正态分布及原理

当N≥10n，p≤0.1或np ≥4-5时，就可以用 正态分布代替二项分布进行近似计算。
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3σ原理
若质量特性值X服从正态分布,那么,在 ±3σ 范 围内包含了99.73% 的质量特性值。
正态分布中心与规格中心重合时u±3σ u±6σ的
不合格率(未考虑偏移) 规格区域
0.001ppm 1350ppm
1350ppm 0.001ppm
±3σ ±6σ
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3σ原理推理过程
pL P( X u 3 ) (3) 1 (3) 1 0.99865
pU P(X u 4.5 ) 1 (4.5) 3.4 ppm
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控制图原理
通常控制图是根据“3 σ”原理确定控制界限,
即:
中心线 ：
CL=μ
上控制界限： UCL=μ+3σ
下控制界限： LCL=μ-3σ
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其他分布类型:
离散型变量所服从的分布
二项分布 （计件值）
P( X k) Cnk pk qnk , k 0,1,2,..., n
为标准正态分布函数
如何计算落在规格线外的不合格品率???
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不合格品率的计算
LSL
USL
Pl
Pu
u
产品特性不合格品率 p pL pU
其中Pl为X低于下规范线的概率, Pu为X高于上规范线的概率
pL

P(X

LSL)
1
( LSL
u)
pU

P(X
USL)
1 (USLu)
0.00135 1350 ppm
pU P(X u 3 ) 1 (3) 1 0.99865
0.00135 1350ppm
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3σ 原理
未考虑偏移的正态分布
99.9999998% 99.99943% 99.9937% 99.73% 95.45% 68.27%
6 5σ 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
解:经标准化变换后可得
P(8<x<14)=
(14 10) (8 10) (2) (1)
2
2
=0.9773-(1-0.8413)=0.8185
P(1.7<x<2.6)=( 2.06.3
2)

(1.7 2
2)

(2)

(1)
=0.9773-(1-0.8413)=0.8185
主要用于具有计件值特征的质量特性值 分布规律的研究.
泊松分布 （计点值）
P( X k) ke , k 0,1,2,...,
k!
主要用于计点值特征的质量特性值分布 规律的研究
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二项分布的平均值和标准差
平均值x np
标准差 npq
其中：n 样本大小 p 总体的不合格率 q 总体的合格率
a> σ相同, u不同
μ
a> σ不同, u相同
最常见
u1 u2
a> σ不同, u不同
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标准正态分布
当μ=0，σ=1时正态分布称为标准正态分布
x
F(X)
1
x2
e 2 dx
2
研究实际问题比较方 便，可以借助标准正
态分布表
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不合格品率的计算
若需计算分布的不合格品率, 则首先需要 利用分布的标准化变量, 即用正态变量减去自 己的均值后再除以自己的标准差
正态分布:
x
F (x) f (x)dx

1
x (x)2
e 2 2 dx
2
其中: μ------正态均值，描述质量特性
值分布的集中位置。
σ------正态方差，描述质量特性值 x分布的分散程度。
μ
x
N（μ，σ2）
1
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σ不同(标准差 )
2
正态分布的特征
μ1 μ2
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为何6σ相当于3.4PPM?
考虑偏移1.5 σ的正态分布
规格中心 分布中心
0ppm 3.4ppm
66800ppm 3.4ppm
1.5σ +/-3σ +/-6σ
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6σ原理推理过程
当规格限为M+/-3 σ时(3σ质量水平时), 正态分布中心距USL只有1.5σ, 而距LSL有4.5σ,两侧的不各格率分别为:
1>若x~ N(10, 22),通过标准化变换u=
x 10
2 ~N(0,1)
2>若x~ N(2, 0.32),通过标准化变换u=
x 2 ~N(0,1)
0.3
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不合格品率的计算(实例1)
1>设 x~ N(10, 22) 和 x~ N(2, 0.32), 概率
P(8<x<14)和P(1.7<x<2.6)各为多少?
pU P(X u 1.5 ) 1 (1.5) 1 0.9332 0.0668 66800 ppm pL P(X u 4.5 ) (4.5) 1 (4.5) 0.0000034 3.4 ppm
当规格限为M+/-6 σ时(6σ质量水平时), 正态分布中心距USL只有4.5σ, 而距LSL有7.5σ,这时下侧的不合格品率几乎为0, 而上侧的不各格率分别为: