2019届山东省烟台市高三数学(理科)一模试题

2019届山东省烟台市高三数学（理科）一模试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i

2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4} 3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）

A．B．C．D．

4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）

A．充分不必要条件B．充要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）

A．B．C．D．

6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A．8B．16C．32D．64

7．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．

8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不

容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）

A．B．C．1+2πD．

9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）

A．B．

C．D．

10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）

A．36πB．64πC．100πD．144π

11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）

A．B．

C．D．

12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）

A．12B．C．24D．

二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为．

14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．

15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC周长的最大值为．

16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．

17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：

（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．

18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC折起，使得平面ABC⊥平面ACD．

（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：

（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．

19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．

20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读

权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；

（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．

（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．

利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．

（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．

参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝

0.7734．

21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）