第二章 算法
算法设计实例教程 第2章 基础算法
算法设计实 例教程
2 基础算法
教 学 分 析
CONCENTS
目1 录2
3 4 5 6 7 8 9
第1章 数据结构基础
第2章 基础算法
第3章 排序算法 第4章 查 找 第5章 字符串和高精度运算 第6章 图论算法 第7章 动态规划算法 第8章计算几何基础 第9章 高级算法
2 基础算法
第2章 基础算法
图2-1 2名运动员的对阵矩阵
图2-2 4名运动员的对阵矩阵
2 基础算法
2.1.2 分治法应用举例1：循环赛日程表
通过观察由4名运动员组成的比赛日程安排表，我们可以发现它可以分解为2个两人组比 赛日常表的组合，将矩阵右上角2×2子矩阵的值直接复制到左下角，同样，矩阵左上角 的2×2子矩阵也被复制到了右下角。
发现规律了吗？右上子矩阵的值=左上的子矩阵+2。而这个2正是右上子矩阵相对于左上 子矩阵在坐标上的偏移量。由此，我们可以按照这样的规律分别填写每一个2×2子矩阵 的值。
2 基础算法
2.1.2 分治法应用举例1：循环赛日程表
我们可以将该规律推广到n=2k的情况。按照分治的策略，将所有运 动员平均分为两组，n个运动员的比赛日程表就可以通过两个n/2个 运动员的比赛日程表来决定。如果分解后的小组成员的数量依然大于 2，则可以使用分治法继续对运动员进行分割，直到每一组都只包含 两个运动员，就可以直接得到一个2×2的比赛日程表。
2.1 分治法 2.1.1 分治法的基本概念
分治法，从字面意思理解就是分而治之，其本质就是将一个原本规模较 大的问题分解为若干规模较小且更容易求解的子问题，分别求解每个子 问题，对求解出的结果进行合并得到原问题的最终解答。
2 基础算法
新2024秋季高一必修1信息技术人教中图版第2章算法与程序实现《算法的概念及描述：认识算法》
教学设计：新2024秋季高一必修1 信息技术人教中图版第2章算法与程序实现《算法的概念及描述：认识算法》一、教学目标（核心素养）1.信息意识：学生能够认识到算法在信息技术中的重要地位，理解算法是解决问题的基本方法和工具。
2.计算思维：学生能够理解算法的基本概念，掌握算法的基本特征，培养将实际问题抽象为算法问题的能力。
3.数字化学习与创新：通过案例分析，学生能够初步体验算法设计的思维过程，激发对算法学习的兴趣和创新意识。
4.信息社会责任：引导学生关注算法应用的伦理和社会影响，培养负责任地使用算法的意识。
二、教学重点•理解算法的基本概念及其重要性。
•掌握算法的基本特征，包括确定性、有穷性、可行性等。
三、教学难点•如何将实际问题抽象为算法问题，理解算法与程序的区别与联系。
•培养学生的计算思维，使其能够运用算法思维解决实际问题。
四、教学资源•多媒体课件（包含算法概念、特征、案例分析等）。
•实际问题案例集，用于引导学生思考如何将问题转化为算法。
•教材及配套习题册。
•互联网资源，用于拓展学生视野，了解算法在实际生活中的应用。
五、教学方法•讲授法：介绍算法的基本概念、特征及其重要性。
•案例分析法：通过具体案例，引导学生理解算法的应用和解决问题的过程。
•讨论交流法：组织学生分组讨论，分享各自对算法的理解和看法，促进思维碰撞。
•实践操作法：鼓励学生尝试将实际问题抽象为算法问题，并进行初步的设计。
六、教学过程1. 导入新课•生活实例引入：通过讲述一个日常生活中的例子（如烹饪过程、导航路线规划等），引导学生思考这些过程中蕴含的有序性和步骤性，引出算法的概念。
•提问导入：提问学生是否知道什么是算法？算法在我们的生活中有哪些应用？引发学生思考，激发学生兴趣。
2. 新课教学•算法概念讲解：•定义：算法是解决特定问题的一系列明确、有序的步骤的集合。
•重要性：算法是计算机程序的核心，是解决问题的重要工具。
•算法特征介绍：•确定性：算法的每一步都必须是明确无歧义的。
第二章 算法概述(下)
枚举法的应用
打印“九九乘法表” 可使用枚举法的问题还有如
完全平方数 完全平方数是指能写成一个正整 数的平方的数，如25=5^2，所以， 25是完全平方数。100=10^2，所 以，100也是完全平方数。
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百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买 一百只鸡。到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡 一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。现在， 请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才 能刚好用一百块钱买一百只鸡？ 此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数 为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（ x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z/3)为 判定条件，穷举各种鸡的个数。
11
问题分析：
使用列表保存5种水果名。 通过三重循环结构，枚果（解空间） 它们互不相等（筛选条件） 摆放先后次序有区别
•
输出所有可能的方案。
12
算法步骤描述：
步骤1：建立水果列表fruit； 步骤2：使变量x遍历fruit 步骤3：对于x的每个值，使变量y遍历fruit 步骤4：对于x、y的每个值，使变量z遍历fruit 步骤5： 若zx且 zy 且xy 打印该方案
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递推与迭代
递推的过程实际上就是迭代的过程，即 不断用变量的旧值推出新值的过程。 一般递推使用数组（列表），在循环处 理时利用其下标的变化实现变量的迭代 ，而狭义的迭代是指使用简单变量来完 成这一过程。
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程序设计中的数组（列表）是指具有相同 名称、通过下标区分的一组变量。 如：a[0]、a[1]、a[2]或b[1,1]、b[1,2] 、b[1,3]、b[2,1]、b[2,2]、b[2,3]等。 在循环结构中，通过变量控制其下标值的 变化(如a[i]、b[i,j])，达到变量轮换的目的。 例如：循环：从a[0]到a[9] 循环：a[i]， i从0到9
《计算机算法基础》教学大纲
《计算机算法基础》教学大纲计算机算法基础教学大纲课程简介本课程作为计算机科学与技术专业必修课，旨在让学生掌握计算机算法的基础知识和基本应用，为后续深入研究算法提供基础。
教学目标通过本课程的研究，学生将能够：- 熟练掌握常用的计算机算法- 理解各种算法的基本思想和运行原理- 能够运用算法进行简单的问题求解和程序设计- 培养编写高效算法的能力教学内容第一章算法基础1.1 算法的定义和特性1.2 算法的分类1.3 时间复杂度和空间复杂度第二章常用算法2.1 排序算法（冒泡排序、快速排序、归并排序）2.2 查找算法（顺序查找、折半查找、哈希查找）2.3 图算法（最短路径算法、最小生成树算法）第三章算法应用3.1 算法在智能搜索、机器研究等领域的应用3.2 算法在计算机游戏、网络安全等领域的应用3.3 算法在大数据处理中的应用教学方法本课程采用讲授和实践相结合的教学方法。
教师将通过课堂讲解、板书演示、案例分析等方式向学生介绍算法基础原理和应用技巧，并通过实例编程和练巩固学生的实际应用能力。
考核方式本课程考核方式包括课堂作业、实验报告、期中考试和期末考试。
其中，期中考试占30%的成绩，期末考试占50%的成绩，课堂作业和实验报告占20%的成绩。
教材与参考书目教材《数据结构与算法分析》，作者：Mark Allen Weiss，出版社：机械工业出版社参考书目《算法导论》，作者：Thomas H. Cormen，出版社：机械工业出版社《算法设计与分析基础》，作者：Sun Limin，出版社：高等教育出版社实验环境本课程实验环境为Windows操作系统，使用Java语言进行编程实现。
教学进度。
第二章-算法推荐原理
四、用户画像的“冷启动”
策略二：
用户分类和聚类。尽管个体用户都有“千人千面”的兴趣特点，但在 一定程度上仍可以对用户进行分类和聚类，而针对同一类用户的推荐对此 类用户中的所有个体的推荐均有一定的有效性和合理性。具体地，对于新 注册使用系统的用户，可以使用其基本信息标签（如性别、年龄、手机机 型、网络特征、地理位置）
在这种情况下，算法推荐系统可以根据用户的授权读取用户在微博、微信 等平台的公开数据如昵称、发布内容、阅读历史等等，如此便可在不需要 用户直接提供个人兴趣爱好信息的情况下，使用自然语言处理和机器学习 等算法，根据用户在其他服务中的行为数据提取用户的兴趣特征，扩充用 户画像的标签数量，达到尽快完善用户画像的目的。
五、用户画像的设置和调整策略
一、用户画像的概念和作用
用户画像在多个领域都有广泛的应用，并不局限于算法分发系统。涉及用户画像 的领域通常与销售、推荐和个性化服务相关。以下简要介绍用户画像的一般作用。
●精准营销： 分析产品的潜在用户，定向特定群体。比如，在内容推荐领域，假设系统中
有一则关于花样滑冰的新闻，则可以定向推送给画像包含“花样滑冰”或某些花 样滑冰运动员名字的用户。
用户画像的构建过程可以分为三个阶段 第一阶段进行基础数据的收集。重点采集用户的个人信息、网络使用行为等 方面的数据。 第二阶段对采集到的基础数据进行分析和挖掘，实现用户行为的建模。 第三阶段是为每个用户构建个性化的用户画像，这是对前两个阶段采集数据 的进一步提炼和抽象。
二、如何构建用户画像
用户画像的构建并不是孤立静态的单次过程，推荐系统会根据用户的行为数据 不断更新用户画像，以达到提高刻画用户特征准确度的目的，最终目标是提高 推荐的准确度和有效性。
二、算法分发系统的基本模型
第二章算法题
1.4、试编写算法，求一元多项式P n(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…a n x n的值P n(x0)，并确定算法中的每一语句的执行次数和整个算法的时间复杂度，要求时间复杂度尽可能小，规定算法中不能使用求幂函数。
注意：本题中的输入a i(i=0,1,…,n),x和n，输出为P n(x0)。
通常算法的输入和输出可采用下列两种方式之一：（1）通过参数表中的参数显式传递。
（2）通过全局变量隐式传递。
试讨论这两种方法的优缺点，并在本题算法中以你认为较好的一种方式实现输入和输出【解答】（1）通过参数表中的参数显式传递优点：当没有调用函数时，不占用内存，调用结束后形参被释放，实参维持，函数通用性强，移置性强。
缺点：形参须与实参对应，且返回值数量有限。
（2）通过全局变量隐式传递优点：减少实参与形参的个数，从而减少内存空间以及传递数据时的时间消耗缺点：函数通用性降低，移植性差算法如下：通过全局变量隐式传递参数PolyValue(){ int i,n;float x,a[],p;printf(“\nn=”);scanf(“%f”,&n);printf(“\nx=”);scanf(“%f”,&x);for(i=0;i<n;i++)scanf(“%f ”,&a[i]); /*执行次数：n次*/p=a[0];for(i=1;i<=n;i++){ p=p+a[i]*x; /*执行次数：n次*/x=x*x;}printf(“%f”,p);}算法的时间复杂度：T(n)=O(n)通过参数表中的参数显式传递float PolyValue(float a[ ], float x, int n){float p,s;int i;p=x;s=a[0];for(i=1;i<=n;i++){s=s+a[i]*p; /*执行次数:n次*/p=p*x;}return(p);}算法的时间复杂度：T(n)=O(n)[techer's]#include <stdio.h>#define MAXSIZE 10float pnx(float a[],float x,int n){ int j;float sum=0.0;for(j=n;j>0;j--) /*a[0]=a0,[a1]=a1,...*/sum=(sum+a[j])*x;sum=sum+a[0];return(sum);}void main(){int n,i;float a[MAXSIZE],x,result;printf("Input the value of x:\n");scanf("%f",&x);printf("\n");printf("Input The n:\n");scanf("%d",&n);printf("\n");printf("Input a0,a1,...an:");for(i=0;i<=n;i++) scanf("%f",&a[i]);printf("\n");result=pnx(a,x,n);printf("The result is:%f\n",result);}2.4 已知线性表L递增有序。
计算机常用算法
2.3 递归法
例2-14：找出从自然数1,2,3,4……n中任取 （r<=n）个数的所 ：找出从自然数 中任取r（ ） 中任取 有组合
例2-15：用互递归法计算正弦和余弦函数。 ：用互递归法计算正弦和余弦函数。 有关公式： 有关公式： Sin 2Ө = 2 SinӨ CosӨ Cos 2Ө = 1- 2(SinӨ)2 有关泰勒展开式： 有关泰勒展开式： Sin x = x – x3/6 Cos x = 1-x2/2 上述展开式在x很小时是很接近实际值的 但在x相对较大时 很小时是很接近实际值的。 上述展开式在 很小时是很接近实际值的。但在 相对较大时 误差很大。故通过对|x|的判断 决定使用哪种计算公式。 的判断， 误差很大。故通过对 的判断，决定使用哪种计算公式。
2.1 递推与迭代
递推与迭代的设计要素： 递推与迭代的设计要素： 迭代（或递推）表达式。 ① 迭代（或递推）表达式。 迭代（或递推）变量设计。 ② 迭代（或递推）变量设计。 迭代（或递推）初始值的选择。 ③ 迭代（或递推）初始值的选择。 迭代（或递推）终止（收敛）条件。 ④ 迭代（或递推）终止（收敛）条件。 迭代的收敛： 迭代的收敛： 如方程无解，迭代算法求出的近似值序列就不会收敛， ① 如方程无解，迭代算法求出的近似值序列就不会收敛，从 程序角度会出现“死循环”现象。 程序角度会出现“死循环”现象。 ② 方程虽然有解，但迭代公式选择不当或迭代初始近似值选 方程虽然有解， 择不合理，也会导致迭代不收敛。 择不合理，也会导致迭代不收敛。
拉菲森newton-Laphson法）求 例2-08：用切线法（牛顿 拉菲森 ：用切线法（牛顿-拉菲森 法 非病态一元n次多项式全部实根 次多项式全部实根。 非病态一元 次多项式全部实根。
2.1 递推与迭代（作业与上机） 递推与迭代（作业与上机）
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
算法-第2章-算法效率分析基础
The Big-O and Related Notations
2.2.7 基本的效率类型
1 log n n n log n n2 n3 2n n! constant logarithmic linear n log n quadratic cubic exponential factorial
思考
2.2.2 符号О
定义1 我们把函数t(n)属于O(g(n)) ，记作t(n) ∈ O(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界由g(n) 的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的常数c和非负 的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， t(n) ≤c g(n)
cg(n)
2.2 渐进符号和基本效率类型
2.2.1 非正式的介绍
O(g(n)) 是增长次数小于等于g(n) (以及其常数倍，n趋 向于无穷大)的函数集合。 n∈O(n2),100n+5∈O(n2), n(n-1) /2 ∈O(n2),n3∈/ O(n2), Ω(g(n))，代表增长次数大于等于g(n)(以及其常数倍,n趋 向于无穷大)的函数集合。 n3∈ Ω(n2)， n(n-1) /2 ∈ Ω(n2)，但是100n+5 ∈/ Ω(n2) Θ(g(n))是增长次数等于g(n) )(以及其常数倍,n趋向于无 穷大)的函数集合。因此，每一个二次方程an2+bn+c在 a>0的情况下都包含在Θ(n2)中，除了无数类似于n2+sin n和n2+log n的函数（你能解释原因吗？）。
t(n) cg(n)
n0之前的情 况无关重要
n n0 符号Ω：t(n)∈Ω(g(n))
2.2.4 符号Θ
定义 3 我们把函数t(n)属于Θ(g(n)) ，记作t(n) ∈Θ(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界和下 界都由g(n)的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的 常数c1，c2和和非负的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， c2g(n) ≤t(n) ≤ c1g(n)
第二章程序的灵魂——算法
S1: 1 i;
S2: 如果gi80,则打印ni和gi,否则不打印。 S3: i+1 i; S4: 如果i50,返回s2,继续执行，否则算法结束。 本例中，变量i作为下标，用它来控制序号（第几个
学生，第几个成绩）。当 i超过50时，表示已对50 个学生的成绩处理完毕，算法结束。
例4
判断2000年---2500年中的每一年是否闰 年，将结果输出。
束。最后得到的p就是5!的值。
例2.求1×3×5×7×9 ×11
• 如果题目改为求1×3×5×7×9 ×11。 上述算法稍作改动： s1: 1 p; s2: 3 i; s3: p ×i p; s4: i+2 i s5: 若i11,返回s3;否则，结束。
求1×3×5×7×9 ×11
可以看出，用这种方法表示的算法 具有通用性、灵活性。S3到s5 组成一个 循环，在实现算法时，要反复多次执行 s3、s4、s5等步骤，直到某一时刻，执 行s5步骤时经过判断，乘数i已超过规定 的数值而不返回s3步骤为止。
•N-S流程图适于结构化程序设计
顺序结构程序设计
•依次顺序执行程序语句 执行a块 执行b块
先执行a操作，再执行b操作
判别选择结构程序设计
满足条件否
满足
不满足
执行a块 执行b块
•当条件成立，执行a操作，当条件不成立，执行b操作。 a，b操作允许空操作，即什么都不做。注意选择结构 是一个整体，代表一个基本结构。
买电视机的步骤：
选好货物 开票 付款
拿发票
取货
回家
考大学上大学的步骤
填报名单 交报名费
拿准考证
参加考试
报到注册
得到录取通知书
2.2、 简单算法举例
第2章 算法分析基础(《算法设计与分析(第3版)》C++版 王红梅 清华大学出版社)
3
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2.1.2 算法的渐近分析
常见的时间复杂度：
Ο(1)＜(log2n)＜(n)＜(nlog2n)＜(n2)＜(n3)＜…＜(2n)＜(n!)
多项式时间，易解问题
算
法
指数时间，难解问题
设 计 与
分
析
（
第
时间复杂度是在不同数量级的层面上比较算法
版 ）
清
华
大
学
时间复杂度是一种估算技术（信封背面的技术）
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2.1.2 算法的渐近分析
3
每条语句执行次数之和 = 算法的执行时间 ＝ 每条语句执行时间之和
基本语句的执行次数 for (i = 1; i <= n; i++)
单位时间
算
法
设
计
与
执行次数 × 执行一次的时间
分 析 （
第
for (j = 1; j <= n; j++)
版 ）
x++;
指令系统、编译的代码质量
算法设计：面对一个问题，如何设计一个有效的算法
算
法
设
检
指
验
导
评
计 与 分 析 （ 第 版
改
估
） 清
进
华 大
学
出
版
算法分析：对已设计的算法，如何评价或判断其优劣
社
3
Page 3
2.1.1 输入规模与基本语句
如何度量算法的效率呢？
事后统计：将算法实现，测算其时间和空间开销
缺点：（1）编写程序实现算法将花费较多的时间和精力 （2）所得实验结果依赖于计算机的软硬件等环境因素
计算机导论(第5版 方英兰)第2章 算法基础
r的值赋给n； ④ 如果r=0，返回m的值
作为结果，过程结束， 否则进入②。
自然语言
流程图
euclid(m，n) do
r:= m mod n; m:=n; n:=r while r≠0 return m;
伪代码
2.2.4 算法结构
当型循环
循环结构
直到型循环
选择结构
如何设计算法，常用的算法设计方法有分治递归、贪心法、回溯法、动态规划、分支限界等； 对给定算法，如何分析它的效率和性能。
小结
汉诺塔问题
旅行商问题
排序问题
n皇后问题
学习算法的意义
小结
算法研究的典型例子
计算领域最重要的问题类型
学习算法的意义
第2章 算法基础
2.2 算法初步
1
算法概念
3
算法描述
5
算法设计方法
11
5
1
5个
1个
4个
3个
2.2.5 算法设计方法
走不通，就掉头
回溯法：也称“万能算法”。求解过程相当于在所有可能解构成的解空间树中
搜索满足约束条件的解。
【例】4皇后问题。 1
1 . .2
1 2
....
1 2
.3
(a)
(b)
1
1
2
3
....
(e)
(f)
(c) 1 . . .2
(g)
(d)
1 2
3 . .4
设有n个城市，已知任意两城市间的距离，现有一推销员想从某一城市出发经 过每一城市（且只经过一次）最后又回到出发点，问如何找一条最短路径？
AE D CB F A
《大话数据结构》第二章：算法(思维导图)
2. 算法定义算法是解决特点问题求解步骤的描述， 在计算机中表现为指令的有限序列， 并且每条指令表示一个或多个操作。
没有通用的算法， 就像没有万能药一样。
特定的问题，有特定的对应的算法。
特性输入算法具有0个或多个输入。
输出算法至少有1个或多个输出。
有穷性指算法在执行有限的步骤之后， 自动结束而不会出现无限循环， 并且每个步骤在可接受的时间内完成。
确定性算法的每一步骤都具有确定的含义， 不会出现二义性。
可能性算法的每一步都必须是可行的， 也就是说每一步都能够通过执行有限次数完成。
设计算法的要求正确性指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反应问题的需求、能够得到问题的正确答案。
可读性算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
健壮性当输入数据不合法时， 算法也能做出相关处理， 而不是产生异常或莫名其妙的结果。
时间效率高和存储量低算法最好用最少的存储空间，花费最少的实际，办成同样的事。
算法的度量方法事后统计方法通过设计好的测试程序和数据， 利用计算机计时器多不同算法编制的程序的运行时间进行比较， 从而确定算法效率的高低。
具有很大缺陷：编号程序后才能发现程序的运行时间， 若算法很糟糕，不就是竹篮打水一场空。
不同计算机硬件和软件各有不同会造成结果的不同。
（操作系统、编译器、运行框架、处理器的不同）很难设计算法的测试数据， 小的测试数据往往无法测试出算法的真正的效率。
事前分析估算方法在计算机程序编制前， 一句统计方法对算法进行估算。
对于运行时间的影响因素：算法采用的策略、方法编译产生的代码指令问题的输入规模（指输入量的多少）机器执行指令的速度时间复杂度如何推导大O阶?1. 用常数1取代运行时间中所有加法常数（忽略加法常数）2. 在修改后的运行次数函数中， 只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1， 则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
常数阶O(1)线性阶O(n)对数阶O(logn)平方阶O(n^2)用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:。
数值最优化算法与理论理论-第二章算法
1、Armijo线搜索算法function f=fun_obj(x)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;function g=fun_grad(x)g=[2*x(1)-400*x(1)*(-x(1)^2+x(2))-2,-200*x(1)^2+200*x(2)];% 用armijo搜索确定步长，其中xk是当前迭代点,rho,sigma为armijo参数，gk为当前下降方向function mk=armijo(xk,rho,sigma,gk )%assert(rho>0&&rho<1); % 限制Armijo参数rho在(0,1)之间%assert(sigma>0&&sigma<0.5); % 限制Armijo参数sigma在(0,0.5)之间mk=0;max_mk=100; % 最大迭代次数while mk<=max_mkx=xk+rho^mk*gk; % 求解x(k+1)iffeval('fun_obj',x)<=feval('fun_obj',xk)-sigma*rho^mk*(fun_grad(xk))*g k' %终止条件break;endmk=mk+1; % 更新迭代end% 用负梯度方向作为搜索方向，用armijo线搜索确定步长，求解 min f(x) 的最优解function [xk,fk,k]=armijomain(x0)max_iter=5000; % 最大迭代次数EPS=1e-6; % 精度rho=1;sigma=1e-4; % Armijo参数k=0;xk=x0; % 初值while k<max_iter %迭代次数超过最大迭代次数时跳出循环k=k+1;dk=fun_grad(xk); % x(k)处的梯度d=-1*dk; % x(k)处的下降方向if norm(dk)<EPS % 迭代停止的条件break;endmk=armijo(xk,rho,sigma,d); % 用armijo线搜索确定步长rxk=xk+rho^mk*d; % 更新迭代，计算x(k+1)fk=fun_obj(xk); % 计算x(k+1)处的函数值endx0=[1.2,1.2];[xk,fk,k]=armijomain(x0)2、Wolfe-Powell搜索算法function f=fun_obj(x)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;function g=fun_grad(x)g=[2*x(1)-400*x(1)*(-x(1)^2+x(2))-2,-200*x(1)^2+200*x(2)];function alpha=wolfe(x0,d0)% Wolfe-Powell stepalpha=1;pho=1/2;sigma=0.251;sigma1=0.4;itermax=100;d=d0;% Forward.for i=1:itermaxx1=x0+alpha*d;f1=fun_obj(x1);f0=fun_obj(x0);df=fun_grad(x0)'*d;if f1-f0>sigma*alpha*dfalpha=pho*alpha;elsebreakendend% Backward.for i=0:itermaxx1=x0+alpha*d;df1=fun_grad(x1)'*d;if df1<sigma1*dfbeta=alpha/pho;che=1;for j=1:itermaxx1=x0+alpha*d;f1=fun_obj(x1);f0=fun_obj(x0);if f1-f0>sigma*alpha*dfche=che*pho;alpha=alpha+che*(beta-alpha);elsebreakendendelsebreak;endendfunction [xk,fk,k]=wolfemain(x0)max_iter=5000; % 最大迭代次数EPS=1e-6; % 精度rho=1e-4;sigma=0.9; % Wolfe-Powell参数k=0;xk=x0; % 初值while k<max_iterk=k+1;dk=fun_grad(xk); % xk处的梯度d=-1*dk; % xk处的搜索方向if norm(dk)<EPS % 迭代停止条件break;endalpha=wolfe_powell(xk,rho,sigma,dk,d); % Wolfe_Powell搜索求步长r xk=xk+alpha*d; % 更新迭代，计算x(k+1)fk=fun_obj(xk); % 计算x(k+1)处的函数值endx0=[1.2,1.2];[xk,fk,k]=wolfemain(x0)3、二分法function f=fun_obj(x)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;function g=fun_grad(x)g=[2*x(1)-400*x(1)*(-x(1)^2+x(2))-2,-200*x(1)^2+200*x(2)];function f=fai_grad(x,d)syms abr;fun=100*(b-a^2)^2+(1-a)^2;a=x(1)+r*d(1);b=x(2)+r*d(2);fund=4*a^2+b^2; % 函数f(x+r*d)关于r的二次函数，令为funf=diff(fund); % 求fun函数的一阶导数function r=bisection(f,tol)a=-10;b=10; %给定初始区间fa=subs(f,a); %求在a点处的函数值fb=subs(f,b); %求在b点处的函数值if sign(fa)*sign(fb)>=0 %判断区间的端点值是否异号error('f(a)f(b)<0 not satisfied!') %如果同号，则输出错误提示，重新给定初始区间endwhile (b-a)/2>tol % 若(b-a)/2<=tol，则跳出循环，得到最优解c=(a+b)/2; % 取搜索区间的中值，令为cfc=subs(f,c); % 求在c点处的函数值if fc==0 % 若f(c)==0,c是函数的一个根breakendif fa*fc<0 % 若a,c函数值的乘积小于0，重新定义搜索区间为[a,c] b=c;fb=subs(f,b);else% 若a,c函数值的乘积大于0，重新定义搜索区间为[c,d]a=c;fa=subs(f,a);endendr=(a+b)/2; % 最终区间的中值就是函数的零点% 用负梯度方向作为搜索方向，用二分法确定步长，求解 min f(x) 的最优解function [xk,fk,k]=bisemain(x0)max_iter=5000; % 最大迭代次数EPS=1e-6; % 精度k=0;xk=x0; % 初值while k<max_iter %迭代次数超过最大迭代次数时跳出循环k=k+1;dk=fun_grad(xk); % x(k)处的梯度d=-1*dk; % x(k)处的下降方向if norm(dk)<EPS % 迭代停止的条件break;end%% 用线搜索二分法确定步长rf=fai_grad(xk,d); % 求解f(xk+r*d)关于r的二次函数的导数minr=bisection(f,EPS); % 利用二分法求f=0的零点，即f(xk+r*d)的最小值点minrxk=xk+minr*d; % 更新迭代，计算x(k+1)fk=fun_obj(xk); % 计算x(k+1)处的函数值endx0=[1.2,1.2];[xk,fk,k]=bisemain(x0)4、黄金分割法function f=fun_obj(x)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;function g=fun_grad(x)g=[2*x(1)-400*x(1)*(-x(1)^2+x(2))-2,-200*x(1)^2+200*x(2)];function f=fai(x,d)syms abcer;fun=100*(b-a^2)^2+(1-a)^2;a=x(1)+r*d(1);b=x(2)+r*d(2);c=x(3)+r*d(3);e=x(4)+r*d(4);f=100*(b-a^2)^2+(1-a)^2;function [x_opt] = goldenOpt(f,e)r=0.618; % 黄金分割系数a=-10;b=10; % 初始区间u=b-r*(b-a); % 测试点u的值fu=subs(f,u); % 测试点u的函数值值v=a+r*(b-a); % 测试点v的值fv=subs(f,v); % 测试点v的函数值值k=1;while abs(b-a)>e % 迭代停止条件k=k+1; % 更新迭代%% 若u的函数值大于v的函数值，重新定义搜索区间为[u,b]if fu>fva=u; % 将测试点u的值赋给区间端点au=v; % 将测试点v的值赋给ufu=fv; % 将v的函数值赋给uv=a+r*(b-a); % 重新计算测试点v的值fv=subs(f,v); % 重新计算v的函数值%% 若u的函数值等于v的函数值，重新定义搜索区间为[u,v]elseif fu==fva=u; % 将测试点u的值赋给区间端点ab=v; % 将测试点v的值赋给区间端点bv=a+r*(b-a); % 重新计算测试点v的值fv=subs(f,v); % 重新计算v的函数值u=b-r*(b-a); % 重新计算测试点u的值fu=subs(f,u); % 重新计算u的函数值%% 若u的函数值大于v的函数值，重新定义搜索区间为[a,v]elseb=v; % 将测试点v的值赋给区间端点bv=u; % 将测试点u的值赋给vfv=fu; % 将u的函数值赋给vu=b-r*(b-a); % 重新计算测试点u的值fu=subs(f,u); % 重新计算u的函数值endendx_opt=(a+b)/2; % 最终区间的中值就是函数的最优解function [xk,fk,k]=goldenmain(x0)max_iter=5000; % 最大迭代次数EPS=1e-6; % 精度k=0;xk=x0; % 初值while k<max_iterk=k+1;dk=fun_grad(xk); % xk处的梯度d=-1*dk; % xk处的下降方向if norm(dk)<EPS % 迭代停止的条件break;endf=fai(xk,d); % f(xk+r*d)的关于r的二阶表达式 minr=goldenOpt(f,EPS); % 黄金分割法求步长rxk=xk+minr*d; % 更新迭代xkfk=fun_obj(xk); % 计算xk处的函数值endx0=[1.2,1.2];[xk,fk,k]=goldenmain(x0)。
算法-第2章-算法效率分析基础(李静)
2.2.2 符号О
定义1 我们把函数t(n)属于O(g(n)) ，记作t(n) ∈ O(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界由g(n) 的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的常数c和非负 的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， t(n) ≤c g(n)
cg(n)
思考
• • • • P46 2T P46 4.bT P46 5T P46 6.aT
补充知识
• 渐近分析中函数比较
– f(n)∈ O(g(n)) a b; – f(n)∈ (g(n)) a b; – f(n)∈ (g(n)) a = b; – f(n)∈ o(g(n)) a < b; – f(n)∈ (g(n)) a > b.
• 无论是最差效率分析还是最优效率分析都不能提供一 种必要的信息：在“典型”或者“随机”输入的情况 下， 一个算法会具有什么样的行为。这正是平均效率 试图提供给我们信息。 • 摊销效率: 它并不适用于算法的单次运行，而是应用于 算法对同样数据结构所执行的一系列操作。
2.1.4 算法的最优、最差和平均效率
对于两个连续执行部分组成的算法，应该如何应 用这个特性呢？它意味着该算法的整体效率是由 具有较大的增长次数的部分所决定的，即它的效 率较差的部分.
பைடு நூலகம்
算法分析：加法规则
t(n, m)=t1(n)+t2 (m) ∈O(max (f (n), g (m)))
两个并列循环的例子 void example (float x[ ][ ], int m, int n, int k) { float sum [ ]; for ( int i=0; i<m; i++ ) { //x[][]中各行 sum[i] = 0.0; //数据累加 for ( int j=0; j<n; j++ ) sum[i]+=x[i][j]; } for ( i = 0; i < m; i++ ) //打印各行数据和 cout << “Line ” << i << “ : ” <<sum [i] << endl; } 渐进时间复杂度为O(max (m*n, m))
第2章-程序的灵魂-算法(备课笔记)
第二章（备课笔记）问题：输入三个数a，b，c，按照从大到小的顺序排列输出。
（假设输入三个数5，9，4，经过大小对比，从大到小排列为9，5，4。
如果把更多的数按照从大到小的顺序排列呢，计算量就随之变大，仅靠人脑会很吃力。
考虑借助计算机来解决。
）如何用计算机解决？用计算机求解问题的一般步骤：★问题的分析★算法分析及设计算法★设计编制程序★调试程序★运行与维护程序其中，第二步：算法的分析与设计，即解决问题的操作步骤，是最为关键的一步，称之为程序灵魂。
比如说，从徐州到上海，可以坐飞机，坐动车，坐火车等等，这些不同的方法或者步骤，在计算机的求解问题中，就是选用不同的算法。
下面就具体介绍第二章程序的灵魂——算法。
第2章程序的灵魂——算法2.1 算法的概念★几个基本概念❖数据：是计算机程序处理的对象，可以是整数、实数、字符，也可以是图像、声音等的编码表示。
❖数据结构：程序中指定数据的类型与数据的组织形式●在程序设计语言中，与数据结构密切相关的便是数据的类型和数据的存放。
❖软件= 程序+ 文档。
❖程序：用程序设计语言表达问题的求解过程。
●程序=数据结构+算法。
❖算法：用某种工具（文字、数学公式、框图、计算机伪代码等）解决问题的步骤。
程序设计1. 对于较小的简单问题，一般采用下列步骤进行程序设计：●确定数据结构,如：变量、数组●确定算法●编写程序代码●上机调试●整理并写出文档资料2. 对于较大的复杂问题采用的是“模块化、自顶向下、逐步细化”的程序设计方法。
2.2 算法的基本表达方法(1) 什么是算法？简单地理解，算法是为解决一个特定问题而采取的确定的、有限的方法和步骤。
(2) 算法的特性（P19）正确的算法应该满足5个特性：•有穷性：一个算法应包含有限的操作步骤，而不是无限的。
•确定性：算法中的每个步骤都应该是确定的，不应含糊不清。
（不应产生歧义）•有效性：每个步骤都应有效执行，得到确定结果。
如果b=0，则执行a/b就不能有效执行。
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4、编写程序：写出C语言程序 编写程序：写出C
main() { int i,t; t=1; i=2; while(i<5) { t=t*i; i=i+1; } printf(“%d”,t); }
§2.5 结构化程序设计方法
模仿例1画出计算 1+2+3+4+5 的N-S图来
N-S图的优点： 图的优点：
1、比传统流程图紧凑易画 2、上下顺序就是程序执行的顺序
五、用计算机语言表示算法 设计程序的基本过程: 记下来 记下来) 设计程序的基本过程 (记下来
分析问题 设计算法
描述算法
编写程序
Hale Waihona Puke 例如：计算 1×2×3×4×5 1、分析问题：用累乘的方法 分析问题： 2、设计算法：设两个变量，t、i。让t保 设计算法：设两个变量， 存积， 用来表示每个乘积项. 存积，i用来表示每个乘积项.用循环结构 3、描述算法：可以用N-S图 描述算法：可以用N
程序的灵魂---算法 第二章 程序的灵魂--算法
一个程序应包括以下两个方面： 一个程序应包括以下两个方面： 对数据的描述。 1）对数据的描述。在程序中要指定数据的类型 和数据的组织结构。 和数据的组织结构。 对操作的描述。即操作步骤，也就是算法。 2）对操作的描述。即操作步骤，也就是算法。
著名计算机科学家沃思提出：程序=数据结构+ 著名计算机科学家沃思提出：程序=数据结构+算法 程序=算法+数据结构+程序设计方法+ 程序=算法+数据结构+程序设计方法+语言工具和环境
§2.1 算法的概念 计算机算法分为两类： 计算机算法分为两类： 数值运算算法：目的是求数值解。 数值运算算法：目的是求数值解。 非数值运算算法：事务管理（人事、档案） 非数值运算算法：事务管理（人事、档案）
§2.2 简单的算法举例
例 1 ： 1 × 2 × 3× 4× 5 算法] [算法] S1: p=1 模仿例1 ：写出计算 S2: i=2 s=1+2+3+…+100的算法 p× S3: p×i p S4: i+1 i 转到S3,否则输出p的值，终止算法。 S3,否则输出 S5: i<=5 转到S3,否则输出p的值，终止算法。
结束
三、三种基本结构和改进的流程图 1、传统流程图的弊端 、 2、三种基本结构 、 顺序结构： 顺序结构：最简单的一种结构
成立 不成立 成立 不成立
A B
顺序结构
P A
选择结构（ ） 选择结构（1）
P B A
选择结构（ ） 选择结构（2）
选择结构 是一个处理过程， 是一个条件 其中 A、B是一个处理过程，P是一个条件 、 是一个处理过程
把这两种结构图自己画出来。 把这两种结构图自己画出来。
循环结构
当型循环 直到型循环
A A P1
成立
不成立
P2
不成立
成立
当型循环
直到型循
A可以是一条或多条语句或三个基本结构之一。 可以是一条或多条语句或三个基本结构之一。
把这两个结构图自己画出来
以上三种结构的共同点： 以上三种结构的共同点： 1、只有一个入口 2、只有一个出口 结构内的每一部分都有机会被执行到。 3、结构内的每一部分都有机会被执行到。 结构内不存在“死循环” 4、结构内不存在“死循环” 四、用N-S流程图表示算法 1、顺序结构 2、选择结构
作业： 作业： 实验： 实验：
1.5、 P12 1.5、1.6
P37
2.5(1、 2.5(1、2、3）
（本实验不写实验报告）
目的： 熟悉C语言的集成环境，了解菜单的使用方法。 目的：1、熟悉C语言的集成环境，了解菜单的使用方法。
掌握一个Turbo 程序上机操作的全过程。 2、掌握一个Turbo C程序上机操作的全过程。
§2.4
怎样表示一个算法
计算： 计算： 1×2×3×4 ×5 × × ×
一、用自然语言表示算法 日常用语 二、用流程图表示算法 起止框 输入输出框 判断框 处理框 或 流程线 连接点 注释框
开始
1 t 2 i t×i t × i+1 i no i>5 yes 输出p
画一个计算1+2+3+…+100的流程图
§2.3 算法的特征
例 1： 1、有穷性 1 × 2 × 3× 4× 5 2、确定性 S1: p=1 3、有零个或多个输入 S2: i=2 4、有一个或多个输出 p× S3: p×i p 5、有效性 S4: i+1 i 转到S3, S5: i<=5 转到S3, 否则输出p的值， 否则输出p的值， 终止算法。 终止算法。
A
成立
P
不成立
B
A
B
3、循环结构
当型循环
当P1成立 P1成立 A 直到P1成立 直到P1成立 P1
直到型循环
A
A可以是一条或多条语句或三个基本结构之一。 可以是一条或多条语句或三个基本结构之一。
例 1 ： 1 × 2 × 3× 4 × 5的 N-S图
1 t 2 i t×i t × i+1 i 直到i>5 直到i>5 打印t 打印
内容： 熟悉File Edit、Run、Option等菜单中常用 File、 内容：1、熟悉File、Edit、Run、Option等菜单中常用
菜单项及对应的快捷键的使用方法。 菜单项及对应的快捷键的使用方法。 2、上机运行 P12 1.5 的程序
一个结构化程序就是用高级语言表示的结构化算法。 一个结构化程序就是用高级语言表示的结构化算法。 1、自顶向下 3、模块化设计 2、逐步细化 4、结构化编码
思考或问答题： 思考或问答题： 程序中是否一定包含注释，注释的作用是什么？ 1、C程序中是否一定包含注释，注释的作用是什么？ 每个程序至少包含一个什么函数？ 2、每个程序至少包含一个什么函数？ 程序中main函数可以含两个以上吗？ main函数可以含两个以上吗 3、程序中main函数可以含两个以上吗？ 4、一个函数的组成是什么样？ 一个函数的组成是什么样？ 函数体包含哪几部分？ 5、函数体包含哪几部分？ 6、程序的执行次序是怎样的？ 程序的执行次序是怎样的？ 语句的标记是什么？ 7、语句的标记是什么？ 程序在机器上的执行过程？ 8、程序在机器上的执行过程？ 什么叫算法？算法有什么特性？ 9、什么叫算法？算法有什么特性？ 10、表示算法的基本结构是哪三种？ 10、表示算法的基本结构是哪三种？