数列求和7种方法(方法全-例子多)

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [例1]已知3

log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝2

11)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=

n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得)1(21+=

n n S n ，)2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64

342++n n n ＝n n 64

341

++＝50)8

(12+-n n 50

1≤ ∴当8

8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列

的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c =

.

解：原式=答案：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位）

①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴2

1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1}的通项之积 设n n n S 2

226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322

226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………②（设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） ∴12

24-+-=n n n S 练习题1已知，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .

答案：

练习题2的前n 项和为____

答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5]求证：n n n n n n

n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明：设n n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=…………………………..①

把①式右边倒转过来得

0113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）

又由m n n m n C C -=可得

n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②

①+②得n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）

∴n n n S 2)1(⋅+=

[例6]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

解：设

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①

将①式右边反序得 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）

又因为1cos sin ),90cos(sin 2

2=+-=x x x x

①+②得（反序相加） )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89

∴S ＝44.5

题1已知函数

（1）证明：；

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得： 所以. 练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a

a a n ，…