信号与系统吴大正第四章作业
信号与系统吴大正第四章作业
信号与线形系统（第四版）吴大正主编
第四章课后习题： 4.1证明()()cos ,cos
2,,cos t t nt L (n 为正整数)是在区间()0,2π的正交函
数集。它是否是完备的正交函数集？
解:由于????=≠=ππ20
,,0cos cos n
m n
m mtdt nt
所以在区间
()0,2π内是正交函数集。
存在mt sin 使得??????=≠=ππ20
,2,0sin cos n
m n
m mt nt
所以不是完备的正交函数集。 4.2上题中的函数集在区间
()0,π是否是正交函数集？
解：??????=≠=π
π0,2,0cos cos n
m n
m mtdt nt
所以仍为正交函数集。
4.3讨论图4.1-2所示的前6个沃尔什函数在
()0,1区间内是否是正交函数集。
解：由题意得()?==1
05,4,3,2,1,0,k dt t k Wal
()()?≤≤≤≤≠=1
50,50,,0,,n m n m dt t n Wal t m Wal ()()?≤=≤=1
50,1,,n m dt t n Wal t m Wal
所以前6个沃尔什函数在
()0,1区间内是正交函数集。
4.4前四个勒让德函数多项式为
()10=t P ()t t P =1
()??? ??-=212322t t P
()???
??-=t t t P 232
533
证明它们在
()1,1-区间内是正交函数集。
解：由题意得()()01
111
10=?=?--tdt dt
t p t p
()()0212311
221
1
0=????
??-=?--dt t dt t p t p
()()0232
511
331
1
0=????
??-=?--dt t t dt t p t p
()()0212
311
321
1
1=????
??-=?--dt t t dt t p t p
()()0232
511
2431
1
1=????
??-=?--dt t t dt t p t p
()()02123232
511
2331
1
2=????
??-??? ??-=?--dt t t t dt t p t p
所以前四个勒让德函数多项式在
()1,1-区间内是正交函数集。
4.5实周期信号()f t 在区间,22T T ??
- ???
内的能量定义为
()222T
T E f t dt -=?
如有和信号
()()()12f t t t f f =+
(1)若()1t f 与()2t f 在区间,22T T ??
- ???
内相互正交，证明和信号的总能量等于
各信号的能量之和。 (2)若
()1t f 与()2t f 不是互相正交的，求和信号的总能量。
解：(1)由题意得
()()()()()()()?
++=?+=?=---22
22
2121
22
2222
]2[][21T
T T
T T
T dt
t f t f t f t f dt
t f t f dt t f
E
因为()1t f 与()2t f 在区间,22T T ??
- ???
内相互正交，
所以()()02
221=?-T T dt t f t f
得
()()()()()()E E dt t f dt t f dt
t f t f t f t f E T
T T
T T
T 2
12222
22
2122
22
212
1
]2[+=?
+?
=?++=---
(2)有第一问可得
()()()()()()()()()()()?+?
+?
=?++=?
+=?
=------22
2
222
2122
21
22
2
2212
122
2
22
22]2[][21T
T T
T T
T T
T T
T T
T dt
t f dt t f t f dt t f dt
t f t f t f t f dt
t f t f dt t f E
所以()()?++=-22
21212T T dt t f t f E E E
4.6求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。 (1)
100j t e
(2)()cos[3]2
t π
- (3)()()cos 2sin 4t t + (4)()()()cos 2cos 3cos 5t t t πππ++
(5) cos sin 24t t ππ????+ ? ????? (6)cos cos cos 235t t t πππ??????
++ ? ? ???????
解：(1) 基波角频率s rad /100=Ω，周期s T 50
2π
π=Ω=
(2) 基波角频率s rad /2π=Ω，周期s T 42=Ω
=π
(3)()t 2cos 的基波角频率2=Ω，()t 4sin 的基波角频率4=Ω，取两者最大
公约数为和信号的基波角频率，所以s rad /2=Ω,周期s T ππ
=Ω
=2
(4)()t π2cos ,()t π3cos ,()t π5cos 的基波角频率分别
为
π21=Ω,π32=Ω,π53=Ω,取三者最大公约数为和信号的基波角频率，所
以s rad /π=Ω，周期为s T 22=Ω
=π
(5)??? ??t 2cos π，??
?
??t 4sin π的基波角频率分别为21π=Ω，42π=Ω取两者最大
公约数为和信号的基波角频率，所以s rad /4π
=Ω，周期为s T 82=Ω
=π
。
(6)
??
?
??t 2cos π，
??
? ??t 3cos π，
??
? ??t 5cos π的基波角频率分别为
2
1π
=
Ω,3
2
π
=
Ω,5
3π
=
Ω,取三者最大公约数为和信号的基波角频率，所以
s rad /30π
=Ω,周期为s T 602=Ω
=π
.
4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求题4.7图所示周期函数的傅里叶系数(三角形式或指数形式)。
解：(a)图所示周期4=T
，角频率2
π
=
Ω
()Λ,2,1,0,2sin 1][214112211222±±=??
? ??=--=?=?=----Ω-n n n e e jn dt e dt e
t f T F jn
jn t jn T T t jn n πππ
πππ
(b)图所示周期2=T
，角频率π=Ω
()()()()()
Λ2,1,0,121][41sin 2112
101110
22±±=-+=?-=?=?=-+-----Ω-n n e dt e e j dt e t dt e t f T F jn nt j nt j t
jn T T t jn n ππππππ
4.8如题4.8图所示的4个周期相同的信号。
-2 -1 0 1 ()t f
1
(
()t πsin
-4 -1 0 1 ()t f
1
(a -T T/2 ()t f 1
1
（a ）
-T T/2 ()t f 2
1
(b)
(1)用直接求傅里叶系数的方法求图(a)所示信号的傅里叶级数(三角形式)。
(2)将图(a)的函数()t f 1左(或右)移2
T
，就得图(b)的函数()t f 2
，利用(1)的
结果求
()t f 2
的傅里叶级数。
(3)利用以上结果求图(c)的函数()t f 3的傅里叶级数。
(4)利用以上结果求图(d)的函数()t f 4
的傅里叶级数。
解：(1)由图可得
()???
??<<≤<-=20,2
02,01T t t T
t T t f 所以可得()21
22220220=?=?=-T T T tdt T T dt t f T a
()()()()()()()Λ3,2,1,1cos ]
sin 1sin 1[4
cos 2
2cos 22
2
02
22022=-=?ΩΩ-ΩΩ=?Ω=?Ω=-n n n dt t n n t n t n T dt
t n t T
T dt t n t f T a T T T T T n ππ
-T T/2 0
()t f 4
1
(d
-T T/2 1
()t f 3
(c
()()()()()()Λ3,2,1,cos cos 1cos [4
sin 2
2sin 22
2
022022=-=?ΩΩ+Ω-=?Ω=?Ω=-n n n dt
t n n t n n t T
dt
t n t T T dt t n t f T b T T T T T n π
ππ
所以
()t f 1傅里叶级数为
()()()()()()∑Ω-∑Ω-+=∞=∞=112
1sin cos cos 1
cos 41n n t n n n t n n n t f π
πππ (2)由图形可得()??
?
??+=221T t f t f
()()()()()()()()()21cos[]sin[]
2224111cos cos cos sin 4111cos 11cos sin 411n n n n T T t n t n t f a b n n n n t n n t a b n n n n t n t n n n n ππππ
π∞
∞????=+Ω+-Ω+∑∑ ? ?????==∞
∞=+Ω+Ω∑∑==∞∞-=+Ω-Ω∑∑== (3)比较
()t f 3和()t f 2的波形可得()()t f t f -=23
()()()()()()()()()2
2
1cos 11cos sin 34111cos 11cos sin 411n t n t n t f n n n n n n t n t n n n n πππππ
π∞∞-=+-Ω--Ω∑∑==∞∞-=+Ω+Ω∑∑==
(4)由图形可得
()()()t f t f t f 324+=
()()()
()()()()()()()()()()
()4232
11221cos 11cos sin 41cos 11cos sin 4112[1cos ]1cos 21n n t t t f f f n n t n t n n n n t n t n n n n n n t n n ππ
ππππππ∞∞===+-=+Ω-Ω∑∑∞∞-++-Ω--Ω∑∑==∞-=+Ω∑= 4.9试画出题4.9图所示信号的奇分量和偶分量。
解：由定义可得
()t f od 表示奇分量，()t f ev 表示偶分量
()()()
()()()22
od ev f t f t t f f t f t t f --=
+-=
对于(a)图 奇分量 偶分量
1 1/
-3 -2 -1 0 ()t f ev
1/2
-3 -2 -1 0
-T -T/2 ()t f 2
1
(
-2 -1 0
()t f 1
1
（a ）
()t f od
对于(b)图 奇分量 偶分量
4.10利用奇偶性判断题4.10图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率分量。
解：
4.11某1Ω电阻两端电压()t u
如题4.11图所示。
-T -T/2 0
1
-T -T/2 0
()t f od
1/
-T -T/2 0
1
(b)
-T -T/2 0
()t f 4
1
(
-T/2 0 1
()t f 3
(c
-T -T/2 1
()t f 1
(a
()t f 2
()t f ev
(1)求t u
的三角形式傅里叶级数。
(2)利用(1)的结果和121=??
?
??u ，求下列无穷级数之和。
Λ
+-+-=7
151311S
(3)求1Ω电阻的平均功率和电压有效值。 (4)利用(3)的结果求下列无穷级数之和Λ
++
+
+
=7
15
13
112
2
2
S
4.12如题4.12图所示的周期性方波电压作用于RL 电路，试求电流()t i 的前
五次谐波。
4.13求题4.13图所示各信号的傅里叶变换。
-2π -π 0
()t u s
1
(
-1 0 1
u/V 1
1H
+
- ()t u s
1
()t i
4.14依据题意(a)、(b)的结果，利用傅里叶变换的性质，求题4.14图所示各
信号的福利叶变换。
-2τ 0
()t f 4
1
-τ 2
()t f 3
(c
-3 -1 0
()t f 2
2
(b)
-τ 0 τ t ()t f 1
1
（
-T/2 0
()t f 4
1
(()t Ωsin
-1 0
1
()t f 3
(c ??
?
??t 2cos π 0
()t f 2
1
0 τ()t f 1
1
（a ） (d
4.15若t f 为虚函数，且)()()()ωωωjX R j F t f +==][F ，试证：
(1)()()()()ωωωω-=--=X X R R
, (2)()()ωωj F j F *
-=-
4.16若()t f 为复函数，可为 ()()()t f j t f t f i
r
+=
且()()ωj F t f *
=][F 。式中()()t f t f i
r ,均为实函数，证明： (1) ()()ωj F t f -=*
*
][F
(2)()()()][21
][ωωj F j F t f r
*
+=F ,
()()()][21
][ωωj F j F j
t f i
--=*
F
4.17利用对称性求下列函数的福利叶变换。
(1)()()()
∞<<-∞--=
t t t t f ,2]
22sin[ππ (2)()∞<<-∞+=
t t t f ,22
2
αα
(3)()()∞<<-∞=t t
t t f ,]22sin [2
ππ 4.18求下列信号的傅里叶变换。 (1)
()()2-=-t e t f jt
δ
()t f 6
1 (f)
()t π10cos
1
()t f 5
(e
()t π6sin
(2)()()
()113-'=--t e
t f t δ
(3)()()9sgn 2
-=t t f (4)
()()12+=-t U e t f t
(5)()??
?
??-=121t U t f
4.19试用时域微积分性质，求题4.19图所示信号的频谱。
4.20若已知
ωj F t f ?，试求下列函数的频谱。
(1)()t tf 2 (2)()()t f t 2- (3)()dt
t df t
(4)()t f -1 (5)()()t f t --11 (6)()52-t f
(7)()?
-∞
-t d f 211ττ (8)()t f e jt
23- (9)()t
dt t df π1
*
4.21求下列函数的傅里叶逆变换。
(1)()??
?><=ω
ωω
ωω0
,0,1j F
(2)()()()ωωδωωδω0
--+=j F
(3)()()ωω3cos 2=j F
(4)()()()e U U j F j ω
ωωω---=]2[
-τ/2 0
()t f 2
1
(b)
-τ 0
()t f 1
1
(5)()()∑
==+-2
12sin 2n n j e
j F
ω
ω
ω
ω
4.22利用傅里叶变换性质，求题4.22图所示函数的傅里叶逆变换。
4.23试用下列方法求题4.23图所示信号的频谱函数。
(1)利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果) (2)利用时域的积分定理。 (3)将
()t f 看作门函数()t g 2与冲击函数()()2,2-+t t δδ的卷积和。
4.24试用下列方法求题4.24图所示余弦脉冲的频谱函数。
-3 -1 0
()t f
1
()ω?
（ω0- 0
ω0 ω ω0- 0
()ω?
(
ω0- 0 ω0
()ωj F
A
ω0- 0 ω0
()ωj F A
(1)利用福利叶变换定义。 (2)利用微分、积分特性。
(3)将它看作门函数()t g 2与周期余弦函数??
?
??t 2cos π的乘积。
4.25试求题4.25图所示周期信号的频谱函数。图(b)中冲击函数的强度均为1。
4.26题4.26图所示升余弦脉冲可表示为
()()?????><+=1
,01
],cos 1[2
1
t t t t f π
试用以下方法求其频谱函数。 (1) 利用福利叶变换的定义。 (2) 利用微分、积分特性。
-2T -T 0
()t f
1
(b)
-3 -1 0
()t f
1
(-1 0
1
()t f
??t 2cos π ()t πcos 2
1
21+
-1 0 1 t
()t f
1
()t πcos 2
1
21+
(3) 将它看作门函数()t g 2与题4.25(a)图函数的乘积。
4.27如题4.27图所示信号()t f 的频谱函数为()ωj F ，求下列各值[不必求出
()ωj F ]。
(1)()()ωωj F F 00==
(2)()?∞
∞-ωωd j F
(3)()ωωd j F 2?∞
∞-
4.28利用能量等式
()()?=?
∞∞-∞∞
-ωωπ
d j F dt t f 2
2
21
计算下列积分的值。
(1)?∞
∞
-dt t t 2]sin [ (2)()
?+∞
∞-x dx 212
4.29一个周期为T 的周期信号()t f ，已知其指数形式的傅里叶系数为F n ，求
下列周期信号的傅里叶系数。 (1)
()()t t f t f 01-= (2)()()t f t f -=2
(3)()()dt
t df t f =3 (4)()()0,4>=a at f t f 4.30求下列微分方程所描述系统的频率响应()ωj H 。
(1)()()()()t f t y t y t y '=+'+'
'23
(2)()()()()()t f t f t y t y t y 465+'=+'+''
()t f
-1 0 1 t
信号与线性系统分析吴大正_第四版习题答案
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)6 3cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解： 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5） )21(t f - （6）)25.0(-t f （7）dt t df ) ( （8）dx x f t ?∞-)( 解：各信号波形为 （1）)()1(t t f ε- （2） )1()1(--t t f ε （5）)21(t f -
《信号与系统要点复习》吴大正第四版
一、信号的傅里叶变换对 ?傅氏正变换 ?傅氏反变换 二、欧拉公式 三、常用信号傅里叶变换 1、第1组---时域：模拟单频信号 ?傅里叶变换： ) (ω δ πA A ? t t f F t d e)( ) (jω ω- ∞ ∞ - ?= ω ωωd e) ( 2 1 )(j t F t f?∞∞-π = 00 00 j j j j 1 cos(e e) 2 1 sin(e e) 2j t t t t t t ωω ωω ω ω - - =+ =- []) ( ) ( cos ω ω δ ω ω δ π ω- + + ? t 1 t )(t δ ω t )(t δ 时域单位冲激函数及频谱 t ω t ) (ω δ ) ( 2ω δ πA 时域直流函数及频谱 正弦、余弦函数及频谱
? 频谱图： ? 物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们 的密度频谱都是冲激函数。 2、第2组 时域： 数字信号 ? 单位冲激序列函数 为 周期且 波形图 频谱图 ? 单脉冲信号 波形图 频谱图 [] )()(sin 000ωωδωωδπω--+ ?j t t e 0j ωt 0cos ω t 0sin ω∑∞ -∞=-=n T nT t t ) ()(δδ0 2ωπ=T T ∑∑∞ -∞ =∞ -∞=-=-?n n T n n T t ) ()(12)(000ωωδωωωδπδ()a () b ) 2 ( Sa )()(00ωτ τω=?F t f
周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。 波形图 四、傅里叶变换的几个重要结论（性质） （1）带宽受限于无限 时域受限 频域无限 频域受限 时域无限 （2）时域卷积与频域卷积 )()()()(2121ωωF F t f t f ??* )()()()(2121t f t f F F ??*ωω （3）尺度展缩 ∑∑∞ -∞=∞ -∞=-=-? n n T n n n n T t f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ 2 τ 2 -2 2