第十章_博弈论的理论与方法 (1)
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MICROECONOMICS | 微观经济学
2. 博弈论的发展
① 博弈论产生于30-50年代 A、1944年，冯· 诺依曼、摩根斯坦恩合作发表 《博弈论与经济行为》，将博弈论引入关于 经济不确定性分析（预期效用概念），是博 弈论正式诞生的标志； B、1950年代初，普林斯顿大学数学系在塔克教 授指导下，形成了一个博弈论研究的博士生 小组，从“囚徒困境”分析中创立了“纳什 均衡”，奠定了现代博弈论基础。
§2 两人常数和博弈模型（Two-person Constant-sum Game）
利用博弈论来分析寡头垄断厂商行为的基本 方法是先构造出一个支付表或者支付矩阵，以表 明寡头垄断厂商可能采用的各种不同的策略以及 这些策略的组合和相应的结果。假设A和B为两家 寡头垄断的厂商，它们各自的总收益不仅是自己 的产品价格的函数，同样也是对方的产品价格的 函数。
厂商A的支付表
B A
B1 a11=50
B2 a12=100
A1 A2
a21=80
a22=120
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厂商B的支付表 B A A1 A2 B1 b11=50 b21=20 B2 b12=0 b22=-20
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这种厂商的策略选择行为，在博弈论中 称为“从最小收益中选择最大收益 （ Maximize the Minimun Payoffs ）” , 其 数学表达式形式为：
min a1j=a11=50 j min a2j=a21=80 j max min aij=a21=80 i j
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同样，对于寡头垄断厂商B来说，如果它 也是一个在决策中非常谨慎的风险回避者， 也会在自己所选择的价格策略可能产生的最 糟糕的结果中，选择相对而言能产生较好结 果的价格策略，即： min bi1=b21=20 i min bi2=b22=-20 i max min bij=b21=20 j i
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由于在常数和博弈模型中，厂商A的得益即为 厂商 B 的损失， 所以，也可以直接利用厂商 A 的支 付矩阵来分析厂商B的选择行为。因此，如果厂商 B 采用价格策略 B1 ，厂商 B 的最大损失为 80 （也即 厂商 A 的最大收益为 80 ）；若厂商 B 采用 B2 这种价 格策略，此时厂商B的最大损失将为120（即厂商A 的最大收益为120）。为了从可以选择的策略所可 能产生的最大损失中选择最小的损失，厂商B将会 选择价格策略B1。
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MICROECONOMICS两家厂商的总收益之和为常数时，无论 寡头垄断厂商采用何种价格策略，一家 寡头垄断厂商的得益，相应地也就是另 一家寡头垄断厂商的损失。
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面临上述支付矩阵，如果寡头垄断厂商 A 是一 个在决策时非常谨慎的风险回避者，就会注意到对 于自己的两种可能选择的价格策略中的任一种策略 的采用，都将可能出现的最糟糕的结局（即收益最 小的结局）。也就是说，如果寡头垄断厂商 A 采用 A1，当 B采用 B1价格策略时，此时 A 所能获得的最小 收益是TRA=a11=50；如果A采用A2，B仍采用B1价格策 略时，A所能获得的最小收益为80（TRA=a21=80）。 因而，厂商A在采用A1和A2这两种价格策略所产生的 最糟糕的结果中，相比较而言，较好的结果还是 TRA=a21=80，厂商 A将会把价格策略A2作为自己的最 优选择。
上述支付表也可以改写为下列支付矩阵的形式：
a11 a12 50 100 A a a 80 120 22 21 b11 b12 50 0 B 20 20 b b 21 22
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因为，此时a21=80，既不是厂商A的最大收益 （或者厂商B的最大损失），也不是厂商A的最小 收益（或者厂商 B 的最小损失）。在博弈论中， 这一博弈的均衡解被称为“纳什均衡”（ Nash Eguilibrium ） 或 被 称 为 “ 鞍 点 ” （ Saddle Point ）。所谓“鞍点”，就是博弈所具有的确 定的解。存在“鞍点”的博弈，也被称为严格确 定的博弈（Strictly Determined Game）。相应 地，求解“鞍点”的方法在博弈论模型中被称为 “极小—极大定理”（Min—Max Theorem）。
4. 博弈模型的基本要素
甲 Y Y 乙 N 甲：5 乙：5 N 甲：10 乙：0.5
甲：0.5 乙：10
甲：2 乙：2
Ⅰ ：局中人---博弈的参与者； Ⅱ ：策略---行动方案 Ⅲ ：支付---收益或效用； Ⅳ ：信息结构---参与 者对Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的了解
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3. 博弈的不同类型
博弈分类及对应的均衡概念
行动顺序
信息 完全信息
静态 完全信息静态博弈 纳什均衡（NE）
动态 完全信息动态博弈 子博弈精炼NE
不完全信息
不完全信息静态博弈 不完全信息动态博弈 贝叶斯NE 精炼贝叶斯NE
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在这种情形下，厂商 A 若知道厂商 B 将采用 B2 ， 则厂商 A 将会采用 A2 ，这样厂商 A 将得到 a22=30 ＞ a21=20的收益。但是，一旦厂商B发现厂商A采用A2， 它 就 会 改 变 策 略 采 用 B1 ， 使 厂 商 A 的 收 益 降 至 a21=20。同样，厂商A一旦发现厂商B采用B1，也会 改变策略采用A1，使自己的收益增至为a11=40。当 厂商 B 一旦发现厂商 A 采用 A1 ，它又会改变策略采 用 B2 ，使厂商 A 的收益降至 a12=10 ， „ 两家寡头垄 断厂的这种价格策略选择过程中的“斗智”将会 一直不断地持续下去，因此，博弈的解是极其不 确定的。
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这种“从最大损失中选择最小损失”的 厂商博弈行为，用数学形式表达为： max ai1=a21=80 i max ai2=a22=120 i min max aij=a21=80 j i
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现在设在一个由两家寡头垄断厂商构成 的常数和博弈模型中，厂商A和厂商B各自的 支付矩阵如下：
a 11 A a 21 b11 B b 21 a 12 40 10 a 22 20 30 b12 10 40 b22 30 20
根据上述假定的条件建立起来的寡头垄断 厂商的博弈论模型，称之为“两人常数和博弈 模型”。
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现假定厂商 A 和厂商 B 都有两个可供选择的 价格策略，分别记作 A1、A2和B1、B2。据此，厂 商 A 和厂商 B 所选择的各种价格策略组合及其各 自的总收益如以下支付表所示。
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由于两家寡头垄断厂商共同面临着一个需 求的价格弹性为一（ Ed 1）的市场需求，因 此，无论它们各自采取何种价格策略，两家寡 头垄断厂商的总收益均等于一个常数，即：
TRA f A ( PA , PB ) TRB f B ( PB , PA ) TR TRA TRB K
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从经济活动角度看：
博弈论研究的是经济主体行为方式之间的相互依 存，相互影响，相互作用及其所产生的各种相 应的结果。 传统Micro研究效用（函数）最大化，生产（函 数）最大化，主要涉及人与物（商品、生产要 素）的关系，较少涉及人与人的关系。 当经济研究涉及人与人（企业与企业）的关系时， 例如厂商的价格战，博弈论就成了一个有用的 分析工具。
同样，如果厂商 B 也根据“极小 — 极大定理” 来确定其所选择的价格策略，则有： max ai1=a11=40 i max ai2=a22=30 i min max aij=a22=30 j i 由此可见，在上述博弈模型中，并不存在任 何“鞍点”，即： max min aij≠min max aij i j j i
50 100 100 100 50 0 A A B B 80 100 120 100 20 20
50 0 50 0 0 0 20 20 20 20 0 0
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a11 b11 a12 b12 100 100 1 1 A B 100 100 100 1 1 a b a b 21 21 22 22
100 50 100 100 50 0 B A B A 100 80 100 120 20 20
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② 博弈论在60-80年代迅速发展，90年代形成一 个大的高潮。
博弈论本身迅速发展，大规模进入经济分析领域， 又进入社会、政治、军事、国际关系研究领域， 显示出极强的解释力，应用领域急剧扩张。 1994年，博弈论主要代表人物纳什（Nash）、豪 尔绍尼(Harsanyi)、泽尔滕(Selten)获诺奖。 2005年，奥曼（R· J· Aumann）和谢林 （T· C· Schelling）获诺奖。
将上述厂商A的“从最小收益中选择最大 收益”的行为和厂商 B“从最大损失中选择最 小损失”的行为结合起来加以分析，则有： max min aij=min max aij=a21=80 i j j i 这一博弈论模型的分析结论表明，厂商 A和厂商B都一致地选择了它们各自的价格策 略的组合a21（或者b21），结果产生了一个稳 定的博弈解或者均衡解。
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§3
最优混合策略模型（Optimun Mixed Strategy） 最优混合策略的博弈模型中， 单纯策略的选择结果，支付矩阵中 不存在着“鞍点”，这时，博弈双 方需要采用最优混合策略，才能得 到最大收益的期望值。
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如果厂商A根据“极小—极大定理”来确 定其所选择的价格策略，则有： min a1j=a12=10 j min a2j=a21=20 j max min aij=a21=20 i j
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以上的矩阵运算表明，只要我们知道 其中一个厂商的支付矩阵和常数和，就可 以通过运算得知另一个厂商的支付矩阵。 同时，只要从任一支付矩阵或厂商的总收 益之和中减去常数和，就可以将常数和支 付矩阵转变为零和矩阵，即：
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微观经济学（Microeconomics）
第十章 博弈论的理论与方法
史晋川 教授
二一二年
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§1 博弈论的理论与发展
1. 定义与问题 博弈论（Game Theory），亦译“对策
论”、“赛局理论”，从英文字面直译也可
做“游戏”（Game）的理论理解。 简明定义： 博弈论是关于策略相互作用的理论，研究社 会活动中人与人之间“斗智”的方式和结果。
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2. 博弈论的发展
① 博弈论产生于30-50年代 A、1944年，冯· 诺依曼、摩根斯坦恩合作发表 《博弈论与经济行为》，将博弈论引入关于 经济不确定性分析（预期效用概念），是博 弈论正式诞生的标志； B、1950年代初，普林斯顿大学数学系在塔克教 授指导下，形成了一个博弈论研究的博士生 小组，从“囚徒困境”分析中创立了“纳什 均衡”，奠定了现代博弈论基础。
§2 两人常数和博弈模型（Two-person Constant-sum Game）
利用博弈论来分析寡头垄断厂商行为的基本 方法是先构造出一个支付表或者支付矩阵，以表 明寡头垄断厂商可能采用的各种不同的策略以及 这些策略的组合和相应的结果。假设A和B为两家 寡头垄断的厂商，它们各自的总收益不仅是自己 的产品价格的函数，同样也是对方的产品价格的 函数。
厂商A的支付表
B A
B1 a11=50
B2 a12=100
A1 A2
a21=80
a22=120
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厂商B的支付表 B A A1 A2 B1 b11=50 b21=20 B2 b12=0 b22=-20
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这种厂商的策略选择行为，在博弈论中 称为“从最小收益中选择最大收益 （ Maximize the Minimun Payoffs ）” , 其 数学表达式形式为：
min a1j=a11=50 j min a2j=a21=80 j max min aij=a21=80 i j
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同样，对于寡头垄断厂商B来说，如果它 也是一个在决策中非常谨慎的风险回避者， 也会在自己所选择的价格策略可能产生的最 糟糕的结果中，选择相对而言能产生较好结 果的价格策略，即： min bi1=b21=20 i min bi2=b22=-20 i max min bij=b21=20 j i
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由于在常数和博弈模型中，厂商A的得益即为 厂商 B 的损失， 所以，也可以直接利用厂商 A 的支 付矩阵来分析厂商B的选择行为。因此，如果厂商 B 采用价格策略 B1 ，厂商 B 的最大损失为 80 （也即 厂商 A 的最大收益为 80 ）；若厂商 B 采用 B2 这种价 格策略，此时厂商B的最大损失将为120（即厂商A 的最大收益为120）。为了从可以选择的策略所可 能产生的最大损失中选择最小的损失，厂商B将会 选择价格策略B1。
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MICROECONOMICS两家厂商的总收益之和为常数时，无论 寡头垄断厂商采用何种价格策略，一家 寡头垄断厂商的得益，相应地也就是另 一家寡头垄断厂商的损失。
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面临上述支付矩阵，如果寡头垄断厂商 A 是一 个在决策时非常谨慎的风险回避者，就会注意到对 于自己的两种可能选择的价格策略中的任一种策略 的采用，都将可能出现的最糟糕的结局（即收益最 小的结局）。也就是说，如果寡头垄断厂商 A 采用 A1，当 B采用 B1价格策略时，此时 A 所能获得的最小 收益是TRA=a11=50；如果A采用A2，B仍采用B1价格策 略时，A所能获得的最小收益为80（TRA=a21=80）。 因而，厂商A在采用A1和A2这两种价格策略所产生的 最糟糕的结果中，相比较而言，较好的结果还是 TRA=a21=80，厂商 A将会把价格策略A2作为自己的最 优选择。
上述支付表也可以改写为下列支付矩阵的形式：
a11 a12 50 100 A a a 80 120 22 21 b11 b12 50 0 B 20 20 b b 21 22
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因为，此时a21=80，既不是厂商A的最大收益 （或者厂商B的最大损失），也不是厂商A的最小 收益（或者厂商 B 的最小损失）。在博弈论中， 这一博弈的均衡解被称为“纳什均衡”（ Nash Eguilibrium ） 或 被 称 为 “ 鞍 点 ” （ Saddle Point ）。所谓“鞍点”，就是博弈所具有的确 定的解。存在“鞍点”的博弈，也被称为严格确 定的博弈（Strictly Determined Game）。相应 地，求解“鞍点”的方法在博弈论模型中被称为 “极小—极大定理”（Min—Max Theorem）。
4. 博弈模型的基本要素
甲 Y Y 乙 N 甲：5 乙：5 N 甲：10 乙：0.5
甲：0.5 乙：10
甲：2 乙：2
Ⅰ ：局中人---博弈的参与者； Ⅱ ：策略---行动方案 Ⅲ ：支付---收益或效用； Ⅳ ：信息结构---参与 者对Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的了解
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3. 博弈的不同类型
博弈分类及对应的均衡概念
行动顺序
信息 完全信息
静态 完全信息静态博弈 纳什均衡（NE）
动态 完全信息动态博弈 子博弈精炼NE
不完全信息
不完全信息静态博弈 不完全信息动态博弈 贝叶斯NE 精炼贝叶斯NE
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在这种情形下，厂商 A 若知道厂商 B 将采用 B2 ， 则厂商 A 将会采用 A2 ，这样厂商 A 将得到 a22=30 ＞ a21=20的收益。但是，一旦厂商B发现厂商A采用A2， 它 就 会 改 变 策 略 采 用 B1 ， 使 厂 商 A 的 收 益 降 至 a21=20。同样，厂商A一旦发现厂商B采用B1，也会 改变策略采用A1，使自己的收益增至为a11=40。当 厂商 B 一旦发现厂商 A 采用 A1 ，它又会改变策略采 用 B2 ，使厂商 A 的收益降至 a12=10 ， „ 两家寡头垄 断厂的这种价格策略选择过程中的“斗智”将会 一直不断地持续下去，因此，博弈的解是极其不 确定的。
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这种“从最大损失中选择最小损失”的 厂商博弈行为，用数学形式表达为： max ai1=a21=80 i max ai2=a22=120 i min max aij=a21=80 j i
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现在设在一个由两家寡头垄断厂商构成 的常数和博弈模型中，厂商A和厂商B各自的 支付矩阵如下：
a 11 A a 21 b11 B b 21 a 12 40 10 a 22 20 30 b12 10 40 b22 30 20
根据上述假定的条件建立起来的寡头垄断 厂商的博弈论模型，称之为“两人常数和博弈 模型”。
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现假定厂商 A 和厂商 B 都有两个可供选择的 价格策略，分别记作 A1、A2和B1、B2。据此，厂 商 A 和厂商 B 所选择的各种价格策略组合及其各 自的总收益如以下支付表所示。
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由于两家寡头垄断厂商共同面临着一个需 求的价格弹性为一（ Ed 1）的市场需求，因 此，无论它们各自采取何种价格策略，两家寡 头垄断厂商的总收益均等于一个常数，即：
TRA f A ( PA , PB ) TRB f B ( PB , PA ) TR TRA TRB K
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从经济活动角度看：
博弈论研究的是经济主体行为方式之间的相互依 存，相互影响，相互作用及其所产生的各种相 应的结果。 传统Micro研究效用（函数）最大化，生产（函 数）最大化，主要涉及人与物（商品、生产要 素）的关系，较少涉及人与人的关系。 当经济研究涉及人与人（企业与企业）的关系时， 例如厂商的价格战，博弈论就成了一个有用的 分析工具。
同样，如果厂商 B 也根据“极小 — 极大定理” 来确定其所选择的价格策略，则有： max ai1=a11=40 i max ai2=a22=30 i min max aij=a22=30 j i 由此可见，在上述博弈模型中，并不存在任 何“鞍点”，即： max min aij≠min max aij i j j i
50 100 100 100 50 0 A A B B 80 100 120 100 20 20
50 0 50 0 0 0 20 20 20 20 0 0
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a11 b11 a12 b12 100 100 1 1 A B 100 100 100 1 1 a b a b 21 21 22 22
100 50 100 100 50 0 B A B A 100 80 100 120 20 20
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② 博弈论在60-80年代迅速发展，90年代形成一 个大的高潮。
博弈论本身迅速发展，大规模进入经济分析领域， 又进入社会、政治、军事、国际关系研究领域， 显示出极强的解释力，应用领域急剧扩张。 1994年，博弈论主要代表人物纳什（Nash）、豪 尔绍尼(Harsanyi)、泽尔滕(Selten)获诺奖。 2005年，奥曼（R· J· Aumann）和谢林 （T· C· Schelling）获诺奖。
将上述厂商A的“从最小收益中选择最大 收益”的行为和厂商 B“从最大损失中选择最 小损失”的行为结合起来加以分析，则有： max min aij=min max aij=a21=80 i j j i 这一博弈论模型的分析结论表明，厂商 A和厂商B都一致地选择了它们各自的价格策 略的组合a21（或者b21），结果产生了一个稳 定的博弈解或者均衡解。
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最优混合策略模型（Optimun Mixed Strategy） 最优混合策略的博弈模型中， 单纯策略的选择结果，支付矩阵中 不存在着“鞍点”，这时，博弈双 方需要采用最优混合策略，才能得 到最大收益的期望值。
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如果厂商A根据“极小—极大定理”来确 定其所选择的价格策略，则有： min a1j=a12=10 j min a2j=a21=20 j max min aij=a21=20 i j
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以上的矩阵运算表明，只要我们知道 其中一个厂商的支付矩阵和常数和，就可 以通过运算得知另一个厂商的支付矩阵。 同时，只要从任一支付矩阵或厂商的总收 益之和中减去常数和，就可以将常数和支 付矩阵转变为零和矩阵，即：
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第十章 博弈论的理论与方法
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§1 博弈论的理论与发展
1. 定义与问题 博弈论（Game Theory），亦译“对策
论”、“赛局理论”，从英文字面直译也可
做“游戏”（Game）的理论理解。 简明定义： 博弈论是关于策略相互作用的理论，研究社 会活动中人与人之间“斗智”的方式和结果。