2013届人教A版理科数学课时试题及解析(12)变化率与导数、导数的运算

实用文档课时作业(十二) [第12讲 变化率与导数、导数的运算][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝02． 曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A ．e 2B ．2e 2C ．4e 2 D.e 223．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5 4． 若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22 D.3实用文档能力提升5．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.1346．y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.cos x ＋sin x ＋x sin x 1－x 2 B.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2C.cos x －sin x ＋x sin x 1－xD.cos x ＋sin x －x sin x 1－x 27． 函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角的度数为________．8． 已知定义域为D 的函数f (x )，如果对任意x 1，x 2∈D ，存在正数K ，都有∣f (x 1)－f (x 2)∣≤K ∣x 1－x 2∣成立，那么称函数f (x )是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4；③f (x )＝x －1；④f (x )＝lg(2x 2＋1)，其中是“倍约束函数”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4实用文档9．曲线y ＝5x 3在点P (1,1)处的切线方程为( )A ．3x －5y ＋2＝0B ．y －x ＝0C ．5y －3x ＝0D ．3x ＋5y －8＝010．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t s 内列车前进的距离为s ＝27t －0.45t 2(单位：m)，则列车刹车后________ s 车停下来，期间列车前进了________ m.11．如图K12－1所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.图K12－1 12．一质点在x 轴上运动，其运动规律为x ＝e －2t sin(ωt ＋φ)(ω，φ为常数)，则t ＝12时质点运动的速度v ＝________. 13．下列命题：①若f (x )存在导函数，则f ′(2x )＝[f (2x )]′；实用文档②若函数h (x )＝cos 4x －sin 4x ，则h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0； ③若函数g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)…(x －2 010)(x －2 011)，则g ′(2 011)＝2 010！；④若三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则“a ＋b ＋c ＝0”是“f (x )有极值点”的充要条件．其中假命题为________．14．(10分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b (a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．15．(13分) 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、实用文档b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．难点突破16．(12分)已知抛物线C ：y ＝x 2＋4x ＋72，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 处的法线．(1)若C 在点M 的法线的斜率为－12，求点M 的坐标(x 0，y 0)； (2)设P (－2，a )为C 的对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．实用文档课时作业(十二)【基础热身】1．A [解析] y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y －1＝4(x －1)，整理得4x －y －3＝0.2．D [解析] ∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x |x ＝2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S ＝12×1×e 2＝e 22. 3．B [解析] 因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B.4．B [解析] 曲线上的点P 到直线的最短距离，就是与直线y ＝x －2平行且与y ＝x 2－ln x 相切的直线上的切点到直线y ＝x －2的距离．过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，实用文档则k ＝2x 0－1x 0， ∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.【能力提升】5．D [解析] ∵s (t )＝t 2＋3t ，∴s ′(t )＝2t －3t2，∴机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为s ′(2)＝4－34＝134. 6．B [解析] y ′＝－sin x 1－x －－1cos x 1－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2. 7.π4[解析] 由题意得f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x ＋e x (－sin x )＝e x (cos x －sin x )，则函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝e 0＝1，故切线的倾斜角为π4. 8．C [解析] 由|f (x 1)－f (x 2)|≤K |x 1－x 2|，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x 1－f x 2x 1－x 2≤K ，即曲线f (x )的切线的斜率的绝对值有最大值．对于①，f ′(x )＝2，符合定义；对于②，|f ′(x )|＝实用文档⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，符合定义；对于③，f ′(x )＝12x －1，不存在最大值；对于④，|f ′(x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 2x 2＋1ln10≤2ln10，符合定义．故选C. 9．A [解析] y ′＝35x －25，当x ＝1时，k ＝35，由点斜式得直线方程为y －1＝35(x －1)，即3x －5y ＋2＝0，故选A.10．30 405 [解析] s ′(t )＝27－0.9t ，由瞬时速度v (t )＝s ′(t )＝0得t ＝30，期间列车前进了s (30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．11．2 [解析] 当x ＝5时，y ＝－x ＋8＝－5＋8＝3，因此f (5)＝3，又切线斜率为－1，即f ′(5)＝－1，故f (5)＋f ′(5)＝2.12．－1e ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2＋φ－ω·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2＋φ [解析] v ＝x ′＝－2e －2t ·sin (ωt ＋φ)＋e －2t ·ω·cos (ωt ＋φ)，∴当t ＝12时，v ＝x ′⎪⎪⎪ t ＝12＝－1e 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2＋φ－ω·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2＋φ. 13．①②④ [解析] [f (2x )]′＝f ′(2x )(2x )′＝2f ′(2x )，①错误；实用文档h ′(x )＝4cos 3x (－sin x )－4sin 3x cos x ＝－4sin x cos x ＝－2sin2x ，则h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝－1，②错；f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，Δ＝4b 2－12ac ＝4(b 2－3ac )，只需b 2－3ac >0即可，a ＋b ＋c ＝0是b 2－3ac >0的充分不必要条件，④错．14．[解答] (1)f ′(x )＝a －1x ＋b 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －12＋b 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94，b ＝－83. 因a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数． 所以函数g (x )＝x ＋1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x －1＋1x －1＋1.可知，函数g (x )的图象按向量a ＝(1,1)平移，即得到函数f (x )的图象，实用文档 故函数f (x )的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1. 由f ′(x 0)＝1－1x 0－12知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x 0－12(x －x 0)． 令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1. 令y ＝x 得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 交点为(2x 0－1,2x 0－1)．直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以，所围三角形的面积为定值2.15．[解答] (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5；切线l 的方程为：x －y －2＝0.实用文档(2)由(1)得f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x ，依题意得：方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相等的根0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0⇒m >－14； 又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时， f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，即0<－m ⇒m <0，由韦达定理知：x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0；又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0，于是当m <0时对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上：m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 【难点突破】16．[解答] (1)函数y ＝x 2＋4x ＋72的导数y ′＝2x ＋4. C 上点(x 0，y 0)处切线的斜率k 0＝2x 0＋4，因为过点(x 0，y 0)的法线斜率为－12，所实用文档以－12(2x 0＋4)＝－1，解得x 0＝－1，y 0＝12，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. (2)设M (x 0，y 0)为C 上一点．①若x 0＝－2，则C 上点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12处的切线斜率k ＝0，∴过点M ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12的法线方程为x ＝－2，此法线过点P (－2，a )；②若x 0≠－2，则过点M (x 0，y 0)的法线方程为y －y 0＝－12x 0＋4(x －x 0)．① 若法线过P (－2，a )，则a －y 0＝－12x 0＋4(－2－x 0)，将y 0＝x 20＋4x 0＋72代入得(x 0＋2)2＝a ，②若a >0，则x 0＝－2±a ，从而y 0＝x 20＋4x 0＋72＝2a －12， 将上式代入①，化简得x ＋2ay ＋2－2a a ＝0或者x －2ay ＋2＋2a a ＝0. 若a ＝0，则x 0＝－2，与x 0≠－2矛盾．若a <0，则②式无解．综上，当a >0时，在C 上有三个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋a ，2a －12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－a ，2a －12，实用文档 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，在这三点的法线过点P (－2，a )，其方程分别是x ＋2ay ＋2－2a a ＝0、x －2ay ＋2＋2a a ＝0、x ＝－2；当a ≤0时，在C 上有一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，在这点的法线过点P (－2，a )，其方程为x ＝－2.。