正态分布及3Sigma原理

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二项分布的平均值和标准差
平均值x np 标准差 npq 其中：n 样本大小 p 总体的不合格率 q 总体的合格率
当N≥10n，p≤0.1或np ≥4-5时，就可以用 正态分布代替二项分布进行近似计算。
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泊松分布的平均值和标准差
平均值 : x 标准差 : 其中： np
当 np≥5 时，泊松分布近似正态分布！
概 率
0.3
0.2
λ=2.0
λ=5.0
0.1
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正态分布及3Sigma原理
（工程师级之一）
课程目的： 掌握正态分布 极其相关知识 课程内容： 正态分布曲线、 参数及其特征
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正态分布:
F ( x)

f ( x)dx
x
1 2

e
x
( x )2 2 2
dx
其中: μ------正态均值，描述质量特性 值分布的集中位置。 σ------正态方差，描述质量特性值 x分布的分散程度。
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不合格品率的计算(实例1)

1>设 x~ N(10,
22)
和 x~ N(2,
0.32), 概率
P(8<x<14)和P(1.7<x<2.6)各为多少?
解:经标准化变换后可得
14 10 8 10 P(8<x<14)= ( 2 ) ( 2 ) (2) (1)
=0.9773-(1-0.8413)=0.8185
2.6 2 1.7 2 P(1.7<x<2.6)=( 0.3 ) ( 2 ) (2) (1)
=0.9773-(1-0.8413)=0.8185
如何计算落在规格线外的不合格品率???
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为标准正态分布函数
不合格品率的计算
LSL USL
Pl
Pu
wk.baidu.com
u
产品特性不合格品率
p p L pU
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不合格品率的计算

若需计算分布的不合格品率, 则首先需要 利用分布的标准化变量, 即用正态变量减去自 己的均值后再除以自己的标准差 1>若x~ 2>若x~
x 10 N(10, 22),通过标准化变换u= 2 ~N(0,1) ),通过标准化变换u= x 2 ~N(0,1) N(2, 0.32 0 .3
pU P( X u 1.5 ) 1 (1.5) 1 0.9332 0.0668 66800ppm pL P( X u 4.5 ) (4.5) 1 (4.5) 0.0000034 3.4 ppm
当规格限为M+/-6 σ时(6σ质量水平时), 正态分布中心距USL只有4.5σ, 而距LSL有7.5σ,这时下侧的不合格品率几乎为0, 而上侧的不各格率分别为:
μ
N（μ，σ2）
x
2

σ不同(标准差 )
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正态分布的特征
μ1 μ2
a> σ相同, u不同
μ
a> σ不同, u相同
最常见
u1 u2
a> σ不同, u不同
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标准正态分布

当μ=0，σ=1时正态分布称为标准正态分布
F(X )


x
1 2
e
x2 2
dx
研究实际问题比较方
便，可以借助标准正
态分布表
USL u pU P( X USL ) 1 ( )
其中Pl为X低于下规范线的概率, Pu为X高于上规范线的概率
LSL u p L P( X LSL ) 1 ( )
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3σ原理
若质量特性值X服从正态分布,那么,在 ± 3σ 范 围内包含了99.73% 的质量特性值。
正态分布中心与规格中心重合时u± 3σ u± 6σ的
不合格率(未考虑偏移) 规格区域
0.001ppm 1350ppm
1350ppm 0.001ppm
± 3σ ± 6σ
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3σ原理推理过程
pL P( X u 3 ) (3) 1 (3) 1 0.99865 0.00135 1350ppm
1
2 3 4 5 6
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为何6σ相当于3.4PPM?
考虑偏移1.5 σ的正态分布
规格中心 分布中心
0ppm 3.4ppm 66800ppm 3.4ppm
1.5σ +/-3σ
+/-6σ
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6σ原理推理过程
当规格限为M+/-3 σ时(3σ质量水平时), 正态分布中心距USL只有1.5σ, 而距LSL有4.5σ,两侧的不各格率分别为:
pU P( X u 4.5 ) 1 (4.5) 3.4 ppm
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控制图原理

通常控制图是根据“3 σ”原理确定控制界限, 即: 中心线 ： CL=μ
上控制界限： UCL=μ+3σ 下控制界限： LCL=μ-3σ
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其他分布类型:
离散型变量所服从的分布

k 二项分布 P( X k ) Cn pk qnk , k 0,1,2,...,n （计件值） 主要用于具有计件值特征的质量特性值 分布规律的研究. 泊松分布 k e P( X k ) , k 0,1,2,..., k! （计点值） 主要用于计点值特征的质量特性值分布 规律的研究
pU P( X u 3 ) 1 (3) 1 0.99865 0.00135 1350ppm
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3σ 原理
未考虑偏移的正态分布
99.9999998% 99.99943%
99.9937%
99.73%
95.45%
68.27%
6 5σ 4 3
2 1