数列求和7种方法(方法全-例子多)

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [例1]已知3

log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝2

11)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=

n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得)1(21+=

n n S n ，)2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64

342++n n n ＝n n 64

341

++＝50)8

(12+-n n 50

1≤ ∴当8

8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列

的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c =

.

解：原式=答案：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3]求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位）

①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----?+=-- ∴2

1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4]求数列??????,2

2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1}的通项之积 设n n n S 2

226242232+???+++=…………………………………① 14322

226242221++???+++=n n n S ………………………………②（设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n S （错位相减） ∴12

24-+-=n n n S 练习题1已知，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .

答案：

练习题2的前n 项和为____

答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5]求证：n n n n n n

n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 证明：设n n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=…………………………..①

把①式右边倒转过来得

0113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-（反序）

又由m n n m n C C -=可得

n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..……..②

①+②得n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=-（反序相加）

∴n n n S 2)1(?+=

[例6]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S ………….①

将①式右边反序得 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..②（反序）

又因为1cos sin ),90cos(sin 2

2=+-=x x x x

①+②得（反序相加） )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89

∴S ＝44.5

题1已知函数

（1）证明：；

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得： 所以. 练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a

a a n ，…

解：设)231()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1111(12-+???+++++???+++=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2

)13(n n +（分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(

∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k

n k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝k k k n k n k n k ∑∑∑===++12131

32（分组） ＝)21()21(3)21(2222333n n n +???++++???++++???++ ＝2

)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2

)2()1(2++n n n 五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+=（2）

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

11)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])

2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n

n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=-则

（7）)11(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++= （8

）n a ==[例9]求数列???++???++,11,,3

21

,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=11

1

（裂项） 则11321

211

+++???++++=n n S n （裂项求和） ＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n

[例10]在数列{a n }中，11211++???++++=

n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵2

11211n n n n n a n =++???++++= ∴)111(82

122+-=+?=n n n n b n （裂项） ∴数列{b n }的前n 项和

)]1

11()4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝1

8+n n [例11]求证：

1

sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++ 解：设 89

cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=S ∵

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=

S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1 -+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝ 1cot 1

sin 1?＝ 1sin 1cos 2

∴ 原等式成立

练习题1. 答案：.

练习题2。=

答案：

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.

解：设S n ＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°

∵)180cos(cos

n n --=（找特殊性质项）

∴S n ＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···

+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）

＝0 [例13]数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得

……

∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）

∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++（合并求和）

＝)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a

＝2002200120001999a a a a +++

＝46362616+++++++k k k k a a a a

＝5

[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设10

32313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质q p n m a a a a q p n m =?+=+（找特殊性质项）

和对数的运算性质N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++=（合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+?

＝9log 9log 9log 333+???++

＝10 练习、求和：

练习题1设，则＝___ 答案：2.

练习题2．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于()

A.1

B.-1

C.0

D.2

解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即：S n =

答案：A 练习题31002-992+982-972+…+22-12的值是

A.5000

B.5050

C.10100

D.20200

解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

[例15]求

1

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(9199999111111

1-=????=???k k k

个个（找通项及特征） ∴

11111111111个n ???+???+++ ＝)110(9

1)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和） ＝

)1111(91)10101010(911321 个n n +???+++-+???+++ ＝9

110)110(1091n n ---?