2013届人教A版理科数学课时试题及解析(12)变化率与导数、导数的运算

实用文档

课时作业(十二) [第12讲 变化率与导数、导数的运算]

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身

1． 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )

A ．4x －y －3＝0

B ．x ＋4y －5＝0

C ．4x －y ＋3＝0

D ．x ＋4y ＋3＝0

2． 曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )

A ．e 2

B ．2e 2

C ．4e 2 D.e 22

3．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )

A ．－15

B ．0 C.15

D ．5 4． 若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为

( )

A ．1 B. 2 C.22 D.3

实用文档

能力提升

5．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻

t ＝2时的瞬时速度为( )

A.194

B.174

C.154

D.134

6．y ＝cos x 1－x

的导数是( ) A.cos x ＋sin x ＋x sin x 1－x 2 B.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2

C.cos x －sin x ＋x sin x 1－x

D.cos x ＋sin x －x sin x 1－x 2

7． 函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角的度数为________．

8． 已知定义域为D 的函数f (x )，如果对任意x 1，x 2∈D ，存在正数K ，都有∣f (x 1)－f (x 2)∣≤K ∣x 1－x 2∣成立，那么称函数f (x )是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：

①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋π4；③f (x )＝x －1；④f (x )＝lg(2x 2＋1)，其中是“倍约束函数”的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

实用文档

9．曲线y ＝5x 3在点P (1,1)处的切线方程为( )

A ．3x －5y ＋2＝0

B ．y －x ＝0

C ．5y －3x ＝0

D ．3x ＋5y －8＝0

10．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t s 内列车前进的距离为s ＝27t －0.45t 2(单位：m)，则列车刹车后________ s 车停下来，期间列车前进了________ m.

11．如图K12－1所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.

图K12－1 12．一质点在x 轴上运动，其运动规律为x ＝e －2t sin(ωt ＋φ)(ω，φ为常数)，则t ＝12

时质点运动的速度v ＝________. 13．下列命题：

①若f (x )存在导函数，则f ′(2x )＝[f (2x )]′；

实用文档

②若函数h (x )＝cos 4x －sin 4x ，则h ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫π12＝0； ③若函数g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)…(x －2 010)(x －2 011)，则g ′(2 011)＝2 010！；

④若三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则“a ＋b ＋c ＝0”是“f (x )有极值点”的充要条件．

其中假命题为________．

14．(10分)设函数f (x )＝ax ＋1

x ＋b (a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线

方程为y ＝3.

(1)求f (x )的解析式；

(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

15．(13分) 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、

实用文档

b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .

(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；

(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1

难点突破

16．(12分)已知抛物线C ：y ＝x 2＋4x ＋72

，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 处的法线．

(1)若C 在点M 的法线的斜率为－12

，求点M 的坐标(x 0，y 0)； (2)设P (－2，a )为C 的对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．

实用文档

课时作业(十二)

【基础热身】

1．A [解析] y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y －1＝4(x －1)，整理得4x －y －3＝0.

2．D [解析] ∵点(2，e 2)在曲线上，

∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x |x ＝2＝e 2，

∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0.

与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，

∴S ＝12×1×e 2＝e 22

. 3．B [解析] 因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B.

4．B [解析] 曲线上的点P 到直线的最短距离，就是与直线y ＝x －2平行且与y ＝x 2－ln x 相切的直线上的切点到直线y ＝x －2的距离．

过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，