勾股定理知识点归纳

勾股定理知识点归纳

§17.1勾股定理

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（即：在Rt △ABC 中，如果a 、b 为直角边，c 为斜边，那么222c b a =+）

勾股定理的变式：

222a c b =-、222b c a =-、c a b =2.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.（面积割补法） 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

3.勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系.

勾股定理的应用

（1）利用勾股定理可以根据任意两边的长求出第三边。（在Rt ABC ∆中，

90C ∠=︒，a 、b 为两直角边，c 为斜边，则c =，b ，a =）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边.

（3）利用勾股定理可以证明线段的平方关系.

4.13在数轴上的表示:在数轴上以原点O 为端点截取OA,使OA=3;过点A 作数轴的垂线,在垂线上截取AB,使AB=2,连结OB;以O 为圆心,OB 长为半径画弧,与数轴正半轴交于点C.则点C 即为数轴上表示13的点。

的基本思路是根据勾股定理，构造直角三角形，使斜边长

，在数轴上以原点O 为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴的交点即为

§17.2 勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角

形．

（即 如果三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．）

2.勾股定理的逆定理的作用是根据三角形三边的长度来判定一个三角形是否是直角三角形。

① 它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两条较短边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ② 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如

若三角形三边长a ，b ，c 满足222a

c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是

直角三角形，但是b 为斜边.

3.题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.

原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．

原命题与它的逆命题都成立的一组命题称为互逆定理．

5.勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数．．．

称为勾股数. 即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数

①记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；5,12,13；8,15,17等等；

②用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；

2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）；2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）.