同济大学 高等数学 课件 .ppt

设数列
lim
n
xn 存在，则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
n
xn

lim
k
xn k
.
用此定理，即可说明数列 1n 的极限不存在。事
实上：
lim
n
x2n1

1,
lim
n
x2n
1,
所以，lim n
xn
不存在.
值得注意的是，对于函数，我们不能用此定理来证明
个不同的子列，使函数收敛到两个不同的值，则说明函
数在这一点无极限.
lim
n
f
(xn )
y

A
lim
xx0
f
(x).
f (x2 )
f (x4 )
A
f (xn )
f (x3 )
f (x1)
O x1 x3
xn x0
y f x
lim
n
xn

x0,
x4 x2
x
例 证明函数 f (x) sin 在x 0时极限不存在.
即： f x 在x0的某个空心邻域内有界.

局部有界的几何意义
从图中可以看出局部有界的含义：函数 f x 在 x0 处 o
的极限为 A，则存在点x0的一个空心邻域 U (x0, ), 当
点 x0 在该邻域中，对应
的函数图形在某一个带
y
A+1
y f x
形区域中，而该邻域外 A
的点所对应的函数图形， A-1
x
证令
1
1
xn 2n 1 , yn 2n ,
2
则
lim
n
xn

lim
,
但
lim
n
f
(xn )

1, lim n
f
(
yn )

0,
所以lim sin 不存在.
x0
x

y
y sin
x
1
x
1
对于数列，相应的归并性定理为
定理
有
f (x) A ,
又因
lim
n
xn

x0,
故对 0，存在N，当n N时，有
0 xn x0 ,
即
xn U (x0, ),
因而
f (xn) A ,
即
lim
n
f
(xn )

A
lim
xx0
f
(x).

此定理的一个实际意义是：对函数，如果能够找到两
平行地得到.）
设
lim
n
xn

a且
lim
n
xn
b,
假如 a b,
因为
lim
n
xn
a,当取

b a / 2, 时，
ba
N1 ,
当 n N1时，有xn a 2 ,
因为
lim
n
xn
b,当取

b a / 2, 时， N2,
ba
当 n N2时，有 xn b 2 ,
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 A / 2,存在 0,
o xx0
当x U (x0, ) 时，有
f (x) A A
y 3A/2
y f x
2 A
f x A A 0.
2
A/2

o x0 x0 x0
x
推论 在x0的某个空心领域中，有 f x 0, 且
的存在，但对数列，若数列 xn 的两个子列
(x2n1), (x2n ) 满足：
lim
n
x2n1

lim
n
x2n

a,
则，
lim
n
xn

a
.
思考：对于数列而言，这个性质说明的本质问题是什 么？
你是否能给出一个一般结论并证明之.
证：
设 lim n
x2n1

lim
n
x2n
a,
则
0, N1, N2
当 n N1 时，x2n1 a
当 n N2 时，x2n a
第四节 极限的性质
本节要点
本节主要讨论函数极限的性质，数列极限的性质可以 平行地得到。函数极限的性质主要包括 一、唯一性 二、局部有界性 三、局部保号性 四、归并性
定理1 (极限的唯一性)如果极限
lim
x x0
f (x)(lim x
f
( x),
lim
n
xn
).
存在，则极限是唯一的.
证 （仅证数列的情况，函数的极限性质的证明可以
x0的某个空心邻域内，函数
f
xx0
x 有界.
证 设 lim f (x) A，由定义，对 1, 存在 0,当
xx0
o
0 x x0 ，即x U (x0, ), 有
f (x) A 1,
f (x) f (x) A A
f (x) A A 1 A ,
xn
n1
是函数 f
x 定义域中
的一个任意数列，xn x0 ,且
lim
n
xn

x0,
则此数列相应的函数值数列
f
xn
收敛，且
n1
lim
n
f
(xn )

lim
x x0
f
(x).
证
设
lim
xx0
f (x) A，则存在U (x0, ), 当x U (x0, ),
lim f (x) A,
x x0
则 A 0.
注意：如果推论的条件改成 f x 0 （严格大于），则
不能推出 A 0,
例 f (x) | x |, x 0 时f x 0, 但 lim f (x) 0. x0
定理4(函数极限的归并性)
设 lim f (x) 存在，又设 xx0
取 N maxN1, N2,则当 n N 时有，
b a (xn a) (xn b)
ba ba (xn a) | | (xn b) 2 2 b a ,
这是矛盾的，所以 a b.

定理2 (局部有界性)如果极限lim f (x) 存在 ，那么在
取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a ，则对所有的 n，
有 xn M 。
推论
若数列
xn
无界
n 1
，则极限
lim
n
xn
不存在.
定理3 (极限的保号性)如果 lim f (x) A 0 ，则存在点 xx0
x0 的某个空心邻域内，使得在该领域中有：f x 0.
则可能呈现无规律的变
化状态.
o x0 x0 x0
x
定理 2
(有界性)如果极限
lim
n
xn
存在
，那么存在
M
0,
使得对所有的n，有 xn M .
证
设
lim
n
xn

a
，由定义，对 1, 存在N 0,当
n N 时，有 xn a 1, 从而
xn xn a a 1 a ,