微积分下期末总复习题

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微积分(下册)总复习

并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
(2) 方程组情形
隐函数的个数=方程的个数
隐函数的自变量个数=总自变量个数
方程的个数
* 5. 多元函数微分学的几何应用
(1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形)
(2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形)
* 6. 方向导数与梯度
方向导数 f lim f (P) f (P0 ) .
D
f (x, y)对x为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { x 0};
6、二重积分计算
(1) 直角坐标系
D {( x, y) a x b,1( x) y 2( x)}, 其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
其中 I是各D 小f (闭x,区y)域d的直li径m0中i1的f最(大i ,值i ). i
2. 几何意义当连续函数 z f ( x, y) 0时,
二重积分I表示以D为底, z =f (x, y)为曲顶, 侧面是
以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面的曲顶
柱体的体积. 一般情形,
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
f ( x, y)d
D
b
dx
2( x) f ( x, y)dy
a
1( x )
先对y 后对x的二次积分
y
y 2(x)
D
y 1(x)
Oa
bx
D {( x, y) c y d ,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.

微积分(下)复习题及答案

一、选择题1.若()()F x f x '=，C 是任意常数，则下列等式中错误的是（ C ）A.()()F x C f x C '+=+B.()()F x C f x C '+=+C.()()f x C dx F x C +=+⎰ D.()()()b a f x dx F b F a =-⎰2.10=⎰( A ) A.6π B.3π C.2π D.π 3.302x ax e dx +∞-=⎰，则a =（ C ）A.1B.12C.13D.16 4.00x y →→= ( B ) A .0 B .12C .1D .1- 5.已知()22,f x y x y x y +-=+，则()1sin ,cos f θθ'=( )A.2sin θB.2cos θC.sin 2θD.1注：题目有误，由题意得到()()221,,2f x y x y =+故有：()1sin ,cos sin .f θθθ'= 二、填空题1.101dx x =+⎰22π- 2.220sin lim x x x tdt x→=⎰ 12- 3.由2,y x =0x =和1y =所围图形围绕x 轴旋转得到的旋转体体积为45π4.z = 的定义域为(){},1x y x y +>5. 设y z x =，则dz =1ln y y yx dx x xdy -+ 三、解答题1.计算22143x dx x x +-+⎰. 解：()()22212415434313x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+--⎰⎰⎰ 2251153ln 43ln 43ln 23121x x x dx x x C x x x -⎛⎫=-++-=-+++ ⎪---⎝⎭⎰ 或者用待定系数法：设()()22121,431313x x A B x x x x x x ++==+-+----对应解出：37,.22A B =-= 故有：221317137ln 1ln 343212322x dx dx dx x x C x x x x +=-+=--+-+-+--⎰⎰⎰ 2. 计算()2xt x f x e dt -=⎰在[)0,+∞上的单调区间。

微积分(下)期末复习试题完整版

期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数,则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数,则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=,则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续, 则=)(x f .8、设曲线kx y =<0,0>>x k >与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31,则=k . 9、设yx y y x y x f arcsin)1()2(),(22---=,则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =,则=∂∂∂yx z2. 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝.二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于〔〔A1〔B2〔C4〔D82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-,则=)(xf 〔 <A>21x<B> 21x - <C> x 2e - <D> x2e -- 3、设)(x f 是连续函数,且C x F x x f +=⎰)(d )(,则必有〔 B〔A )(d )(x F t t f x a =⎰ 〔B )(]d )([x F t t F x a ='⎰ 〔C)(d )(x f t t F x a='⎰〔D )()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰4、设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的平均值是〔〔A2)()(b f a f + 〔B ⎰b a x x f d )(〔C ⎰-b a x x f a b d )(1 〔D ⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与〔有关。

微积分下期末考试试题

微积分下期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 $ f(x) = \ln(x) $ 的导数是：A. $ \frac{1}{x} $B. $ x^{-1} $C. $ \frac{1}{x} $（不包括x=0）D. $ \frac{1}{x} $（不包括x<0）2. 若 $ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \leq 1 $B. $ \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \geq 1 $C. $ \int_{0}^{1} x f(x) \, dx = 1 $D. 无法确定3. 泰勒级数展开 $ \sin(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的前三项是：A. $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} $B. $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} $C. $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{3!} $D. $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{4!} $4. 以下哪个函数是偶函数？A. $ f(x) = x^2 + 1 $B. $ f(x) = x^3 - 1 $C. $ f(x) = \sin(x) + \cos(x) $D. $ f(x) = \ln|x| $5. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $B. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 $C. $ \lim_{x \to 0} f(x) $ 不存在D. $ \lim_{x \to 0} f(x) $ 可以是任意值二、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数 $ f(x) = \sin(x) + e^x $ 在区间 $ [0, \pi] $ 上的定积分。

微积分下期末总复习题

z z dz dx dy x y yze xyz y cos xy xze xyz x cos xy dx dy. xyz xyz xye 1 xye 1
22
3、二阶偏导数
2 z 2 z 1 设z x ln( xy), 求 2 , . x xy 解 z ln( xy) x 1 y ln( xy) 1, x xy
1 (1) n (1) n (1) 1, p 1, | n 1 |收敛，故 n 1 绝对收敛, p n 1 np n 1 np 1 ( 1) n ( 1) n (2) 1, p 1, | n 1 |发散，故 n 1 发散, p n 1 np n 1 np
0
1 . 4
9
4：极坐标系下的二重积分

Chapter 8 三、14
a 2 x2 y 2 dxdy , 其中D ( x, y) x2 y2 a2 , a 0
2

D

0
d
a 0
a
0
a r rdr
2 2

a 2 r 2 d (a 2 r 2 )
期末考试考核点

1、定积分计算题 2、级数敛散性判断 3、偏导数计算 3、二重积分计算 4、微分方程求解 5、应用题 6、证明题
1
一、定积分

1、变量代换 2、分部积分 3、直角坐标系下的二重积分 4、极坐标系下的二重积分
2
1、变量代换

(1)
求： x 1 xdx （课本225页）

Chapter 8 三、13 D是无界区域
y2
解一： e

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。

微积分期末试题及答案

微积分期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3-3x+2的导数是（）。

A. 3x^2 - 3B. x^3 - 3xC. 3x^2 - 3xD. 3x^2 + 3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是（）。

A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=x+1D. y=x-1答案：A4. 若f(x)=x^2+3x-2，则f'(-1)的值是（）。

A. 0B. 2C. -2D. 4答案：C5. 定积分∫(0 to 1) (2x-1)dx的值是（）。

A. 1/2B. 1C. 3/2D. 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(x)=ln(x)，则f'(x)=______。

答案：1/x2. 函数y=e^x的原函数是______。

答案：e^x3. 曲线y=x^3与直线y=2x+1在x=1处的交点坐标是______。

答案：(1,3)4. 函数y=x^2-4x+4的极小值点是______。

答案：x=25. 定积分∫(0 to 2) x dx的值是______。

答案：4三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数y=x^2-6x+8的极值点。

答案：函数y=x^2-6x+8的导数为y'=2x-6，令y'=0，解得x=3。

将x=3代入原函数，得到极小值点为(3,-1)。

2. 求定积分∫(0 to 3) (x^2-2x+1)dx。

答案：首先求出原函数F(x)=1/3x^3-x^2+x，然后计算F(3)-F(0)=1/3*27-9+3-0=6。

3. 求曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程。

答案：首先求导得到y'=3x^2，将x=1代入得到y'|_(x=1)=3，切线方程为y-1=3(x-1)，即y=3x-2。

四、证明题（每题10分，共30分）1. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则∫(a to b) f(x)dx存在。

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)Word版

浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)yxz f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为（A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）10(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）1(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ]＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在，函数不连续（B ）偏导数不存在，函数连续（C ）偏导数存在，函数连续（D ）偏导数不存在，函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微，z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数，并设23F F ''≠，求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集，求2[e sin()]d x Dx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤，计算二重积分22 1 d Dxy σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微，且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分，共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ， ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分，共20分）6．选（B ）. l 1的方向向量{}1,2,1-，l 2的方向向量{}2,1,1--，{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ，化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===，偏导数存在. 取kx y =，()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异，所以不连续．三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L ，视x 为自变量，有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,，得 87,45==dx dz dx dy ，所以切线方程为87245111-=+=-z y x ，法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=，即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-. 12．D 在第一象限中的一块记为D 1，D 在第三象限中的一块记为D 2，()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x x xxD D ed e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x uu u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以，原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ，它的最大值点，最小值点与2z 的一致，用拉格朗日乘数法，设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ，求偏导数，并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂，1830F y x λμ∂=+=∂， 2430F z z z λμ∂=-+=∂，22920Fx y z x∂=+-=∂ ， 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ．解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时，1=z 最小；当35,5-=-=y x 时，5=z 最大.14．将分成如图的两块，41的圆记为D 1，另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()122221112222211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++，有222xy y x y x u ++=∂∂，从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan ,，又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂，推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++， ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以，()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以，()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期《微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院：理学院考试形式：闭卷考试时间：年月日所需时间：120 分钟考生姓名： _____学号：专业： ________一、填空题（每小题5分，满分30分） 1．直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2．数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3．设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z +== 具有二阶连续偏导数，则=∂∂∂yx z 2.4．设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D，则=+⎰⎰+Dy x y x ey x x d d )(222.5．已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切，则切点坐标为，公共切平面方程为.6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ，∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π，其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π，则.)27(=S二、（满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-(满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定，试求1022==∂∂y x x z.四、（满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离，求),,(z y x d 的最大，最小值 .五、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.六、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时，成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3.)3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d x y ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y eey y eey y ey y y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴==,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d)14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d ，最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdy x y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅⎰⎰=Dx dxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t ，当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以，t s ln =取得最小值且为0，则0),(≤s t F ，即s e t t t ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B) 213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。

微积分下册期末试卷及答案[1]

1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值。

4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=（21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________。

6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p xx dx 1 1ln 均收敛，则常数p 的取值范围是( c )。

(A ） 1p > (B) 1p < (C) 12p << （D ） 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b )。

（A) 在原点无定义 (B ）在原点二重极限不存在（C) 在原点有二重极限，但无定义(D) 在原点二重极限存在，但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰，22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a). (A ） 123I I I >> (B ） 213I I I >> （C ） 123I I I << （D ） 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解（ d ）。

(A ） b ax y += （B) xe b ax y 3)(+=（C ） x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna （ d )。

微积分第二学期期末复习题

微积分第二学期期末复习题微积分第二学期期末复习题随着学期的结束，微积分第二学期的期末考试也即将到来。

为了帮助大家更好地复习和准备考试，本文将提供一些复习题，希望对大家有所帮助。

一、定积分1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (x^2 + 3x + 1) dx$。

2. 求定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。

3. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$。

二、不定积分1. 求不定积分 $\int (2x^3 + 3x^2) dx$。

2. 计算不定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$。

3. 求不定积分 $\int e^x \sin(x) dx$。

三、微分方程1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$。

2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$。

3. 求解微分方程 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$。

四、级数1. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$。

2. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ 的敛散性。

3. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$。

五、向量1. 求向量 $\vec{A} = (2, -3)$ 和 $\vec{B} = (1, 4)$ 的数量积。

2. 求向量 $\vec{A} = (3, -2)$ 和 $\vec{B} = (4, 1)$ 的叉积。

3. 求向量 $\vec{A} = (1, -2, 3)$ 和 $\vec{B} = (2, 1, -3)$ 的向量积。

六、多元函数1. 计算函数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数。

2. 求函数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2$ 的梯度。

微积分下册期末考试题及答案

微积分下册期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数 $ f(x) = 3x^2 + 2x - 5 $，则 $ f'(x) $ 等于：A. $ 6x + 2 $B. $ 3x + 2 $C. $ 6x^2 + 2 $D. $ 6x - 5 $2. 曲线 $ y = x^3 - 2x^2 + x $ 在 $ x = 1 $ 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x dx $ 等于：A. $ \frac{1}{2} $B. $ \frac{1}{3} $C. $ \frac{1}{4} $D. $ \frac{1}{6} $4. 函数 $ y = \sin(x) $ 的原函数是：A. $ \cos(x) $B. $ -\cos(x) $C. $ x - \sin(x) $D. $ x + \sin(x) $5. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $，则$ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} $ 等于：A. 0B. 1C. 2D. 36. 函数 $ y = e^x $ 的 $ n $ 阶导数是：A. $ e^x $B. $ ne^x $C. $ n!e^x $D. $ (n+1)e^x $7. 若 $ \int e^x dx = e^x + C $，则 $ \int_{0}^{1} e^x dx $ 等于：A. $ e - 1 $B. $ e $C. $ e^2 - 1 $D. $ e^2 $8. 函数 $ y = \ln(x) $ 的定义域是：A. $ x \geq 0 $B. $ x > 0 $C. $ x < 0 $D. $ x \leq 0 $9. 函数 $ y = x^2 $ 的拐点是：A. $ x = 0 $B. $ x = 1 $C. $ x = -1 $D. $ x = 2 $10. 若 $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则$ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的关系是：A. $ f(x) $ 比 $ g(x) $ 增长得更快B. $ f(x) $ 比 $ g(x) $ 增长得更慢C. $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 增长速度相同D. $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是常数答案：1. A 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. A 8. B 9. A 10. B二、填空题（每题2分，共10分）11. 若 $ f(x) = \ln(x) $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} $。

微积分下册期末试卷及答案[1]

1、已知22(,)yf x y x y x +=-，则=),(y x f _____________.2、已知，则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=，则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=（21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.6 知dx e xp ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep xx dx 1 1ln 均收敛，则常数p 的取值范围是( c ). (A ） 1p > (B ） 1p < (C) 12p << (D ） 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b )。

(A ）在原点无定义（B ）在原点二重极限不存在（C ）在原点有二重极限，但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰，22212x y I ≤+≤=⎰⎰，22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).（A) 123I I I >> （B ） 213I I I >> （C ） 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解（ d )。

(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+=(C ） x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna （ d ）。

微积分下期末试题及答案

微积分下期末试题及答案下面是微积分下期末试题及答案的内容：一、单选题（每题2分，共20分）1. 在一个封闭的矩形区域内，下列函数中一定存在一个绝对值最大的点的是：A. f(x) = 2x + 3B. f(x) = -x^2 + 5x + 1C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案：B2. 设函数f(x) = x^3，则f'(x) = ？A. 3x^2B. 4x^3C. 2x^3D. x^2答案：A3. 曲线y = 2x^2 - 3x + 1的切线斜率为：A. 2B. -2C. 3D. -3答案：C4. 若f(x) = x^2 + 2x，则f''(x) = ？A. 2B. 4C. 0D. 6答案：A5. 设y = 3x - 1为直线L1上一点，曲线y = 2x^2 + 1上一点为(x0, y0)，则L1与曲线的切线平行于x轴的条件是：A. x0 = -1B. x0 = 0C. x0 = 1D. y0 = -1答案：D6. 函数f(x) = ln(x)的反函数为：A. f(x) = e^xB. f(x) = xC. f(x) = e^(-x)D. f(x) = x^2答案：A7. 函数f(x) = 3x^2 + 2在区间[1, 2]上的平均值为：A. 4B. 5C. 8/3D. 10/3答案：C8. 若f(x) = sin(x)，则f''(x) = ？A. -cos(x)B. cos(x)C. -sin(x)D. sin(x)答案：D9. 由函数f(x) = x^3 - 3x求得的原函数为：A. x^4/4 - 3x^2/2 + CB. x^4 + 3x^2 + CC. x^3 - 3x + CD. x^4 - x^2 + C答案：A10. 函数y = ax^2 (a ≠ 0)与直线y = 2x - 3相切的条件是：A. a = 4B. a = 2C. a = 1D. a = 3答案：B二、计算题（每题10分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1，求f'(2)的值。

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1 x2 1
2arctanx 3 2( )
1
34 6
14
2、分部积分
Chapter 6 三、14
1 2
x arcsinxdx 2
1 2
x
arc s in xdx
1 2
1 x2
0 1 x2
2
1 2
x
ar c s in
xdx
1 2
ar
c
s
in
xd
(1
x
2
)
0 1 x2
0 1 x2
D
1
dy
0
2y
1 y xdx
2
2
dy
1
3 y 1y 2
xdx
3 2
17
3：直角坐标系下的二重积分
Chapter 8 三、13 D是无界区域
解一： ey2 dxdy
dx
2x e y2 dy难求
0
x
D
解二： ey2 dxdy
dy
y ey2 dx
e y2 y dy
D
0
y2
0
yzexyz y cosxy dx xzexyz x cosxy dy
xyexyz 1
xyexyz 1
7
3、二阶偏导数（尤其注意抽象函数）
（1）chapter 8 一、15，16，
z
(x
y,
x
y),
求z
" xy
解：
z
' x
1' .1
' 2
.1
1'
' 2
z
" xy
(1'
' 2
)
' y
1"1.1
1
1
2 arcsin xd
1 x2
20
1 [
12
1 x2 arcsinx
1 2
1 x2 d arcsin x]
2
0
0
1 3
6
15
分部积分
e ln xdx x ln x e
e
xd ln x e
e
1dx 1
1
11
1
e ln 2 xdx x(ln x)2 e
e
1
x(2 ln x) dx
6
（2）模拟题六三、3
已知：exyz z sin xy 6,求dz
解：F (x, y, z) exyz z sin xy 6
z x
Fx' Fz'
yzexyz y cosxy xyexyz 1
z y
Fy' Fz'
xzexyz x cosxy xyexyz 1
dz z dx z dy x y
0
2
19
四、应用题
特别提醒： Chapter 8 四、2，3，4，5，四选一
20
五、定积分求面积、体积
Chapter 6 四、1，
SD
0 (x2 x)dx 1
1
6
V 0 [x2 (x2 )2 ]dx 2
1
15
21
六、被积函数含绝对值的积分
Chapter 6 二、2
z x
Fx' Fz'
,
z y
Fy' Fz'
5
Cont.
F (x, y, z) x z ln z , y
z Fx'
1
1
x Fz' [ln z z (1 y) ] ln z 1
y (z y)
y
z
z y
Fy' Fz'
ln
y z 1
y
z z
z
z2
dz dx dy dx
dy
x y x z y(x z)
定义：
f
' y
(
x0
,
y0 )
lim
y0
f
(x0 , y0
y) y
f
(x0 ,
y0 )
2
Cont.
f
' y
(0,0)
lim
y0
f
(0, y) y
f
(0,0)
lim y 0 1 y0 y
3
（2）模拟题七一、4
f (a x,b) f (a x,b)
lim
x0
x
(b不变，故是关于x的偏导数)
期末考试考核点
一、偏导数 1、按定义求偏导数（填空题） 2、隐函数求全微分（及偏导数） 3、二阶偏导数（尤其注意抽象函数）
1
一、偏导数
1、按定义求偏导数（填空题）
（1）chapter 8 一、5
f
(x,
y)
x3 x2
y3 y2
(x,
y)
(0,0),
求f
' y
(0,0)
____
0 (x, y) (0,0)
" 12
(1)
2"1.1
" 22
(1)
" 11
" 22
8
chapter 8 一、16
已知z f (x, xy),求 2z yx
解：z
' x
f1'
yf
' 2
z
" xy
(
f1'
yf
' 2
)'y
xf1"2
f
' 2
yxf
" 22
9
（2）chapter 8 三、6
练习：求隐函数的偏导数
10
（3）模拟题七三、3
5 3 1 15
13
（2）模拟题八三、1
(2)
求 2ln 2
dt
ln 2 et 1
解：令 et 1＝x,则t ln( x2 1),dt 2x dx x2 1
当t ln 2时, x 1;当t 2 ln 2时, x 3
2ln2 dt 3 1 2x dx 2 3 1 dx
ln 2 et 1 1 x x2 1
f (a x,b) f (a) [ f (a x,b) f (a)]
lim
x0
x
＝2
f
' x
(a,
b)
4
2、隐函数求全微分（及偏导数）
（1）模拟题五三、3
求：由方程x=zln(z/y)所确定函数z=f(x,y)的全微分dz
全微分公式：dz z dx z dy x y
隐函数的求导公式：F(x, y, z) 0
已知：z x y z , 求 z , z x y
解：F (x, y, z) z x y z
z x
Fx' Fz'
z x ln z xz x1 y z ln
y
z x
Fy' Fz'
zy z1 xz x1 y z
ln
y
11
二、积分
1、变量代换 2、分部积分 3、直角坐标系下的二重积分 4、极坐标系下的二重积分
1
11
ห้องสมุดไป่ตู้
x
e
e 21 ln xdx e 2
16
二重积分
Chapter 8 三、11 画区域D的示意图；
OA:y=2x,OB:y=1/2x,OC:y=3-x
解一： xdxdy
1
2x
0 xdx 1 x dy
2
xdx
1
3 x
1 x dy
D
2
2
30 3 22
解二： xdxdy
2
1 e y2 dy2 1 e y2 1
40
4 04
18
4：极坐标系下的二重积分
Chapter 8 三、14
a2 x2 y2 dxdy
D
2
a
d
a2 r 2 rdr
0
0
a
a2 r2 d(a2 r2)
0
2 (a2 r 2 )32 a 1, a 3 3
3
12
1、变量代换
(1)
求：3 x 1 xdx 0
解：令 1 x t 0,则x t 2 1, dx 2tdt
当x 0时，t 1;当x 3时，t 2.
3
x
1 xdx
2 (t 2 1)t2tdt 2 2 (t 4 t 2 )dt
0
1
1
2(1 t5 1 t3) 2 7 11