轴对称知识讲解
关于轴对称的知识点
关于轴对称的知识点在日常生活中，轴对称经常出现在各种图形、物品和自然事物中。
轴对称是一种基本的几何概念，是我们理解图形、计算面积和体积等几何问题的重要基础。
本篇文章将重点讨论轴对称的概念、性质和应用，帮助读者全面了解轴对称的知识点。
一、轴对称的基本概念轴对称是指平面上的一个点、线或面，将图形沿着该点、线或面折叠后，两侧重合的现象。
例如，一个圆可以沿着其圆心为轴对称，一个矩形可以沿着其中心的对角线为轴对称。
轴对称的基本概念包括以下几个要素：1. 轴：轴是平面上的一个点、直线或面，用于将图形分割成对称的两部分。
2. 对称中心：对称中心是轴对称的中心点或中心线，是图形对称的基准点。
3. 对称轴：对称轴是指通过对称中心的直线或平面，用于确定图形的对称位置。
4. 对称面：对称面是指沿着某个平面进行对称的现象，例如，一个立方体可以沿着一个面为对称面。
二、轴对称的性质轴对称是一种基本的几何概念，具有一些重要的性质，包括：1. 对称关系：轴对称的两侧是对称关系，互为镜像。
例如，一个字母“S”在其对称轴的两侧是相似的镜像形。
2. 对称轴必须经过对称中心：轴对称的对称轴必须经过对称中心，这是其对称的基准点。
3. 对称轴是唯一的：轴对称的对称轴是唯一的，它既可以是一条直线，也可以是一个平面。
4. 对称图形具有相同的面积和周长：轴对称的图形具有相同的面积和周长，这意味着，我们可以通过测量一侧的面积和周长，计算出整个图形的面积和周长。
三、轴对称的应用轴对称是一种重要的几何概念，在各种领域都有广泛的应用，包括：1. 在工程绘图中，轴对称被广泛用于设计对称性的零件和构件。
例如，一个机器零件可能需要在两侧具有相等的重量和力学性能，这就需要使用轴对称进行设计。
2. 在纹样和图案设计中，轴对称是一种常见的设计手段。
例如，一些印度图案和中国的剪纸，都是基于轴对称设计的。
3. 在数学中，轴对称被广泛应用于计算面积和体积。
例如，计算一个图形的面积，可以将其沿着某个轴对称的线分割成对称的两部分，计算一部分的面积后，再乘以2。
关于轴对称的知识点
关于轴对称的知识点1．轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。
【轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合。
成轴对称的两个图形一定全等。
】2．轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
【轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定。
】3．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的主要区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.。
4．轴对称的性质轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等。
5．线段的轴对称性①线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
②线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
【①线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。
②三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。
】6．线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
7．角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C-轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
第01讲 轴对称与轴对称图形(知识解读)
第01讲轴对称与轴对称图形1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形、探索轴对称的基本性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形关于给定对称轴对称图形.3.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.知识点轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.注意：1.轴对称图形的对称轴是一条直线，2.轴对称图形是1个图形，3.有些对称图形的对称轴有无数条。
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形两个图形的对称轴.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.【题型1轴对称的相关概念】【典例1】（2022秋•昆明期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（）A．6个B．5个C．4个D．3个【变式1-1】（2022秋•东港区期末）如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式1-2】（2022秋•大连期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有个【题型2轴对称图形的相关概念】【典例2】（2023春•渝北区校级期中）下列图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023春•青秀区校级期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2023春•南宁期中）学习轴对称图形中后，小乐画出如图四个图形，其中只有1条对称轴的图形是（）A．B．C．D．【题型3确定轴对称图形对称轴的条数】【典例3】（2023•城阳区一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．【变式3-1】下列图形中对称轴只有两条的是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有条．【题型4轴对称再镜面对称中的应用】【典例4】（2022秋•乳山市期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（）A．21：05B．20：15C．20：12D．21：50【变式4-1】（2021秋•播州区期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（）A．B．C．D．【变式4-2】（2021秋•恩施市校级期末）一轿车的车牌在水中的倒影是，则该车的牌照号码为．【题型5轴对称的操作应用】【典例5】（2022秋•桓台县期中）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形．【变式5-1】（2022秋•永嘉县校级月考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．【变式5-2】（2021秋•船营区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充．（1）使得图①成为轴对称图形；（2）使得图②成为有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形；（3）使得图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．【题型6与轴承对称相关的探索图形规律问题】【典例6】（2020春•顺德区校级期末）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F 连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（）A．10B．15C．21D．28【变式6-1】（2021秋•沂源县期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【题型7与轴对称相关的开放性问题】【典例7】（2022秋•东营区校级期末）如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是三角形，△ABC的周长＝cm．【变式7-1】（2022秋•开封期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝25°，击打白球，反弹后将黑球撞入袋中，∠1＝．【变式7-2】（2022秋•青云谱区校级期中）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有个．【题型8轴对称的实际应用】【典例8】（2022秋•乐清市月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3）元．【变式8-1】（2022秋•栖霞市期末）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．【变式8-2】如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF）．（1）若∠P AD＝32°，求∠PAB的度数；（2）已知∠BAE+∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．1．（2023•平顶山二模）从“同一个世界，同一个梦想”的2008年夏季奥运会，到“一起向未来”的2022年冬季奥运会，北京成为世界上首座“双奥之城”，下列四幅图是两届奥运会的参选徽标，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．200个B．400个C．1000个D．2000个3．（海淀区）如图，把△ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）4．（2020•薛城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是．1．（2022秋•河西区期末）2022年卡塔尔世界杯开幕式上中国元素闪耀登场．下面四幅与世界杯相关的图标中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•东宝区期末）在以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）A．.B．C．.D．3．（2022春•淮阳区期末）如图下面镜子里哪个是他的像？（）A．A B．B C．C D．D 4．（2023•雄县模拟）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（）A．点A B．点C．点C D．点D 5．（2023春•海淀区校级月考）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．5B．6C．7D．8 6．（2022秋•婺城区期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC 边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③7．（2020秋•十堰期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋8．（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点9．（2022秋•汤阴县期中）小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是．10．如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．11．（秋•西城区校级期中）如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．答案与解析【题型1轴对称的相关概念】【典例1】（2022秋•昆明期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】A【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：A．【变式1-1】（2022秋•东港区期末）如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解答】解：如图，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有5个．故选C．【变式1-2】（2022秋•大连期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有个【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：故答案为：3．【题型2轴对称图形的相关概念】【典例2】（2023春•渝北区校级期中）下列图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A、B、C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【变式2-1】（2023春•青秀区校级期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【变式2-2】（2023春•南宁期中）学习轴对称图形中后，小乐画出如图四个图形，其中只有1条对称轴的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A．该图形有无数条对称轴，故此选项不合题意；B．该图形有4条对称轴，故此选项不合题意；C．该图形有1条对称轴，故此选项符合题意；D．该图形有2条对称轴，故此选项不合题意．故选：C．【题型3确定轴对称图形对称轴的条数】【典例3】（2023•城阳区一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．该图形是轴对称图形，共有1条对称轴；B．该图形是轴对称图形，共有3条对称轴；C．该图形是轴对称图形，共有2条对称轴；D．该图形是轴对称图形，共有2条对称轴．故选：B．【变式3-1】下列图形中对称轴只有两条的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、圆有无数条对称轴，故本选项不符合题意；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项不符合题意；C、矩形有2条对称轴，故本选项符合题意；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项不符合题意；故选：C．【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有条．【答案】见试题解答内容【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．故答案为：无数．【题型4轴对称再镜面对称中的应用】【典例4】（2022秋•乳山市期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（）A．21：05B．20：15C．20：12D．21：50【答案】B【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为20：15．故选：B．【变式4-1】（2021秋•播州区期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据题意，它在水中的倒影表示正确的是A，故选：A．【变式4-2】（2021秋•恩施市校级期末）一轿车的车牌在水中的倒影是，则该车的牌照号码为．【答案】鄂Q•W6E01．【解答】解：如图所示：该车的牌照号码为鄂Q•W6E01．．故答案为：鄂Q•W6E01．【题型5轴对称的操作应用】【典例5】（2022秋•桓台县期中）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形．【答案】答案见解答．【解答】解：如图所示：．【变式5-1】（2022秋•永嘉县校级月考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．【答案】见试题解答内容．【解答】解：作轴对称图形如下（答案不唯一）：【变式5-2】（2021秋•船营区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充．（1）使得图①成为轴对称图形；（2）使得图②成为有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形；（3）使得图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．【答案】见解答．【解答】解：如图所示（答案不唯一）：【题型6与轴承对称相关的探索图形规律问题】【典例6】（2020春•顺德区校级期末）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（）A．10B．15C．21D．28【答案】C【解答】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD＝CD，在△BDE和△CDE中，∴△BDE≌△CDE（SSS），∴图2中有1+2＝3对三角形全等；同理：图3中有1+2+3＝6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．所以：第6个图形中全等三角形的对数是，故选：C．【变式6-1】（2021秋•沂源县期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【答案】A【解答】解：如图，由翻折的性质得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠3＝（180°﹣∠1），在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠3﹣∠A，∠CED＝∠3+∠A，∴∠A′ED＝∠CED+∠2＝∠3+∠A+∠2，∴180°﹣∠3﹣∠A＝∠3+∠A+∠2，整理得，2∠3+2∠A+∠2＝180°，∴2×（180°﹣∠1）+2∠A+∠2＝180°，∴2∠A＝∠1﹣∠2．故选：A．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】D【解答】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3，∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N．故选：D．【题型7与轴对称相关的开放性问题】【典例7】（2022AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是等边三角形，△ABC的周长＝24cm．【答案】等边三角形，24．【解答】解：∵AD是△ABC的对称轴，∴BD＝CD＝4cm，AB＝AC，∴BC＝BD+CD＝8cm，∵∠DAC＝30°，∴∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC的周长为＝3BC＝24cm．故答案为：等边三角形，24．【变式7-1】（2022秋•开封期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝25°，击打白球，反弹后将黑球撞入袋中，∠1＝65°．【答案】65°．【解答】解：∵∠2+∠3＝90°，∠3＝25°，∴∠2＝65°．∵∠1＝∠2，∴∠1＝65°．故答案为：65°．【变式7-2】（2022秋•青云谱区校级期中）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有2个．【答案】2．【解答】解：要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域①⑤．故答案为：2．【题型8轴对称的实际应用】【典例8】（2022秋•乐清市月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为12平方米，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3）3660元．【答案】12平方米；3660．【解答】解：由题意：展板的面积＝12a•b（平方米），当a＝0.5米，b＝2米时，展板的面积＝12（平方米）．制作整个造型的造价＝12×80+π×4×450＝3660（元）．故答案是：12平方米；3660．【变式8-1】（2022秋•栖霞市期末）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．【答案】如图所示，运动路线：A→P→B．【解答】解：如图所示：运动路线：A→P→B．【变式8-2】如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF）．（1）若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数；（2）已知∠BAE+∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．【答案】（1）116°．（2）BC∥PA．证明见解析部分．【解答】解：（1）∵∠PAD＝32°，∠P AD＝∠BAE，∠PAD+∠PAB+∠BAE＝180°，∴∠PAB＝180°﹣32°﹣32°＝116°．（2）BC∥PA，理由如下：∵∠PAD＝∠BAE，∠P AB＝180°﹣∠PAD﹣∠BAE，∴∠PAB＝180°﹣2∠BAE．同理：∠ABC＝180°﹣2∠ABE．∵∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣2（∠BAE+∠ABE）＝180°．∴BC∥PA．1．（2023•平顶山二模）从“同一个世界，同一个梦想”的2008年夏季奥运会，到“一起向未来”的2022年冬季奥运会，北京成为世界上首座“双奥之城”，下列四幅图是两届奥运会的参选徽标，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．2．（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．200个B．400个C．1000个D．2000个【答案】A【解答】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况．同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况，所以最多可制作200个．故选：A．3．（2003•海淀区）如图，把△ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED 内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【答案】B【解答】解：∵把△ABC纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，∴∠1+∠2＝180°﹣∠ADA′+180°﹣∠AEA′＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．故选：B．4．（2020•薛城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是．【答案】674．【解答】解：如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，∵2020÷6＝336…4，当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（2，0），∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+2＝674（次），故答案为：674．1．（2022秋•河西区期末）2022年卡塔尔世界杯开幕式上中国元素闪耀登场．下面四幅与世界杯相关的图标中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D．2．（2022秋•东宝区期末）在以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）A．.B．C．.D．【答案】B【解答】解：A有2条对称轴，B有4条，C有0条，D有1条．则对称轴条数最多的一个图形是B．故选：B．3．（2022春•淮阳区期末）如图下面镜子里哪个是他的像？（）A．A B．B C．C D．D【答案】B【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．故选：B．4．（2023•雄县模拟）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【解答】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，故选：B．5．（2023春•海淀区校级月考）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解答】解：如图，连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，∵P1是P关于直线l的对称点，∴直线l是PP1的垂直平分线，∴OP1＝OP＝2.8，∵P2是P关于直线m的对称点，∴直线m是PP2的垂直平分线，∴OP2＝OP＝2.8，当P1，O，P2不在同一条直线上时，OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2，即0＜P1P2＜5.6，当P1，O，P2在同一条直线上时，P1P2＝OP1+OP2＝5.6，∴P1，P2之间的距离可能是5，故选：A．6．（2022秋•婺城区期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】A【解答】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．故选：A．7．（2020秋•十堰期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【答案】B【解答】解：如图所示，，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．8．（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】D【解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2020÷6＝336…4，∴当点P第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹，∴第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点D，故选：D．9．（2022秋•汤阴县期中）小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是．【答案】12：08：51．【解答】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是12：08：51．故答案为：12：08：51．11．如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．【答案】9．【解答】解：∵△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，＝S△ACD＝，S△CEF＝S△BEF，∴S△ABD∴阴影部分的面积等于△ABC面积的一半，＝×18＝9（cm2）．∴S阴影故答案为：9．11．（秋•西城区校级期中）如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求．（2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求．。
专题01 轴对称(知识串讲+6大考点)(解析版)
专题01 轴对称考点类型知识串讲（一）轴对称（1）轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．（二）轴对称图形（1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴必须是直线）（2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
（三）尺规作图（1）过一点作已知线段的垂线求作：AB的垂线，使它经过点C作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D 、E 为圆心，大于DE 21长为半径作弧，两弧交于点F 。
③作直线CF ，CF 即为所求的直线（1）作已知线段的垂直平分线作法：①以A 为圆心大于AB 21长为半径作弧，以B 为圆心大于AB 21长为半径作弧,两弧交于C 、D 两点 ②连接CD ，即为所求（四）垂直平分线（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 考点训练考点1：轴对称图形典例1：（2023春·福建福州·九年级校考期中）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：选项B 的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项A 、C 、D 的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．【点睛】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【变式1】（2023·江苏淮安·统考三模）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，是优秀的中华传统文化，下面几幅蝴蝶的剪纸图案，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，进行判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．【变式2】（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）下列图标中，（）是轴对称图形．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【变式3】（2023·湖南·统考中考真题）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（）A．爱B．我C．中D．华【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．即将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形．考点2：轴对称图形的实际应用A．70°B．80°【答案】D【分析】由题意可得∠BDN=∠PDN=12+∠OCD=140°，由对顶角相等可得∠BDN的内角和定理进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：∴∠ODC+∠OCD=180°―40°=140°，∵∠ODC=∠BDN，∠OCD=∠ACM，∴∠BDN+∠ACM=140°，∴∠BDP+∠ACP=280°，∵∠BDP+∠PDC=180°，∠ACP+∠PCD=180°，∴∠PDC+∠PCD=360°―280°=80°，∵∠PDC+∠PCD+∠CPD=180°，∴∠CPD=100°，故选：D．【点睛】本题主要考查了对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识，熟练掌握对称的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，是解题的关键．【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【答案】B【分析】利用轴对称画图可得答案.【详解】解：如图所示，球最后落入的球袋是2号袋，A．35°B．45°【答案】C【分析】根据题意可得∠AOC=∠BOD，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：依题意，∠AOC=∠BOD，∠AOC∴∠BOD=35°，A．65°B．62.5°【答案】B【分析】根据折叠得出∠OB′C′=180°―55°=125°．根据折叠得出典例3：（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EC=EA，再利用△BCE的周长为12即可求解．【详解】解：∵DE垂直平分AC，∴EC=EA，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=BE+EA+BC=AB+BC=12，∵AB=7，∴BC=5，故选：A．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【变式1】（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）等腰三角形ABC中，AB=AC=12，BC =7．线段AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则△BEC的周长等于（）A．12B．13C．19D．31【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BE=AE，继而可证得△BEC的周长=BC+AC．【详解】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于E，∴BE=AE，∴△BEC的周长为：BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=7+12=19．故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长．掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【变式2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD．若∠B=35°，∠C=60°，则∠DAC的度数为（ ）A．50°B．40°C．35°D．30°【答案】A【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，∠B=∠BAD=35°．根据三角形的内角和定理即可求得∠DA C=50°．【详解】根据题意，可知AD=BD，∴∠B=∠BAD=35°．∴∠ADC=70°．在△ADC中，∠C=60°，∠ADC=70°∴∠DAC=180°―60°―70°=50°，A．2个B．3个【答案】B【分析】①由角平分线的性质即可证明；从而可以证明；③假设DM平分错误；④连接BD、CD，证明∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF∴ED=DF．故①正确；∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC∴∠EAD=∠FAD=30°．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．考点4：垂直平分线的判定典例4：（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）A．AD=AE B．AD=DF C．DF=EF D．AF⊥DE【答案】B【分析】根据作图可得AD=AE,DF=EF，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：根据作图可得AD=AE,DF=EF，故A，C正确；∴A,F在DE的垂直平分线上，∴AF⊥DE，故D选项正确，而DF=EF不一定成立，故B选项错误，故选：B．【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．【变式1】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，已知：AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（）证明：∵AB=AC∴点A在线段BC的垂直平分线上①∵MB=MC∴点M在线段BC的垂直平分线上②∴直线AM是线段BC的垂直平分线③A．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．以上说法都不对【答案】B【分析】根据垂直平分线的判定方法逐项判断即可．【详解】解：①处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故A选项错误，不合题意；②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B选项正确，符合题意；③处的依据是：两点确定一条直线；故C选项错误，不合题意；综上可知，选项D错误，不合题意；故选B．【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，有下列结论：①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④DB平分∠ADC．其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①②④D．只有①【答案】B【分析】先证明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，BC=CD，即可判断①②③；根据现有条件无法证明④．【详解】解：∵AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，BC=CD，∴AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，故①正确，②正确；∵BC=CD，AB=AD，∴AC是线段BD的垂直平分线，∴AC平分BD，故③正确；根据现有条件无法证明∠ADB=∠CDB，即无法证明DB平分∠ADC，故④错误；故选B．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等几何知识，熟知全等三角形的性质与判定定理，线段的垂直平分线的判定定理是解题的关键．【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形ABCD的对角线AC、BD，下列结论：①∠ABD=∠CBD；②BD垂直平分AC；③四边形ABCD的面积=AC⋅BD；④若∠ABC=60°，∠ADC=120°，点M，N分别是AB，BC边上的动点，且∠MDN=60°，则AM+CN=MN，其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④【答案】D【分析】根据“边边边”证明△ABD≅△CBD可判断①；根据垂直平分线的性质可判断②；由三角形面积计算公式可判断③；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，由“边角边”定理判断△ADM≅△CDE，可得DM= DE，由线段和差关系可得AM+CN=MN从而可判断④．【详解】解：①在△ABD和△CBD中，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAB=∠DCE=90°，又∵AM=CE，AD=CD，∴△ADM≅△CDE(SAS)，∴AM+CN=MN，故④正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线，理解“筝形”的性质和添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．考点5：垂直平分线的实际应用典例5：（2023·河北廊坊·统考一模）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴木凳应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点，故选：A．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式1】（2021春·四川成都·八年级统考阶段练习）在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（）A．A处B．B处C．C处D．D处【答案】B【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可．【详解】由题意知，村庄P．Q连线的垂直平分线与公路的交点就是所求，即选在点B，故选B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）A．2B．12C．5D．7【答案】B【分析】由于A，C关于直线DE为对称，所以F和D重合时，FC+FB最小，最小值等于AB，即可求得ΔBCF 的周长的最小值．【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴A，C关于直线DE为对称，∴F和D重合时，FC+FB最小，即ΔBCF的周长的最小值，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DC=DA，∴FC+FB的最小值=DC+DB=AB=7，∴ΔBCF的最小周长=FC+FB+BC=7+5=12，故选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称――最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OC，OD的距离也必须相等，则发射塔应建在（）A．∠COD的平分线上任意某点处B．线段AB的垂直平分线上任意某点处C．∠COD的平分线和线段AB的交点处D．∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处【答案】D【分析】利用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质即可求解．【详解】解：∵发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，∴发射塔应建在线段AB垂直平分线上．∵发射塔到两条高速公路OC，OD的距离相等，∴发射塔应建在∠COD的平分线上．∴发射塔应建在∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处．故选D．【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的实际应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．考点6：尺规作图（垂直平分线、垂线）典例6：（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）(1)要在如图所示的S区内找一点P，使它到直线m，n的距离相等，同时该点到A，B两点的距离也相等．(2)已知直线m和m上一点P，作过P与m垂直的直线n．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）只需要尺规作直线m，n所夹锐角的角平分线和线段AB的垂直平分线，两线的交点即为所求作；（2）利用尺规作过点P的垂线即可．【详解】（1）如图，点P即为所求作；（2）如图：直线n即为所作．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和角平分线与线段垂直平分线的尺规作图，正确理解题意、熟练掌握尺规作角平分线与线段垂直平分线的方法是解题的关键．【变式1】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在直线l上求作一点C，使得CA=CB（保留作图痕迹）．【答案】答案见解析【分析】作线段AB的中垂线交AB于一点D，则中垂线与直线l的交点为C为所求．【详解】解：以点B为圆心，AB的长为半径作圆，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，两圆交点分别为M、N，连接MN交AB于一点D，延长MN交l于一点C，此时直线CD为AB的垂直平分线，即CA=CB（线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等），如图所示：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，准确找到线段AB的中垂线是解题的关键．【变式2】（2023春·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）尺规作图题(1)已知BE与CF是△ABC的高，请只用无刻度直尺画BC边上的高AD;(2)请只用无刻度直尺与圆规作直角三角形ABC的高CD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据三角形三条高所在的直线交于一点作图即可；（2）先以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于E，再分别以E、A为圆心，AC长为半径画弧交于F，连接CF 交AB于D，线段CD即为所求．【详解】（1）如图所示（2）如图所示试说明PQ⊥a的理由：解：连接AP、BP、AQ、BQ．在△APQ与△BPQ中，AP _____ PQ所以△APQ≌△BPQ（______∵∠ACP+∠BCP=180°，∴∠ACP=∠BCP=90°，∴PQ是AB的中垂线；【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握线段的垂直平分线的作图是解本题的关键．同步过关一、单选题1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）下面是科学防控知识的图片，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2023·广西贵港·统考三模）贴窗花是过春节时的一项重要活动．这项活动历史悠久．风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．4．（2023·广东深圳·七年级统考期末）1给出的下列平面图形中，属于轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：根据轴对称图形的概念知B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形．故选A．已知：如图，∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB=∠ACB．作法：①以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；②在弧ACB上取一点P，连接AP，BP．所以∠APB=∠ACB．．．．．形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．8．（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）下列图形①角，②线段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圆，⑥正五角星，其中轴对称图形的个数是（）A．5B．4C．3D．2【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，进而判断得出答案．【详解】解：①角，②线段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圆，⑥正五角星，其中轴对称图形的是：①②③⑤⑥，共5个．故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．9．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，点是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD=CD=CF，则∠A=（）A．25°B．30°C．36°D．40°【答案】C【分析】先根据翻折性质和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到∠CDF=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，∠CDF=∠CFD，再利用直角三角形的两锐角互余得到2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，然后解方程求解即可．【详解】解：由翻折性质得：∠ACD=∠DCE，∵AD=CD=CF，∴∠A=∠ACD，∠CDF=∠CFD，∴∠CDF=∠A+∠ACD=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠B=90°－∠A，∠BCF=90°－2∠A，∵∠CDF=∠CFD，∴2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，解得：∠A=36°，故选：C．【点睛】本题考查翻折性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．10．（2023·江苏·九年级专题练习）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的菜洛三角形和圆形滚木的截面图．有下列4个结论：①莱洛三角形是轴对称图形；②图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等；③图2中，莱洛三角形的周长、面积分别与圆的周长、面积对应相等；④使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①②③【答案】A【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质、扇形面积和弧长公式，平行线间的距离判断故正确说法为①②，故选：A【点睛】本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，扇形面积公式，弧长公式等知识，正确的理解题意是解题的关键．二、填空题11．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠1=52°，则∠2=___________．【答案】76°【分析】依据邻补角的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．【详解】解：如图，由折叠性质可知∠3=∠1+∠2，∴∠1=∠3-∠2=180°-∠1-∠2，∠2=180°-2∠1=180°-2×52°=76°．故答案为：76°．【点睛】本题考查邻补角的性质以及折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质．12．（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）如图，将长方形纸条的一部分CDEF沿EF折叠到GHEF的位置．若∠HEF＝65°，则∠AEH的度数为_____．【答案】18°/18度【分析】根据正五边形的性质解答．【详解】解：∵多边形∴∠BCD=∠ABC=AH⊥BC∵AB=AC，AH⊥BC，∴BC=2BH=6，故答案为：6．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16．（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC 外的A′处，折痕为DE．如果∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′=γ,则α,β,γ的关系为_______．【答案】γ=2α+β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA′=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A′+∠CEA′，代入已知可得结论．【详解】解：如图，由折叠得：∠A=∠A′，∵∠BDA′=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A′+∠CEA′，∵∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′=γ,∴∠BDA′=γ=α+α+β=2α+β,故答案为：γ=2α+β.【点睛】本题考查了三角形外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．三、解答题(1)在图①中，画△ABC的高线AD．(2)在图②中，画△ABC的中线BE．(3)在图③中，画△ABF，使△ABF的面积为6【答案】(1)见解析（2）（3）如图③，△ABF的面积为【点睛】本题考查了网格中应用与设计作图，用到了三角形高，中线，和三角形的面积等知识，解题的关键是正确掌握三角形面积求法，灵活应用所学知识解决问题．18．（2023秋·北京石景山图过程．证明：连接QA，QB．∵QA=______，PA=PB，∴PQ⊥l（______）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析；（2）QB，三线合一【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．（2）理由：连接QA，QB．∵QA=QB，PA=PB，∴PQ⊥l（三线合一）．故答案为：QB，三线合一．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB=15，DE=10，∠D=70°．求∠B的度数及BC、AD的长度．【答案】∠B=70°，BC=10、AD=15【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：∵△ABC和△ADE关于直线l对称，。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是指物体具有在某一平面上的镜像对称性质。
在数学和几何学中，轴对称是一种特殊的对称形式，是对称性的重要表现形式之一。
下面将对轴对称的知识点进行总结。
一、轴对称的概念轴对称是指物体或图形在某一平面上的镜像对称性质。
这个平面被称为轴线或对称轴。
沿着轴线对物体进行镜像变换，使得物体的每一个点与镜像点相关联，二者之间的距离保持不变。
轴对称可以存在于二维图形、立体物体以及其他几何结构中。
二、轴对称的特点1. 图形的每一点都关于轴线对称，对称点在轴线上。
2. 对称图形的延长线与轴线重合，对称图形的每一条直线都是轴线上两个对称点的中垂线或垂直平分线。
3. 对称图形的面积、周长和内角和与其镜像图形相等。
4. 对称图形的对称中心与图形的每一个点距离的平方和最小。
三、轴对称的判定方法1. 观察图形是否有明显的对称形状，例如正方形、圆等。
2. 通过自身对折或平移观察是否可以重合。
3. 镜像变换：通过将图形投影到一个平面上，并观察是否与投影前的图形重合完成。
四、轴对称的应用1. 图案设计：轴对称的图案可以给人以和谐、美感的感受，常用于服装、陶瓷、织物等设计中。
2. 建筑设计：许多建筑物在设计中运用了轴对称的原则，例如古代的宫殿、寺庙等，可以使建筑更加庄重、稳定。
3. 生物学：许多生物体的结构具有轴对称性，例如动物的身体结构，植物的花朵等都存在轴对称现象，这也是生命体的一种基本特征。
4. 数学研究：轴对称是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何、代数和图论等领域的研究中。
特别是在图论中，轴对称是许多图形算法的基础。
五、轴对称的相关定理1. 轴对称的性质可以应用于线段、角、多边形、三角形等几何概念的研究中，例如轴对称定理、轴对称三角形定理等。
2. 轴对称可以通过镜像变换来实现，这也与线性变换和矩阵运算有关。
研究轴对称问题可以进一步理解和应用线性代数等数学知识。
六、轴对称与其他对称性质的关系1. 轴对称是平移对称的一种特殊形式。
轴对称知识点
轴对称知识点轴对称知识点汇总在平平淡淡的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。
掌握知识点是我们提高成绩的关键！下面是本店铺为大家整理的轴对称知识点汇总，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;（4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
(2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：（1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;(2）三线合一、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;(3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
轴对称古代知识点总结
轴对称古代知识点总结一、轴对称的概念轴对称，又称对称轴，是指物体上的某条直线，对这条直线上的点作对称变换时，这条直线是对称变换的轴。
也就是说，沿着轴对称的直线将物体划分为两部分，两部分是完全相似的，只是在轴对称线上的点的位置互相翻折。
轴对称是几何图形中的一种对称性。
在古代的数学中，轴对称的概念并不是以轴对称的名义出现的，但在古代的几何学和美学中，对称性的概念得到了充分的重视。
古希腊的几何学家欧几里得在其著作《几何原本》中系统地论述了几何学的基本概念，其中包括了对称性的讨论。
在古代的雕塑和建筑中，对称性也被广泛地应用，因此，轴对称的概念在古代的数学和美学中得到了广泛的应用和发展。
二、轴对称的性质1、轴对称的稳定性轴对称的稳定性是指物体在轴对称的直线上做对称变换后，物体的形状、大小、质地等性质不变。
这个性质使得轴对称的直线成为了一种特殊的对称轴，因为它不仅能够将物体分为两部分，还能够保持物体的形状和结构不变。
2、轴对称的唯一性在平面上，物体的轴对称轴是唯一的。
也就是说，如果一个物体有轴对称，那么它的轴对称轴是唯一的。
这个性质在数学和美学中都得到了广泛的应用，因为它使得研究轴对称的直线更加简洁和明了。
3、轴对称的延伸性轴对称的直线可以被延伸到整个空间中。
也就是说，轴对称的性质并不仅仅局限于平面上，而是可以延伸到三维空间中。
这个性质使得轴对称的概念更加普遍和实用。
三、轴对称的应用1、在建筑中的应用古代的建筑中，轴对称的概念被广泛地运用。
古罗马的庞贝城就是一个典型的例子。
在庞贝城的建筑中，轴对称的对称性得到了充分的体现。
建筑师们利用轴对称的直线将建筑物分成了对称的部分，使得整个建筑物看起来更加整齐和谐。
2、在绘画中的应用古代的绘画中，轴对称的概念被广泛地运用。
例如，在中国的绘画中，轴对称的直线被用来构建绘画作品的结构。
在古代的绘画作品中，轴对称的直线被用来分割画面，使得画面更加平衡和和谐。
3、在雕塑中的应用古代的雕塑中，轴对称的概念被广泛地运用。
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。
3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。
(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。
二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。
在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。
2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。
可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。
3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。
三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。
(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。
因此B点到直线m的距离为2.5cm。
例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。
求三角形ABC 的面积。
解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。
轴对称课本知识点总结
轴对称课本知识点总结一、轴对称的概念轴对称是指一个图形围绕某条中心轴线旋转180度，旋转后的图形和原图形完全重合。
在二维几何中，轴对称是一种重要的对称形式，常见于各种图形和实物之中。
二、轴对称的性质1. 轴对称图形的两个部分互相对称，互为镜像。
2. 轴对称图形的对称中心为图形的轴心。
3. 轴对称图形每一点的对应点与对称中心的距离相等。
三、轴对称的图形1. 对称图形：直线对称图形是最简单的轴对称图形，常见的有点、线段、正多边形等。
2. 音符：音符是一个常见的轴对称图形，它围绕中心轴线旋转180度后，可以和原音符完全重合。
3. 字母、数字：如字母A、M、H等和数字0、8等都是轴对称图形。
四、轴对称的判断方法1. 观察法：观察图形围绕某一条中心轴线旋转180度后是否和原图形重合。
2. 设坐标法：设定坐标轴，通过图形的对称特点来判断是否轴对称。
3. 折叠法：将图形折叠在对称轴上，判断折叠后两部分是否完全重合。
五、轴对称的应用1. 轴对称图形的设计：在各种设计中，轴对称图形的运用可以使设计更加美观。
2. 轴对称图形的制作：通过手工制作，可以制作各种轴对称图形的手工作品。
3. 轴对称图形的应用：在建筑、工程、美术、工艺等领域都有轴对称图形的应用。
六、轴对称的作用1. 保持图形的对称美：轴对称可以使图形保持一定的对称美。
2. 方便图形的绘制：对称图形通过轴对称可以方便地进行绘制和复制。
七、轴对称的练习1. 描绘轴对称图形：通过规定的对称轴来描绘对称图形。
2. 判断轴对称图形：判断给定图形是否对称，并找出对称轴。
3. 补全轴对称图形：在已知半图形的基础上补全对称图形。
八、轴对称的拓展知识1. 轴对称的组合：两个或多个轴对称图形组合成一个新的轴对称图形。
2. 轴对称的面积计算：轴对称图形的面积计算可以通过对称轴进行分割和计算。
九、轴对称的应用案例1. 建筑设计中的轴对称图形应用：在建筑设计中，轴对称图形的应用可以使建筑更加美观大方。
轴对称知识点汇总
轴对称知识点汇总轴对称是数学中的一个重要概念，它在几何学、代数学等领域中起着重要作用。
本文将对轴对称的基本概念、性质和应用进行详细的介绍。
一、轴对称的定义和基本概念轴对称，又称对称轴，是指图形中的一条线，使得图形关于该线对称。
具体来说，如果将图形沿着某条线对折，两边完全重合，那么这条线就是图形的轴对称线。
任何一个图形都可以有多个轴对称线，有些图形可能甚至有无穷多条轴对称线。
而有些图形则没有轴对称线。
对于有轴对称线的图形，它们的轴对称线可以是水平线、垂直线、或者斜线。
二、轴对称的性质1. 轴对称图形的性质：轴对称图形的两侧是完全相同的，对称轴是图形中的一部分，把图形分成了两个完全相同的部分。
2. 轴对称线上的点：对于一个轴对称图形，轴对称线上的点在折叠时会与它们在轴对称线的对称点重合。
3. 轴对称与图形的变换：轴对称是一种图形的变换方式，通过轴对称变换可以将图形变成它自身。
4. 轴对称图形的不变性：轴对称图形具有不变性，即通过轴对称变换后的图形与原来的图形完全相同。
三、轴对称的应用1. 几何学中的应用：轴对称的概念在几何学中有广泛的应用。
例如，我们可以利用轴对称性质判断一个图形是否是轴对称图形，可以利用轴对称线进行图形的构造等。
2. 统计学中的应用：在统计学中，轴对称性质可以用于数据的处理和分析。
通过利用图形的轴对称性，我们可以找到数据的对称特征，进而进行统计推断和预测。
3. 计算机图形学中的应用：轴对称性质在计算机图形学中也有广泛的应用。
通过利用轴对称性质，可以对图像进行压缩、旋转和对称变换等操作。
四、轴对称的例题解析为了更好地理解轴对称的概念和应用，接下来将通过几个例题进行解析。
例题一：判断图形是否具有轴对称性质，并找出它的轴对称线。
解析：首先观察图形，如果把图形沿某条线对折后，两边完全重合，那么这条线就是图形的轴对称线。
如果通过观察发现存在这样的轴对称线，那么该图形具有轴对称性质。
例题二：给定一个轴对称图形和一个点P，求点P关于轴对称线的对称点P'。
八年级轴对称知识点讲解
八年级轴对称知识点讲解在初中数学中，轴对称是一种重要的几何概念，也是学生需要掌握的常识之一。
本文将为八年级学生详细讲解轴对称的概念、性质以及常见应用。
一、轴对称的概念轴对称是指一种对称方式，在平面内将图形分为两部分，其中一部分通过某个轴的旋转后可以恰好重合于另一部分，这个轴就被称为轴对称轴。
换言之，轴对称是指一种图形上下左右对称的状态。
二、轴对称的性质1. 坐标关系对于坐标系中的轴对称，其轴与坐标轴的交点处的坐标为(a, 0)或(0, a)，其中a为实数。
2. 图形特征轴对称有以下几个特征：对称轴上的点不变；对称轴上的任何点到图形内的对应点的距离相等；对称轴将图形分为两个完全相同的部分。
3. 作图方法作图一个图形的轴对称需要以下几个步骤：确定对称轴的位置和方向；确定图形中所有对称的点或线段；将每个点或线段依次沿对称轴复制，直至构成整个轴对称图形。
三、常见应用1. 绘制轴对称图形轴对称在绘制各种图形时都可以派上用场。
所以，掌握绘制轴对称图形的技能是至关重要的。
2. 模拟新图形通过所给轴对称图形和轴对称轴，可以模拟出新的图形。
比如说，拥有线段CB、直线AB和DE且过点A的轴对称轴，通过绘制一条ADE的边来构建新的轴对称图形。
3. 发现轴对称图形性质在解题时，掌握轴对称图形的性质可以给我们提供更多的思路。
比如说，对于轴对称图形来说，它们的对称轴和对称图形上的任何一个点的坐标都是对应的；轴对称图形的面积等于其对称轴两侧图形面积之和。
以上是对轴对称的概念、性质以及常见应用的详细讲解。
希望通过本文的阐述，能够帮助八年级学生更好地理解轴对称的知识点，掌握轴对称应用技巧，从而提高其数学成绩。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是初中数学中的重要概念，在几何图形的研究和实际生活中都有广泛的应用。
下面我们来详细总结一下轴对称的相关知识点。
一、轴对称的定义如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
例如，等腰三角形是轴对称图形，底边的高所在的直线就是它的对称轴；矩形是轴对称图形，对边中点的连线所在的直线是它的对称轴。
二、轴对称图形的性质1、对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、对应线段相等，对应角相等。
3、成轴对称的两个图形全等。
三、轴对称与轴对称图形的区别与联系1、区别轴对称是指两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合，是两个图形的位置关系。
轴对称图形是指一个图形沿着某条直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，是一个图形自身的特性。
2、联系都有对称轴。
如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
四、作轴对称图形1、作轴对称图形的对称轴如果一个图形是轴对称图形，那么连接一对对应点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。
对于两个成轴对称的图形，对称轴是连接对称点的线段的垂直平分线。
2、作轴对称图形几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。
五、用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，y）。
2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，y）。
例如，点（2，3）关于 x 轴对称的点的坐标为（2，－3）；点（－1，4）关于 y 轴对称的点的坐标为（1，4）。
六、轴对称的实际应用轴对称在实际生活中有很多应用，比如：1、建筑设计中，许多建筑都采用了轴对称的设计，使得建筑更加美观、稳定。
2、飞机、汽车等交通工具的外形设计也常常运用轴对称，以减少空气阻力，提高性能。
认识轴对称知识点总结
认识轴对称知识点总结一、轴对称的定义轴对称是指一个几何图形相对于某条轴线对称，即图形的两侧关于轴线对称。
轴对称是一种基本的几何变换，它可以帮助我们理解和研究各种几何图形的性质，解决与几何图形相关的问题。
二、轴对称的性质1. 被轴对称的图形的对称轴上的点不动，对称轴的垂线上的点互为对称点。
2. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上。
3. 被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距离相等。
三、轴对称的应用轴对称在几何学中有着广泛的应用。
在平面几何中，我们经常通过轴对称来研究图形的性质、判断图形的对称特征、构造具有对称性的图形等。
在日常生活中，轴对称也有很多实际的应用，比如建筑设计、工艺品制作、装饰设计等。
四、轴对称的判定方法1. 通过观察图形的性质来判断是否具有轴对称性。
2. 通过观察图形的对称性来判断是否具有轴对称性。
3. 通过对称图形的性质和定理来判断是否具有轴对称性。
五、轴对称的性质及定理1. 轴对称的图形的对称轴上的点不动定理：轴对称的图形的对称轴上的点不动，即对称轴上的任意一点都是自身的对称点。
2. 轴对称的图形的对称轴是垂直的定理：如果一个图形具有轴对称性，那么图形的对称轴一定是垂直的。
3. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上定理：对任意一点A在对称轴上，A的对称点B也在对称轴上。
4. 对称中心位置可以通过对称图形的性质来判断定理：对称中心位置是轴对称的图形的重要性质之一。
5. 被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距离相等定理：被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距禿相等。
六、轴对称的图形1. 线段线段是具有轴对称性的图形。
2. 三角形三角形也可以是轴对称的图形。
3. 正方形和矩形正方形和矩形也是轴对称的图形。
4. 圆形圆形也具有轴对称性。
七、轴对称的构造1. 利用尺规作图的方法来构造轴对称的图形。
2. 利用计算机绘图软件来构造轴对称的图形。
轴对称知识点总结学生
轴对称知识点总结学生一、什么是轴对称轴对称又称对称轴或镜像轴，是指一个图形或者物体，分别绕着一条线或者平面旋转180度后，形状不变，看起来就好像是对折在轴上一样。
这条线或者平面叫做轴对称轴。
二、轴对称的特点1. 图形的各个部分分别相互对称2. 对称轴是存在的，可以是直线，也可以是曲线3. 对称轴可以有一个或者多个4. 轴对称的图形和另一半镜像相同三、轴对称的图形分类1. 点的轴对称：固定在对称轴上的点，和他在对称轴的对称点组成轴对称的图形。
2. 直线的轴对称：直线与它本身关于对称轴对称3. 曲线的轴对称：曲线与它本身关于对称轴对称四、轴对称图形的判定方法1. 观察法：通过眼睛观察，看有没有对称的特点2. 对折法：将图形对折，看两边是否重合3. 角度法：利用形状的特点，通过角度的计算，确定对称关系五、轴对称线的性质1. 轴对称线上的任何点，相对于轴对称线对称2. 三角形的三个角平分线相交于一点，这个点是三角形的外心，也就是外心与顶点相连的线是一条轴对称线3. 三角形的中位线长相等，中线相等4. 顶点在轴对称线上的三角形是轴对称的5. 一个平行四边形的对角线互相平分，它的对角线就是轴对称线6. 正方形的对角线相等，互相平分，对角线是轴对称线7. 矩形的对角线相等，互相平分，对角线是轴对称线六、轴对称图形的应用1. 轴对称图形是美的2. 在艺术领域，轴对称图形被广泛应用3. 在建筑设计中，轴对称图形被广泛应用4. 在日常生活中，轴对称图形随处可见七、轴对称图形的图形变换1. 轴对称图形的旋转：围绕一个点旋转，形成一个新的图形2. 轴对称图形的平移：图形在一个方向上平移，形成一个新的图形3. 轴对称图形的放射：图形在一个点固定的情况下，从这个点向外放射，形成一个新的图形4. 轴对称图形的缩放：图形按比例大小缩放，形成一个新的图形八、轴对称图形的图形组合1. 轴对称图形的组合：将两个轴对称图形进行组合，形成一个新的图形2. 轴对称图形的分解：将一个轴对称图形分解为几个小的轴对称图形总结：轴对称图形具有明显的对称性，能够展现出很好的美感，在各个领域都有广泛的应用。
轴对称(全章知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册基础
专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE 的长．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AC 的中点，CE AB ⊥，BD 与CE 交于点O ，且BE CD =．下列说法错误的是（）A ．BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点EB ．3BDC ABD ∠=∠C ．当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形D ．当E 为AB 中点时，34BOC AEC S S =△△【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．。
轴对称知识点总结小学
轴对称知识点总结小学一、轴对称的概念轴对称是指一个平面图形相对于一条直线对称，即围绕这条直线旋转180°后，图形保持不变。
这条直线就称为图形的对称轴。
轴对称是几何中的重要概念，能够帮助我们理解和设计图形，同时也是理解对称性的基础知识。
二、轴对称的特点1. 对称轴是图形的一个特殊线段或线。
2. 对称轴将图形分成两个对称的部分，这两个部分关于对称轴是完全一样的。
3. 对称轴上的任意点和其对称点的连线垂直于对称轴。
4. 沿着对称轴旋转180°后，图形完全重合于原图形。
三、轴对称的判定方法1. 观察法：通过观察图形是否存在对称性来判断是否关于某条直线对称。
2. 折叠法：将图形沿着疑似对称轴折叠，看是否能够完全重合。
3. 对称性质法：根据对称性质，判断是否对称。
四、轴对称图形的引用1. 对称轴：直线对称或旋转对称，使图形与自身相等的直线或轴。
例如：矩形的对角线、圆的直径等。
2. 对称中心：旋转对称图形的中心，是图形相互对称的中心。
例如：正六边形的中心。
3. 对称点：图形上具有对称关系的点，关于对称中心对称。
例如：圆上的任意两点。
4. 对称问题：解决对称性质相关的数学问题，例如：通过对称性质求图形面积。
五、轴对称图形的种类1. 点对称：图形旋转180°后保持不变，具有旋转对称性。
例如：正方形。
2. 线对称：图形关于一条直线对称，具有镜像对称性。
例如：梯形。
3. 中心对称：图形有一个对称中心，图形上的点关于对称中心对称。
例如：正五边形。
六、轴对称与生活的应用1. 装饰设计：利用轴对称图形设计房间装饰，使整个空间更加和谐、美观。
2. 工艺制作：通过对称性设计工艺品或雕刻艺术品，使作品更有美感和观赏性。
3. 建筑设计：利用轴对称原理设计建筑外观或布局，使建筑更加稳固和美观。
4. 计算面积和周长：通过对称性质，计算复杂图形的面积和周长，简化计算过程。
七、轴对称与数学的联系1. 对称性质：轴对称是数学中的基本概念，是计算图形面积和周长的重要依据。
轴对称知识点总结讲解
轴对称知识点总结讲解一、基本概念1. 定义轴对称是指平面上的一图形能在某一条直线上旋转180°后仍然与原图形完全重合，这条直线称为轴线，而旋转180°的变换称为轴对称变换。
2. 轴对称图形根据轴对称的定义，我们可以知道，任意轴对称图形关于轴线对称后，都能与原图形重合。
常见的轴对称图形有：正方形、长方形、圆形、各种多边形等。
3. 轴对称线轴对称图形关于轴对称线的对称性可以从两个方面来考虑：一是图形上对称点的位置关系，二是图形上对称点间的距离关系。
二、性质1. 和轴对称相关的性质有哪些？轴对称图形的性质主要表现在对称性质上，轴对称图形的性质可以总结为以下几点：（1）轴对称图形的对称中心即为轴对称线；（2）轴对称图形上对称点的位置关系相互对称；（3）轴对称图形上对称点间的距离互相一致。
2. 轴对称图形的判定方法在进行几何问题的推导和解决中，常常需要判定一个图形是否为轴对称图形。
在平面几何中，我们可以用以下方法来判定一个图形是否为轴对称图形：（1）根据定义判定；（2）通过图形的性质和特点来判定；（3）通过观察对称性质来判定。
三、特殊图形1. 正方形正方形是最简单的轴对称图形之一，它具有多个轴对称线，其中包括对角线、中垂线和两条对边的中线。
2. 长方形长方形也是轴对称图形，在长方形中，对角线也是一条轴对称线，并且长方形具有更多的对称性质。
3. 圆形圆形是最具有轴对称性质的图形之一，圆形的轴对称线无数，且每一条直径都是圆形的轴对称线。
圆形的轴对称性质对于构图和解题有很多重要的应用，比如圆形的轴对称性质在圆锥曲线中有重要的应用。
四、应用1. 几何中的应用轴对称在几何中有广泛的应用，可以用来判断图形的性质、构造图形、解决几何问题等。
轴对称的性质和特点对于构造几何图形有很大的帮助，同时在解题过程中，也常常利用图形的轴对称性质来简化问题。
2. 艺术中的应用轴对称的概念也在艺术中有着重要的应用。
在美术创作中，轴对称的性质常常能够帮助艺术家构图，使画面更加和谐、对称。
中考轴对称知识点总结
中考轴对称知识点总结一、轴对称的概念轴对称是指当平面图形的每一点关于一条直线对称时，这条直线叫做这个平面图形的轴对称轴。
在轴对称变换中，轴对称轴不动，图形上的每一个点关于这条直线对称后，它们的位置互换。
这种对称的变换叫做轴对称变换。
轴对称变换是平行移动和旋转变换的特殊情况。
二、轴对称的基本性质1. 任何点的轴对称图形也是原图形。
2. 轴对称图形和原图形相互关于轴对称。
3. 如果两个图形是轴对称的，那么，这两个图形一定在同一条轴对称轴两侧且关于这条轴对称轴对称。
三、轴对称的判断方法1. 如果一个图形的每一点关于一条直线对称，那么这个图形是关于这条直线轴对称的。
2. 通过图形的结构特点判断轴对称。
如正方形、矩形、正五边形、等腰三角形等图形均是轴对称的。
四、轴对称与轴对称图形的应用1. 轴对称常用来制作寓意深刻、图案美观的卡片、图片、图案等。
2. 在制作圆形物体或者对称形状的设计中，轴对称往往被广泛应用。
五、常见图形关于坐标轴的轴对称性质1. 镜景对称关于x轴、y轴、原点对称的图形。
2. 镜景对称关于直线y=x和y=-x的图形。
六、轴对称图形与轴对称图形的比较轴对称图形和轴对称图形都是对称图形，但两者在某些方面有一些不同。
1. 轴对称图形是相对于一个轴对称的直线对称的，而轴对称图形是相对于一个点对称的。
2. 轴对称图形是指形象把自己经过某一轴线翻折的图形，而轴对称图形是指形象把自己关于某一点翻折的图形。
七、轴对称的相关定理1. 定理1：如果一个图形是轴对称的，那么这个图形关于轴对称轴的任意两个对称点的中点是与直线相交的直线上的点。
2. 定理2：如果平行四边形的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是轴对称的。
3. 定理3：如果多边形的每一条对角线相互垂直，那么这个多边形是轴对称的。
八、轴对称的相关定理证明1. 定理1的证明：以折叠模拟（将一张纸对折，使得一侧成为另一侧的镜像）可以证明。
将纸对折以后，对称图形的两个对称点的对称点是折痕上的对称点，而这两个对称点的中点就是这个折痕上的点。
轴对称知识点概念总结
轴对称知识点概念总结一、轴对称的概念轴对称是指平面上的任意一点到某条直线的距离等于它的对称点到同一条直线的距离。
这条直线就称为轴对称的轴线。
在轴对称的变换中，图形关于轴线对称，即通过某条直线进行对称变换后，两个图形完全重合。
轴对称变换是一种保持图形形状和大小不变的变换，即如果原图形关于轴对称，则对称后的图形大小、形状和位置都不变。
在平面几何中，轴对称是指通过一条直线，将一个图形对称折叠，并使得折叠后的两部分完全重合。
在三维空间中，轴对称是指通过一个平面，将一个立体图形对称折叠，并使得折叠后的两部分完全重合。
而对于更高维度的空间，轴对称的概念也有相应的推广。
二、轴对称的性质1. 图形经过轴对称变换后仍然保持不变，即大小、形状和位置都不变。
2. 轴对称的轴线可取任意直线，轴对称的性质不随轴线的选取而改变。
3. 轴对称是一种对称变换，它保持了图形的对称性质。
4. 轴对称变换是一种保角变换，保持了图形的内角和外角不变。
5. 如果一个图形关于一条直线轴对称，那么它关于这条直线的对称轴线的对称关系也是轴对称的。
6. 如果两个图形分别关于两条无交点的直线轴对称，那么这两个图形的对称关系也是轴对称的。
7. 如果两个图形分别关于同一条直线轴对称，那么它们之间的对称关系也是轴对称的。
轴对称的性质是轴对称变换在数学、物理和工程等领域中应用的基础，是轴对称图形和轴对称函数等概念的重要基础。
三、轴对称的应用1. 在几何学中，轴对称是通过对称折叠和对称变换等方法，研究图形的性质、构造和证明等问题的基本手段。
2. 在物理学中，轴对称是通过对称抽象和对称分析等方法，研究物理系统的对称性、守恒律和相互作用等问题的基本工具。
3. 在工程学中，轴对称是通过对称设计和对称加工等方法，研究零件的制造、组装和检测等问题的基本技术。
4. 在数学分析和代数中，轴对称是通过对称函数和对称方程等方法，研究函数的性质、解的性质和对称结构等问题的基本手段。