线性规划模型及其举例

线性规划模型及其举例
摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。

关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解
在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。

如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。

一.背景介绍
如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式：
1()n
i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1)
若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为：
OPT. 1()n
j j j f x c x ==∑
ST. 1
n
ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2)
0,j x ≥ 1,2,,j n =…
（2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。

将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。

1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数
大小的变量。

决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。

2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都应考虑是否符合实际，有没有可行性，因而要构造基于科学预测的综合性约束（或限定）条件。

3．目标函数（Objective Function,OF ）人们有目的活动，总是希望获得最满意的目标值，该目标值可以表达成决策变量的一个函数，即目标函数。

根据需要，目标函数可以取极大化，极小化两种类型，即求最优解。

4．影子价格（Shadow Price ），用线性规划方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。

用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为资源的经济评价，表现为影子价格。

二．建模的基本步骤
1. 确定目标函数（按照模型所需要解决的问题，用数学函数来描述目标）
2. 确定决策变量（目标的实现与那些变量有关，这里有主要变量和次要变量，在建模的初期可以进考虑主要变量对目标的影响，随后可以逐步增加变量的个数）
3. 确定约束条件（这是优化模型建模过程中最重要，也是最难的，在很多情况下，是否能够得到最优解，最优解是否合理，都是取决于约束条件的建立）
4. 模型求解（使用数学工具或数学软件求解）
5. 结果分析（分析结果的合理性、稳定性、敏感程度等） 三．线性规划的一般模型
一般地，假设线性规划数学模型，有m 个约束，有n 个决策变量
j x （1,2,,j n =…），目标函数的变量系数用j c 表示，j c 称为价值系数。

约束条件的变量系数用ij a 表
示，ij a 称为工艺系数。

约束条件右端的常数用i b 表示，i b 称为资源限量。

则线性规划数学模型的一般表达式可写成：
1
max(min)n
j j j z c x ==∑
S ．T. 1
(,)n
ij j i j a x b =≤≥=∑, 1,2,,i m =…
0j x ≥, 1,2,,j n =… 四．线性规划模型处理
1. 图解法
就是在平面直角坐标系上画出各个约束条件所容许变化的范围，通过图上作业法求到最优解和目标函数极值。

图解法只适用于求解两个决策变量的Lp （线性规划）问题。

2. 单纯形法
01 给定一般的Lp 问题：{min |,0}z cx Ax b x =≤≥。

02 建立Lp 问题的典式： {min |0;,0}N N B B N B N B z c c c x Nx Bx b x x =++=≥≥。

03 计算检验数：1N N B c c B N σ-=-。

利用N σ进行基可行解B x 的最优性检验（i ）0N σ≤，人
工变量0R =，判定0B x ≥，0N x =为最优解，输出最优解*[,]T B N X x x =，*z 。

（ii ）N σ>0 (至少有一个k σ>0，且
k p >0)转下步。

04 选择进基变量:max{,k N N x σσ>0}=k σ，k 列的k x 为进基变量。

05 选择退基变量:min{,i
l i i ik
b x a θθ=
>0}=l θ,l 行的l B x x ≤退基。

06 确定主元lk a >0，根据主元进行行换基：01B B ∇
−−→（∇意为初等变换）。

07利用新基B 对N ，b ，z 进行基变换：1N B N -=；1B b B b x -==，B B z c x =再转第三步。

3. 对偶单纯形法（为求影子价格作准备）
01 确定0B 为Lp 问题的一个初始基，其对应的变量为0x 。

02 判断 0x 的可行性：若0
10B
x B b -=≥，0N σ≤，则0x 是Lp 问题的最优解，这时计算停止，输出最优解。

否则进行第03步。

03 若存在(1,2,
,)r r i m ∈=，使得1()r B b -<0，且在单纯形表中与1()r B b -对应行的非基变量
的系数'
rj a 全部非负，则Lp 问题无可行解；否则进行第04步。

04
确定基变量：令111()max{|()|,()l r r B b B b B b ---=<0}，对应的基变量为l x 为出基变量。

O A
B
C
D
x1
x2
3
2
1
1
2
3
x3=0
x4=0
x1=0
x2=0
5确定进基变量：计算'
'
min{|j
k lj
lj
a
a
σ
θ=<0}=
'
k
lk
a
σ。

选择
k
θ对应的非基变量
k
x为进基变量。

l行k列交叉的元素'
lk
a为主元。

6以'
lk
a为主元，按单纯形法换基迭代运算，得到一个新的基可行解，仍记为0x，返回到02五．线性规划举例
例1．（图形解）
12
12
2
12
max2
3
.1
,0
z x x
x x
st x
x x
=+
+≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪≥
⎩
这个问题的图解如图1所示。

引进松弛变量x
3
，x
4
0，问题变成为标准形式
max z=x
1
+2x
2
.x
1
+x
2
+x
3
=3(1)
x
2
+x
4
=1(2)
x
1
x
2
x
3
x
4
例2.求线性规划 (对偶单纯形求解)
1234123412341234
min 2356232233,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x ω=++++++≥⎧⎪
-+-≥⎨⎪≥⎩
引入多余变量x 5、x 6把约束化为等式，然后再给两边同乘以（-1）后约束变为：
-x 1 -2x 2 -3x 3 -x 4 + x 5 =-2 -2x 1 +x 2 - x 3 + 3x 4 +x 6 =-3
得对偶单纯形表：
此时基本解为X=（0，0，0，0，-2，-3），不可行。

所以进行第二步。

因为min{-3，-2}=-3，所以x 6为换出变量；又因为min{-2/-2 ，-5/-1}=1，所以x 1为换入变量，就是要将x 1下的系数列向量由
变换成
形式（和以前学过的单纯形法中的线性变换完
全一致）。

做行线性变换， 行（2）×（-1/2）；行（1）+行（2）后得出另一个基本解为：X=（3/2，0，0，0，-1/2）此时单纯形表如下：
C j → 2 3 5 6 0 0 C B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 0 x 5 -2 -1 -2 -3 -1 1 0 0
x 6 -3 -2
1 -1 3 0 1 Z j 0 0 0 0 0 0 Z j -C j
-2
-3
-5
-6
0 0
仍然不是可行解，还
要继续求解。

因为-1/2 < 0,所以x
5为换出变量；由因为
4491
min,,,
5551
2222
⎧⎫
⎪⎪
----
⎨⎬
⎪⎪
----
⎩⎭
=8/5，所以x
2
和x
3都可以作为换入变量，任选其中一个x
2
，做线性变换：
行（1）×（-2/5）；行（2）+行（1）×（1/2）
得到一个基本解为X=（8/5，1/5，0，0，0），因解是可行的，所以是满足最优检验下的基本可行解因而也是最优解。

此时单纯形表如下
为了实现缩短作出最优方案的时间，运用MATLAB编程，运用计算机模拟计算处理。

MATLAB是MATrix LABoratory的缩写，它将计算可视化和编程功能集成在非常便于使用的环境中，是一个交互式的，以距阵计算为基础的科学和工程计算软件。

MATLAB的特点可以简要地归纳如下：编程效率高，计算功能强，使用简便，易于扩充等特点。

参考文献：
1. 沈继红等《数学建模》哈尔滨工程大学出版社 2003年
2. 胡富昌《线性规划》中国人民大学出版社 2004年
3. 谷源盛《运筹学》重庆大学出版社 2003年
4. 姜启源等《数学模型》高等教育出版社 2005年。