自然资源约束模型

4.3.1 基本的自然资源约束模型
（1）不可再生自然资源约束下的新古典经济增长模型
模型假设：为了讨论方便，我们假定劳动力为常数并标准化为1。

设C S K Y ,,,分别为t 时刻国民经济系统的人均产出、人均资本存量、人均不可再生自然资源存量、人均消费。

为了实现经济可持续增长的目标，中央计划者将决定把一定量的不可再生自然资源在t 时刻投入生产（在此我们假设不可再生自然资源的生产始终能够满足经济生产对其的需求），设t 时刻投入生产的不可再生自然资源量为E ，其存量S 使随时间t 而变化的。

假设不可再生自然资源存量的自然增长速率或再生速率为σ，则t 时刻不可再生自然资源存量的变化率满足如下方程：
E S S -=σ*
（4.3.1） 将不可再生自然资源作为生产要素引入柯布——道格拉斯生产函数，且规模报酬不变，则有
αα-==1)(),(E AK S K F Y （4.3.2） 式（4.3.2）中，A>0为常数，代表一定时期的生产技术水平；K 为人均资本存量，E 为人均不可再生自然资源投入，αα-1，分别为资本、不可再生自然资源的产出弹性系数，10<<α。

这里，忽略了技术进步。

则K 满足如下方程
K C E AK K C Y K δδαα--=--=-1*
（4.3.3） 式（4.3.3）中，C 为人均消费，δ为资本折旧率，*K 表示人均资本变化率。

进一步假设不可再生自然资源投入对经济产出是必须的，即若0=E ，则0=Y ；若0>Y ，则有0>E 。

这一假设的合理性从经济学角度来看是明显的，即经济学中所谓的“没有免费的午餐”。

不可再生自然资源与经济产出之间满足经济学关于生产要素的基本假设，即F 是E 的增函数且边际生产力递减1[87]。

在保证经济可持续增长的前提下，不可再生自然资源可持续利用为：长期发展过程中，不可再生自然资源存量S 具有非负增长率，或者t 时刻投入生产的不可再生自然资源量E 具有非负增长率。

不可再生自然资源存量非负增长意味着不可再生自然资源存量随时间保持不变（零增长）或随时间而增加（正增长），t 时刻投入生产的不可再生自然资源量E 不超过不可再生自然资源再生量S δ，即S E δ≤。

1 田立新.能源经济系统分析[M],北京：社会科学文献出版社,2005年版,第165页.
而E 具有负增长含义时，投入生产的不可再生自然资源量随时间而减少，即随着经济发展和技术进步，经济对不可再生自然资源的依赖性逐渐减弱。

设消费者的效用函数为C c U ln )(=，不同时刻的效用贴现率为常数ρ。

在以上假设之下，中央计划者面临的问题是在式（4.3.1）和式（4.3.3）约束下，选择人均消费C 和t 时刻不可再生自然资源投入量E ，以最大化无限时域中消费者经贴现后的总效用。

即有以下最优化问题：
⎰∞
-⋅0
ln max dt e C t ρ
..t s
K C E AK K δαα--=-1* E S S -=σ*
现代经济增长理论的研究发现，多数国家的经济增长在长期过程中具有稳态的特点，即在长期增长中所有的人均变量的增长率均为常数。

2[88]因此，下面我们将着重探讨长期稳态增长的情形。

为此，针对上述优化问题，构造Hamilton 函数为
)()(ln 211E S K C E AK C J -+--+=-δλδλαα
式中21λλ和分别为t 时刻资本和不可再生自然资源的影子价格。

在上述问题中，C 和E 为控制变量，K 和S 为状态变量。

由最优化条件有： 110λ=⇒=-C J C （4.3.4） 21)1(0λαλαα=-⇒=-E AK J E （4.3.5） δλαλρλρλλαα111111*
1+-=-=--E K A J K （4.3.6）
σλρλρλλ222*2-=-=S J （4.3.7）
由于在稳态增长下，各人均变量的增长率为常数，因此，K C N E AK /,11=--αα为常数，对其取对数并求导（记变量x 的增长率为x γ）。

则有：
C γγλ-=1
（4.3.8） σργλ-=2
（4.3.9） 0)1()1(=-+-E K γαγα （4.3.10）
C K γγ= （4.3.11） 2
1λλγαγαγγ=-++E K （4.3.12）
2 (美)罗伯特J ·巴罗,哈维尔·萨拉伊马丁著,何晖,刘明兴译.经济增长[M],北京:中国社会科学出版社,2000.
由式（4.3.8）～（4.3.12）可得
σργγγγλ-=-===2
E C K （4.3.13） 实现经济可持续发展的必要条件之一是经济可持续增长，故在长期发展过程中，要求有0>=C K γγ，即人均资本和消费应有正的增长。

从而由式（4.3.13）知0>E γ。

即在以上模型假设下，实现经济可持续增长要以相应的不可再生自然资源投入量的增加来支撑。

但是，在经济发展过程中，必须考虑不可再生自然资源存量S 的变化趋势，由不可再生自然资源存量的动态变化方程可得
S E S /-=σγ （4.3.14） 其中，E/S 可以理解为t 时刻投入生产的不可再生自然资源的比例。

由于0>E γ。

即不可再生自然资源投入量具有正的增长趋势，必然导致不可再生自然资源存量的负增长，即0<S γ。

这与所定义的不可再生自然资源可持续利用的要求相悖。

产生这一矛盾的根源是在上述模型中，没有考虑技术进步。

从经济学角度解释如下：如果不依赖于技术进步，为了实现经济的可持续增长，必然以不可再生自然资源的大量消耗为代价。

或者说，没有技术进步，经济增长和发展必然属于“粗放型”。

（2）不可再生自然资源约束下的Romer 经济增长模型
为了克服上述模型中的矛盾，下面考察不可再生自然资源约束下的内生经济增长模型。

我们考虑一个存在自然资源（其实是可耗竭的自然资源，即类似于一个“纯资源耗尽型”的glob 物质，其各种边际成本随着存量的减少而不变化）的经济体系，简单起见，假设其为CD 形式，则生产函数的典型形式可以写为：
βαβα--=1)]()([)()()(t L t A t R T K t Y
100<>>βαβα＋，，
R 表示资源。

根据Solow 经济增长模型基本假设，我们有：
)()(),()();
()()(t gA t A t nL t L t K t sY t K ==-=δ
其中，δ和s 分别为储蓄率和资本折旧率，
n 和g 分别为劳动和技术的增长率。

因为假设了一种可再生资源，其再生率为b <<εε0，，资源消耗率为b ，则资
源消耗率为)(b -ε，所以其随时间t 的变化率为：
,0),()()(<---=b t R b t R εε
由于引入了资源，因此我们要考察在存在资源约束的情况下，经济增长是否平稳：
根据公式，资本增长率为：
δ-=)
()()()(t K t Y s t K t K 根据假设，如果要保证K 的增长率不变，则Y/K 不变，即Y 和K 的增长率相等。

基于这个条件，我们对公式两边取对数：
)]()()[1()()()(t LnL t LnA t LnR t LnK t LnY +--++=βαβα
对两边同时取对时间t 的导数：
)]()()[1()()()(t g t g t g t g t g L A R K Y +--++=βαβα
根据上面的假设，可变为：
])[1()()()(n g b t g t g K Y +--+--=βαεβα
而)()(t g a t g K Y 和必须相等，则：
α
ββεβα--++--=1])[1(b n g g bgp y
分析：对经济增长总量而言，自然资源对经济增长存在阻碍，其中，自然资源对经济增长的阻碍力量大小为αβ-1b
；但是，技术进步、人口增长和该资源再生率却同时对经济增长起到了推动作用，其推动力量分别为αβεαβααβα－和11)1(,1)1(------n g ，增长的状况取决于两种不同力量的大小对比。

正如Lucas （1995）对工业革命定义的那样，考察经济增长更有意义的变量是人均产出的增长率。

因此，接下来我们考虑人均产出增长情况。

可以得出：
α
ββεβααεββα-+-+--=---+--=-=1)()1(1)(])[1(/n b g b n g g g g bgp L bgp y bgp L y 上式告诉我们，人均产出是一个不确定的值，可以为正也可以为负。

这个含义是：由于受到自然资源和人口增长的限制，必然会导致人均产出增
长的下降，自然资源和人口增长对经济增长存在阻碍。

其中，自然资源对经济增长的阻碍力量大小为αβ-1b ，人口增长对经济增长的阻碍作用大小为α
β-1n ；但是，技术进步和资源再生能力却同时对经济增长起到了推动作用，其推动力量分别为αβα---1)1(g 和α
βε-1，增长的状况取决于两者的力量大小。