仓库容量有限条件下的随机存贮管理模型

X；
允许商品缺货，X但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的 Q 0损失记为 ；每次订货，设货物在 q 天后到达，交货Q时间
Q是0随机Q的；自己的仓库用于存贮商品的q最大容量L为 ，每次到货后使用这种商品的L存* 贮量 补充到固定值
为止，且
；在销售过程中每当存贮量 降到
时开始订货。请给出使总损失费用达到最低的订货点
此时产生的费用（平均每天的损失费用）：
X 0
X 1
c 3 (Q Q 0 r) tc 2 Q 0 X 0 c 2 (Q 0 r) tc 4 [r(X 2 X ) Q ] c 1
C /T t 1
t X 0 1
X 2 X
2007.08
问题1模型的建立
下将面假设X 满足某一代离入散上型面分费布用表（达泊式松，分可布、得二到项关分于
F变 构 点(n量造i;在拉ki上格;li面朗,所日1,给函2出数,条：3)件，下及E的(C 最)小(n值i;k，i;可li用)拉格1朗im 1日n乘ivi数法Q解决，
2mkivi Q03mlivi L
i1
i1
F 0 , F 0 , F 0 , F 0 ,(i 1 ,2 , ,m )
cij ijtij.
2007.08
谢 谢！
2007.08
2007.08
赛题分析
费 存用贮的分容类量：
1、订自货己费仓：库最c大1 容量： 2、存贮费：的自补己充的：仓库到存贮 ，c，2且其他仓库存贮 c 3 3、缺订货造点成：的损降失到： c 4 时开始订货
Q0 qQ
q
L
Q0 Q
2007.08
赛题分析
随 单机一变商量品的X存的贮分与析多：种商品存贮之间的关系？ X：交货时间
制定。
L*
X
2007.08
问题1模型的建立
销总售损周失期费T用：最：长从：：：销最订准租售大货备借时存点订仓间贮货库容前和存量的Q交贮销货量售时的到时间销下间售一时次的间达函到数最：大存 贮容量下引Q入之三间个的描时述间不差同。情况的时间的参量：
C
L
X
X0[Q (Q 0)/r]
X1[Q/r] X2[Q (L)/r]
仓库容量有赛限条题件下讲的解随机存贮管理
1 赛题内容 2 赛题分析 3 模型的建立与应用 4 模型的改进 5 模型的推广和思考
2007.08
赛题内容
工厂生产需定期地定购各种原料，商家 销售要成批地购进各种商品。无论是原料或 商品，都有一个怎样存贮的问题。存得少了 无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮 费用就高。因此说存贮管理是降低成本、提 高经济效益的有效途径和方法。
T Q Q0 L
需为一设销在售一周个期销内售一周n天i期的平均k内i 损，失费用、l寻i 找一和统一表体达积式容，量要的
商 求品：中含有的商m品个数分别为m
、 m和
，则有
考虑到某种商品的ni出vi现时Q ，,表达kiv式i中Q 出0现,与此liv有i 关L 项，否则此
i1
i1
i1
项为零；
具体为某种情况时，表达式中某项可出现，其他情况所对应式
v1 0.05
如v2果把0.0问4题2中的三种v3商品0.1按0问题3的方法同时订货，其中
立方米，
立Q方0 米 ，6
立方米，自己的仓库用
于存贮在3种商品的总体积容Q量10
立方米，每次到货后
这3种商品的存贮量总体积补充X到固定体积容量
Fra Baidu bibliotek
立方米
为止，且该供应站从接到订货通知到货物送达商场的天数
服从1天到3天间的均L匀* 分布。其余数据同问题2中相应的商品中
r1 20,v1 0.1,c230.06,c330.08,c431.25 c110,Q0 6,Q10
X
E(X )
2007.08
问题4 模型的求解
ri(T0E(X))ni 即没另再应有一看尽缺方费n 量货面用1 v 使，：的1 中应取n 汇满值2 v 香足 情2 米 ： 况存n ，3 v 入有3 到 ：自0 . 己0 仓n 1 库 ，5 0 . 即0 先n 令2 4 0 . 达1 n 到3 最1 大， 0
随机变量类型？ 服从何种分布？
2007.08
模型的建立与应用
模1型)：假商设家在销售商品时，不会把所有商品均售出再订货，
即
；
2)：销L售时0优先考虑租用仓库的商品，存贮时优先考虑自 身仓库；
3)：支付的费用按天计算，每天的贮存费在该天结束时支
付，若未结束时销售完毕，则不支付该天费用；
4)：最优订货点 在考虑了随机变量 的数学期望后
n i k i li i
m
n
* i
k
* i
l
* i
L* li*vi
i 1
Q oiki*vi,Q i ni*vi
2007.08
问题4 模型的求解
可直服接从按1照到问3上题的3所均给匀方分法布求，解即，但是应=用2在. 此实际问题
中计r1算从量1数复2,据v杂1可，看0所出.0以，5,可c缺2根货1据造0实成.0际的1,所损c3给失1出远0数大.0据于2，,存c分4贮1析费其0，.9特所点5以，在进制 而 定求最r2解优。订1货5,v点1时0应.0该4非,c缺22货情0.况0：3,c320.04,c421.5
L * l 1 * v 1 l 2 * v 2 l 3 * v 3 3 0 . 0 6 1 5 0 . 0 5 4 4 0 . 1 8 7 . 2
Q 01 k1 *v10,Q 02 k2 *v20,Q 03 k3 *v36 Q 1n1 *v12.8,Q 2n2 *v21.2,Q 3k3 *v36
子为零。
y(x)10,,
x0 x0
2007.08
问题3模型的建立
由此可m得一i 销售周期内平均每天损失费用的数学表达式：
E(C) C/T
c3ivi (ni ki rit)(ni ki rit)
i1 t1
m T0E(X)
m
c2ivi (ki rit)(ki rit) c2ivikii(T0 E(X)i )
i1 ti 1
i1
m
c2iviki(T0 E(X))(i T0 E(X)) i1
m c4ivi[ri(T0 E(X)ni)(T0 E(X)ni)]c1/(T0 E(X))
i1
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问题3模型的建立
ni ki
li
求 可偏得导驻此：点式为关、于 和、 和 ，从而得的最函优数订表货达式，即求这三个
。每当这 种商品的存贮量总体积 降L*到
时
即开始订货。m
Q0i(i1,2,,m)
试通过建立m数学模型说明应如何确定最优订货点 和自
Q i(己i的仓1,库2,用 于,存m 贮)这 种商品的各自体积容量
以及在订货到达时使这 种商品各自存贮量补充到的固定体
积
，才能使总损失费用达到最低？
2007.08
问题 4
2007.08
问题 1
r某商场销售的某种商品。市场c上1 这种商品的销售速率假设是
不变的，记为 ，每次进货的订货费为常数 ，c 2与商品的数量
和品种无关；使用自己仓库贮存时，单位商品每天的贮存费用
记为 ，c 由3 于自c己2的仓c库3 容量有限，超出时需要使用租借的仓
库存贮商品，单位商品每天的贮c 4 存费用记为 ，且
2007.08
问题1模型的建立
考情虑形可一能：存在在下的一销销售售情周况期：到来之前一直在销售租借仓库
的商品，表示为
：
此时产生的0费X用2 （X平0均每天的损失费用）：
X2X
c3(QQ0r)tc2Q0(X2X)c1
C/Tt1 X2X
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问题1模型的建立
情形二：在下一销售周期到来之前先销售租借仓库的商 品，再销售自身仓库的商品，没有缺货，表示为：
容量有限的情况下m ，有多种商品需要同时订货的情形，这时需
考虑充分利用存贮体积的问题。c 1设有 种商品需要订货，它们
每次一同从一个供应站订货X，每次进货的订货费为常数 m，与
商品的数量和品种ri 无关；订购的货(i物同1,时2,到达m ，)到货天数
如问v题i(1i所述1,是2,随 机,的m 。)这 种商品的销售速率分别为
所列Q出0i(的i数1,据2,。3)试按问题3的模型求出这3种商品的最优订货点 和自己的Q仓i(库i用1于,2,存3)贮这3种商品的各自体积容量
以及在订货到达时使这3种商品各自存贮量补充到的固定体
积
。
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问题 5
商品的销售经常是随机的，订货情况在一段时间后是会发 生变化的，相应地商家就应该调整订货和存贮策略。你们能否 对此建立数学模型加以讨论。
为一随
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问题3模型的建立
自所身求仓为库：存贮时m， 种商品总体积容Q量0 ： 每最次优订货m 后点，： 种商品存贮量的总体积补充到固定体Q积： m 自身种仓商库品存总贮体积q种从商品降L的到各自体时积开容始量订：货
种商品各自存贮量补充到的固定体积：
L*
m
Q 0i
m
Qi
2007.08
问题3模型的建立
2007.08
问题4 模型的求解
T0
T01T01
利用满穷足举以法上可式得子出，满可足解上得述条件的所有整数解，进而可得
n 1 *,n 2 *,出n 3 最*,k 优1 *值,k：2 *,k3 *,l1 *,l2 *,l3 *
分别为56，30，60，0，0，60，
36，15，48，可得最优订货点为：
布 订等货）点，则可的求函出数其表数达学式期，望令：其对 求导，可得出对应最
小值
，即为所求最优订货点 。
E(X)Xf(X)
X0
E(X),X0,X1,X2
L
L
Lm in
L*
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问题2 模型的求解
确定 满足的分布，可将其假定为满足泊松分布，由 题中所给出的数据，可算出不同商品所对应的交货时间的数
（袋或盒/天）
c 2 i ，每c袋3（i(i盒 ）1的,2体, 积分,m 别)
为
c。4使i(用i 自1己,2的, 仓库,和m租)借的仓库时单位
体积商品每天的存贮费分别记为
和
，
单位体积商品每天的缺货损失记成
，自
己的仓库用于存贮
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m
Q
Q0 Q这
且
种商品的m存贮量总体积补充到固定体q积容量 L 为止，
X 0X 2X 1 ,XX 1X 2
此时产生的费用（平均每天的损失费用）：
X0
X2X
c3(Q Q 0r)tc2Q 0X0 c2(Q 0r)tc1
C/Tt1
tX01
X2X
2007.08
问题1模型的建立
情形三：在下一销售周期到来之前先销售租借仓库的商 品，再销售自身仓库的商品，缺货，表示为：
X 0X 2X 1 ,X X 1 X 2
存贮变质性商品的模型
常见的存贮管理中，商品的寿命被认为是无穷的，但 在实际库存管理中，变质是一种常见的现象。如挥发物品、放 射性物品、食品等。对于存贮变质性物品的模型，往外会采取 措施来减少变质的发生，且存贮时间越长，措施越需要加强，
体现在单位T时间内存贮单位商品所需存贮费用对时间的变化率
大于0.假设存贮费随时间的变化关系为线性，则有
学期望，进X而计算出不同最优订货点 分别为35,39,40。
L*
2007.08
问题3模型的建立
m 第 种商种品商需品订的货销（售订速货率费：常数），到货天X数
机变量第，相种关商参品数的（体单积位：商品）： 第 种商品租用仓库的贮存费：
i第 种商品使用自家仓库的贮存费： i第 种商品缺货时造成的损失： i i i
再 可令得 尽量大
2 n 4 1 9 ,3 6 n 0 2 1,4 2 n 0 0 3 76
C 2 3C 2 2C 2,C 13 3C 3 2C 31
k3
k2
k1v1k2v2k3v30.0k510.0k420.1k36 k3n37,6k2n212, 0k1*k2 *0,k3*60 60n376
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问题5 模型推广和思考
销售率变化的模型
商品的，实际销为售销过售程周中期，，商品的销售率，并非定、值，可、
随 可时通间过变拟化合而一变组化销，售可 率假 的定 原销 始售 数率 据的 得函 到数 。表达式，例如如下形
式：
ri(t)At(Tt)
A0 T
2 2 0 A
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问题5 模型推广和思考
（最 2007.08
问题 2
以下是来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据： 商品一：康师傅精装巧碗香菇炖鸡面
2007.08
商品二：心相印手帕纸10小包装
2007.08
商品按三你：的中模汇型香分米别5计K算G装出这三种商品各自相应的最优订货 点。
L*
2007.08
问题 3
问题1是只有一种商品需要订货的情形。实际上常遇到在库存