均值不等式教学设计新部编版
教学设计1：2.2.4 第1课时 均值不等式
2.2.4 第1课时 均值不等式教学目标1.探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义；2.会用均值不等式及其变形形式解决证明不等式、比较大小、求取值范围等问题；3.掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．教学知识梳理知识点一 均值不等式(1)如果a ，b 都是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．此结论通常称为均值不等式，也称为基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，我们称a ＋b2为a ，b 的算术平均值，称ab 为a ，b 的几何平均值．因而，均值不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值． 思考1．如何证明均值不等式？提示：因为a >0，b >0，所以a ＋b 2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝(a －b )22≥0，即a ＋b2≥ab .当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立． 2．从几何角度如何解释均值不等式？ 提示：以长为a ＋b 的线段为直径作圆，在直线AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b .过点C 作垂直于直线AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，如图，连接BD ′，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝AC ·CB ，得CD ＝ab .这个圆的半径为a ＋b 2，显然，它大于或等于CD ，即a ＋b2≥ab .当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立． 知识点二 均值不等式的应用设x ，y 都为正数，则有如下关系：(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 思考3．如何证明“和定积最大，积定和最小”？ 提示：(1)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y2≥xy .又x ＋y ＝s ，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝s 24，当且仅当x ＝y 时，取等号．故若x ＋y ＝s ，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y2≥xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立．又xy ＝p ，∴x ＋y ≥2p .故若xy ＝p ，当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 教学案例类型一 均值不等式应用的条件[例1] 下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·a b＝2 B ．若x ，y ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |C ．若x 为负实数，则x ＋4x ≥－2x ·4x＝－4 D ．若x ≠0，则x 2＋1x2≥2x 2·1x2＝2 【解析】因a ，b ∈R ，故当a ，b 异号时，b a 与ab 均负，故直接用均值不等式是错误的，则A选项错误；若x ，y ∈R ，⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |，没有条件xy >0，不成立，所以B 选项错误；C 选项中，在x <0时，4x <0，故不能直接用均值不等式，正确书写为：x ＋4x＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4，故C 选项错误；故选D. 【答案】D 通法提炼在应用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”，另一端出现“积式”，便于运用均值不等式. [变式训练1] 已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2【解析】利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a 2＋b 2≥2ab 的使用条件是a ，b ∈R .对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误； 对于D ，因为ab >0，所以b a >0，ab >0.所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ，即b a ＋ab≥2成立． 【答案】D类型二 用均值不等式证明不等式 [例2] 已知a 、b 、c 是正实数，求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明：∵a 、b 、c 是正实数， ∴bc a ＋acb ≥2bc a ·ac b ＝2c (当且仅当bc a ＝acb ，即a ＝b 时，取等号)； ac b ＋ab c ≥2ac b ·ab c ＝2a (当且仅当ac b ＝abc ，即b ＝c 时，取等号)； ab c ＋bc a≥2ab c ·bc a ＝2b (当且仅当bc a ＝abc ，即a ＝c 时，取等号)； 上面3个不等式相加得2·bc a ＋2·ac b ＋2·abc ≥2a ＋2b ＋2c (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)．∴bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 通法提炼1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论.[变式训练2] 已知a >0，b >0，c >0，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .证明：因为a >0，b >0，c >0， 故a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 2·b 2c 2＝2ab 2c ， b 2c 2＋c 2a 2≥2b 2c 2·c 2a 2＝2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2c 2a 2·a 2b 2＝2a 2bc .将上述三式相加，得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2abc (a ＋b ＋c )， 又a ＋b ＋c >0，故a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .[例3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：方法一：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.即1a ＋1b ＋1c ≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 方法二：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c ) ＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c ＋1＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.∴1a ＋1b ＋1c ≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 通法提炼含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a ＋b ＋c ＝1”下，1的代换一般有两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.[变式训练3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0， 同理1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8 (当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 类型三 利用均值不等式求最值[例4] (1)已知0<x <13，则x (1－3x )的最大值为( )A ．112B ．1C ．19D ．12(2)已知x >0，y >0，且满足2x ＋8y＝1，则x ＋y 的最小值为________．【解析】(1)因为0<x <13，所以1－3x >0，所以x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－3x )22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立，所以x ＝16时，x (1－3x )取得最大值112. (2)∵x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋8y ＝2＋8＋2y x ＋8x y ，x >0，y >0，∴2y x >0，8xy >0，x ＋y ≥10＋216＝18，当且仅当2y x ＝8x y 时等号成立，即y 2＝4x 2，∴y ＝2x .又2x ＋8y ＝1，∴x ＝6，y ＝12，∴当x ＝6，y ＝12时，x ＋y 有最小值18.【答案】(1)A (2)18 通法提炼求和式的最小值时应使积为定值，求积式的最大值时应使和为定值适当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，不要忽略等号成立的条件. [变式训练4] (1)已知x >－3，则x ＋1x ＋3的最小值为 .【解析】因为x >－3，所以x ＋3>0，则x ＋1x ＋3＝x ＋3＋1x ＋3－3≥2(x ＋3)·1x ＋3－3＝－1，当且仅当x ＋3＝1x ＋3，即x ＝－2时等号成立，所以x ＋1x ＋3有最小值，最小值为－1.【答案】-1(2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值为 .【解析】因为a ＋b ＝2，所以12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ， 因为a >0，b >0，故b a >0，a b >0，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2b a ·a b ＝ 2⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝1时等号成立，所以1a ＋1b的最小值为2. 【答案】2 课堂达标1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝0【解析】a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a ＝1时，等号成立． 【答案】B2．已知x <0，则x ＋1x－2有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4【解析】因为x <0，所以x ＋1x －2＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．故选C.【答案】C3．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．4．已知a >0，b >0，c >0，求证：(1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abcabc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．。
§3.2 均值不等式 教案(一)
§3.2 均值不等式 教案（一）第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程； 【教学难点】均值不等式2a b ab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入均值不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤ 用分析法证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
《均值不等式》教案2
《均值不等式》教案一、 教学目标推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理。
二、 教学重难点重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理。
难点：利用均值定理求极值。
三、教学方法引导法四、课时1课时五、教学过程均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）3. 已知x,y ∈R +,x+y=s,xy=p.①若p 为定值，那么当且仅当 时，s=x+y 有 ； ②若s 为定值，那么当且仅当 时，p=xy 有 。
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 应用一：求最值解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
(教案)均值不等式
均值不等式及其应用【第1课时】【教学过程】一、新知初探1．算术平均值与几何平均值对于正数a ，b ，常把a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，把ab 叫做a ，b 的几何平均值． 2．均值不等式（1）当a ＞0，b ＞0a ＝b 时，等号成立； （2）均值不等式的常见变形 ①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 二、初试身手1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是（ ） A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0答案：B解析：当a 2＋1＝2a ，即（a －1）2＝0，即a ＝1时“＝”成立． 2．已知a ，b ∈（0，1），且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D解析：∵a ，b ∈（0，1），∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab （a ≠b ）， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．又∵a ＋b ＞2ab （a ≠b ），∴a ＋b 最大．3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案：B解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ． 答案：③解析：根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 三、合作探究类型1：对均值不等式的理解例1：给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－－x y ＋－yx ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2． 其中正确的推导为（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案：B解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．规律方法1．均值不等式ab ≤a ＋b2 （a ＞0，b ＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a ，b 都是正数．（2）“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2． 答案：②解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2：利用均值不等式比较大小例2：（1）已知a ，b ∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2ab D ．2ab a ＋b ≥ab（2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．答案：（1）D（2）a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac解析：（1）由a ＋b2≥ab 得a ＋b ＝2ab ， ∴A 成立；∵b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，∴D 不一定成立． （2）∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ． ∴2（a 2＋b 2＋c 2）>2（ab ＋bc ＋ac ）． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ． 规律方法1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是（ ） A ．P ＞Q ＞M B ．M ＞P ＞Q C ．Q ＞M ＞P D ．M ＞Q ＞P答案：B解析：显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫由a ＋b ＞a ＋b 24也就是a ＋b 4＜1可得，所a ＋b ＞a ＋b2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．类型3：利用均值不等式证明不等式例3：已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9．思路点拨：看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2 ＝9．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1c >9． 母题探究本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8． 规律方法1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．跟踪训练3．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2． 证明：由均值不等式可得 a 4＋b 4＝（a 2）2＋（b 2）2≥2a 2b 2， 同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴（a 4＋b 4）＋（b 4＋c 4）＋（c 4＋a 4）≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b ＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7．证明：由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1（a ＞1），则a ＋2b ＝a ＋6aa －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝（a －1）＋6a －1＋7≥26＋7， 当且仅当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号． 四、课堂小结1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b 2．对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构． 五、当堂达标1．思考辨析（1）对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．（ ）（2）若a ≠0，则a ＋1a ≥2a ·1a ＝2．（ ）（3）若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22．（ ） 提示：（1）任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．（2）只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a ＝2成立．（3）因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 答案：（1）×（2）×（3）√2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a －b <0B ．0<ab <1C ．ab <a ＋b2 D ．ab >a ＋b 答案：C解析：∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．3．不等式9x －2＋（x －2）≥6（其中x ＞2）中等号成立的条件是（ ）A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5答案：C解析：由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5（x ＝－1舍去）． 4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ． 证明：∵a >0，b >0， ∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ．【第2课时】【教学过程】一、新知初探已知x ，y 都是正数．（1）若x ＋y ＝S （和为定值），则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24． （2）若xy ＝p （积为定值），则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p ． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 二、初试身手1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是（ ）A ．72B ．4C ．92D ．5 答案：C解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1． ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立． 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．2．若x >0，则x ＋2x 的最小值是________． 答案：22解析：x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 答案：100解析：∵x ，y ∈N *， ∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100． 三、合作探究类型1：利用均值不等式求最值例1：（1）已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；（2）已知0<x <12，求y ＝12x （1－2x ）的最大值．思路点拨：（1）看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；（2）要求y ＝12x （1－2x ）的最值，需要出现和为定值．解：（1）∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1．（2）∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x （1－2x ）≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116． ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116． 规律方法利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决．跟踪训练1．（1）已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；（2）已知0<x <13，求函数y ＝x （1－3x ）的最大值．解：（1）∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x（x >0）的最小值为9．（2）法一：∵0<x <13，∴1－3x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝13·3x （1－3x ）≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112． 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112．法二：∵0<x <13，∴13－x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22 ＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112． 类型2：利用均值不等式求条件最值例2：已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1．求x ＋2y 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y （x ＋2y ）＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，（x ＋2y ）min ＝18．母题探究 若把“8x ＋1y ＝1”改为“x ＋2y ＝1”，其他条件不变，求8x ＋1y 的最小值． 解：∵x ，y ∈R ＋， ∴8x ＋1y ＝（x ＋2y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y＝8＋16y x ＋x y ＋2＝10＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18．当且仅当16y x ＝xy 时取等号，结合x ＋2y ＝1，得x ＝23，y ＝16，∴当x ＝23，y ＝16时，8x ＋1y 取到最小值18． 规律方法1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项．常见形式有y ＝ax ＋bx 型和y ＝ax （b －ax ）型．跟踪训练2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b 的最小值． 解：法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·（a ＋2b ） ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·a b＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立． ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22． 法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立， ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22．类型3：利用均值不等式解决实际问题例3：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解：设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18．设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy ．法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ．∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y （6－y ）． ∵0<y <6，∴6－y >0．∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272． 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4．5．故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．规律方法在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案．跟踪训练3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x ．∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x ． 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30．当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．四、课堂小结1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．五、当堂达标1．思考辨析（1）两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．（ ）（2）若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4．（ ）（3）当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2x x －1．（ ） 提示：（1）由a ＋b ≥2ab 可知正确．（2）由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4可知正确．（3）xx －1不是常数，故错误．答案：（1）√（2）√（3）×2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为（） A ．1B ．22C ．2D ．4答案：A解析：由均值不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1． 3．已知0<x <1，则x （3－3x ）取最大值时x 的值为（） A ．12 B ．34C ．23D ．25答案：A解析：∵0<x <1，∴1－x >0，则x （3－3x ）＝3[x （1－x ）]≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 4．已知x >0，求y ＝2xx 2＋1的最大值．解：y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x．∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．。
均值不等式教学设计
均值不等式教学设计教学设计：均值不等式一、教学目标：1.知识目标：学习掌握均值不等式的概念和性质；2.能力目标：培养学生运用均值不等式解决实际问题的能力；3.情感目标：培养学生合作学习、思维技巧和创新意识。
二、教学重点：1.均值不等式的含义；2.均值不等式的性质。
三、教学难点：1.运用均值不等式解决实际问题。
四、教学过程：1.导入新课：通过一个问题导入新课，例如，“小明和小红分别参加了一次标靶射击比赛，小明的得分比小红高5环，两人的平均得分都是80环，你觉得小明和小红的各自得分有关系吗？为什么？”引起学生的思考。
2.学习均值不等式：a.引入均值不等式的定义：“对于任意给定的n个非负数，它们平方和的均值不等于平均数的平方。
”给出定义的数学表达式。
b.通过例题让学生理解均值不等式的含义。
c.引导学生发现均值不等式的性质，例如：“两个非负数的平方和的均值不小于它们的均值的平方”。
d.通过多个例题巩固学生对均值不等式的理解和应用。
3.运用均值不等式解决实际问题：a.通过实际问题，如生活中的应用场景（如购物节的折扣问题、商品的平均价格等），让学生运用均值不等式解决实际问题。
b.分组合作，让学生在小组中一起思考、讨论和解决问题，培养学生合作学习和团队意识。
c.小组展示结果，学生将自己的解决思路和结果进行展示，培养学生的表达能力和创新意识。
4.拓展应用：a.给学生提供更多的拓展应用问题，让学生再次运用均值不等式解决不同类型的问题。
b.引导学生思考均值不等式的推广和拓展，例如从两个非负数到n个非负数的情况下均值不等式是否成立。
五、教学辅助手段：1.教学工具：多媒体设备，计算器；2.教学材料：习题集、实际问题的案例。
六、教学评价方法：1.教师观察法：观察学生在小组合作中的表现和解决问题的能力。
2.学生自我评价法：让学生对自己的解题过程进行评价和总结，发现问题和不足。
七、板书设计：定义：对于任意给定的n个非负数，它们平方和的均值不等于平均数的平方。
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
均值不等式教案
均值不等式廖士哲(地点： 06文（1）时间：星期二晚第三节课)一、目的要求：系统复习均值不等式，熟练使用a 2+b 2≥2ab 和ab b a 2≥+ ，使学生领会其中的三个条件“一正”、“二定”、“三相等”.，特别是“≥”或“≤”中取“=”号的充要条件，掌握相关配凑的技巧，并培养学生的探究精神。
二、教学重点 在运用ab b a 2≥+中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.三．教学难点ab b a 2≥+的运用. 求函数表达式与最值时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。
四．教学过程（一）知识归纳：1.a 2+b 2≥2ab （a.b )R ∈和ab b a 2≥+（a.b +∈R ）当且仅当a=b 时取“=”2.均值不等式的运用条件：“一正”、“二定”、“三相等”3. 均值不等式的运用----放缩功能：和定积最大，积定和最小-4. 均值不等式的变式（二）、例题解析例1 若X<45求y=4x-2+541-x 的（配凑均值不等式成立的条件：“一正”、“二定”）例2.设=)(x f x x+150（1）求当x ∈(0 ∝ )时的最大值（2）求当x ∈[2 ∝ )时的最大值（用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，即“三相等”，当等号不成立时可用函数的单调性求最值。
）例3若x>0 y>0 且x 1+y 9=1 求x+y 的最小值（在运用ab b a 2≥+中要注意配凑“一正”、“二定”、“三相等”三个条件. 如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件的一致性。
）（三）课堂练习选做1 当x ∈(0 1 )时，求=)(x f )21(11x x --的最大值 2求y=3+x +31+x 的最小值 3求y=18-+x x （x>1）的最小值4 若 x 2 +ax+1≥0对一切x ∈(0 21］成立求a 的最小值5若a>0 b>0且ab=a+b+3 求ab 的取值范围6若x>0 y>0 且x+y=1 求12+x +12+y 最大值 （四）课堂小结：．和熟练使用不等式ab b a ab b a 22.122≥+≥+ 的条件．注意使用ab b a 2.2≥+注意取等号的条件．.3”．灵活变换“1.4 5.用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。
均值不等式教学设计教程文件
均值不等式教学设计教程文件教学设计：均值不等式一、教学目标：1.理解均值不等式的概念。
2.掌握均值不等式的证明方法。
3.运用均值不等式解决实际问题。
二、教学内容：1.均值不等式的概念介绍。
2.均值不等式的证明方法。
3.均值不等式在实际问题中的应用。
三、教学过程：1.导入新知识（5分钟）教师通过一个简单的例子引出均值不等式的概念，如：对于两个正数a和b，它们的算术平均数大于等于几何平均数。
2.理解均值不等式的概念（15分钟）教师通过具体的数值例子，让学生利用计算器计算两个数的算术平均数和几何平均数，并进行对比分析，引出均值不等式的定义。
-算术平均数：(a+b)/2-几何平均数：√(a×b)-例子：a=2，b=3，算术平均数=(2+3)/2=2.5，几何平均数=√(2×3)≈2.453.掌握均值不等式的证明方法（30分钟）3.1教师给出均值不等式的证明方法，并通过具体的例子进行步骤讲解。
3.2学生独立思考和解决一道简单的均值不等式证明题，教师进行答疑和指导。
3.3学生分组进行均值不等式证明题的小组合作学习，学生之间相互讨论和互相提问，共同探讨证明方法。
4.运用均值不等式解决实际问题（35分钟）4.1教师给出一些实际问题，如：已知a和b是正数，求证(a+b)/2≥√(a×b)，并由学生尝试解答。
4.2学生分组进行实际问题的小组合作学习，学生之间相互讨论和互相提问，共同探讨解决方法。
4.3学生展示自己的解题方法和思路，讨论不同解决方法的优劣。
5.拓展与巩固（15分钟）5.1教师布置一些思考题和拓展题，要求学生运用均值不等式解决，提高学生的综合运用能力。
5.2学生进行思考和解答，并与同伴进行交流和讨论。
四、教学评价：1.学生能够简单地描述均值不等式的概念。
2.学生能够掌握均值不等式的证明方法，并能够运用到实际问题中。
3.学生能够灵活应用均值不等式解决实际问题，并能够思考和解决拓展问题。
均值不等式教学设计
3.2均值不等式教学目标（一）知识与技能：明确均值不等式及其使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题. （二）过程与方法：通过对问题主动探究,实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程. （三）情感态度与价值观：通过问题的解决以及自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点：均值不等式的推导与证明，均值不等式的应用.教学难点：均值不等式的应用教学过程讨论 :(1)CD OC(2)文字叙述（几何意义）：(3)试用含a、b的表达式来表示上述关系注意：（1）当时，(2)a、b的取值范围探求新知：均值不等式的内容及证明均值定理：证明：（比较作差法）变形应用：（1）（2）讨论释疑：牛刀小试：=+xxx1,0则已知例1、已知0ab，求证：2≥+baab并推导出式中等号成立的条件例2、求函数)0(32)(2xxxxxf+-=的最值，以及此时x的值精炼巩固：点拨提高：总结本节课的你的收获。
值为有最则满足已知正数abbaba,1,.2=+的值此时的最小值为则函数设ttttft414)(,0.12+-=>课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知。
值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。
值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。
值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。
均值不等式第一节教案
b aab D'D A BC 课时：34课题 ：均值不等式课型新授课授课时间10.19教材地位 在高考中以小题形式出现，题目较为容易，或以大题综合教学目标1学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理2理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等3．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力教学重点 均值定理证明教学难点 等号成立条件 课时安排 1教法与学法 自主学习，讲练结合 教学过程活 动 安 排备 注 【情境导入】复习提问 不等式的基本性质【新课传授】1)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a2．定理：如果a,b是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 说明：ⅰ）我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab b a ab b a≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑上述形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用类型1证明不等式【例题讲解】若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;【练习】已知a,b 同号，求证b aa b+≥2【例题】．已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222【练习】正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc【练习】已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
均值不等式第5节教案
课时：36 课题 ：均值不等式课型新授课授课时间 10.20教材地位在高考中以小题形式出现，题目较为容易，或以大题综合教学目标均值不等式的实际应用教学重点均值定理求最值教学难点数学建模课时安排1教法与学法自主学习，讲练结合教学过程 活 动 安 排 备注【情境导入】1求2求【新课传授】3．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园。
问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大值是多4一批救灾物资随26辆汽车从某市以的速度直达灾区，已知两地公路长为400，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于，那么这批物资全部运到灾区，至少需要多少时间？并指出此时汽车的速度5．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，顶部每1造价20元。
计算：（1）仓库底面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？1某农场有毁坏的猪圈一座，留有旧墙一面长12m，现准备在该地重建猪圈，平面图形为矩形，面积为112，工程条件是：（1）修1m旧墙的费用是造1m新墙费用的；（2）拆去1m旧墙用所得材料建1m新墙的费用是造1m新墙费用的，问施工人员如何利用旧墙最节省？2某种汽车，购买时费用为10万元；每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元；汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增。
问这种汽车使用多少年报废最合算（及使用多少年的年平均费用最少）？3、全课小结作业安排板书设计教学反思。
21-22版：2.2.4 第一课时 均值不等式（创新设计）
1.算术平均值与几何平均值
(1)两个正数的算术平均值、几何平均值定义
a＋b
给定两个正数 a，b，数_2___称为 a，b 的算术平均值；数__a_b_称为 a，b 的几何
平均值.
索引
2.均值不等式 如果 a，b 都是正数，那么a＋2 b__≥__ ab，当且仅当__a_＝__b___时，等号成立.
正确的是__②__③__④__(填序号). 解析 ∵x>0，y>0，x＋y≤4，则x＋1 y≥14，①不正确； 由 2 xy≤x＋y≤4，即 xy≤2，xy≤4， ∴x1y≥14， 1xy≥12，且x1＋1y≥2 x1y≥2×21＝1，故②③④正确.
///////
【例1】 设0<a<b，则下列不等式中正确的是( B )
a＋b A.a<b< ab< 2
a＋b B.a< ab< 2 <b
a＋b C.a< ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
解析 法一 ∵0<a<b，∴a<a＋2 b<b，排除 A，C.又 ab－a＝ a( b－ a)>0，即
c 时，等号成立.
索引
角度2 有附加条件的不等式证明 【例3－2】 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)1a＋b1＋a1b≥8 证明 ∵a＋b＝1， ∴1a＋b1＋a1b＝a1＋b1＋a＋ abb＝21a＋1b， 又∵a>0，b>0， ∴1a＋b1＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ba＋ab≥2＋2＝4， ∴1a＋b1＋a1b≥8(当且仅当 a＝b＝12时等号成立).
索引
(2)1＋a11＋1b≥9. 法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋a1＝1＋a＋a b＝2＋ba，同理，1＋1b＝2＋ab， ∴1＋a11＋1b＝2＋ba2＋ba＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.
均值不等式教学设计
均值不等式教学设计均值不等式是初中数学中一个非常重要的不等式，也是解决各种数学问题的基础。
本文将从教学设计的角度，介绍一下如何有效地教授均值不等式。
一、教学目标1. 理解均值不等式的概念和原理。
2. 掌握均值不等式的应用方法和技巧。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 均值不等式的定义和性质，包括算术平均数、几何平均数、调和平均数等概念。
2. 均值不等式的基本形式和常用变形。
3. 均值不等式在各种数学问题中的应用，如三角函数、数列、几何等。
三、教学方法1. 讲授法：通过讲解均值不等式的定义、性质和应用，引导学生理解和掌握相关知识。
2. 实例法：通过实际例题，让学生运用均值不等式解决各种数学问题，加深理解和记忆。
3. 合作探究法：通过小组合作的方式，让学生自主研究和发现均值不等式的相关知识和应用，培养其数学思维能力。
四、教学步骤1. 引入：通过举例引入均值不等式的概念和应用。
2. 讲解：讲解均值不等式的定义、性质和基本形式，引导学生理解和掌握相关知识。
3. 练习：通过实例让学生运用均值不等式解决各种数学问题，加深理解和记忆。
4. 拓展：通过练习题，让学生巩固和拓展所学知识。
五、教学评价1. 考试：通过考试检测学生对均值不等式的掌握程度。
2. 作业：通过布置作业，加深学生对均值不等式的理解和记忆。
3. 课堂表现：通过观察学生的课堂表现，评价其学习态度和数学思维能力。
通过以上教学设计，我们可以有效地教授均值不等式，让学生掌握相关知识和应用方法，提高其数学思维能力和解决问题的能力。
高中数学新课程均值不等式单元的教学设计
高中数学新课程 "均值不等式 "单元的教学设计摘要:纵观历年以来的高考题目，均值不等式是一个重要的考察内容，贯穿于各种数学考试题型中。
运用均值不等式可以灵活的解决判断大小、求最值以及取值范围等问题，同时不等式的知识点也可以对今后的数学学习产生影响，学好并且利用好均值不等式的知识，可以为学生提供多样的数学解决方法。
高中教师要重视均值不等式的教学，认真做好教学设计，加深学生对于均值不等式的理解。
关键词:高中数学；均值不等式；教学设计引言:高中生在学习均值不等式的时候会面临各种各样的困难，不能深刻把握不等式应用的深层含义，在传统的数学教学模式下，均值不等式的重点问题很难把握，数学典型例题比较少，学生的思维很容易被固化。
因此为了实行新式教育，教师要做好备课工作，积极准备均值不等式教学设计任务，完成高质量的教学设计工作，从课程与教材分析、教学计划、教学评价、案例分析与案例示范等方面出发，指出教师在进行高中数学均值不等式设计时需要重点考虑的问题。
一、关于均值不等式的数学文化要想学好均值不等式，教师就要先带领学生深入了解一下关于均值不等式的数学文化。
均值不等式是一个比较传统的数学知识点，其最大的优势就在于均值不等式可以应用在生产实际当中。
比如在日常生活中经常出现的土地利用、机械制造以及广告投资等领域中经常可以看到均值不等式知识的应用，不论是生活中的大问题还是生活中的小问题都可以看到均值不等式的身影，可以说均值不等式知识点的发现、验证和实际应用是数学文化的精彩部分，对于人类来说也是一笔宝贵的财富。
另外从美学层面上来讲，均值不等式与数学几何图形的完美结合也体现了数学学科的美。
众所周知，数学问题可以同时有多种解决方法和解决方式，均值不等式知识点事数学学科基础知识的一部分，灵活应用均值不等式解决数学问题，可以开阔学生的视野，拓宽学生的解题思路，捋清学生的解题思路。
有的时候为了节省解题时间，省去复杂的解题步骤，学生完全可以应用均值不等式知识点找出正确的答案，又快又准，很好的提高了学生的数学成绩。
均值不等式教案
均值不等式教案一、教学目标1. 知识目标：(1) 了解均值不等式的概念和性质；(2) 掌握均值不等式的推导过程；(3) 能够应用均值不等式解决实际问题。
2. 能力目标：(1) 培养学生综合运用不等式、代数运算和图形分析等数学方法解决问题的能力；(2) 培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
3. 情感目标：(1) 培养学生的发现问题、探究问题和解决问题的兴趣；(2) 提高学生的数学思维能力和抽象思维能力。
二、教学重点1. 掌握均值不等式的概念和性质；2. 理解均值不等式的推导过程；3. 能够灵活运用均值不等式解决实际问题。
三、教学难点1. 掌握均值不等式的推导过程；2. 能够灵活运用均值不等式解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课教师通过提问和引入问题，激发学生的学习兴趣：(1) 算术平均数和几何平均数之间有什么关系？(2) 两个正数的算术平均数是否一定大于等于它们的几何平均数？2. 学习新知(1) 学习均值不等式的定义和性质。
(2) 学习根据均值不等式的性质进行推导和运用。
3. 巩固练习(1) 练习通过均值不等式证明一些不等式关系。
4. 拓展应用(1) 通过应用实际问题，将均值不等式与实际问题相结合，培养学生的实际问题解决能力。
五、教学总结1. 对本节课的学习内容进行总结，强调均值不等式在解决实际问题中的重要作用。
2. 对同学们的学习态度和学习效果进行评价，鼓励学生参与课堂活动，积极思考，提高数学应用能力。
六、课后作业1. 完成课堂上的练习题；2. 自主寻找一些实际问题，并用均值不等式解决问题；3. 预习下节课内容。
均值不等式教案
均值不等式教案教案标题：均值不等式教案教案目标：1. 了解均值不等式的概念和应用。
2. 掌握均值不等式的证明方法。
3. 能够灵活运用均值不等式解决实际问题。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾算术平均数和几何平均数的概念和计算方法。
2. 提问：在什么情况下，两个数的算术平均数大于等于几何平均数？请举例说明。
讲解（15分钟）：1. 介绍均值不等式的定义：对于任意非负实数 a 和 b，有以下不等式成立：√(ab) ≤ (a+b)/2。
2. 解释均值不等式的意义和应用：均值不等式可以帮助我们确定两个数的大小关系，以及在一些特定情况下的应用。
3. 讲解均值不等式的证明方法：使用平方差公式和二次函数的性质，可以证明均值不等式的成立。
示范（15分钟）：1. 给出一个例子，如求证：对于任意正实数 a 和 b，有以下不等式成立：√(ab) ≤ (a+b)/2。
2. 使用平方差公式展开并化简左右两边，然后应用二次函数的性质进行证明。
3. 引导学生一起参与证明过程，让他们理解证明的思路和方法。
练习（15分钟）：1. 提供一些练习题，要求学生利用均值不等式解决问题。
2. 练习题可以包括求证不等式、比较大小关系、求最值等多种类型的问题。
3. 鼓励学生在小组或个人中完成练习，并相互讨论和交流解题思路。
总结（5分钟）：1. 总结均值不等式的定义和应用。
2. 强调均值不等式在解决实际问题中的重要性。
3. 鼓励学生在日常学习和生活中运用均值不等式。
作业：布置一些练习题作为作业，要求学生运用均值不等式解决问题，并写出解题过程和思路。
拓展：1. 引导学生探究其他类型的均值不等式，如柯西-施瓦茨不等式、夹逼准则等。
2. 鼓励学生在数学竞赛或研究中应用均值不等式，拓展他们的数学思维和解决问题的能力。
均值不等式教案
均值不等式教案教案：均值不等式教学目标：1. 了解均值不等式的概念和基本原理。
2. 能够正确使用均值不等式解决相关的数学问题。
教学内容：1. 均值不等式的定义和推导过程。
2. 应用均值不等式解决实际问题。
教学步骤：Step 1：导入新知识通过例子引出均值不等式的概念，例如：（1）已知两个正数a和b，它们之间的大小关系是怎样的？（2）如果a和b分别是两个正数的平均值和几何平均值，它们之间的大小关系是怎样的？Step 2：讲解均值不等式（1）介绍算术平均数和几何平均数的概念和计算公式。
（2）推导算术平均数和几何平均数的大小关系，得出均值不等式的结论。
Step 3：应用均值不等式解决问题通过例题演示如何使用均值不等式解决数学问题，并进行解题讲解。
Step 4：练习与巩固布置一些练习题，让学生独立解答，并进行解题讲解和讨论。
Step 5：拓展与应用讨论均值不等式在其他数学领域的应用，如不等式证明、优化问题等，并进行相关例题讲解。
Step 6：总结与反思对本节课的内容进行总结，并让学生思考如何运用均值不等式解决其他数学问题。
教学资源准备：1. 教材、课件或黑板。
2. 学生练习题。
教学评价方法：1. 学生课堂参与与合作情况。
2. 学生完成的练习题，并对错误进行及时纠正。
3. 学生对均值不等式的理解和应用能力的评估。
教学延伸：1. 均值不等式的证明和推广。
2. 更复杂的均值不等式应用问题的解决方法和技巧。
教学互动：1. 在教学过程中，可以适时进行小组讨论和合作，让学生们一起思考如何解决数学问题。
2. 鼓励学生提问和回答问题，促进课堂互动和学习效果。
《均值不等式》优秀教案
【例题】【例1】：（1）已知函数4(0)y x x x=+>，当x =_________时，min y =_________； （2）(8)y x x =-(08)x <<的最大值是_____________（3）(52)y x x =-5(0)2x <<的最大值是_____________【例2】：求函数223()(0)x x f x x x-+-=>的最大值以及此时x 的值【例3】：1 已知矩形的面积为100，问这个矩形的长、宽分别为多少时，矩形的周长最短，其最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36，问这个矩形的长、宽分别为多少时，矩形的面积最大？最大 面积是多少？____________________________________________________________________________【练习题1】1 求函数223()(0)x x f x x x-+=>的最小值及取最小值时x 的值2 求函数42(0)y x x x=-->的最大值以及相应的x 的值3 求函数24()(0)2x f x x x =≠+的最大值以及相应的x 的值4 求函数13(32)(21)()22y x x x =-+-<<的最大值及相应的x 的值5 已知103x <<，求函数(13)y x x =-的最大值6 求函数3(2)2y x x x =+>-的最小值以及相应的x 的值 【练习题2】1 若a 、+∈R b ,且3=+b a , 求b a +⋅+11的最大值2 已知a ，b R +∈，且322a b +=，求ab 的最大值以及相应的a 和b 的值3 点),(y x P 在直线012=++y x 上移动, 求y x z 42+=的最小值4 已知a ，b R +∈，且1a b +=，求11a b+的最小值5 求函数24(1)1x x y x x -+=>-的最小值及相应的x 的值6 已知0x >，0y >，2x y xy ++=，求x y +的最小值7 已知2x >，4y >，32xy =，求22log log 24x y ⋅的最大值以及相应的x 和y 的值8 已知实数y a a x ,,,211成正项等差数列, y b b x ,,,211成正项等比数列, 求21221)(b b a a + 的最小值9 已知0>x , 0>y , 12=+y x , 且)0(1>+a yx a 的最小值是4，求a 的值 【练习题3】1 已知直角三角形的面积为50，问两直角边各位多少时，它们的和最小？这个最小值是多少？2. 一段长为l m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？求出这个最大值3 求直径为d 的圆内接矩形的最大面积4 用铁皮做一个体积为503cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长、宽各为多少时，用料最少？5 要建一间地面面积为252m，墙高为3m的长方体形的简易工棚，已知工棚屋顶每12m的造价为500元，墙m的造价为400元问怎样设计地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？壁每12。
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教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
均值不等式
沈阳市第三十六中学连奎奎
教材说明人教B版普通高中课程标准实验教科书（必修五）
课题 3.2 均值不等式(一)
课型新授课
课时2课时
学情分析
（一）从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题. （二）从学生素质层面看：所任班级的学生已经具有较好的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索、发现问题和解决问题，增强数学应用意识，
提高分析问题、解决问题的能力.他们更需要充满活力与创造发现的课堂. 教学内容分析
本节课《均值不等式》是《数学必修五（人教B版）》第三章第二节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。
有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用.
教学目标
依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，确定本节课的教学目标位：（一）知识与技能：通过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问
题、总结问题，论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题. （二）过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力. （三）情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦.
教学重点
依据新课程标准和教材知识内容的特点，确定均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件为教学重点.
教学难点
由于学生对知识的迁移应用能力一般，因此均值定理的三个条件作为本节的教学难点.
教学策略选择与设计
本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力.在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力.
教学资源与手段
学案、教科书.以学案提纲辅助多媒体课件，创设问题情境，激发学习兴趣，
提高课堂效率.小组讨论，培养团队合作精神. 教学过程设计
教学反思
对一题多解的反思
同一道数学题，从不同的角度思考可得到多种解题思路，广泛寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展观察、想象、探索、思维等能力. 解需有法，解无定法，大法必依，小法必活. 本节课在一题多解上学生讨论的非常积极，给出了很多可行的，还有不太完善的方法.这足以说明他们真的动脑思考了，培养了解决问题的能力.解需有法，解无定法，大法必依，小法必活.。