微积分下期末总复习题
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பைடு நூலகம்
1
11
x
e
e 21 ln xdx e 2
16
二重积分
Chapter 8 三、11 画区域D的示意图；
OA:y=2x,OB:y=1/2x,OC:y=3-x
解一： xdxdy
1
2x
0 xdx 1 x dy
2
xdx
1
3 x
1 x dy
D
2
2
30 3 22
解二： xdxdy
1
1
2 arcsin xd
1 x2
20
1 [
12
1 x2 arcsinx
1 2
1 x2 d arcsin x]
2
0
0
1 3
6
15
分部积分
e ln xdx x ln x e
e
xd ln x e
e
1dx 1
1
11
1
e ln 2 xdx x(ln x)2 e
e
1
x(2 ln x) dx
z x
Fx' Fz'
,
z y
Fy' Fz'
5
Cont.
F (x, y, z) x z ln z , y
z Fx'
1
1
x Fz' [ln z z (1 y) ] ln z 1
y (z y)
y
z
z y
Fy' Fz'
ln
y z 1
y
z z
z
z2
dz dx dy dx
dy
x y x z y(x z)
yzexyz y cosxy dx xzexyz x cosxy dy
xyexyz 1
xyexyz 1
7
3、二阶偏导数（尤其注意抽象函数）
（1）chapter 8 一、15，16，
z
(x
y,
x
y),
求z
" xy
解：
z
' x
1' .1
' 2
.1
1'
' 2
z
" xy
(1'
' 2
)
' y
1"1.1
" 12
(1)
2"1.1
" 22
(1)
" 11
" 22
8
chapter 8 一、16
已知z f (x, xy),求 2z yx
解：z
' x
f1'
yf
' 2
z
" xy
(
f1'
yf
' 2
)'y
xf1"2
f
' 2
yxf
" 22
9
（2）chapter 8 三、6
练习：求隐函数的偏导数
10
（3）模拟题七 三、3
12
1、变量代换
(1)
求：3 x 1 xdx 0
解：令 1 x t 0,则x t 2 1, dx 2tdt
当x 0时，t 1;当x 3时，t 2.
3
x
1 xdx
2 (t 2 1)t2tdt 2 2 (t 4 t 2 )dt
0
1
1
2(1 t5 1 t3) 2 7 11
6
（2）模拟题六 三、3
已知：exyz z sin xy 6,求dz
解：F (x, y, z) exyz z sin xy 6
z x
Fx' Fz'
yzexyz y cosxy xyexyz 1
z y
Fy' Fz'
xzexyz x cosxy xyexyz 1
dz z dx z dy x y
D
1
dy
0
2y
1 y xdx
2
2
dy
1
3 y 1y 2
xdx
3 2
17
3：直角坐标系下的二重积分
Chapter 8 三、13 D是无界区域
解一： ey2 dxdy
dx
2x e y2 dy难求
0
x
D
解二： ey2 dxdy
dy
y ey2 dx
e y2 y dy
D
0
y2
0
5 3 1 15
13
（2）模拟题八 三、1
(2)
求 2ln 2
dt
ln 2 et 1
解：令 et 1＝x,则t ln( x2 1),dt 2x dx x2 1
当t ln 2时, x 1;当t 2 ln 2时, x 3
2ln2 dt 3 1 2x dx 2 3 1 dx
ln 2 et 1 1 x x2 1
1 x2 1
2arctanx 3 2( )
1
34 6
14
2、分部积分
Chapter 6 三、14
1 2
x arcsinxdx 2
1 2
x
arc s in xdx
1 2
1 x2
0 1 x2
2
1 2
x
ar c s in
xdx
1 2
ar
c
s
in
xd
(1
x
2
)
0 1 x2
0 1 x2
0
2
19
四、应用题
特别提醒： Chapter 8 四、2，3，4，5， 四选一
20
五、定积分求面积、体积
Chapter 6 四、1，
SD
0 (x2 x)dx 1
1
6
V 0 [x2 (x2 )2 ]dx 2
1
15
21
六、被积函数含绝对值的积分
Chapter 6 二、2
2
1 e y2 dy2 1 e y2 1
40
4 04
18
4：极坐标系下的二重积分
Chapter 8 三、14
a2 x2 y2 dxdy
D
2
a
d
a2 r 2 rdr
0
0
a
a2 r2 d(a2 r2)
0
2 (a2 r 2 )32 a 1, a 3 3
3
期末考试考核点
一、偏导数 1、按定义求偏导数（填空题） 2、隐函数求全微分（及偏导数） 3、二阶偏导数（尤其注意抽象函数）
1
一、偏导数
1、按定义求偏导数（填空题）
（1）chapter 8 一、5
f
(x,
y)
x3 x2
y3 y2
(x,
y)
(0,0),
求f
' y
(0,0)
____
0 (x, y) (0,0)
f (a x,b) f (a) [ f (a x,b) f (a)]
lim
x0
x
＝2
f
' x
(a,
b)
4
2、隐函数求全微分（及偏导数）
（1）模拟题五 三、3
求：由方程x=zln(z/y)所确定函数z=f(x,y)的全 微分dz
全微分公式：dz z dx z dy x y
隐函数的求导公式：F(x, y, z) 0
已知：z x y z , 求 z , z x y
解：F (x, y, z) z x y z
z x
Fx' Fz'
z x ln z xz x1 y z ln
y
z x
Fy' Fz'
zy z1 xz x1 y z
ln
y
11
二、积分
1、变量代换 2、分部积分 3、直角坐标系下的二重积分 4、极坐标系下的二重积分
定义：
f
' y
(
x0
,
y0 )
lim
y0
f
(x0 , y0
y) y
f
(x0 ,
y0 )
2
Cont.
f
' y
(0,0)
lim
y0
f
(0, y) y
f
(0,0)
lim y 0 1 y0 y
3
（2）模拟题七 一、4
f (a x,b) f (a x,b)
lim
x0
x
(b不变，故是关于x的偏导数)
1
11
x
e
e 21 ln xdx e 2
16
二重积分
Chapter 8 三、11 画区域D的示意图；
OA:y=2x,OB:y=1/2x,OC:y=3-x
解一： xdxdy
1
2x
0 xdx 1 x dy
2
xdx
1
3 x
1 x dy
D
2
2
30 3 22
解二： xdxdy
1
1
2 arcsin xd
1 x2
20
1 [
12
1 x2 arcsinx
1 2
1 x2 d arcsin x]
2
0
0
1 3
6
15
分部积分
e ln xdx x ln x e
e
xd ln x e
e
1dx 1
1
11
1
e ln 2 xdx x(ln x)2 e
e
1
x(2 ln x) dx
z x
Fx' Fz'
,
z y
Fy' Fz'
5
Cont.
F (x, y, z) x z ln z , y
z Fx'
1
1
x Fz' [ln z z (1 y) ] ln z 1
y (z y)
y
z
z y
Fy' Fz'
ln
y z 1
y
z z
z
z2
dz dx dy dx
dy
x y x z y(x z)
yzexyz y cosxy dx xzexyz x cosxy dy
xyexyz 1
xyexyz 1
7
3、二阶偏导数（尤其注意抽象函数）
（1）chapter 8 一、15，16，
z
(x
y,
x
y),
求z
" xy
解：
z
' x
1' .1
' 2
.1
1'
' 2
z
" xy
(1'
' 2
)
' y
1"1.1
" 12
(1)
2"1.1
" 22
(1)
" 11
" 22
8
chapter 8 一、16
已知z f (x, xy),求 2z yx
解：z
' x
f1'
yf
' 2
z
" xy
(
f1'
yf
' 2
)'y
xf1"2
f
' 2
yxf
" 22
9
（2）chapter 8 三、6
练习：求隐函数的偏导数
10
（3）模拟题七 三、3
12
1、变量代换
(1)
求：3 x 1 xdx 0
解：令 1 x t 0,则x t 2 1, dx 2tdt
当x 0时，t 1;当x 3时，t 2.
3
x
1 xdx
2 (t 2 1)t2tdt 2 2 (t 4 t 2 )dt
0
1
1
2(1 t5 1 t3) 2 7 11
6
（2）模拟题六 三、3
已知：exyz z sin xy 6,求dz
解：F (x, y, z) exyz z sin xy 6
z x
Fx' Fz'
yzexyz y cosxy xyexyz 1
z y
Fy' Fz'
xzexyz x cosxy xyexyz 1
dz z dx z dy x y
D
1
dy
0
2y
1 y xdx
2
2
dy
1
3 y 1y 2
xdx
3 2
17
3：直角坐标系下的二重积分
Chapter 8 三、13 D是无界区域
解一： ey2 dxdy
dx
2x e y2 dy难求
0
x
D
解二： ey2 dxdy
dy
y ey2 dx
e y2 y dy
D
0
y2
0
5 3 1 15
13
（2）模拟题八 三、1
(2)
求 2ln 2
dt
ln 2 et 1
解：令 et 1＝x,则t ln( x2 1),dt 2x dx x2 1
当t ln 2时, x 1;当t 2 ln 2时, x 3
2ln2 dt 3 1 2x dx 2 3 1 dx
ln 2 et 1 1 x x2 1
1 x2 1
2arctanx 3 2( )
1
34 6
14
2、分部积分
Chapter 6 三、14
1 2
x arcsinxdx 2
1 2
x
arc s in xdx
1 2
1 x2
0 1 x2
2
1 2
x
ar c s in
xdx
1 2
ar
c
s
in
xd
(1
x
2
)
0 1 x2
0 1 x2
0
2
19
四、应用题
特别提醒： Chapter 8 四、2，3，4，5， 四选一
20
五、定积分求面积、体积
Chapter 6 四、1，
SD
0 (x2 x)dx 1
1
6
V 0 [x2 (x2 )2 ]dx 2
1
15
21
六、被积函数含绝对值的积分
Chapter 6 二、2
2
1 e y2 dy2 1 e y2 1
40
4 04
18
4：极坐标系下的二重积分
Chapter 8 三、14
a2 x2 y2 dxdy
D
2
a
d
a2 r 2 rdr
0
0
a
a2 r2 d(a2 r2)
0
2 (a2 r 2 )32 a 1, a 3 3
3
期末考试考核点
一、偏导数 1、按定义求偏导数（填空题） 2、隐函数求全微分（及偏导数） 3、二阶偏导数（尤其注意抽象函数）
1
一、偏导数
1、按定义求偏导数（填空题）
（1）chapter 8 一、5
f
(x,
y)
x3 x2
y3 y2
(x,
y)
(0,0),
求f
' y
(0,0)
____
0 (x, y) (0,0)
f (a x,b) f (a) [ f (a x,b) f (a)]
lim
x0
x
＝2
f
' x
(a,
b)
4
2、隐函数求全微分（及偏导数）
（1）模拟题五 三、3
求：由方程x=zln(z/y)所确定函数z=f(x,y)的全 微分dz
全微分公式：dz z dx z dy x y
隐函数的求导公式：F(x, y, z) 0
已知：z x y z , 求 z , z x y
解：F (x, y, z) z x y z
z x
Fx' Fz'
z x ln z xz x1 y z ln
y
z x
Fy' Fz'
zy z1 xz x1 y z
ln
y
11
二、积分
1、变量代换 2、分部积分 3、直角坐标系下的二重积分 4、极坐标系下的二重积分
定义：
f
' y
(
x0
,
y0 )
lim
y0
f
(x0 , y0
y) y
f
(x0 ,
y0 )
2
Cont.
f
' y
(0,0)
lim
y0
f
(0, y) y
f
(0,0)
lim y 0 1 y0 y
3
（2）模拟题七 一、4
f (a x,b) f (a x,b)
lim
x0
x
(b不变，故是关于x的偏导数)