第6届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)答案
全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷
余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler)方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何 1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角. 3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和
f ( y) x2[1 f ( y)]3
1 x2 (1 f ( y))
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
解法 2 方程 xe f (y) ey ln 29 取对数，得 f ( y) ln x y ln ln 29
（1）
方程（1）的两边对 x 求导，得 f ( y) y 1 y x
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，
则
d2 y dx 2
________________.
解法 1 方程 xe f ( y) ey ln 29 的两边对 x 求导，得
e f ( y) xf ( y) ye f ( y) e y y ln 29
即
[ 1 f ( y) y]xe f ( y) ye y ln 29 x
因 e y ln 29 xe f ( y) 0 ，故 1 f ( y) y y，即 y
1
，因此
x
x(1 f ( y))
d2 y dx 2
y
1 x2 (1 f
( y))
f ( y) y x[1 f ( y)]2
点到直线的距离. 6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次
2017年数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准及参考答案 .doc
2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n c o sx x c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。
2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。
3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。
则21xx yy w w c-=_________。
解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。
所以1221=4xx yy w w f c-。
4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。
这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类
全国高校生竞赛历年试题名师精讲〔非数学类〕〔2021——2021〕第五届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、 解答以下各题〔每题6分共24分，要求写出重要步骤〕(lim 1sin nn →∞+.解 因为()sin sin 2n π==……〔2分〕；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦exp ⎛= ⎝0sin xdx x+∞⎰不是肯定收敛的 解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………〔2分〕因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………〔2分〕 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法nn a∞=∑发散。
……………………………………〔2分〕()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………〔1分〕 故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………〔2分〕将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………〔2分〕又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为微小值。
历届全国大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题统计分析
第24卷第3期2021年5月高等数学研究STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICSVol24,No.3May2021doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2021.03.022历届全国大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题统计分析刘烁—，马丽娜2,吴克坚—，徐清华—，王瑞星—，赵清波1$•空军军医大学基础医学院数学物理教研室，陕西西安,710032*2.陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安,710062)摘要本文对历届全+大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题及答案进行了统计分析，剖析了竞赛试题的命题理念与结构特点，并提出竞赛准备的几点建议•关键词大学生数学竞赛；统计分析中图分类号O13文献标识码A文章编号1008-1399(2021)03-0077-03Statistical Analyses of the Chinese Mathematics Competitionsfor Non-Mathematical ProfessionalsLIU Shuo1,MA Lina2,WU Kejian1,XU Qinghua1,WANG Ruixing,and ZHAO Qingbo1 (18TeachingandResearchLaboratoryofMathematicsandPhysics!SchoolofBasic Medical!AirForce MedicalUniversity!Xian710032,PRC；28Co l ege of Mathematics and Information Science!Shaanxi Normal University!Xi'an710062!PRC)Abstract With al the past test questions of the Chinese Mathematics Competitions for Non-Mathematical Professionals,this paper presents the statistics of the questions'proposition idea and structural character-iDticD!andputDforwardDomeDuggeDtionD.Keywords TheChineDe MathematicDCompetitionD!DtatiDticalanalyDiD为激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才,自2009年起，中国数学会每年举办一次全国大学生数学竞赛(The Chinese Mathematics Competitions(简称CMC)).竞赛的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生，分为数学专业类和非数学专业类两组，数学专业类竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，非数学专业类竞赛内容为大收稿日期：2020-05-28修改日期：2020-09-01作者简介：刘烁(1979—),男，湖南安乡人，硕士，副教授,主要从事生物数学传染病动力学模型研究,Email：liushuo912@.通讯作者：赵清波(1966—),女，河南洛阳人，硕士，教授，主要从事卫生统计学研究，Email：zhaoqbo@.学本科理科高等数学课程的教学内8竞赛分为初赛和决赛进行,试题均由全国大学生数学竞赛委员会统一组织专家命制.分区初赛由各省(市、区、军队院校)数学会负责组织选拔，使用全国统一试题，在同一时间内进行考试;决赛由全国大学生数学竞赛工作小组和承办单位负责组织实施.作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，全国大学生数学竞赛为青年学子提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台，为高校发现和选拔优秀数学人才并进一步促进数学课程建设的改革和发展积累了调研素材.竞赛试题在所考查的知识内容、题量分布与命题理念方面有何特点，在解题方法上应该怎样准备，是许多大学数学老师和学生十78高等数学研究2021年5月分关心的问题，有鉴于此，笔者对历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛的试题进行了全面的统计分析，希望能有助于大家进一步明确全国大学生数学竞赛的试题特点与复习教学目标，从而更好地加强教学及备考的针对性.一、历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛试题统计分析1.试题来源及整体情况试题来源于全国大学生数学竞赛资源网，网址：.选取2009年至2019年共11届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛试题，共101题，总分值1100分.2.题将11届试题的每一道题按题型、分值、所考查的知识点、用到的解题方法进行整理，利用python 统计题型分布，知识点及解题方法出现的频次.（1）题量除2011年9道,2009年和2012年11道外，其余均为10道题.（2）型题型主要有填空、计算、证明、综合（既有证明又有计算）四类。
第六届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试卷(非数)
第1页（共8页） 第2页（共8页）密封线内不要答题……………………………………密……………………………………封………………………………………线………………………………………第六届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试卷（非数学类，2014）考试形式： 闭 卷 考试时间：150分钟 满分： 100分注意：1.所有答题内容必须写在试卷密封线右边，写在演草纸上无效； 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 得 分 评阅人1.()()()()10,lim xx f a x f x x a f a f a →+⎡⎤=≠=⎢⎥⎣⎦设函数在处可导，且则；2. 过点()2,1,3且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程为 ；3.()()()()01=1.,,d ab af x f a b f x x a +∞⎰设函数在，上连续,若对任意的正数与无关，()1d x f e x -=⎰则 ；4.设函数()y f x =满足方程20y y y '''+-=与2x y y e ''+=，则();f x =5.设级数()()2ln 12an n n n ∞=⎡⎤++⎣⎦∑收敛，则a = ；6. 设()()()(1),0,0,1.f x af x f b ab f ''+==≠=且则得 分 评阅人二、（10分）矛盾的加布里埃尔号角：在区间[)1,∞上，曲线1y x=绕着x 轴旋转一周得到的曲面所围成的空间体叫作加布里埃尔号角（如图）．证明： （1）这个号角的体积V 是有限的； （2）这个号角的表面积是无限的.题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 满 分 30 10 10 10 10 15 15 100 得 分姓名 身份证号 所在院校 年级 专业 ………………………………………………………密……………………封…………………………线……………………………………………………………………一、填空题（本题共6小题，每题5分，共计30分）第3页（共8页） 第4页（共8页）三、（10分）设()y y x =是微分方程()()22211xy x y x x '-+=>的满足()11y y =的解，求()lim .x y x →+∞四、（10分）设有半径为r 的圆C ,（1）圆C 是否存在面积为24r 的内接三角形？ （2）圆C 是否存在面积为24r 的内接三角形？第5页（共8页） 第6页（共8页）五、（10分）设函数()f x 为连续函数，(1)0,f =且对任意的x 满足()()221.f x xf x -=证明：对于任意的[]1,1x ∈-，恒有()0f x =.六、（15分）设曲面()22:1S x y z --=.（1）求S 在点()1,0,0M 处的切平面π的方程；（2）证明：原点到S 的最短距离等于原点到平面π的距离.第7页（共8页） 第8页（共8页）七、（15分）求曲面22x y az +=及2z a =所围空间立体的体积，其中()()11112.12n n a n n ∞=+++=++∑。
第六届高等数学竞赛(文科类)试题答案
第六届文科高等数学竞赛试题答案一、填空题（本题共5小题, 每小题3分, 满分15分.）1.5；2. ；3. ；4. ；5. .二、选择题（本题共5小题, 每小题3分, 满分15分.）1.D ； 2、A ； 3、A ； 4、B ； 5、C三、（本题满分10分）2011lim[ln(1)]x x x x →-+ =20ln(1)lim x x x x →-+=0111lim 2x x x →-+ =01lim 2(1)x x x x →+ =011lim21x x →+ =12四、（本题满分12分）令 , 则当 时 , 时212(1)f x dx -⎰=112()f t dt -⎰=211211221t te dt dt -+-⎰⎰ =0-12=-12五、（本题满分12分）cos sin cos sin sin cos sin cos t t t t dydy e t e tt tdt dx dx e t e t t t dt--===++22d y dx =cos sin cos sin 1()()sin cos sin cos sin cos t t d t tdt tdx t t dt t t e t e t --=•+++ =3(12sin cos )(12sin cos )(sin cos )t t t t t e t t -+--+ =32(sin cos )t e t t -+六、（本题满分12分）21cos 2cos 2x x dx dx x x =+⎰⎰ =21sec 22x x dx ⎰=tan 2x xd ⎰ =tan tan 22x x x dx -⎰ =sin 2tan 2cos 2x x x dx x -⎰ =cos 2tan 22cos 2x d x x x +⎰ =tan 2ln |cos |22x x x C ++七、（本题满分12分）设切线斜率为 , 则|2|2x a x a k y x a =='===切线方程为 , 即又设该切线与抛物线 两交点横坐标为 和 , 不妨设 由222222(2)1041ax a y x a x a y x x ⎧-=⇒+-+-=⎨=-+-⎩ 所以 ,因此1022(412)x x S x x ax a dx =-+--+⎰ =10322[(2)(1)]3xx x a x a x -+-+- =2102(243)()3a a x x -+- =3224(243)3a a -+ , 令 （唯一）当 时 , 当 时 , 所以在 时 有唯一极小值, 此即为最小值, 从而 时所作切线与抛物线 所围成图形面积最小.八、（本题满分12分）证明: 令 , 则 在[0,1] 上连续, 在(0,1)内可导,且 , 又 , , 所以由罗尔定理可知, 至少存在 使得 , 因此 =0 所以()()f f ξξξ'=-。
全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷
(*) 2 0 (1 2t 2 t 4 )dt 1
2
1 0
(1 2t 2
t 4 )dt
2t
2 t3 3
1 5
t
5
1 0
16 15
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2
2
f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________.
0
解 令 A 2 f (x)dx ，则 f (x) 3x2 A 2 ， 0
n
x0
n
故
A lim ex e2x enx n e
x0
n
x
e lim ex e2x enx n
x0
nx
e lim ex 2e2x nenx e 1 2 n n 1 e
x0
n
n
2
因此
lim ( ex
e2x
e
nx
)
e x
eA
n1e
e 2
x0
n
解法 2 因
(x0 , y0 ) 处 的 法 向 量 为 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) ， 故 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) 与
(2,2,1) 平行，因此，由 zx x ， z y 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 z y (x0 , y0 ) 2 y0 ，
y(1
f ( y))
因此
—4—
y
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
二、（5
分）求极限 lim ( ex
e2x
e nx
e
)x
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知xx e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一． 计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭； （2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。
二．（10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。
三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。
四．（17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五．（16分）已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S的正法向的方向余弦。
计算：（1）(),,S zdS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。
七．（15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、？请说明理由。
大学数学竞赛试题及答案
大学数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. πC. -1D. i答案：D2. 函数f(x)=x^2在区间[-2, 2]上的最大值是：A. 0B. 4C. -4D. 2答案：B3. 以下哪个数列是等差数列？A. 1, 4, 9, 16B. 1, 1/2, 1/3, 1/4C. 2, 4, 6, 8D. 1, 2, 3, 4答案：C4. 矩阵A和B满足AB=BA，那么A和B：A. 一定是方阵B. 一定是可逆矩阵C. 一定是对角矩阵D. 一定是正交矩阵答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算极限：lim (x→0) (sin x)/x = ______。
答案：12. 求不定积分：∫x^2 dx = ______。
答案：(1/3)x^3 + C3. 设函数f(x)=x^3-3x+2，求f'(x) = ______。
答案：3x^2-34. 已知矩阵A=\[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\]，求A的行列式det(A) = ______。
答案：-2三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：如果一个数列是单调递增且有界的，则该数列必定收敛。
证明：假设数列{a_n}是单调递增的，即对任意的n，有a_n ≤ a_{n+1}。
又因为该数列有界，所以存在实数M和m，使得对所有的n，有m ≤ a_n ≤ M。
由于数列是单调递增的，我们可以构造一个新的数列{b_n}，其中b_n = a_{n+1} - a_n。
由于{a_n}是单调递增的，所以数列{b_n}非负。
又因为{a_n}有界，所以存在一个实数N，使得对所有的n > N，有b_n < 1。
这意味着从某一项开始，数列{a_n}的增长速度将小于1，因此数列{a_n}必定收敛。
2. 计算定积分：∫[0, π] sin x dx。
全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，xx exe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类)
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=，dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
又 ，那么 ，因此 …（3分）
…………………（2分）
五、（总分值14分）设 是一个滑腻封锁曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 。试确信曲面 ，使积分I
的值最小，并求该最小值。
解 记 围成的立体为V，由高斯公式
……………（3分）
为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域 ，即
取 ，曲面 ……（3分）
为求最小值，作变换 ，那么 ，
从而 ……………………………………（4分）
利用球坐标计算，得
……………………（4分）
六、（总分值14分）设 ，其中 为常数，曲线C为椭圆 ，取正向。求极限
解 作变换 （观看发觉或用线性代数里正交变换化二次型的方式），曲线C变成 平面上的椭圆 （实现了简化积分曲线），也是取正向…（2分）
(2)方式一：
方式二（将一型曲面积分转化为二型）：
记 ，取面 向下， 向外，
由高斯公式得：
，求该三重积分的方式很多，现给出如下几种常见方式：
1先一后二：
②先二后一：
③广义极坐标代换：
六．（此题12分）设f(x)是在 内的可微函数，且 ，其中 ，任取实数 ，概念 证明： 绝对收敛。
证明：
由拉格朗日中值定理得： 介于 之间，使得
，又 得
级数 收敛， 级数 收敛，即 绝对收敛。
七．（此题15分）是不是存在区间 上的持续可微函数f(x)，知足 ，
？请说明理由。
解：假设存在，当 时，由拉格朗日中值定理得：
介于0，x之间，使得 ，
同理，当 时，由拉格朗日中值定理得：
介于x，2之间，使得
即
，
显然，
，又由题意得
即 ，
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
第六届中国大学生数学竞赛预赛试卷
第六届中国大学生数学竞赛预赛试卷（数学类，2014年10月）考试形式：闭卷 考试时间：150分钟 满分：100分2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。
3.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号。
一．（本题15分）已知空间的两条直线116171:182314:21+=-+=+-=--=-z y x l z y x l1）证明：1l 和2l 异面；2）求1l 和2l 公垂线的标准方程；3）求连接1l 上的任一点和2l 上的任一点线段中点的轨迹的一般方程。
二．（本题15分）设[]1,0C f ∈是非负的严格单调曾函数。
1）证明：对任意N n ∈，存在唯一的[]1,0∈n x ，使得 ()()()()dx x f x f nnn ⎰=10.2)证明：1lim =∞→n n x三．（本题15分）设V 为闭区间[]10，上全体实函数构成的实向量空间，其中向量加法与纯量乘法均为通常的。
V f f n ∈ ,1.证明以下两条等价： 1）n f f ,1线性无关；2）[]1,0,1∈∃n a a 使得()()0det ≠j i a f ，这里det 表示行列式。
四．（本题15分）设()x f 在R 上有二阶导函数，()()()x f x f x f ''',,都大于零，假设存在正数b a ,使得()()()x f b x af x f '+≤''对一切R x ∈成立。
1）求证：()0lim ='-∞→x f x ；2）求证：存在常数c 使得()()x cf x f ≤'； 3）求使上面不等式成立的最小常数c 。
五．（本题20分）设m 为给定的正整数。
证明：对任何的正整数l n ,，存在m 阶方阵X 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+=+122101321001230001200001m m m m m m I X X ln六（本题20分）设()10，∈α，{}n a 是正数列且满足()+∞∈=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→,01inf lim 1λαn n n a a n 求证：0lim =∞→n k n a n ，其中0>k。
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1 f ¢¢(x )(0 - x) 2 , x Î (0, x), 2 1 f (1) = f ( x) + f ¢( x )(1 - x) + f ¢¢(h )(1 - x ) 2 ,h Î ( x,1), 2 1 1 上述两式相减，得到 f (0) - f (1) = - f ¢( x ) - f ¢¢(h )(1 - x ) 2 + f ¢¢(x ) x 2 , 于是 2 2 1 1 f ¢( x ) = f (1) - f (0) - f ¢¢(h )(1 - x ) 2 + f ¢¢(x ) x 2 . 2 2 f (0) = f ( x) + f ¢( x)(0 - x) +
(-2 x0 , -4 y0 ,1) = k (2, 2,1) , 从而 k = 1 . 故得 x0 = -1 , y0 = 2x + 2 y + z +
（3）设函数 y = y ( x ) 由方程 x = 答案: y ¢ = 3
-1 3 , 这样就有 z0 = . 所求切面方程是 2 2
3 =0. 2
I = ò -2 np
e
1
d æ 1ö cos ç ln ÷ dx. dx è xø
I = ò -2 np
e
1
1 1 d d 1 æ 1ö cos ç ln ÷ dx = ò -2 np cos ( ln x ) dx = ò -2 np sin ln x dx. ……….….. (6 分) e e dx dx x è xø
由条件 | f ( x ) |£ A , | f ¢¢( x) |£ B ，得到
………. (5 分)
………… (8 分)
| f ¢( x) |£ 2 A +
B (1 - x) 2 + x 2 ) . ( 2
………. (11 分)
因 x 2 + (1 - x) 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 在 [0,1] 的最大值为 1, 故
y-x
ò
1
dy æ pt ö sin 2 ç ÷ dt 所确定，求 dx è 4 ø
=
x =0
.
[ 参 考 解 答 ] 易 知 在 y (0) = 1 . 对 方 程 的 两 边 关 于 x 求 导 ， 得 1 = sin 2 ç
æp ö ( y - x) ÷ ( y¢ - 1), 于 是 è4 ø
| f ¢( x) |£ 2 A +
B . 2
……….. (14 分)
四 (本题满分 14 分) (1)设一球缺高为 h ，所在球半径为 R .证明该球缺的体积为 的面积为 2p Rh .
æp ö y ¢ = csc 2 ç ( y - x ) ÷ + 1 ，把 x = 0 代入上式，得 y ¢ = 3 . è4 ø
（4）设 xn = 答案：1 [参考解答]
n æ1 1 ö k = xn = å å ç ÷ (k + 1)! ø k =1 è k ! k =1 ( k + 1)!
n
å (k + 1)! ，则 lim x
2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案
一 填空题(共有 5 小题, 每小题 6 分,共 30 分) （1） 已知
y1 = e x 和 y2 = xe x 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___________.
答案: y¢¢( x ) - 2 y ¢( x ) + y ( x ) = 0 [参考解答] 由题设知该方程的特征方程有二重根 r = 1 ，故所求微分方程是 y¢¢( x ) - 2 y ¢( x ) + y ( x ) = 0 . （2）设有曲面 S : z = x 2 + 2 y 2 和平面 L : 2 x + 2 y + z = 0 , 则与 L 平行的 S 的切平面方程是________. 答案: 2 x + 2 y + z +
其中 a ® 0( x ® 0) ，即有
f ( x ) e3 x +a x - 1 = - 1 ，从而 x2 x
f ( x) e 3 x +a x - 1 3x + a x lim 2 = lim - 1 = lim - 1 = 2. x ®0 x x ®0 x ® 0 x x
二 (本题满分 12 分) 设 n 为正整数, 计算 [参考解答与评分标准]
k =1
n
k
n ®¥
n
=___________.
æ1 1ö æ1 1ö æ1 1ö 1 ö 1 æ = ç1 - ÷ + ç - ÷ + ç - ÷ + L + ç ®1. ÷ = 1(n + 1)! è 2! ø è 2! 3! ø è 3! 4! ø è n ! (n + 1)! ø
1
(5 )
3 =0 2
[参考解答] 设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 为 S 上一点, 则 S 在 P 0 的切平面方程是
-2 x0 ( x - x0 ) - 4 y0 ( y - y0 ) + ( z - z0 ) = 0 .
由 于 该 切 平 面 与 已 知 平 面 L 平 行 , 则 ( -2 x0 , -4 y0 ,1) 平 行 于 (2, 2,1) , 故 存 在 常 数 k ¹ 0 使 得
f ( x) ö x æ 3 已知 lim ç 1 + x + ÷ =e x ®0 x ø è
1
1
则 lim
x ®0
f ( x) =___________. x2
答案: 2
1 f ( x) f ( x) ö x 1 f ( x) æ 3 [参考解答] 由 lim ç 1 + x + ) = 3+a, ln(1 + x + ) = 3 ,于是有 ln(1 + x + ÷ = e 知 lim x ®0 x ® 0 x x x ø x x è
令 ln x = u , 则有
I =ò
0
-2 np
sin u du = ò
B . 2
2 np
0
sin t dt = 4n òFra bibliotekp /2
0
sin t dt = 4n . ……………… (12 分)
三 (本题满分 14 分) 设函数 f ( x ) 在[0， 1]上有二阶导数， 且有正常数 A, B 使得 | f ( x) |£ A, | f "( x) |£ B . 证明：对任意 x Î [0,1] ，有 | f ¢( x ) |£ 2 A + [参考解答与评分标准] 由泰勒公式，有