⑴式继续求导, 得
2 0 y 3 y 2 5 y 4 y 2 y 1 2 6 x 5 0 ,⑶
将 x0,y0,y1 代入⑶得, 2
y0 0.
上节我们建立了由参数方程所确定的函数的导数, 在 二阶可导的条件下, 我们建立相应的的二阶导数公式.
设函数 x t 和 y t 为二阶可导函数, 且 t 0, 则由方程所确定的函数的二阶导数为
ddx2y2 ttt3tt.
但更多的情况下, 我们宁可采取直接求导的方法来求 出高阶导数, 而不是死记这个烦琐的公式.
例8 计算由摆线的参数方程
x a t sin t
y
a
1
cos
t
所确定的函数的二阶导数.
解
dya1cost dx atsint
a1asicnotstcot2t,
d2y dx2
cot
t 2
a t sin t
csc2 t 1 22
a1cost
a11cost2
,
t 2kπ,kZ.
n 阶导数的莱布尼茨公式: 设uu(x),vv(x) 在 x 处有n 阶导数, 则:
u v n u n v n u n 1 v n n 1 u n 2 v
2
n n 1 n 2 n k 1 u n k v k u v n .
代入莱布尼茨公式, 得
y 2 0 2 2 0 e 2 x x 2 2 0 2 1 9 e 2 x2 x 2 0 1 9 2 1 8 e 2 x2 2 !
220e2x x220x95.
记为
f ( x 0 )
或
y ,d2y xx0 dx2
,d2 f (x) dx2
.
2
对⑴式继续求导, 得
2 0 y 3 y 2 5 y 4 y 2 y 1 2 6 x 5 0 ,⑶
将 x0,y0,y1 代入⑶得, 2
y0 0.
上节我们建立了由参数方程所确定的函数的导数, 在 二阶可导的条件下, 我们建立相应的的二阶导数公式.
设函数 x t 和 y t 为二阶可导函数, 且 t 0, 则由方程所确定的函数的二阶导数为
ddx2y2 ttt3tt.
但更多的情况下, 我们宁可采取直接求导的方法来求 出高阶导数, 而不是死记这个烦琐的公式.
例8 计算由摆线的参数方程
x a t sin t
y
a
1
cos
t
所确定的函数的二阶导数.
解
dya1cost dx atsint
a1asicnotstcot2t,
d2y dx2
cot
t 2
a t sin t
csc2 t 1 22
a1cost
a11cost2
,
t 2kπ,kZ.
n 阶导数的莱布尼茨公式: 设uu(x),vv(x) 在 x 处有n 阶导数, 则:
u v n u n v n u n 1 v n n 1 u n 2 v
2
n n 1 n 2 n k 1 u n k v k u v n .
代入莱布尼茨公式, 得
y 2 0 2 2 0 e 2 x x 2 2 0 2 1 9 e 2 x2 x 2 0 1 9 2 1 8 e 2 x2 2 !
220e2x x220x95.
记为
f ( x 0 )
或
y ,d2y xx0 dx2
,d2 f (x) dx2
.
同济大学微积分课件 PPT
1,1 1,.
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
ch05 第二节 数值积分的余项
f
]
b
a n
n3
f (n2) ()
(n 2)!
n t 2 (t 1)L
0
(t n)dt,
(2) 若 n 为奇数， f (x) Cn+1[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
b a
f
( x)dx
Q[
f
]
ba n
n2
f (n1) ()
(n 1)!
n
t(t 1)L
0
(t n)dt,
ab 2
)2
(
x
b)
dx
1 2880
(b
a)5
f
(4)(
)
Newton-Cotes余项的一般形式
n
定理 设 Q[ f ] (b a) Ci(n) f ( xi ) ，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
b a
f
( x)dx
Q[
b
b
a f (h(x))g(x)dx f ()a g(x)dx
§5.2数值积分的余项
左矩形公式余项(证明: 用Taylor展开公式)
RGa ( f )
b
(b a)2
f ( x)dx (b a) f (a)
a
2
f ()
证明：将被积函数f(x)在a处泰勒展开,
f ( x) f (a) f '( ( x))( x a),(x在) x、a之间
b
b
f ( x) dx H ( x) dx
1
a
a
(2n 2)!
b a
f
(2n2) ( x )
数值计算CH5常微分方程数值解法—51引言(基本求解公式
h5 R(Sk ) 180 16
f (4) (k , y(k ))
将以上求积公式代入(11)式, 并加以处理, 得求解公式：
2021/4/21
23
(一) 矩形求解公式
由 以及 可得
y(xk ) y(xk1)
xk xk 1
f (x, y)dx
xk xk 1
f
(x,
y)dx
hf
( xk 1,
(4)式中区间 [x j , x上j1第] 一等式的一般格式：
1
h
y j1 y j
y(x j
)
h 2
y' ' (
j
)
f
(x
j
,
y
j
)
h 2
y' ' (
j
)
即
y j1
yj
hf (x j , y j )
h2 2
y''( j )
j 0,1,, n 1
得近似解及误差：
y
j
1
yj
hf
(x j ,
解: 由(9)式, 有
y1
y0
h( y0
2 x0 y0
)
1
0.1(1
20) 1
1.1
y1
y0
h( y1
2 x1 y1
)
1
0.1(1.1
2 0.1) 1.1
1.0918
y2
y1
h( y1
2 x1 y1
)
1.0918
0.1(1.0918
2 0.1 ) 1.0918
1.1827
y2
y1
同济大学微积分第三版课件第二章第五节
在M 处的切线, 由此得:
M Q x,Q N y, y Q Pf(x0) xdy. 当 x 很小时， f (x0 x)
ydyox,
因此, 曲线
f (x0)
y f (x)
O
y f (x) T
N
o ( x )
P
M
Q dy y
x
）
x 0 x0 x
x
即: 函数 y f (x)在x 0 处可微分, 且有
dyf(x0)x.
如果函数 y f (x)在区间I 内每一点可微, 则称 f ( x ) 为区间内的可微函数: 函数 f ( x ) 在 I 内的任意一点微
分就称为函数的微分, 也记为 d y , 由前公式得:
dyf(x)x.
arctanx
1 1x2
sinhx coshx
darcsinx 1 dx 1x2
darctanx 1 dx 1x2
d s in h c o s h x d x
2.运算法则（表中 u u (x ),v v (x ),、 R ）
函数的和、积、商的求导法则
函数的和、积、商的微分法则
的增量 x 微分, 记为d y , 即 dy Ax.
3.可微的条件
定理 函数 y f (x) 在点 x 0 处可微的充要条件是函数
y f (x)在点 x 0 处可导且有
dyf(x0)x.
证 必要性: 设函数 y f (x) 在点 x 0 处可微分, 则由
定义, 对给定的自变量的增量 x , 相应函数的增量为
如果相应的函数增量 yf(x0 x)f(x0)可以表
示为
yAxox, 其中A 是与 x 0 有关的而与 x 无关的常数, o x 是 x 的
M Q x,Q N y, y Q Pf(x0) xdy. 当 x 很小时， f (x0 x)
ydyox,
因此, 曲线
f (x0)
y f (x)
O
y f (x) T
N
o ( x )
P
M
Q dy y
x
）
x 0 x0 x
x
即: 函数 y f (x)在x 0 处可微分, 且有
dyf(x0)x.
如果函数 y f (x)在区间I 内每一点可微, 则称 f ( x ) 为区间内的可微函数: 函数 f ( x ) 在 I 内的任意一点微
分就称为函数的微分, 也记为 d y , 由前公式得:
dyf(x)x.
arctanx
1 1x2
sinhx coshx
darcsinx 1 dx 1x2
darctanx 1 dx 1x2
d s in h c o s h x d x
2.运算法则（表中 u u (x ),v v (x ),、 R ）
函数的和、积、商的求导法则
函数的和、积、商的微分法则
的增量 x 微分, 记为d y , 即 dy Ax.
3.可微的条件
定理 函数 y f (x) 在点 x 0 处可微的充要条件是函数
y f (x)在点 x 0 处可导且有
dyf(x0)x.
证 必要性: 设函数 y f (x) 在点 x 0 处可微分, 则由
定义, 对给定的自变量的增量 x , 相应函数的增量为
如果相应的函数增量 yf(x0 x)f(x0)可以表
示为
yAxox, 其中A 是与 x 0 有关的而与 x 无关的常数, o x 是 x 的
同济大学微积分第三版课件第四章第三节
再由初始条件 y 1,得 C 1 , 故所求的函数为
x0
2
f (x) 1 (e2x 1). 2
由公式⑹得方程的通解
x
e
1 y ln
y
d
y
1 y
e
1 y ln
y
d
y
d
y
C
eln ln
y
1 y
eln ln
y
d
y
C
1 ln y
1 ln y
(1 2
ln2
y
C).
xy 2y sin x ,
将此式代入⑷，即得方程⑴的通解为：
y e P(x)d x ( Q(x) e P(x)d x d x C).
⑹
例1
求解方程
y
1
x x
2
y
1 2 x(1
x2
)
.
解 方程为一阶线性微分方程．由公式⑹，方程的通解
为
y
e
x 1 x2
dx
2
1 x(1
x2
x
y
1 x2
x cos
x
sin
x.
例4 设 f (x) 连续，且满足方程
x
0 [2 f (t) 1]d t f (x) 1,
求 f (x).
解 原式变形，得
x
f (x) 0 [2 f (t) 1]d t 1,
由条件，等式右边为可微函数，故方程两边求导，得
同济大学微积分第三版课件第三章第十一节
例9 计算反常积分 解 因
∫
x −1 5 5 x −1+1 x ∫1 x − 1dx = ∫1 x − 1 dx 5 5 1 = ∫ x − 1dx + ∫ dx 1 1 x −1
x→1
3 2 5
lim +
x
dx. 1 x −1 = ∞, 所以
5
x
5 2 28 = . = ( x − 1) + 2 x − 1 1 3 3 1
例10 计算反常积分
∫
+∞
1 x x −1
1
dx.
注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分. 解 注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分
∫
+∞
1
dx ∫0 t (1 + t 2 )dt x x − 1 dx = 2tdt
+∞ 0
1
x −1 = t2
+∞
2t
= 2∫
1 dt = π. 2 1+ t
∫
0
−∞
f ( x ) dx, ∫
+∞
0
都收敛, 都收敛 则称反常积分 为
+∞
∫
+∞
−∞
收敛, f ( x ) dx 收敛
+∞
且定义其值
∫
−∞
f ( x ) dx = ∫
0
−∞
f ( x )dx + ∫
0
f ( x )dx.
⑶
否则称反常积分
∫
+∞
−∞
发散的 f ( x ) dx 是发散的.
以上这三类积分都称为无穷限的反常积分 以上这三类积分都称为无穷限的反常积分. 无穷限的反常积分
《微积分ch》PPT课件
设曲线 AB 是光滑的, 在每一点切线有两个方向,
规定: 定向光滑曲线上各点处的切 向量的方向与曲线的走向一致.
z
AB
A
r t
O
By
x
5
设光滑曲线 由参数方程⑴给出, 若参数t 从小变大
确定了曲线的走向. 则对任意增量 t,当t 0时, 点
N(x(t t ), y(t t ), z(t t )) 在点
力沿定向曲线弧L AB 所作的功, 即
n
W
lim
0
i 1
F
i ,i
e
i,i si.
又注意到, 上式右端的极限为数量值函数在曲线L上的
第一类曲线积分. 即
W L F x, y e x, yds.
抽去具体的物理意义, 即得到下述概念.
11
3.第二类曲线积分的定义
定义 设L是xOy平面上一条光滑的定向曲线弧, 向量
2 22 x2 dx 2 ,
1
3
所以
x2 y2 dx x2 y2 dy 4.
L
3
33
例3 求 L
的直线段.
1
1 x
e
y
dx
e
y
ln
xdy,
L为从1,0到 2,1
解 L 的方程: y x 1 x :1 2, 则
L
1
1 x
e
y
dx
e
y
ln
xdy
2 1
1
1 x
e x 1
故
x(t) ,
x2(t) y2(t)
L P(x, y)dx L P(x, y)cosds
a Px(t), y(t) x(t)
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a b AB CA CA AB CB, C
b
a b
A
aB
数乘的运算性质：
①结合律：(a) (a) ()a;
②分配律：( )a a a,
(a b) a b.
1 向量的单位化：设a 为非零向量，则 ea a a 是与a 同向的单位向量.
ea
a
1
定理 设 a 0，则b a 存在惟一的数 ，使得 b a.
决定一个向量的要素是向量的大小和向量的方向.
在几何上，只要两个有向线段的长度相同，箭头指向一致， 则这两个有向线段所表示的向量相等
ab
a b
所以在这里讨论的向量都是自由向量:
即可以放在空间的任何位置，只要不改变向量的大小
和它的方向.
向量的模的定义：向量的大小称为向量的模，
记为： a , M1M 2 模为1的向量称为单位向量，记为e 或 ea 模为0的向量称为零向量，记为 0
证② ：a AB, b BC, c CD,
a b c AB BC CD
AC CD AD
A
a
a b c AB BC CD
AB BD AD
a bc a b c.
D
c
C
b
B
2.向量的数乘
设 是一个数，a 是一个向量，定义 与 a 的数乘为 一个新的向量，记为a, 其中：① a 的模（即大小）为 a
② a 的方向规定为： 当 0 时，a 与 a 同向， 当 0 时，a 与 a 反向， 当 0 时，a 0.
例如，用有向线段表示 a, 2a,3a, (1)a, (2)a.
(2)a (1)a a 2a 3a
负向量定义为：a (1)a
则定义 a 与 b 的差为：a b a b
若令：a AB, b AC, 则 b CA,
两个向量的夹角的定义:
设向量 a 和 b ，将它们的起点重合，由此得到的
夹角定义为向量的夹角. 记为
(a,b) (0 ).
由此可以看到，若两向量有相同的方向，
a
a
则夹角为 0；方向相反，则夹角为 .
b
二、向量的加法与数乘运算
1.向量的加法 ①按平行四边形法则：
令：a AB, b AD,
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
证 ：若 0,b, a 同向，(a,b) 0
0,b, a反向，(a,b)
a;
：b a, eb ea ,
eb
ea
1 b
b
1 a
ab
b a
a,
b
,b a.
a
坐标轴的规定：
取Ou为数轴，O为原点，取定Ou 为数轴的正向；
取 eu 为与数轴正向同向的单位向量， P 为数轴上一点，则OP ueu . 称 u 为 P点的坐标，
以 a , b 为邻边构造一平行四边形 ABCD, 记 c AC,
则定义 a 与 b 的和为
D
C
a b c.
②按三角形法则：
b
b
c ab
令：a AB, b BC, A
aB
则 a b AB BC AC c.
加法的运算性质：
①交换律：a b b a;
②结合律：a b c a b c .
一、向量与向量的表示
向量定义： 既有大小又有方向的量称为向量. 例如：位移、速度等.
向量的符号表示：用粗体字母或带箭头字母表示
a, b,
M2
a, b, , M1M 2 (适用于手写)
a
向量的几何表示：用带箭头的有向线段表示 M1
箭头表示向量的方向，线段长度表示向量的大小.
定义 如果两个向量 a 和 b 的大小相同，方向相同， 就称 a 和 b 相等，记为a b.
《微积分》下册简介： 主要讨论多元函数微分学、积分学， 现实问题中许多物理量与多个参数有关，例如：
物体各点温度与点的位置有关， 流体各点的流速也与点的位置有关，… 这些物理量的研究就是对一个多元函数的研究... 我们将首先解决实际中的点如何表示为数学形式：坐标。
第五章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
u 0时， P 点在正向数轴上， u 0时， P 点在反向数轴上.
eu
O
P
uu
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
b
a b
A
aB
数乘的运算性质：
①结合律：(a) (a) ()a;
②分配律：( )a a a,
(a b) a b.
1 向量的单位化：设a 为非零向量，则 ea a a 是与a 同向的单位向量.
ea
a
1
定理 设 a 0，则b a 存在惟一的数 ，使得 b a.
决定一个向量的要素是向量的大小和向量的方向.
在几何上，只要两个有向线段的长度相同，箭头指向一致， 则这两个有向线段所表示的向量相等
ab
a b
所以在这里讨论的向量都是自由向量:
即可以放在空间的任何位置，只要不改变向量的大小
和它的方向.
向量的模的定义：向量的大小称为向量的模，
记为： a , M1M 2 模为1的向量称为单位向量，记为e 或 ea 模为0的向量称为零向量，记为 0
证② ：a AB, b BC, c CD,
a b c AB BC CD
AC CD AD
A
a
a b c AB BC CD
AB BD AD
a bc a b c.
D
c
C
b
B
2.向量的数乘
设 是一个数，a 是一个向量，定义 与 a 的数乘为 一个新的向量，记为a, 其中：① a 的模（即大小）为 a
② a 的方向规定为： 当 0 时，a 与 a 同向， 当 0 时，a 与 a 反向， 当 0 时，a 0.
例如，用有向线段表示 a, 2a,3a, (1)a, (2)a.
(2)a (1)a a 2a 3a
负向量定义为：a (1)a
则定义 a 与 b 的差为：a b a b
若令：a AB, b AC, 则 b CA,
两个向量的夹角的定义:
设向量 a 和 b ，将它们的起点重合，由此得到的
夹角定义为向量的夹角. 记为
(a,b) (0 ).
由此可以看到，若两向量有相同的方向，
a
a
则夹角为 0；方向相反，则夹角为 .
b
二、向量的加法与数乘运算
1.向量的加法 ①按平行四边形法则：
令：a AB, b AD,
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
证 ：若 0,b, a 同向，(a,b) 0
0,b, a反向，(a,b)
a;
：b a, eb ea ,
eb
ea
1 b
b
1 a
ab
b a
a,
b
,b a.
a
坐标轴的规定：
取Ou为数轴，O为原点，取定Ou 为数轴的正向；
取 eu 为与数轴正向同向的单位向量， P 为数轴上一点，则OP ueu . 称 u 为 P点的坐标，
以 a , b 为邻边构造一平行四边形 ABCD, 记 c AC,
则定义 a 与 b 的和为
D
C
a b c.
②按三角形法则：
b
b
c ab
令：a AB, b BC, A
aB
则 a b AB BC AC c.
加法的运算性质：
①交换律：a b b a;
②结合律：a b c a b c .
一、向量与向量的表示
向量定义： 既有大小又有方向的量称为向量. 例如：位移、速度等.
向量的符号表示：用粗体字母或带箭头字母表示
a, b,
M2
a, b, , M1M 2 (适用于手写)
a
向量的几何表示：用带箭头的有向线段表示 M1
箭头表示向量的方向，线段长度表示向量的大小.
定义 如果两个向量 a 和 b 的大小相同，方向相同， 就称 a 和 b 相等，记为a b.
《微积分》下册简介： 主要讨论多元函数微分学、积分学， 现实问题中许多物理量与多个参数有关，例如：
物体各点温度与点的位置有关， 流体各点的流速也与点的位置有关，… 这些物理量的研究就是对一个多元函数的研究... 我们将首先解决实际中的点如何表示为数学形式：坐标。
第五章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
u 0时， P 点在正向数轴上， u 0时， P 点在反向数轴上.
eu
O
P
uu
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be