(专题)数列求和的几种方法_.

数 列 求和
1运用公式法
等差或等比数列直 接应用求和公式
2 分组求和法 3 错位相减法 4 裂项相消法 5 倒序相加法
化归思想转化 成等差、等比 数列求
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数列的几种求和方法
1.公式法：
即直接用求和公式，求数列的前n和Sn
①等差数列的前n项和公式：
Sn

n(a1 2
an )

na1

n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
Sn

na1 (q a1(1
1) qn)
1 q

a1 anq 1 q
(q
1)
常用到下列数列的前n项和：
Sn c1 c2 c3 L cn a1b1 a2b2 a3b3 L anbn
将上式各项乘以公比q
5、倒序相加法
例6：求 : sin2 1 sin2 2 sin2 3 sin2 89
问题：什么时候用倒序相加的方法求数列和？
倒序对应项相加均相等时，往往用倒序相加的方法。 例如：等差数列前n项和。
③ 1 2 3 n n(n 1) 2
④ 1 3 5 (2n 1) n2
⑤ 12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
⑥ 13 23 33 n3 [ n(n 1)]2 2
练习：已知数列{an} ①若an 2n 3 ,求Sn.

(1
1 a

1 a2



1 a n1
)

[1

47

(3n 2)]
当 当
a 1
a
时， Sn 1 时，Sn
n (1 3n 2)n 3n2 n
1 1 an
2
(1 3n 2)n

2
an 1

1 1
2
a n a n1
(3n
1)n 2
d a1 a2 a2 a3
an an1
1(1 1 ) n .
d a1 an1
a1an 1
若
an

( An

1 B)(
An

C)
,则求Sn用 裂项相消法
.
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
百度文库

1 2
(1

1 2n
1 1
)

n 2n1
2
Sn

2(1
1 2n

n 2n1 )

2
1 2n1

n 2n
错位相减法：设数列{an}是公差为d的等差数列
（d不等于零），数列{bn }是公比为q的等比数列(q不
等于1），数列{cn}满足：cn anbn 则 {cn}的前n项和为：
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
5. 1 1 ( a b) a b ab
练习:
1.求 通 项 公 式 为an

1 1 2 3
{n
1 2n }
前n项和
解：
Sn
1
1 2

2
1 4
3 1 8





n
1 2n
①
1 2 Sn
11 1
11
1 4 2 8 3 16 (n 1) 2n n 2n1
②
两式相减：
1 2
Sn

1 2

1 4

1 8



1 2n

n
1 2n1
的 数 列 的 前n项 和. n
2、求 1 1 1 1
1•2 2•3 3•4
n • (n 1)
4.错位相减法
例5、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应 相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
分析：设数列的通项为bn，则
bn

n(n 1)
6( 1 n

1) n 1
1 11
11
Sn

b1
b2


bn

6[(1
)( 22

) 3

( n

)] n 1
6(1 1 ) 6n n1 n1
例4、设{1an bn anan1
解: bn
}是公差d 不为零的等差数列 ，{bn
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ①
相 减 xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
(1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 - nxn
n项 这时等式的右边是一个等比数 列的前n项和与一个式子的和， 这样我们就可以化简求值。
练习、求数列
a
若an=(An+B)+qn,则求Sn用 分组求和法 .
练习
1、已知数列an的通项公式为 an 10 n n,求Sn.
2、若数列通项an=n(n+1),求该数列前n项的和。
3.裂项相消：
例3、求数列 6 , 6 , 6 , , 6 , 前n项和
1 2 2 3 3 4 n(n 1)
②若 an 3 2n ,求Sn.
2.分组求和： 例2、求数列
1
1
1
1
1 1 , a 4 , a2 7 , a3 10 , , an1 (3n 2) ,
的前n项和
解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则
1 an a n1 (3n 2)
Sn
求： bn 的前n项和
1 1(1 1 ) an an1 d an an1
}
满足
Sn b1 b2 b3 L bn
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 )
d a1 a2 d a2 a3
d an an1
1 ( 1 1 1 1 L 1 1 )