材力总结

3
2
A
F 变形几何方程为 物理方程为
（3）补充方程
B
DC
1
3
2
A
A'
1 32
A
Δl1
Δl3
A'
（4）联立平衡方程与补充方程求解
B
百度文库
DC
1
3
2
A
1 3F 2
A
Δl1
Δl3
A'
例题9 图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁AB，在横梁上作 用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A ，l，E. 试求三杆的轴力 FN1, FN2, FN3.
征M
M
M
M
M
反 M M1
增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 M1 M2 m
简易作图法：利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图 的方法。
例
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
qa2/2 3qa2/8 qa2/2
–
+
M
qa2/2
右端点D：
例题10 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN, 有关 尺寸如图所示.试用本节所述关系作剪力图和弯矩图.
剪力、弯矩与外力间的关系
外 无外力段 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变
FS ( x)
Q 图
Q
Q
Q
Q
Q Q1
特
征
x
x
x
C
x
Q2
x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–Q2=P
无变化
Q
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图
x
x
x
x
特
x 与 M2 x m
1. 数学表达式(Mathematical formula)
max
Tmax Wp
[ ]
2.强度条件的应用 (Application of strength condition)
强度校核 (Check the intensity)
Tmax [ ]
Wp
设计截面 (Determine the required
（4）校核
FRA F1=2kN q=1kN/m
M=10kN·m FRB
F2=2kN
A
C
D
BE
4m
4m
7kN
4m
3m
3kN
+
1kN
x=5m 20 20.5
16
2kN
+
3kN
+
6
例题13 用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图.
解： 支座反力为
FRA = 81 kN FRB = 29 kN MA = 96.5 kN·m
GIp
GIp
π
三、梁弯曲变形
公式的几何意义
（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小; （2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小; （3）根据q(x)＞0或q(x) ＜0来判断弯矩图的凹凸性.
二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系 (Relationships between load,shear force,and bending moment diagrams)
因此,该轴满足强度要求.
B
C
_
· 14 kN m
例题2 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性 模量G=80GPa，DB=1°. 试求： （1） AD杆的最大切应力; （2）扭转角 CA
解：画扭矩图
Me
2Me
3Me
Tmax= 3Me
D
C
B
A
计算外力偶矩Me
a
a
2a
+ DB= CB DC=1°
解： （1）列平衡方程 这是一次超静定问题﹗
y
B 1
D 3
C FN1FN3
FN2
2
x
A A
F
F
y
B
DC
1
3 2
A
F （2）变形几何方程
FN1FN3
FN2
x
A
F
B
DC
1
3
2
A
A'
由于问题在几何,物理及 受力方面都对称,所以变形后A点将沿铅 垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起﹗
B
DC
1
1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0
FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.
M(x)图为一向上凸的二次抛物线.
FS(x)
M(x)
O
x
2.梁上无荷载区段，q(x) = 0 剪力图为一条水平直线. 弯矩图为一斜直线. 当 FS(x) > 0 时,向右上方倾斜. 当 FS(x) < 0 时,向右下方倾斜.
3
2
1
l
a
a
B
C
A
F
解：（1） 平衡方程
3
2
1
l
a
a
B
C
A
F FN3
FN2
FN1
3 a
2 a
1
B
C
A
Fx
这是一次超静定问题,且假设均为拉杆. F
3
2
1
B
C
A
l
3 a
2 a
1
l3
l2 C
l1 A
B
B
C
A
F （2） 变形几何方程
物理方程
（3） 补充方程
3
2
1
B
C
A
l
3 a
2 a
1
l3
l2 C
l1 A
一般超静定问题举例 (Examples for general statically indeterminate problem)
例题8 设 1，2，3 三杆用绞链连结如图所示，l1 = l2 = l，A1 = A2 = A， E1 = E2 = E，3杆的长度 l3 ,横截面面积 A3 ,弹性模量E3 。 试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力.
( Mea 2Mea ) 180 1
GIp GIp
π
2Me Me
3Me +
Me 292kN m
（1）AD杆的最大切应力
Me
2Me
3Me
max
Tmax Wt
69.7MPa
D
C
B
A
a
a
2a
（2）扭转角 CA 3Me
CA BA CB
2Me
Me
+
(3Me 2a Me a ) 180 2.33
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Δl AB
FN1l1 EA1
2.53 10-4m
ΔlBC
FN 2 l2 EA2
1.42 10-4m
ΔlCD
FN 3 l3 EA3
1.58 10-4m
uB ΔlCD ΔlBC -0.3mm
ΔlAD ΔlAB ΔlBC ΔlCD -0.47 10-4mm
FS(x)
M(x)
M(x)
x
O
x
O
O
x
3. 在集中力作用处剪力图有突变,其突变值 等于集中力的值。弯矩图有转折。
4. 在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突 变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。
5. 最大剪力可能发生在集中力所在截面的 一侧;或分布载荷发生变化的区段上。
梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0的截面上; 或发生在集中力所在的截面上; 或集中力偶作用处的一侧。
解：作轴的扭矩图
MeA
MeB
MeC
分别校核两段轴的强度
1max
T1 Wt1
T1 πd13 / 16
22 103 π(0.123 ) / 16
64.84MPa [ ]
A
· 22 kN m
+
2max
T2 Wt 2
T2
πd
3 2
/
16
14 103 π(0.13 ) / 16
71.3MPa [ ]
结论： 在柱的下段，其值为
1.1MPa，是m压ax应力.
50kN 150kN
24
例题3 图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kN F3=35kN. l1=l3=300mm，l2=400mm， d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm. 试求：
（1） Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图
FRA F
1
2
A
C
F FRB
3
D
B
200
115
1265
（4）对图形进行校核 在集中力作用的C,D 两截面剪
力图发生突变,突变值F=25.3kN.而 弯矩图有尖角.
在AC段剪力为正值，弯矩图为 向上倾斜的直线.
在CD和DB段，剪力为负值， 弯矩图为向下倾斜的直线.
FRA F
1
2
A
C
200 1265
23.6
A 斜截面上的总应力： p 0 cos
正应力： p cos 0 cos2
切应力：
p
s in
0
2
sin 2
2.材料拉伸与压缩时的力学性能 3.轴向拉伸、压缩时的变形： 4.拉伸与压缩时的强度条件：
l FN l EA
5.轴向拉伸、压缩的静不定问题 6.剪切和挤压的实用计算
拉伸与压缩时的强度条件：
[ ] 称作许可单位长度扭转角
(Allowable angle of twist per unit length)
例题1 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kN·m, MB = 36 kN·m ,MC =14 kN·m. 已知材料的 许用切应力[] = 80MPa,试校核该轴的强度.
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
（2） 杆的最大正应力max
AB段
AB
FN1 A1
176.8MPa
()
BC段
BC
FN 2 A2
74.6MPa
()
DC段
DC
FN 3 A3
110.5MPa
()
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN ( - ) FN3 =- 50kN ( - )
max = 176.8MPa 发生在AB段.
40kN
55kN 25kN
20kN
A 600 10
B
C 300
500
50
+
D 400 20
E
FN1=10kN （拉力） FN2=50kN （拉力） FN3= 5kN （压力）FN4=20kN （拉力）
+
5
FNmax 50(kN)发生在BC段内任一横截面上
例题2 一横截面为正方形的砖柱分上、下 两段,其受力情况、各段长度及横截面面积 如图所示.已知F = 50kN， 试求荷载引起的最大工作应力.
B
B
C
A
（4）联立F平衡方程与补充方程求解
二、扭转变形
二、扭转变形时切应力：
T
IP
dA T
ρ ρ O
max
2. ma的x 计算(Calculation of max)
max
Tmax
Ip
T Ip
T Wt
max
Wp
Ip
max
r
ρ
dA
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
扭转强度条件 (Strength Condition)
+
1.7
F FRB
3
D
B
115
最大弯矩发生在剪力改变正、负 号的 C截面处.说明剪力图和弯矩图 是正确的.
27
+
例题11 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图 所
示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.
q FRA
A CE
FRB
B D
0.2
1.6
1 2
（2）剪力图
FRA
q
FRB
AC段 水平直线
A
B
CE
D
CD段 向右下方的斜直线
0.2
1.6
1
2
80kN
DB段 水平直线
+
最大剪力发生在 AC 和 DB 段的任一横截面上.
80kN
例题12 作梁的内力图. 解： （1）支座反力为 FRA F1=2kN M=10kN·m FRB F2=2kN
q=1kN/m
A
C
D
4m
4m
4m
BE 3m
d T dx
l
l GIp
Tl
GIp
—扭转角 GIp 称作抗扭刚度
2.单位长度扭转角(Angle of twist per unit length)
T
l GIp
3.刚度条件（Stiffness condition)
(rad m)
m ax []
m ax
Tmax GIp
[]
(rad m)
对 内象 容
问题
外力
强 分析
内力
度 计算
计
内力 图
算
应力 计算
强度 计算
刚度计算
压杆稳定
构
基本变形
轴向 拉压
剪切 扭转
弯曲
件
组合变形
拉压 偏心 弯 拉压
斜弯 曲
弯扭 组合
同基本
无
变形
无
压杆分类 临界应力计算
临界力计算
无
稳定计算
结束
一、轴向拉伸与压缩总 结
一、轴向拉伸与压缩总结
1. 等截面拉(压)杆横截面上正应力 FN
dimensions)
确定许可载荷
Wp
Tmax
[ ]
Tmax Wp[ ]
(Determine the allowable load)
扭转变形 (Torsional deformation)
1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角来度量的
d T
dx GIp
其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角. 长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算
（2） 杆的最大正应力max
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Ⅲ
Ⅱ
F3
DⅢ l3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
20 +
-
15
50
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN （-） FN3 =- 50kN （-）
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
最大工作应力 材料极限应力
max
强度条件：
u
n
s 塑性材料
b
脆性材料
n≥1 安全因数 许用应力
满足—安全
强度校核 FN
max
FN A
max
A max
否则—危险
设计截面尺寸
FN ,max A
确定许用荷载 FN,max A
例题 1 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图.
解：（1）作轴力图
FN1 F 50kN FN2 3F 150kN
F
A
F
F
1
B
2
C
24 0
（2） 求应力
F
A
1
FN1 A1
50000 0.24 0.24
F
F
1
B
0.87 106 N/m2 0.87MPa
2
2
FN 2 A2
150000 0.37 0.37
C
1.1 106 N/m2 1.1MPa