(完整版)“双星”问题及天体的追及相遇问题

②三颗质量均为 m 的星体位于等边三角形的三个顶点上 ( 如图乙所示 )．双星”问题及天体的追及相遇问题一、双星问题1. 模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、 周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1) 两颗星彼此相距较近(2) 两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3) 两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点 : (1) “向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2) “周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3) 三个反比关系： m 1r 1＝m 2r 2；m 1v 1＝m 2v 2；m 1a 1＝m 2a 2推导：根据两球的向心力大小相等可得， m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，即 m 1r 1＝m 2r 2；等式 m 1r 1＝m 2r 2两边同乘以角速度 ω，得 m 1r 1ω＝m 2r 2 ω，即 m 1v 1＝ m 2v 2；由 m 1ω r 1＝m 2ω r 2直接可得， m 1a 1＝m 2a 2。

4. 解答双星问题应注意“两等” “两不等”(1) “两等” : ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供， 即它们受到的向心力大小总是相等。

(2) “两不等” : ①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它 们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由 m 1ω2r 1＝ m 2ω2r 2知由于 m 1与m 2一般不相等，故 r 1与 r 2一般也不相等。

、多星模型(1) 定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(4) 巧妙求质量和： G Lm2m＝m 1ω r 1① G Lm 2m＝ m 2ω r 2② 由①＋②得：G mL 2 m＝ω L∴m 1＋m 2ω2L3(2) 三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为 R的圆形轨道上运行(如图甲所示) ．②三颗质量均为 m的星体位于等边三角形的三个顶点上( 如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙) ．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心 O，外围三颗星绕 O做匀速圆周运动( 如图丁所示) ．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的奇数倍。

3、对于天体追及问题的处理思路：(1) 根据G r M2 ＝m mrω2，可判断出谁的角速度大；(2) 根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于π的奇数倍。

在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。

题型一双星规律的应用【例题】2017年 6月 15 日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬 X 射线调制望远镜卫星“慧眼”。

“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国国 X 射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越。

“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等 致密天体和爆发现象。

在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为 L ，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为 T ，引力常量为 G ，则双黑洞总质量为（）答案】 A点睛：双星模型与卫星模型是万有引力部分的典型模型，要能熟练应用。

【类题训练 1】引力波现在终于被人们用实验证实， 爱因斯坦的预言成为科学真理． 早在 70 年代有科学家发现高速 转动的双星，可能由于辐射引力波而使质量缓慢变小，观测到周期在缓慢减小，则该双星间的距离将（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变A. 4GT2L 23B.42L 33GT 2C.GL 342T 2D.42T 3GL2解析】 对双黑洞中的任一黑洞： m 1m 2G1L 2 2m12r 1得G m 2222r1对另一黑洞： Gm1m2 2L2m22r 2 得Gm1 L 2又r 1L 联立可得： m 2m 1 G 22G 21r 1 r 2则G m2L2m 1r 1r 2 即G L2 双黑洞总质量 M4 2L 23。

故 A 项正确。

GT 2D.可能变大也可能变小答案】 B解析】 : 双星靠相互间的万有引力提供向心力 , 有 :m 1m 2 G2 r2m 1m 2 2G 2m 2rrT计算得出m 1 m 2列说法正确的是（ ）A. A 星的轨道半径为 1dm1 m 2B. A 星和 B 星的线速度之比为 m 1：m 2D. 若在 O 点放一个质点，它受到的合力一定为零 【答案】 C【解析】试题分析： 双星系统是一个稳定的结构， 它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动， 角速度相等， 万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解．双星系统中两个星体做圆周运动的周期相同，即角速度相同，过程中，两者之间的引力充当向心力，故G m1m2 2m 1 12r 1 m 222r 2 ，又知道 r 1 r 2 d ，解得 r 1m2d ，r 1m1d ，A 错误；两者的角速度相d 2m 1 m 2m 1 m 2同，故有v1v2，即 v1r1 m2， B 错误；A星受到的引力为 F Gm1m 22，放在O点的星体对其的引力为r 1 r 2 v 2r 2 m 1 dm1类题训练 2】因为双星的总质量减小 , 周期减小 , 可以知道双星间距离在减小 所以 B 选项是正确的若某双星系统 A 和 B 各自绕其连线上的 O 点做匀速圆周运动。

已知 A星和 B 星的质量分别为 m 1 和 m 2，相距为 d ，C. 若 A 星所受 B 星的引力可等效为位于 O 点处质量为 m 的星体对它的引力，则 m'm2m12m2234r2 , 计算得出2题型二 追及问题原理的理解例题】 太阳系中某行星运行的轨道半径为 R 0 ，周期为 T 0 ．但科学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔 t 0 时间发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星，则这颗未知行星运动轨道半径为【解析】：由题意可知轨道之所以会偏离那是因为受到某颗星体万有引力的作用相距最近时 万有引力最大偏离程度最大。

设未知行星的周期为 T 则：类题训练 1】 将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，已知火星的轨道11 11半径 r 1 2.3 1011m ，地球的轨道半径为 r 2 1.5 1011m ，根据你所掌握的物理和天文知识，估算出火星与 地球相邻两次距离最小的时间间隔约为类题训练 2】如图所示， A 、 B 为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同， A 为地球同步卫星， A 、B 卫星F'm 1mG2 r1，两者等效，则有 Gm 1m 2m 1m G2r 1代入 r 1 m2d 可得 m' m 1m 2 m13m 2C 正确；若在圆心m2处放一个质点，合力F Gm1m20 Gm2m2 0r 12r 222Gm 0 m 1 m 2d 2m 12 m 2m2 2 m 10，D 错误．A ． R R 0t0 2 )0 TB ．tR0t 0 TC ．3R 0 (t0t-0T0)2R 0t 02tT 0tT1则Tt0Tt0 T根据开普勒第三定律T002 T R 23得RR0 (tt0 T2)2选 AA ．1年B ．2 年C ．3年D ．4 年【解析】 已知地球绕太阳的公转周期为 T 1 1年 设火星的公转周期为T 2 T 1 (r2)32年 又根据t t1 化简得 tT1T22年T 2 根据开普勒第三定律T 1232得2的轨道半径的比值为 k，地球自转周期为 T0．某时刻 A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B 间距离最远所经历的最短时间为(答案】 C点睛：本题主要考查了开普勒第三定律的直接应用， 注意只有围绕同一个中心天体运动才可以使用开普勒第三定律。

类题训练 3】如图所示， A 为太阳系中的天王星，它绕太阳 O 运行的轨道视为圆时，运动的轨道半径为 R 0，周期为 T 0 ，长期观测发现，天王星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔径出现一次最大．根据万有引力定律，天文学家预言形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知的行由此可推测未知行星的运动轨道半径是答案】 DA. 0B. 2 k 31T 0C.T 0 D.2 k 31T 0解析】 由开普勒第三定律得：TB 2，设两卫星至少经过时间 t 距离最远，即 B 比 A 多转半圈，1n B n A，又 T AT T 2ttT 0T 0 ，解得： t 0，故选项 C 正确。

2 k 31t 0 时间发生一次最大偏离，即轨道半星(假设其运动轨道与 A 在同一平面内，且与 A 的绕行方向相同 ) ， 它对天王星的万有引力引起天王星轨道的偏离，R 03 t0 t0TD.解析】 设未知的行星的周期为 T ，依题意有：t0 t01 ， TT 0则t 0 tT0 T T，根据开普勒第三定律： T T 02 R R 02 ，联立解得： R R 0 3tt 0 T 02， D 正确， ABC 错误．故选：D 。

T 0C.A. t0 t0T0 R 0 B. R 0R 0地球赤道重合 , 飞行高度低于地球同步卫星。

已知卫星轨道半径为 r, 飞行方向与地球的自转方向相同 , 设地球的自转类题训练 4】如图建筑是厄瓜多尔境内的“赤道纪念碑”。

设某人造地球卫星在赤道上空飞行 , 卫星的轨道平面与角速度为 ω0, 地球半径为 R, 地球表面重力加速度为 g, 某时刻卫星通过这一赤道纪念碑的正上方 , 该卫星过多长时间再次经过这个位置 ?( )答案】 D解析】试题分析：在地球表面重力与万有引力大小相等，根据卫星的轨道半径求得卫星的角速度，所以卫星再次 经过这个位置需要最短时间为卫星转动比地球转动多一周，从而求得时间所以当卫星再次经过该建筑物上空时，卫星比地球多转动一周，故有 确．对卫星，万有引力充当向心力， 故G Mm2 r 2 m 2r ，结合黄金替代公式 GM gR 2 可得卫星的角速度为D.0 t 2 ，解得 t ，D正。