专题 几何动态探究题
专题01 几何动态问题(解析版)
专题01 几何动态问题1．小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系．如图1，ABC D 中，CD 为AB 边的中线，可得AD BD =，过点C 作CM AB ^于M ，则1122ADC BDC S AD CM BD CM S D D =×=×=．在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：（1）如图2，矩形ABCD 中，点M ，N 分别为CD ，AB 上的动点，且DM AN =，AM 与DN 交于点E ．连接CE ．①判断DAE D 与DME D 的面积关系；②若3AD =，4AB =，当点M 为CD 的中点时，求四边形BCEN 的面积；（2）ABC D 中，30A Ð=°，6AB =，点D 为AB 的中点，连接CD ，将ACD D 沿CD 折叠，点A 的对应点为点E ，若ECD D 与ABC D 重合部分的面积为ABC D 面积的14，直接写出ABC D 的面积．【解答】解：（1）①连接MN ，作DP AM ^，垂足为P ，//DM AN Q ，DM AN =，90ADM Ð=°，\四边形ANMD 是矩形，AE EM \=，DE EN =，12DAE S AE DP D \=×，12DME S EM DP D =×，DAE DME S S D D \=；②DNA DEC BCEN ABCD S S S S D D =--四边形四边形，E Q 为AM 的中点，E \到DM 的距离为12AD ，11114332222DEC S DC AD D \=×=´´´=，111433222DAN S AN AD D =×=´´´=，4312ABCD S AB CD =×=´=Q 矩形，12336BCEN S \=--=四边形；（2）设ACD S D 的高为h ，由前面提到的发现可知，CD 作为中线，可得ACD CDB S S D D =，11132222ACD S AD h AB h h D =×=´×=Q ，23ABC ACD S S h D D \==，设BC 交DE 于点Q ，Q 重合部分面积为ABC S D 的14，即13344CDQ S h h D =´=，11111244222CDQ ABC ADC ADC CDE CDB S S S S S S D D D D D D \==´===，CQ Q 是中线，QD QE \=，1111322222QE DE AD AB \===´=，CDE D Q 是由ACD D 沿CD 折叠，30A E \Ð=Ð=°，cos30°=Q\QE CE ==CE \，根据勾股定理得，CQ ==，CQE CQD S S D D \==14ABC CQE S S D D \=2．【问题再现】苏科版《数学》八年级下册第94页有这样一题：如图1，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，AD 上的点，GE BF ^，垂足为M ，那么GE = BF ．（填“<”、“ =”或“>” )【迁移尝试】如图2，在56´的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点M ．求AMC Ð的度数；【拓展应用】如图3，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP ，BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF ，连接DE 分别交线段BC ，PC 于点M ，N ．①求DMC Ð的度数；②连接AC 交DE 于点H ，直接写出DH BC的值为 ．【解答】解：【问题再现】GE BF ^Q ，90BMG \Ð=°，将线段GE 向左平移至AL 处，交BF 于I ，AL GE \=，90AIB BMG Ð=Ð=°，90BAL ABI \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 为正方形，AB BC \=，90ABC C Ð=Ð=°，90CBF ABI \Ð+Ð=°，BAL CBF \Ð=Ð，()ABL BCF ASA \D @D ，AL BF \=，GE BF \=，故答案为：=；【迁移尝试】将线段AB 向右平移至ND 处，使得点B 与点D 重合，连接PN ，如图2所示：AMC NDC \Ð=Ð，设正方形网格的边长为单位1，则由勾股定理可得：DN ==，PD ==，PN ==，222PN PD DN \+=，DPN \D 是直角三角形，90DPN Ð=°，且PN PD =，45AMC NDC \Ð=Ð=°；【拓展应用】①平移线段BC 至DK 处，连接KE ，如图3所示：则DMC KDE Ð=Ð，四边形DKBC 是平行四边形，DC KB \=，Q 四边形ADCP 与四边形PBEF 都是正方形，DC AD AP \==，BP BE =，90DAK KBE Ð=Ð=°DC AD AP KB \===，AG BP BE \==，在AKD D 和BEK D 中，AK BE DAK KBE AD KB =ìïÐ=Ðíï=î，()AKD BEK SAS \D @D ，DK EK \=，ADK EKB Ð=Ð，90EKB AKD ADK AKD \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90EKD \Ð=°，45KDE KED \Ð=Ð=°，45DMC KDE \Ð=Ð=°；②如备用图所示：AC Q 为正方形ADCP 的对角线，45DAC PAC DMC \Ð=Ð=Ð=°，AC \=，HCM BCA Ð=ÐQ ，AHD CHM ABC \Ð=Ð=Ð，ADH ACB \D D ∽，\DH AD BC AC ==，．3．已知，矩形ABCD中，4=，AC的垂直平分线EF分别交AD、BCBC cmAB cm=，8于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；D和CDE（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFBD各边匀速运动一周．即点P自A F B A®®®停止．在运动过程中，®®®停止，点Q自C D E C①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，0)ab¹，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．【解答】解：（1）①Q四边形ABCD是矩形，\，AD BC//Ð=Ð，CAD ACB\Ð=Ð，AEF CFEQ垂直平分AC，垂足为O，EF\=，OA OC\D@D，AOE COFOE OF \=，\四边形AFCE 为平行四边形，又EF AC ^Q ，\四边形AFCE 为菱形，②设菱形的边长AF CF xcm ==，则(8)BF x cm =-，在Rt ABF D 中，4AB cm =，由勾股定理得2224(8)x x +-=，解得5x =，5AF cm \=．（2）①显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ，Q 在CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =，Q 点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，5PC t \=，4124QA CD AD t t =+-=-，即124QA t =-，5124t t \=-，解得43t =，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒．②由题意得，四边形APCQ 是平行四边形时，点P 、Q 在互相平行的对应边上．分三种情况：)i 如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CQ =，即12a b =-，得12a b +=；)ii 如图2，当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=；)iii 如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AP CQ =，即12a b -=，得12a b +=．综上所述，a 与b 满足的数量关系式是12(0)a b ab +=¹．4．（1）已知：如图1，ABC D 为等边三角形，点D 为BC 边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边ADE D ，连接CE ．求证：①BD CE =，②120DCE Ð=°；（2）如图2，在ABC D 中，90BAC Ð=°，AC AB =，点D 为BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ，类比题（1），请你猜想：①DCE Ð的度数；②线段BD 、CD 、DE 之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连接BE ，若10BE =，6BC =，直接写出AE 的长．【解答】证明：（1）①如图1，ABC D Q 和ADE D 是等边三角形，AB AC \=，AD AE =，60ACB B Ð=Ð=°，60BAC DAE Ð=Ð=°，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，BAD EAC \Ð=Ð．在ABD D 和ACE D 中，AB AC BAD EAC AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，BD CE \=；②ABD ACE D @D Q ，60ACE B \Ð=Ð=°，6060120DCE ACE ACB \Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）90DCE Ð=°，222BD CD DE +=．证明：如图2，90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45B ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90B ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE \Ð=°，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；（3）①（2）中的结论还成立．理由：90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45ABC ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90ABC ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE ECD \Ð=°=Ð，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；②Rt BCE D Q 中，10BE =，6BC =，8CE \===，8BD CE \==，862CD \=-=，Rt DCE \D中，DE ===，D Q\AE ==．5．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B ¢落在MN 上，折痕为EC ，连接DB ¢，如图2．①点B ¢在以点E 为圆心， BE 的长为半径的圆上；②B M ¢= ；③△DB C ¢为 三角形，请证明你的结论．拓展延伸（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点)B 折叠后，点B 的对应点B ¢落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ¢D 面积的最大值为 ；②连接AB ¢，点P 为AE 的中点，点Q 在AB ¢上，连接PQ ，AQP AB E ¢Ð=Ð，则2B C PQ ¢+的最小值为 ．【解答】解：（1）由折叠的性质知，BE BE =¢，BC B C =¢，1322MA MB NC ND AB =====，B EB C Ð=Т，①由题意得，点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上；②3MB MN MB MN ¢=-¢=-==；③BC B C CD =¢=Q ，而B D B C ¢===¢，\△DB C ¢为 等边三角形，故答案为①BE ；；③等边；（2）①33AB AE ==Q ，则1AE =，2BE =，Q 点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上，如图1，ABB ¢\D 面积的最大时，只要AB 边上的高最大即可，\当B E AB ¢^时，ABB ¢D 面积的最大，ABB ¢\D 面积1132322AB B E =´´¢=´´=，故答案为3；②AQP AB E ¢Ð=ÐQ ，//PQ B E \¢，P Q 是AE 的中点，PQ \是AEB D ¢的中位线，如图2，12PQ B E \=¢，即2B C PQ B C B E ¢+=¢+¢，E \、B ¢、C 三点共线时，2B C PQ ¢+取得最小值为CE ，则CE ===，．6．（1）如图1，菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD ，DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积为 （2）如图2，平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD 、DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请求出最值；（3）如图3，四边形ABCD 中，AB AD =，1CD =，90A C Ð=Ð=°，60ABC Ð=°，点M 、N 分别为边AD 、DC 上的动点，且2DM DN +=，是否存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小？若存在，求出DMN D 的周长最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B 作BE DA ^延长线于点E ，过点B 作BF DC ^延长线于点F ，则90BEA BFC Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是菱形，//AB CD \，//AD BC ，60ABC D Ð=Ð=°，60BAE BCF \Ð=Ð=°，BE BF \==，连接BD ，设DM x =，则4DN x =-，BMD BNDBMDN S S S D D =+四边形1122MD BE DN BF =××+××11(4)22x =´+´-=故四边形BMDN 的面积为，故答案为：；（2）过点B 作BP DA ^延长线于点P ，过点B 作BQ DC ^延长线于点Q ，则90BPA BQC Ð=Ð=°，设DM x =，则4DN x =-，5AM AD DM BC DM x =-=-=-，3(4)1CN CD DN AB DN x x =-=-=--=-，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC \，//AB CD ，60BAP ABC \Ð=Ð=°，60BCQ ABC Ð=Ð=°，在Rt ABP D 中，sin 60BP AB =×°=，在Rt BCQ D 中，sin 60BQ BC =×°=ABCD ABM BCNBMDN S S S S D D =--Y 四边形115(5)(1)22x x =-´-´-=-，3DN DC =Q …，43x \-…，1x \…，0k =<Q ，S \随着x 的增大而减小，1x \=时，四边形BMDN 的面积最大为=（3）连接BD ，AB AD =Q ，90A Ð=°，45ADB ABD \Ð=Ð=°，60ABC Ð=°Q ，15DBC \Ð=°，又90BCD Ð=°Q ，75BDC \Ð=°，120ADC Ð=°，设DM x =，则2DN x =-，21x \-…，1x \…，过点M 作MH BD ^，过点N 作NJ BD ^，BMD BDNBMDN S S S D D =+四边形1122BD MH BD NJ =´´+´´1[sin 45(2)sin 75]2BD x x =×××°+-°1[(sin 45sin 75)2sin 75]2BD x =×°-°+°，sin 45sin 750°-°<Q ，\当1x =时，BMDN S 四边形存在最大值，过点M 作CD 的垂线交于延长线于点K ，60MDK \Ð=°，12DK x \=，MK =，112222NK x x x =-+=-，在Rt MKN D 中，22221)(2)(1)32MN x x =+-=-+，当1x =时，2MN 存在最小值，最小值为3，MN \\存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小，DMN D 的周长最小为2+．7．阅读材料如图1，在ABCD中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF DE=，连接CF，证明ADE CFED@D，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移（1）如图2，AD是ABCD的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF=，求证：AC BF=．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD FD=，连接MC，¼¼请根据小明的思路完成证明过程．方法运用（2）如图3，在等边ABCD中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；②若4AB=，12CF CD=请直接写出CF的长．【解答】（1）证明：延长AD至M，使MD FD=，连接MC，在BDFD和CDMD中，BD CD BDF CDM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，()BDF CDM SAS \D @D ，MC BF \=，M BFM Ð=Ð，AE EF =Q ，EAF EFA \Ð=Ð，EFA BFM Ð=ÐQ ，M MAC \Ð=Ð，AC MC \=，AC BF \=；（2）①解：线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF =，证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，如图2所示：Q 点F 为BE 的中点，BF EF \=，在BFM D 和EFD D 中，BF EF BFM EFD FM DF =ìïÐ=Ðíï=î，()BFM EFD SAS \D @D ，BM DE \=，MBF DEF Ð=Ð，//BM DE \，Q 线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，CD DE BM \==，120BDE Ð=°，18012060MBD \Ð=°-°=°，ABC D Q 是等边三角形，AB AC \=，60ABC ACB Ð=Ð=°，6060120ABM ABC MBD \Ð=Ð+Ð=°+°=°，180********ACD ACB Ð=°-Ð=°-°=°Q ，ABM ACD \Ð=Ð，在ABM D 和ACD D 中，AB AC ABM ACD BM CD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM ACD SAS \D @D ，AM AD \=，BAM CAD Ð=Ð，60MAD MAC CAD MAC BAM BAC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，AMD \D 是等边三角形，2AD DM DF \==；②解：CF 的长为1或2．当CF 为BDE D 的中位线时，1122CF CD DE ==，C \为BD 的中点，4CD BC \==，122CF CD \==，如图3，当CF 不是BDE D 的中位线时，连接CE ，取BC 的中点N ，连接FN ，过点D 作DG CE ^，过点G 作GI CD ^于点I ，过点F 作FH BC ^于点H ，CDE D Q 为等腰三角形，120CDE Ð=°，30DCE \Ð=°，12DG CD \=，12CG CE =，12CF CD =Q ，DG CF \=，N Q 为BC 的中点，F 为BE 的中点，NF \是BCE D 的中位线，//NF CE \，12NF CE CG ==，30CNF DCE \Ð=Ð=°，12HF NF \=，12GI CG =，HF GI \=，NH CI =，FC GD =Q ，Rt FCH Rt GDI(HL)\D @D ，CH DI \=，NH CH CI DI \+=+，即NC CD =，2CD \=，即1CF =，综上所述，CF 的长为1或2．8．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE AG ^于点E ，BF AG ^于点F ，连接BE 、DF ，设EDF a Ð=，EBF b Ð=，tan tan k a b =×．（1）求证：DE EF BF =+．（2）求证：BG k BC=．（3）若点G 从点C 沿BC 边运动至点B 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC AD \==，90BAD ABC Ð=Ð=°，DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，90ADE DAE \Ð+Ð=°，90BAF DAE Ð+Ð=°Q ，ADE BAF \Ð=Ð，在AED D 和BFA D 中，ADE BAF AED BFA AD BA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AED BFA AAS \D @D ，AE BF \=，DE AF =，DE AF AE EF BF EF \==+=+；（2）证明：在Rt DEF D 和Rt EFB D 中，tan tan EF EDF DE a Ð==，tan tan EF EBF BF b Ð==，\tan tan EF BF BF DE EF DEa b =×=，由（1）可知，ADE BAG Ð=Ð，90AED GBA Ð=Ð=°，AED GBA \D D ∽，\AE DE GB AB=，由（1）可知，AE BF =，\DE BF AB GB =，\BF GB DE AB=，tan tan k a b =×Q ，\GB k AB=，AB BC =Q ，\BG BG BF k BC AB DE===；（3）解：DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，\当点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止时，点E 经过的路径是以AD 为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F 经过的路径，两弧交于正方形的中心点O ，如图所示：4AB AD ==Q ，\所围成的图形的面积14444AOB S S D ==´´=．9．如图，射线AB 和射线CB 相交于点B ，(0180)ABC a a Ð=°<<°，且AB CB =．点D 是射线CB 上的动点（点D 不与点C 和点B 重合），作射线AD ，并在射线AD 上取一点E ，使AEC a Ð=，连接CE ，BE ．（1）如图①，当点D 在线段CB 上，90a =°时，请直接写出AEB Ð的度数；（2）如图②，当点D 在线段CB 上，120a =°时，请写出线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，请直接写出CE BE的值．【解答】解：（1）连接AC ，如图①所示：90a =°Q ，ABC a Ð=，AEC a Ð=，90ABC AEC \Ð=Ð=°，A \、B 、E 、C 四点共圆，AEB ACB \Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，AB CB =，ABC \D 是等腰直角三角形，45ACB \Ð=°，45AEB \Ð=°；（2）AE CE =+，理由如下：在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：ABC AEC Ð=ÐQ ，ADB CDE Ð=Ð，180180ABC ADB AEC CDE \°-Ð-Ð=°-Ð-Ð，A C \Ð=Ð，在ABF D 和CBE D 中，AF CE A C AB CB =ìïÐ=Ðíï=î，()ABF CBE SAS \D @D ，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，ABF FBD CBE FBD \Ð+Ð=Ð+Ð，ABD FBE \Ð=Ð，120ABC Ð=°Q ，120FBE \Ð=°，BF BE =Q ，11(180)(180120)3022BFE BEF FBE \Ð=Ð=´°-Ð=´°-°=°，BH EF ^Q ，90BHE \Ð=°，FH EH =，在Rt BHE D 中，12BH BE =，FH EH ===，22EF EH \===，AE EF AF =+Q ，AF CE =，AE CE \=+；（3）分两种情况：①当点D 在线段CB 上时，在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：由（2）得：FH EH ==，1tan 3BH DAB AH Ð==Q ，332AH BH BE \==，32CE AF AH FH BE \==-=-=，\CE BE =②当点D 在线段CB 的延长线上时，在射线AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图③所示：同①得：FH EH ==，332AH BH BE ==，32CE AF AH FH BE \==+==，\CE BE =；综上所述，当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，CE BE ．10．如图，直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 为线段OA 的一个动点，以A 为圆心，AC 长为半径作A e ，A e 交AB 于点D ，连接OD 并延长交A e 于点E ，连接CD ．（1）当2AC =时，证明：OBD D 是等边三角形；（2）当OCD ODA D D ∽时，求A e 的半径r ；（3）当点C 在线段OA 上运动时，求OD DE g 的最大值．【解答】解：（1）Q 直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，\点A ，0)，点(0,2)B ，OA \=2OB =，tan OB BAO OA \Ð==30BAO \Ð=°，24AB OB \==，60ABO Ð=°，2AC AD ==Q ，2BD BO \==，且60ABO Ð=°，BDO \D 是等边三角形；（2）如图1，过点D 作DH AO ^于H ，OCD ODA D D Q ∽，30ODC OAB \Ð=Ð=°，AC AD =Q ，30BAO Ð=°，75ACD \Ð=°，45DOH ACD ODC \Ð=Ð-Ð=°，DH AO ^Q ，30DAO Ð=°，12DH r \=，AH ==，DH AO ^Q ，45DOH Ð=°，12DH OH r \==，AO OH AH =+=Q ，12r \=，6r \=-（3）如图2，连接EH ，过点O 作OG AB ^于G ，OG AB ^Q ，30BAO Ð=°，12OG AO \==3AG ==，3GD AD \=-，DH Q 是直径，90DEH OGD \Ð=°=Ð，又ODG HDE Ð=ÐQ ，ODG HDE \D D ∽，\GD OD DE DH=，239(3)22()22OD DE GD DH AD AD AD \==-=--+g g g ，\当32AD =时，OD DE g 的最大值为92．11．[问题提出]（1）如图1，已知线段4AB =，点C 是一个动点，且点C 到点B 的距离为2，则线段AC 长度的最大值是 6 ；[问题探究]（2）如图2，以正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，E 为半圆O 上一动点，若正方形的边长为2，求AE 长度的最大值；[问题解决]（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC ，经测量，AC =120BC =米，30ACB Ð=°，BC 下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC 下方找一点P ，将该花地扩建为四边形ABPC ，扩建后沿AP 修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC D 需满足60BPC Ð=°．为容纳更多游客，要求小路AP 的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP 的长度是否存在最大值？若存在，求出AP 的最大长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当C 在线段AB 延长线上时，AC 最大，此时426AC AB BC =+=+=，故答案为：6；（2）连接AO 并延长交半圆O 于F ，如图：Q 正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，边长为2，90ADO \Ð=°，2AD =，1OD OD OF ===，当E 运动到F 时，AE 最大，AF 的长度即是AE 的最大值，Rt AOD D 中，AO ==1AF AO OF \=+=，即AE 1；（3）作BC 的垂直平分线DE ，在BC 下方作30BCO Ð=°，射线CO 交DE 于O ，以O 为圆心，OC 为半径作O e ，连接OB 、连接AO 并延长交O e 于P ，则AP 为满足条件的小路，过A 作AF OC ^于F ，如图：30BCO Ð=°Q ，30ACB Ð=°，60ACF \Ð=°，Rt ACF D 中，sin 6030AF AC =×°=，cos60CF AC =×°=DE Q 垂直平分BC ，120BC =，60CE \=，90OEC Ð=°，cos30CE OC OP \===°，OF OC CF \=-=，Rt AOF D 中，60OA ==，60AP OA OP \=+=+．即小路AP 的长度最大为60+12．在O e 中，弦CD 平分圆周角ACB Ð，连接AB ，过点D 作//DE AB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O e 的切线；（2）若1tan 3CAB Ð=，且B 是CE 的中点，O e DE 的长．（3）P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP ^于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP+的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．【解答】证明：（1）如图1，连接OD 交AB 于点F ，连接OA ，OB ，AD ，CD Q 平分ACB Ð，ACD BCD \Ð=Ð，\AD BD =，AOD BOD \Ð=Ð，OA OB =Q ，OD AB \^，//AB DE Q ，OD DE \^，DE \是O e 的切线．解：（2）如图2，连接OC ，OD ，OE ，过点O 作OF BC ^于点F ，2BOC BAC \Ð=Ð，OB OC =Q ，OF BC ^，12COF COB CAB \Ð=ÐÐ=Ð，1tan tan 3CF COF CAB OF \Ð==Ð=，设CF x =，3OF x =，O Qe ，OC \=，222OF CF +Q ，222(3)x x \=+，解得：12x =，12CF \=，32OF =，1BC \=，B Q 是CE 的中点，1BE BC \==，32EF \=，222OE OF EF =+Q ，2223318((224OE \=+=，222OD DE OE +=Q ，DE \===（3）解法一：如图3，延长BP 至Q 使得PQ AP =，连接AQ ，OC ，连接OB ，BD ，连接OD 交AB 于点K ，连接HK ，A Q ，P ，B ，C 四点共圆，APQ ACB \Ð=Ð，AP PQ =Q ，Q QAP \Ð=Ð，1902Q ACB \Ð=°-Ð，DE Q 是O e 的切线，OD DE \^，//DE AB Q ，OD AB \^，K \是AB 的中点，DH BH ^Q ，90BHD \Ð=°，90BKD Ð=°Q ，B \，K ，H ，D 四点共圆，BHK ODB \Ð=Ð，BOD ACB Ð=ÐQ ，OB OD =，1902ODB ACB \Ð=°-Ð，ODB Q \Ð=Ð，BHK Q \Ð=Ð，//AQ HK \，\12BH BK BQ AB ==，BQ BP QP =+Q ，QP AP =，BQ BP AP \=+，\12BH BP AP =+．解法二：如图4，在BP 上截取BM AP =，连接DM ，BD ，DP ，AD ，Q 弦CD 平分圆周角ACB Ð，AD BD \=，Q AP AP =，PAD PBD MBD \Ð=Ð=Ð，()APD BMD SAS \D @D ，DP DM \=，AP BM =，DH BP ^Q ，DH \为PDM D 的中线，HP HM \=，2BP BM PM BM HM \=+=+，BH BM HM =+Q ，\122BH BM HM AP BP BM BM HM +==+++．13．在ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是直线AB 上的一动点（不与点A ，B 重合）连接CD ，在CD 的右侧以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE ，点H 是BD 的中点，连接EH ．【问题发现】（1）如图（1），当点D 是AB 的中点时，线段EH 与AD 的数量关系是 12EH AD =， ．EH 与AD 的位置关系是 ．【猜想论证】（2）如图（2），当点D 在边AB 上且不是AB 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AC BC ==，其他条件不变，连接AE 、BE ．当BCE D 是等边三角形时，请直接写出ADE D 的面积．【解答】解：（1）如图1中，CA CB=Q，90ACBÐ=°，AD BD=，CD AB\^，CD AD DB==，45A B\Ð=Ð=°，45DCB ACDÐ=Ð=°，45DCEÐ=°Q，\点E在线段CB上，DE BC^Q，45EDB B\Ð=Ð=°，DH HB=Q，EH DB \^，1122EH DB AD==，故答案为12EH AD=，EH AD^．（2）结论仍然成立：理由：如图2中，延长DE到F，使得EF DE=，连接CF，BF．DE EF=Q．CE DF^，CD CF\=，45CDF CFD\Ð=Ð=°，45ECF ECD\Ð=Ð=°，90ACB DCF\Ð=Ð=°，ACD BCF\Ð=Ð，CA CB=Q，()ACD BCF SAS\D@D，AD BF \=，45A CBF Ð=Ð=°，45ABC Ð=°Q ，90ABF \Ð=°，BF AB \^，DE EF =Q ，DH HB =，12EH BF \=，//EH BF ，EH AD \^，12EH AD =．（3）如图31-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．90ACB Ð=°Q ，60ECB Ð=°，30ACE \Ð=°，AC CB CE EB DE =====Q 75CAE CEA \Ð=Ð=°，45CAB Ð=°Q ，30EAH \Ð=°，90DEC Ð=°Q ，60CEB Ð=°，150DEB \Ð=°，15EDB EBD \Ð=Ð=°，EAH ADE AED Ð=Ð+ÐQ ，15ADE AED \Ð=Ð=°，AD AE \=，设EH x =，则2AD AE x ==，AH =，222EH DH DE +=Q ，22(2)8x x \+=，1x \=-，2AD \=-，112)1)422ADE S AD EH D \=××=´×-=-如图32-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．同法可求：1EH =，2AD =，111)422ADE S AD EH D \=××=´+=+综上所述，满足条件的ADE D 的面积为4-或4+．14．在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF FE AG ==，且12AG AB …，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求P Ð的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中P Ð的度数是否发生变化，若有改变，请求出P Ð的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN GP ^于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC 为定值．==Q，E与C重合，BF CF BG AG\===，\Ð=°，BGF45//Q，AB CD\Ð=Ð=°．45P BGF（2）不变．理由如下：如图所示，连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC．在正方形ABCD中，有：Ð=Ð=°，OC OBOCF OBG=，45又AG BF=Q，\=，BG CF\D@D．OCF OBG SAS()Ð=Ð，\=，COF BOGOG DF\Ð=Ð=°，GOF BOC90GOF\D为等腰直角三角形．又OQ，F分别是BD，BE的中点，\，//OF DE\Ð=Ð=°．P OFG45（3）如图所示，取DP 中点Q ，连接NQ ，BD ，MQ ，由题意可得，DNP D 为等腰直角三角形，Q Q 为DP 中点，NQ DP \^．设CDP a Ð=，则45NDC a Ð=°+，45BDP a Ð=°-，M Q ，Q 分别是BP ，DP 的中点，//MQ BD \，45MQP BDP a \Ð=Ð=°-，90(45)45NQM a a \Ð=°-°-=°+，NQM NDC \Ð=Ð．，CD BD \又NQD D Q 为等腰直角三角形，\NQ ND =\NQ MQ ND CD ==，NQM NDC \D D ∽．\MN NQ NC ND ==\MNNC为定值．15．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCED绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF 是 （填“是”或“不是”)“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，10AB BC==，2CD=，AD AB>，过点B作BE AD^于E．①过C作CF BF^于点F，试证明：BE DE=，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求BCMD周长的最小值．【解答】解：（1）Q将BCED绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D \Ð=Ð=°，90ABE CBE \Ð+Ð=°，90ABE ABF \Ð+Ð=°，即90EBF D Ð=Ð=°，180EBF D \Ð+Ð=°，90EBF Ð=°Q ，BF BE =，\四边形BEDF 是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，10AB BC ==，2CD =，AD AB >，90ABC \Ð=°，180ABC D Ð+Ð=°，90D \Ð=°，BE AD ^Q ，CF BE ^，90DEF \Ð=°，90CFE Ð=°，\四边形CDEF 是矩形，DE CF \=，2EF CD ==，90ABE A Ð+Ð=°Q ，90ABE CBE Ð+Ð=°，A CBF \Ð=Ð，90AEB BFC Ð=Ð=°Q ，AB BC =，()ABE BCF AAS \D @D ，BE CF \=，AE BF =，DE CF =Q ，BE DE \=；Q 四边形CDEF 是矩形，2EF CD \==，ABE BCF D @D Q ，AE BF \=，2AE BE \=-，设BE x =，则2AE x =-，在Rt ABE D 中，222(2)10x x +-=，解得：8x =或6x =-（舍去），BE \的长是8；②BCM D Q 周长BC BM CM =++，\当BM CM +的值最小时，BCM D 的周长最小，如图，延长CD 到点G ，使DG CD =，连接BG 交AD 于点M ¢，过点G 作GH BC ^，交BC 的延长线于点H ，90ADC Ð=°Q ，\点C 与点G 关于AD 对称，BM CM BM MG BG \+=+…，即BM CM BM M C +¢+¢…，\当点M 与M ¢重合时，BM M C ¢+¢的值最小，即BCM D 的周长最小，在Rt ABE D 中，6AE ===，Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，180A BCD \Ð+Ð=°，180BCD GCH Ð+Ð=°Q ，A GCH \Ð=Ð，90AEB H Ð=Ð=°Q ，ABE CGH \D D ∽，\10542BE AE ABGH CH CG====，即88252GH CH-==，165GH\=，125CH=，12621055BH BCCH\=+=+=，BG\===，BCM\D周长的最小值为10+．16．如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，2OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE CF=；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：90EDFÐ=°，ED DF=，Q四边形ABCD是正方形，90ADC\Ð=°，AD CD=，ADC EDF\Ð=Ð，即ADE EDC EDC CDFÐ+Ð=Ð+Ð，ADE CDF\Ð=Ð，在ADED和CDFD中，QAD CDADE CDFDE DF=ìïÐ=Ðíï=î，()ADECDF SAS\D@D，AE CF\=；（2）解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，O Q 是BC 的中点，且AB BC ==A Q ，E ，O 三点共线，OB \=由勾股定理得：5AO =，2OE =Q ，523AE \=-=，由（1）知：ADE CDF D @D ，DAE DCF \Ð=Ð，3CF AE ==，BAD DCP Ð=ÐQ ，OAB PCF \Ð=Ð，90ABO P Ð=Ð=°Q ，ABO CPF \D D ∽，\2AB CP OB PF ===，2CP PF \=，设PF x =，则2CP x =，由勾股定理得：2223(2)x x =+，x =（舍)，\，OP ==，由勾股定理得：OF ==，（3）解：如图3，由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP OC =，连接PE ，AE CF =Q ，PAE OCF Ð=Ð，()PAE OCF SAS \D @D ，PE OF \=，当PE 最小时，为O 、E 、P 三点共线，OP===，\==-=-，PE OF OP OE2\的最小值是2．OF17．ABC=，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重Ð=°，AB ACBACD中，90合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为： 垂直 ．②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB =，14CD BC =，请求出GE 的长．【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D 中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，B ACF \Ð=Ð，90ACB ACF \Ð+Ð=°，即BC CF ^；故答案为：垂直；②DAB FAC D @D ，CF BD \=，BC BD CD =+Q ，BC CF CD \=+；故答案为：BC CF CD =+；（2）CF BC ^成立；BC CD CF =+不成立，CD CF BC =+．Q 正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，ABD ACF \Ð=Ð，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，45ACB ABC \Ð=Ð=°．18045135ABD \Ð=°-°=°，1354590BCF ACF ACB \Ð=Ð-Ð=°-°=°，CF BC \^．CD DB BC =+Q ，DB CF =，CD CF BC \=+．（3）解：过A 作AH BC ^于H ，过E 作EM BD ^于M ，EN CF ^于N ，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，4BC \==，122AH BC ==，114CD BC \==，122CH BC ==，3DH \=，由（2）证得BC CF ^，5CF BD ==，Q 四边形ADEF 是正方形，AD DE \=，90ADE Ð=°，BC CF ^Q ，EM BD ^，EN CF ^，\四边形CMEN 是矩形，NE CM \=，EM CN =，90AHD ADE EMD Ð=Ð=Ð=°Q ，90ADH EDM EDM DEM \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ADH DEM \Ð=Ð，在ADH D 与DEM D 中，ADH DEM AHD DME AD DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADH DEM AAS \D @D ．3EM DH \==，2DM AH ==，3CN EM \==，3EN CM ==，45ABC Ð=°Q ，45BGC \Ð=°，BCG \D 是等腰直角三角形，4CG BC \==，1GN \=，EG \==．18．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：ADG ABE D @D ；（2）连接FC ，观察并猜测FCN Ð的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB a =，(BC b a =、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、)C ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，FCN Ð的大小是否总保持不变？若FCN Ð的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan FCN Ð的值；若FCN Ð的大小发生改变，请举例说明．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，\=，AE AGAB ADÐ=Ð=°，BAD EAG=，90\Ð+Ð=Ð+Ð，BAE EAD DAG EADBAE DAG\Ð=Ð，\D@D．BAE DAG（2）解：45Ð=°，FCN理由是：作FH MN^于H，Q，Ð=Ð=°AEF ABE90Ð+Ð=°，FEH AEB90\Ð+Ð=°，90BAE AEB\Ð=Ð，FEH BAEQ，90又AE EF=Ð=Ð=°，EHF EBA\D@D，EFH ABE\=，EH AB BCFH BE==，\==，CH BE FHÐ=°Q，FHC90\Ð=°．FCN45（3）解：当点E由B向C运动时，FCNÐ的大小总保持不变，理由是：作FH MN^于H，由已知可得90Ð=Ð=Ð=°，EAG BAD AEF结合（1）（2）得FEH BAE DAGÐ=Ð=Ð，又GQ在射线CD上，。
2024年中考数学总复习考点梳理专题七几何动态探究题
专题七 几何动态探究题
【解法提示】由旋转的性质可知，OB＝OC，∠BOC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠OBC＝60°. 【答案】60;
第1题图
专题七 几何动态探究题
(2)如图①，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
(2)在Rt△OAB中，OB＝4，∠ABO＝30°，
3
BM＝8－
3
x，过点M作MF⊥OB于点F，
2
∴MF＝BM·sin 60°
＝ (8 3 x) 3 3 (8 3 x) ，
2 22 2
∴S△OMN＝
1 2
ON·MF
＝ 1 x 3 (8 3 x) 2 3x 3 3 x2 ，
22 2
8
第1题解图②
专题七 几何动态探究题
即y＝ 2 3x 3 3 x2，
问题
匀速运动 为何值时y取得最大 角三角函数，三角形面积
)
形
值，最大值为多少 计算公式，二次函数性质
专题七 几何动态探究题
考情分析
类型 年份 题号 题型 分值 图形背景 变换方式
设问
涉及知识点
(1)全等三角形的判定与性质；
(1)写出旋转角
(2)相似三角形的判定与性质；
解答
正方形、
的度数；(2)求
旋转
专题七
几何动态探究题
专题七 几何动态探究题
广东近6年考情及趋势分析
考情及趋势分析
考情分析
题
分
类型 年份
题型
图形背景 变换方式
号
值
设问
涉及知识点
(1)填空：角度；(2) (1)等边三角形；(2)锐角三
解答
含30°的
中考动态几何问题探究chj
中考动态几何问题题型一：点动型1、单动点型1如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．DPCF EAB图①DP CFEAB图②DP CFEAB图③2、如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．） （1）当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB =∠PAC +∠PBD ； （2）当动点P 落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P 落在第③部分时，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．3、在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、D 作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足分别为E 、F ，如图①．（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P 在DC•的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD•的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．2、双动点型1、如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F 。
题型六几何动态综合题.ppt
类型三 形动型探究题
典例精讲
例3（2013省卷25，9分）有一副直角三角板，在三角板 ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中， ∠FDE=90°，DF=4，DE=4 .将这副直角三角板按如 图①所示位置摆放，点B与点F3重合，直角边BA与FD在同 一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA 方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.
∴NB=NM，FN=NB-BF=MN-x.
∵MN∥DE，
N
∴△FMN∽△FED，
∴ MN FN ，即 MN MN x ，
DE DF
43
4
例3题解图①
∴MN= 3 3 x . 2
①当0≤x≤2时，如解图①，
设DE与BC相交于点G ，
则DG=DB=4+x，
y=S△BGD 1 ·x· 2
-S△BMF =
5
5
5
∴当点P与点B重合时，点Q到AB的距离为
16
cm；
5
（3）设△APQ的面积为S cm2.当点P在BC边上时，求S与t 之间的函数关系式； 【思维教练】要求△APQ的面积S和运动时间t之间的函数 关系式，即是用t 的关系式表示出三角形面积，已知点 P,Q运动的路线需分：①2 s≤t≤2.5 s，②2.5 s＜t≤5 s两种 情况,分别求出S与t 之间的函数关系式;
例1题图
（2）当点P与点B重合时，求点Q到AB的距离；
【思维教练】要求点Q到AB的距离，过点Q作AB的垂
线QF,由于QF，BF未知，排除勾股定理，题中给出四
边形ABCD是菱形，BC∥AD，所以有∠QBF=∠A，因
为DE, AD已知,想到角度转换，sinA＝ DE QF ，QF
九年级中考数学复习专题十 几何动态探究题
专题十几何动态探究题1. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，在运动过程中，始终保持AE＝BF，若AB＝2，则EF的取值范围为________．第1题图2.如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠BAC＝90°，O为边BC上一点，OA＝OB＝OC，点M、N分别在边AB、AC上运动，且始终保持AN＝BM.在运动过程中，四边形AMON的面积为________cm2.第3题图4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝42，则AB的长为________；若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于点F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为________．第5题图6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 cm，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，直线BB′、CC′交于点D，则CD的长为________cm.第6题图7. 如图，四边形ABCD是正方形，且AB＝2，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转后得到正方形AEFG，在旋转过程中，当点A、G、C三点共线时，则点F到BC的距离为________．第7题图8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．第8题图9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC.则EC＋GC的最小值为________．第9题图10. 如图，在菱形ABCD 中，tan A ＝43，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF ⊥AD 时，BN CN的值为________．第10题图11.如图，在△ABC 中，已知AD 是BC 边上的中线，∠ADC ＝60°，BC ＝3AD.将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的点B ′处，连接AB ′交BC 于点E ，那么CE ∶BE 的值为________．第11题图12.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是________．第12题图13. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 为AD 的中点，点N 为AB 上一点，连接MN ，CN ，将△AMN 沿直线MN 折叠后，点A 恰好落在CN 上的点P 处，则CN 的长为________．第13题图14. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向以每秒1个单位的速度平移得到△EFG (点E 在线段AC 上，运动到点C 停止运动，且不与点A 重合)，同时，点H 从点C 出发以相同的速度沿CB 方向移动，当△EFG 停止平移时，点H 也停止移动，连接EH ，GH ，当EH ⊥GH 时，AE BH的值为________．第14题图15.如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE翻折至△AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝22BF时，DECD＝________．第15题图16. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC.连接AM、AN、MN，MN交AC于点P，则点P到直线CD的距离的最大值为________．第16题图17. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为________；四边形PCDQ周长的最小值为________．第17题图18.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD.若△DEG是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为________．第18题图19. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为________，最小值为________．第19题图20. 如图①，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图②，点C落在点C′处，最后按图③所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG.若原正方形．．．．纸片的边长为6 cm，则FG＝________ cm.第20题图21. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，CD⊥AB，点P是直线CD上一点，连接P A，将线段P A绕点P逆时针旋转120°得到P A′，点M、N分别是线段AC、P A′的中点，连接MN，则线段MN的最小值为________．第21题图22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为________，此时BF的长为________．第22题图专题十几何动态探究题1. 3≤EF≤2【解析】如解图，连接BD，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠DBA＝∠C＝60°，AB＝BD＝BC，∵AE＝BF，∴BE＝CF，∴△DBE≌△DCF(SAS)．∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，∵∠EDF＝∠EDB＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF＝60°，∴△DEF 是等边三角形，∴EF＝DE，当点E与点H重合时，DE的值最小，此时DE＝AD·sin A＝3，当点E与点A (或点B )重合时，DE 的长最大，此时DE ＝2，∴EF 的取值范围为3≤EF ≤2. 第1题解图 2. 255 【解析】∵DG ＝GE ，∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4，由翻折的性质得△ADB ≌△ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12(AF ＋DF )·BF ＝4，即12(3＋DF )×2＝4，∴DF ＝1，∴DB ＝BF 2＋DF 2＝22＋12＝5，设点F 到BD 的距离为h ，则有12BD ·h ＝12BF ·DF ，即12×5·h ＝12×2×1，∴h ＝255.3. 4 【解析】∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠BAO ＝∠CAO ＝45°，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∴∠B ＝∠BAO ＝∠CAO ，在△AON 和△BOM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ∠CAO ＝∠B AN ＝BM，∴△AON ≌△BOM (SAS)，∴S △AON ＝S △BOM ，∴S △AON ＋S △AOM ＝S △BOM ＋S △AOM ，即S 四边形AMON ＝S △AOB ，∴S 四边形AMON ＝12S △ABC ＝12×12×4×4＝4 cm 2.4. 210－2 【解析】如解图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得到DM ，连接FM ，OM ，∵ ∠EDF ＝ ∠ODM ＝90°，∴ ∠EDO ＝∠FDM ，在△EDO 与△FDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ∠EDO ＝∠FDM DO ＝DM，∴ △EDO ≌△FDM (SAS) ，∴ FM ＝OE ＝2，∵在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 是BC 边的中点，∴ OC ＝2，∴OD ＝42＋22＝2 5 ，∴OM ＝2OD ＝210，∵OF ≥OM －MF ，∴OF ≥210－2 ，∴线段OF 长的最小值为210－2.第4题解图5. 7；34 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BC 于点M .在Rt △ABM 中，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝45°，∴BM ＝AM ，AB ＝2AM ，设AM ＝BM ＝x ，在Rt △AMC 中，∵AC 2＝AM 2＋CM 2，∴52＝x 2＋(42－x )2，解得x＝722或22(舍)，∴AB ＝2x ＝7.过点F 作FN ⊥BC 于点N .∵DE ∥AC ，∴∠ACF ＝∠D ＝∠B ，∵∠CAF ＝∠CAB ，∴△ACF ∽△ABC ，∴AC AB ＝AF AC ，∴AC 2＝AF ·AB ，∴AF ＝257，∴BF ＝AB －AF ＝7－257＝247，∴BN ＝FN ＝1227，∴CN ＝BC －BN ＝42－1227＝1627，∴tan ∠BCD ＝FN CN ＝12271627＝34.第5题解图6. 2 6 cm 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥BD 交DB 的延长线于点E ，由旋转的性质得∠B ′AB ＝∠C ′AC＝30°，AB ′＝AB ，AC ′＝AC ，∴∠B ′BA ＝∠C ′CA ＝12×(180°－30°)＝75°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4cm ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠DCB ＝90°－∠C ′CA ＝15°，∴∠CDE ＝180°－∠B ′BA －∠ABC －∠DCB ＝180°－75°－45°－15°＝45°，∴∠DCE ＝∠CDE ＝45°，DE ＝CE ，∴∠BCE ＝∠DCE －∠DCB ＝45°－15°＝30°，在Rt △BCE 中，BC ＝4 cm ，∠BCE ＝30°，∴BE ＝12BC ＝2 cm ，∴CE ＝BC 2－BE 2＝42－22＝2 3 cm ，∴CD ＝CE cos45°＝2322＝2 6 cm.第6题解图7. 2－2或2＋2 【解析】由旋转的性质可知AG ＝FG ＝AB ＝2，AF ＝2AG ＝2.分两种情况讨论：①如解图①，当点G 在线段AC 上时，连接AC ，BF ，可知点B 在线段AF 上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AF －AB ＝2－2；②如解图②，当点G 在CA 的延长线上时，连接AC ，AF ，此时点F 在BA 的延长线上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AB ＋AF ＝2＋ 2.综上所述，点F 到BC 的距离为2－2或2＋ 2.图①图②第7题解图8. 7－1 【解析】如解图①，以点M 为圆心，AM 长为半径作圆，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接MC ，∵菱形ABCD 的边长为2，∠DAB ＝60°，M 是AD 的中点，∴MA ＝MA ′＝MD ＝12AD ＝1，∴点A ′在⊙M 上运动，由解图①得，只有当A ′运动到与点M 、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，∵CH ∥AB ，∴∠MDH ＝∠DAB ＝60°，在Rt △MDH 中，DH ＝MD ·cos ∠MDH ＝12，MH ＝MD ·sin ∠MDH ＝32，在Rt △MHC 中，HC ＝DH ＋DC ＝12＋2＝52，由勾股定理得MC ＝HC 2＋MH 2＝7，此时A ′C ＝MC －MA ′＝7－1，即A ′C 长度的最小值为7－1.第8题解图①【一题多解】如解图②，连接MC ，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，由题意可知，MA ＝MA ′＝12AD ，在△ MA ′C 中，由三角形三边关系可知，一定存在MA ′＋A ′C ≥MC ，∴当点M 、A ′、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，此时A ′C ＝MC －MA ′，其余解法同上．第8题解图②9. 45 【解析】如解图，连接AE 并延长，作点D 关于AE 的对称点H ，连接EH ，ED ，过点H 作HM ⊥CD ，与CD 的延长线交于点M ，则DE ＝EH ，∵△ABD 沿射线BD 平移得△EGF ，∴AE ∥BD ，AB ＝EG ，AB ∥EG ，∵AB ∥CD ，AB ＝CD ＝4，∴EG ∥CD ，EG ＝CD ＝4，∴四边形CDEG 是平行四边形，∴CG ＝DE ＝EH ，∴当点C ，E ，H 三点共线时，EC ＋GC 取得最小值，最小值为CH 的长．∵AE ∥BD ，AB ∥CD ，∴四边形ABDM 为平行四边形，∴DM ＝AB ＝4，∠DAM ＝45°，∴∠ADH ＝45°，∴∠MDH ＝45°，∴DM ＝HM ＝4，∴CH ＝CM 2＋HM 2＝（4＋4）2＋42＝45，∴EC ＋GC 的最小值为4 5.第9题解图10. 27 【解析】如解图，延长NF 与DC 交于点H .由折叠的性质得∠E ＝∠A ，∠EFN ＝∠B ，EM ＝AM ，EF ＝AB .∵EF ⊥AD ，∴∠MDE ＝90°.在Rt △MDE 中，tan E ＝DM DE ＝tan A ＝43，设DM ＝4k ，则DE ＝3k ，EM＝5k .∴AM ＝5k ，AD ＝9k .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝9k ，∠C ＝∠A ，AB ∥CD ，AD ∥BC .∴∠A ＋∠ADC ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°.∵∠ADF ＝90°，∴∠A ＋∠FDH ＝90°.∵∠DFH ＋∠EFN ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFN ＝∠B ，∴∠A ＝∠DFH .∴∠DFH ＋∠FDH ＝90°.∴∠DHF ＝90°.∵EF ＝AB ＝9k ，DE ＝3k ，∴DF ＝6k .在Rt △DHF 中，tan ∠DFH ＝tan A ＝43，易得sin ∠DFH ＝45，∴DH ＝DF ·sin ∠DFH ＝245k .∴HC ＝9k －245k ＝215k .在Rt △CHN 中，tan C ＝ tan A ＝43，易得cos C ＝35.∴NC ＝HC cos C ＝7k .∴BN ＝9k －7k ＝2k .∴BN CN ＝2k 7k ＝27.第10题解图11. 37 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点B ′作B ′G ⊥BC 于点G ，∵∠ADC ＝60°，∴∠ADB ＝120°，由折叠的性质得，∠ADB ′＝120°，∠CDB ′＝60°，B ′D ＝BD ，∵BC ＝3AD ，AD 是BC 边上的中线，∴设AD ＝m ，则BC ＝3m ，BD ＝B ′D ＝32m ，在Rt △ADF 中，DF ＝AD ·cos60°＝12m ，AF ＝AD ·sin60°＝32m ，∴BF ＝BD ＋DF ＝2m ，CF ＝BC －BF ＝m ，在Rt △B ′DG 中，DG ＝B ′D ·cos60°＝34m ，B ′G ＝B ′D ·sin60°＝334m ，∴FG ＝DG －DF ＝14m ，∵AF ⊥BC ，B ′G ⊥BC ，∴AF ∥B ′G ，∴△AFE ∽△B ′GE ∴FE GE ＝AF B ′G ＝32m334m＝23，∵FE ＋GE ＝FG ＝14m ，∴FE ＝110m ，∴BE ＝BF ＋FE ＝2110m ，CE ＝CF －FE ＝910m ，∴CE BE ＝910m 2110m ＝37.第11题解图12. 6＋22 【解析】如解图，以AB 为边向下作等边△ABK ，连接EK ，在EK 上取一点T ，连接AT ，使得TA ＝TK .由旋转的性质得BE ＝BF ，∠EBF ＝60°，∵△ABK 为等边三角形，∴BK ＝BA ，∠EBF ＝∠ABK ＝60°，∴∠ABF ＝∠KBE ，∴△ABF ≌△KBE (SAS)，∴AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，KE 的值最小，即AF 最小．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ＝135°，∵∠BAK ＝60°，∴∠EAK ＝75°，∵∠AEK ＝90°，∴∠AKE ＝15°，∵TA ＝TK ，∴∠TAK ＝∠AKT ＝15°，∴∠ATE ＝∠TAK ＋∠AKT ＝30°，设AE ＝a ，则AT ＝TK ＝2a ，ET ＝3a ，在Rt △AEK 中，AE 2＋EK 2＝AK 2，∴a 2＋(2a ＋3a )2＝22，∴a ＝6－22，∴EK ＝2a ＋3a ＝6＋22，∴AF 的最小值为6＋22.第12题解图13. 133 【解析】如解图，连接CM ，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AD ＝BC ＝4，CD ＝AB ＝3，∠D ＝90°，由折叠的性质得，AM ＝PM ，∠MPN ＝∠A ＝90°，∠AMN ＝∠PMN ，∴∠CPM ＝90°，∵点M 为AD 的中点，∴AM ＝DM ＝12AD ＝2，∴PM ＝AM ＝DM ＝2，在Rt △CPM 与Rt △CDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝DM CM ＝CM，∴Rt △CPM ≌Rt △CDM (HL)，∴CP ＝CD ＝3，∠CMP ＝∠CMD ，∴∠NMC ＝∠NMP ＋∠CMP ＝12(∠AMP ＋∠DMP )＝90°，∴CM ＝DM 2＋CD 2＝22＋32＝13，∵∠CPM ＝∠CMN ＝90°，∠MCP ＝∠NCM ，∴△CMP ∽△CNM ，∴CM CN ＝CP CM ，即13CN ＝313，∴CN ＝133.第13题解图14. 37 【解析】如解图，过点E 作EM ⊥BC 的于点M ，过点G 作GN ⊥BC 交BC 的延长线于点N ，∴四边形EMNG 是矩形，∴EG ＝MN ＝5，EM ＝GN ，∵∠BAC ＝∠EMH ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ，∴△ABC ∽△MEC ，∴AB ME ＝BC EC ＝AC MC ，∵AB ＝3，BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝4，设运动时间为t (0＜t ≤4)，则AE ＝CH ＝t ，CE ＝4－t ，∴3ME ＝54－t ＝4MC ，∴EM ＝12－3t 5，CM ＝16－4t 5，∴HN ＝5－MH ＝5－(CM －CH )＝5－(16－4t 5－t )＝9＋9t 5.∵EH ⊥GH ，∴∠EHG ＝90°，∴∠EHM ＋∠GHN ＝90°，又∵EM ⊥BC ，∴∠EHM ＋∠MEH ＝90°，∴∠GHN ＝∠MEH ，又∵∠EMH ＝∠HNG ＝90°，∴△EMH ∽△HNG ，∴EM HN ＝MH NG ，即12－3t 59＋9t 5＝16－4t5－t 12－3t 5，整理得2t 2－3t ＝0，解得t ＝32或t ＝0(舍去)，即AE ＝32，BH ＝5－CH ＝5－32＝72，∴AE BH ＝3272＝37.第14题解图15. 2－1 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BP 于点M ，过点E 作EN ⊥BP 于点N .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，由翻折的性质得AD ＝AF ，∠DAE ＝∠EAF ，∴AB ＝AF ，∵AM ⊥BF ，∴BM ＝FM ，∠BAM ＝∠FAM ，∴∠PAM ＝∠PAF ＋∠FAM ＝12∠BAD ＝45°，∵∠AMP ＝90°，∴∠P ＝∠PAM＝45°，∴AM ＝MP ，设BF ＝2a ，则BM ＝MF ＝a ，PF ＝22BF ＝2a ，∴AM ＝PM ＝FM ＋PF ＝a ＋2a ，∵∠AMF ＝∠AFE ＝∠ENF ＝90°，∴∠AFM ＋∠EFN ＝90°，∠EFN ＋∠FEN ＝90°，∴∠AFM ＝∠FEN ，∴△AMF ∽△FNE ，∴AM FM ＝FN EN ＝a ＋2aa ＝1＋2，设EN ＝PN ＝x ，则FN ＝(1＋2)x ，∴(1＋2)x ＋x ＝2a ，∴x ＝(2－1)a ，∴EN ＝(2－1)a ，∴EF AF ＝EN FM ＝（2－1）a a＝2－1，∵CD ＝AD ＝AF ，DE ＝EF ，∴DE CD ＝EFAF ＝2－1.第15题解图16. 334 【解析】如解图，过点P 作PE ⊥CD 于点E .∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，∠ACB ＝∠ACD ＝60°，在△ABM 和△ACN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABM ＝∠ACN ，BM ＝CN∴△ABM ≌△ACN (SAS)，∴AM ＝AN ，∠BAM ＝∠CAN ，∴∠MAN ＝∠BAM ＋∠MAC ＝60°，∴△AMN 为等边三角形，∵∠B ＝∠ACB ＝∠AMP ＝60°，∴∠BAM ＋∠BMA ＝∠BMA ＋∠CMP ＝180°－60°＝120°，∴∠BAM ＝∠CMP ，∠BMA ＝∠CPM ，∴△BAM ∽△CMP ，∴BA BM ＝CM CP ，设BA 长为a ，BM 长为x ，则CM ＝a －x ，∴a x ＝a －xCP ，∴a ·CP ＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－(x －a 2)＋a 24，∴CP ＝－1a (x －a 2)＋a 4，∴当x ＝a 2时，CP 最长，即当AM ⊥BC 时，△AMN 边长最小，此时CP 最长，满足条件，∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴BM ＝MC ＝3，∠CMP ＝30°，∠CPM ＝90°，∴PC ＝12MC ＝32，在Rt △PCE 中，∵∠ACD ＝60°，∴PE ＝PC ·sin60°＝334.第16题解图17. 3134；6＋39 【解析】设AQ ＝x ，则S 四边形PCDQ ＝S △ABC －S △ADQ －S △BCP ＝34×62－12·x ·32×1－12×(6－x －1)×32×6＝332＋534x ，∵x 的最大值为6－1＝5，∴当x ＝5时，S 四边形PCDQ 最大，最大值为332＋534×5＝3134；如解图，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接D ′Q ，以D ′Q 、PQ 为边作平行四边形PQD ′M ，则DQ ＝D ′Q ＝MP ，∴C 四边形PCDQ ＝PM ＋PC ＋PQ ＋DC ，DD ′＝2AD ·sin60°＝3，D ′M ＝PQ ＝1，过点C 作CH ⊥AB ，交AB 于点H ，交D ′M 的延长线于点N ，则∠N ＝90°，CH ＝BC ·sin60°＝33，NH ＝12DD ′＝32，∴MN ＝AH －D ′M －AD ·cos60°＝AC ·cos60°－1－12＝3－1－12＝32，CN ＝NH ＋CH ＝32＋33＝732，当点M ，P ，C 在同一直线上时，MP ＋CP 的最小值等于CM 的长，即DQ ＋CP 的最小值等于CM 的长，此时，Rt △MNC 中，CM ＝MN 2＋CN 2＝（32）2＋（732）2＝39，又∵PQ ＝1，CD ＝6－1＝5，∴四边形PCDQ 周长的最小值为CM ＋PQ ＋CD ＝6＋39.第17题解图18. 27－952或92 【解析】分两种情况讨论，如解图①，当GD ＝GE 时，过点G 作GM ⊥AD 于点M ，GN ⊥CD 于点N .设AF ＝x .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝12，∠BAF ＝∠ADE ＝90°，由翻折的性质得AF ＝FG ，BF ⊥AG ，∴∠DAE ＋∠BAE ＝90°，∠ABF ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，∴△BAF ∽△ADE ，∴AB DA ＝AF DE ，即912＝x DE ，∴DE ＝43x ，∵GM ⊥AD ，GN ⊥CD ，∴∠GMD ＝∠GND ＝∠MDN ＝90°，∴四边形GMDN 是矩形，∴GM ＝DN ＝EN ＝23x ，∵GD ＝GE ，∴∠GDE ＝∠GED ，∵∠GDA ＋∠GDE ＝90°，∠GAD ＋∠GED ＝90°，∴∠GDA ＝∠GAD ，∴GA ＝GD ＝GE ，∵GM ⊥AD ，∴AM ＝MD ＝6，在Rt △FGM 中，由勾股定理得x 2＝(6－x )2＋(23x )2，解得x ＝27－952或27＋952(舍)，∴AF ＝27－952；如解图②，当DG ＝DE 时，由翻折的性质得，BA ＝BG ，∴∠BAG ＝∠BGA ，∵DG ＝DE ，∴∠DGE ＝∠DEG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DEG ，∴∠AGB ＝∠DGE ，∴B ，G ，D 三点共线，∵BD ＝AB 2＋AD 2＝92＋122＝15，BG ＝BA ＝9，∴DG ＝DE ＝6，由①知，△BAF ∽△ADE ，∴AF DE ＝AB DA ，即AF 6＝912，∴AF ＝92.综上所述，AF 的值为27－952或92.图①图②第18题解图19. 45；22 【解析】如解图，取BC 的中点G ，连接DG ，由旋转的性质得DC ＝EC ，∠DCE ＝90°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝8，F 为AC 中点，∴CG ＝CF ，∠DCG ＋∠ACD ＝∠ECF ＋∠ACD ＝90°，∴∠DCG ＝∠ECF ，∴△DCG ≌△ECF (SAS)，∴DG ＝EF .分两种情况讨论：如解图①，当GD ⊥AB 时，DG 最短，此时△BDG 是等腰直角三角形，∴DG ＝BG ·sin45°＝4×22＝22，∴EF 的最小值为22；当点D 与点B 重合时，DG ＝BG ＝4；如解图②，当点D 与点A 重合时，DG ＝CG 2＋AC 2＝42＋82＝45＞4，∴EF 的最大值为45，最小值为2 2.图①图②第19题解图20. 10 【解析】如解图，过点A ′作A ′H ⊥AD 于点H ，延长FA ′与BE 的延长线交于点J ，过点F 作FI ⊥BE 于点I ，∵A ′是DE 的中点，∴A ′H 是△DC ′E 的中位线，∴A ′H ＝12C ′E ＝12×3＝32 cm ，由折叠性质知∠A ′DH ＝45°，∴DH ＝A ′H ＝32 cm ，设AF ＝x cm ，则FH ＝6－x －32＝(92－x ) cm ，由折叠的性质得A ′F ＝AF＝x cm ，在Rt △A ′HF 中，由勾股定理得A ′F 2－FH 2＝A ′H 2，即x 2－(92－x )2＝(32)2，解得x ＝52，∴A ′F ＝AF ＝52 cm ，FH ＝92－52＝2 cm ，∴EI ＝FC ′＝FH ＋DH －C ′D ＝2＋32－3＝12 cm ，∵A ′是DE 的中点，易证△A ′DF ≌△A ′EJ ，∴EJ ＝DF ＝2＋32＝72 cm ，A ′F ＝A ′J ＝52 cm ，∴FJ ＝5 cm ，由折叠的性质得∠AFG ＝∠JFG ，∵AD ∥BJ ，∴∠JGF ＝∠AFG ＝∠JFG ，∴JG ＝JF ＝5 cm ，∴GI ＝JG －JE －EI ＝5－72－12＝1 cm ，在Rt △FGI 中，FI ＝3 cm ，∴FG ＝32＋12＝10 cm.第20题解图21. 5217 【解析】如解图，点P 在直线CD 上运动时，当MN 垂直于点N 的运动轨迹(直线)时，MN 最短，当点P 和C 重合时，N 1 是CB 的中点，当PA ′和直线CD 重合时，N 2 是PA ′的中点，∵AC ＝CB ＝4，∠ACB ＝120°，CD ⊥AB ，∴CD ＝2，AD ＝23，∴AB ＝2AD ＝43，∵M 、N 1分别是AC 、BC 中点，∴MN 1∥AB ，MN 1＝12AB ＝23，DE ＝1，∵PA ′是PA 绕点P 逆时针旋转120°得到的，当PA ′和直线CD 重合时，PA ′＝PA ，∠APA ′＝120°，∴∠APD ＝60°，∴AP ＝AD sin60°＝2332＝4，DP ＝AP ·cos60°＝4×12＝2，∵N 2是PA ′的中点，∴PN 2＝2，EN 2＝2＋2＋1＝5，∵MN 1∥AB ，CD ⊥AB ，MN 1⊥CD ，在△MEN 2和△N 1EN 2中，⎩⎪⎨⎪⎧ME ＝N 1E ∠MEN 2＝∠N 1EN 2EN 2＝EN 2，∴△MEN 2≌△N 1EN 2(SAS)，∴N 2M ＝N 2N 1，在Rt △MN 2E 中，N 2M ＝ME 2＋EN 22＝（3）2＋52＝27，∴S △MN 1N 2＝12MN 1·EN 2＝12×23×5＝53，又∵S △MN 1N 2＝12N 1N 2·MN ，∴12×27×MN ＝53，∴MN ＝5217.第21题解图22. 30；6 【解析】如解图①，连接AC ，分别过点E ，G 作AC 的垂线，垂足为M ，N ，易证△AEM ∽△ACB ，∴AE AC ＝EM CB ，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10，∴410＝EM 8，∴EM ＝165.∵△BEF 沿EF 翻折后点B 的对应点为点G ，∴GE ＝BE ＝2，∴点G 在以点E 为圆心，2为半径的⊙E (在矩形ABCD 内的部分)上．连接EN ，则EG ＋GN ≥EN ≥EM ，∴GN ≥EM －EG ＝165－2＝65.∵S 四边形AGCD ＝S △ACD ＋S △AGC ＝12AD ·CD ＋12AC ·GN ＝24＋5GN ，如解图②，当点G 在EM 上，即点N 与点M 重合，此时GN 取得最小值65，S 四边形AGCD 取得最小值为24＋5GN ＝24＋5×65＝30；如解图②，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，∵EM ⊥FG ，EM ⊥AC ，∴四边形FGMH 是矩形，∴FH ＝GM ＝65，∵∠FCH ＝∠ACB ，∠CHF ＝∠CBA ＝90°，∴△CHF ∽△CBA ，∴CF CA ＝FH AB ，即CF 10＝656，∴CF ＝2，∴BF ＝BC －CF ＝8－2＝6.图①图②第22题解图。
动态几何问题探究
1. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．(1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？(2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．１２2. 已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为()3A 0，、()04C ，，点D 的坐标为()D 5-0，，点P 是直线AC 上的一动点，直线DP 与y 轴交于点M ．问：（1）当点P 运动到何位置时，直线DP 平分矩形OABC 的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP 的函数解析式；（2）当点P 沿直线AC 移动时，是否存在使DOM △与ABC △相似的点M ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、半径长为R （R ＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P ．若设动圆P 的直径长为AC ，过点D 作动圆P 的两条切线，切点分别为点E 、F ．请探求是否存在四边形DEPF 的最小面积S ，若存在，请求出S 的值；若不存在，请说明理由． 注：第（3）问请用备用图解答．备用3. 阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个．．符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画．图．并直接写出结果）．图1 图2 图3 A DGCB E QHFMNP图4３4. 在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为(11)，的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O F，重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．４５5. 问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．的点P ，并说明理由． 问题解决（3）如图③，现在一块矩形钢板43ABCD AB BC ==，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB △和CP D '△钢板，且60APB CP D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出APB △的面积（结果保留根号）．D C B A ① D C BA ③ D CB A ②６6. 问题探究（1）请你在图①中作一条．．直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②，点M 是矩形ABCD 内一定点.请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分. 问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中644DC OB OB BC CD ===∥，，，.开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点(42)P ，处.为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分.你认为直线l 是否存在？若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由.7. 将两块大小一样含30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知8AB =，７4BC AD ==，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．（1）填空：如图1，AC = ，BD = ；四边形ABCD 是 梯形．（2）请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）．（3）如图2，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ABD △不动，将ABC △向x 轴的正方向平移到FGH △的位置，FH 与BD 相交于点P ，设A F t =，FBP △面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围．8. 如图，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E F ，分别从顶点B C ，同时开始以相同速度沿BC CD ，运动，与BCF △相应的EGH △在运动过程中始终保持EGH BCF △≌△，对应边EG BC =，B E C G ，，，在一图1 A BD CE 图2８直线上．（1）若BE a ，求DH 的长；（2）当E 点在BC 边上的什么位置时，DHE △的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点BAB EC GH F D 3a 3aB匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q 同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．10. 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，8AB=cm．现有一动点P按下列方式在矩形内AD=cm，6运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，９１０沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种 方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹角 为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动，…，如图1所示．问P 点 第一次与D 点重合前．．．与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合．． 时．所经过的路径的总长是多少． 小贝的思考是这样开始的 : 如图2，将矩形A B 沿直线CD 折叠，得到矩形11A B CD ．由轴对称的知识，发现232P P P E =，11P A PE =. 请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰 次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时．．．所经过的路径的总长是 cm ；（2） 进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD AB >．动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形A B C D 相邻的两边上. 若P 点第一次与B 点重合前．．．与边相碰7次，则:AB AD 的值为 .1. 解：（1）过点B 作BD OA ⊥于点D ，则四边形CODB 是矩形，图1图24BD CO ==，3OD CB ==，3DA =．在Rt ABD △中，5AB ==． 当MN OC ∥时，MN BD ∥，AMN ADB ∴△∽△，AN AMAB AD=． ∵AN OM t ==，63AM t AD =-=，， ∴653t t -=， 即154t =（秒）．（2）过点N 作NE x ⊥轴于点E ，交CB 的延长线于点F ， ∵NE BD ∥，∴AEN ADB △∽△，EN ANDB AB=． 即45EN t =，45EN t =．4EF CO == ，445FN t ∴=-．COM MNA CBN OABC S S S S S =--- △△△梯形，∴1111()2222S CO OA CB CO OM AM EN CB FN =+--- 1114144(63)4(6)34222525t t t t ⎛⎫=⨯⨯+-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭ ． 即22161255S t t =-+（05t ≤≤）． 由22161255S t t =-+，得2228(4)55S t =-+．∴当4t =时，S 有最小值，且285S =最小． 解：（1）连结BO 与AC 交于点H ，则当点P 运动到点H 时，2.直线DP 平分矩形OABC 的面积．理由如下：∵矩形是中心对称图形，且点H 为矩形的对称中心．又据经过中心对称 图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线DP 过矩形OABC 的对称中心点H ，所以直线DP 平分矩形OABC 的面积．由已知可得此时点P 的坐标为3(2)2P ，．设直线DP 的函数解析式为y kx b =+．则有503 2.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得413k =，2013b =．所以，直线DP 的函数解析式为：4201313y x =+． （2）存在点M 使得DOM △与ABC △相似．如图，不妨设直线DP 与y 轴的正半轴交于点(0)m M y ，． 因为DOM ABC ∠=∠，若△DOM 与△ABC 相似，则有OM BC OD AB =或OM ABOD BC=． 当OM BCOD AB=时，即354m y =，解得154m y =．所以点115(0)4M ，满足条件． 当OM ABOD BC=时，即453m y =，解得203m y =．所以点220(0)3M ，满足条件． 由对称性知，点315(0)4M -，也满足条件． 综上所述，满足使DOM △与ABC △相似的点M 有3个，分别为115(0)4M ，、220(0)3M ，、315(0)4M -，．（3）如图 ，过D 作DP ⊥AC 于点P ，以P 为圆心，半径长为52画圆，过点D 分别作P 的切线DE 、DF ，点E 、F 是切点．除P 点外在直线AC 上任取一点P 1，半径长为52画圆，过点D 分别作P 的切线DE 1、DF 1，点E 1、F 1是切点．在△DEP 和△DFP 中，∠PED ＝∠PFD ，PF ＝PE ，PD ＝PD ，∴△DPE ≌△DPF ． ∴Ｓ四边形DEPF ＝2Ｓ△DPE ＝2×1522DE PE DE PE DE ⨯⋅=⋅=．∴当DE 取最小值时，Ｓ四边形DEPF 的值最小．∵222DE DP PE =-，2221111DE DP PE =-，∴222211DE DE DP DP -=-．∵1DP DP >，∴2210DE DE ->．∴1DE DE >．由1P 点的任意性知：DE 是D 点与切点所连线段长的最小值．在△ADP 与△AOC 中，∠DP A ＝∠AOC ， ∠DAP ＝∠CAO ， ∴△ADP ∽△AOC ． ∴DP CO DA CA =，即485DP =．∴325DP =．∴DE ==x∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）3. 解：（1（2）正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ 的面积为25．4. 解：（1）12；（2）直角顶点的坐标为22⎛⎫⎪⎪⎝⎭，或1122⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭． 此时的图形如右图．5. 解：（1）如图①，连接AC BD 、交于点P ，则90APB ∠=°． ∴点P 为所求．（2）如图②，画法如下：1）以AB 为边在正方形内作等边ABP △；2）作ABP △的外接圆O ⊙，分别与AD BC 、交于点E F 、．在O ⊙中，弦AB 所对的APB 上的圆周角均为60°， EF∴上的所有点均为所求的点P ． （3）如图③，画法如下：1）连接AC ；2）以AB 为边作等边ABE △；3）作等边ABE △的外接圆O ⊙，交AC 于点P ； 4）在AC 上截取AP CP '=． 则点P P '、为所求．（评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点B 作BG AC ⊥，交AC 于点G ．图3CA DGC BEQH F M N P 图4B A P②在Rt ABC △中，43AB BC ==，．5AC ∴==．125AB BC BG AC ∴== ． 在Rt ABG △中，4AB =，165AG ∴==．在Rt BPG △中，60BPA ∠=°，12tan 605BG PG ∴===°∴1655AP AG PG =+=+．111612962255525APB S AP BG ⎛⎫+∴==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ △．6. 解：（1）如图①，作直线DB ，直线DB 即为所求.（所求直线不唯一，只要过矩形 对称中心的直线均可） ··························································································· （2分） （2）如图②，连接AC 、DB 交于点P ，则点P 为矩形ABCD 的对称中心.作直线MP ， 直线MP 即为所求. ································································································ （5分） （3）如图③，存在符合条件的直线l . ································································· （6分） 过点D 作DA OB ⊥于点A ，则点(42)P ，为矩形ABCD 的对称中心. ······························································· （6分） ∴过点P 的直线只要平分DOA △的面积即可.易知，在OD 边上必存在点H ，使得直线PH 将DOA △面积平分. 从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积. 即直线PH 为所求直线l . ························································································ （9分）设直线PH 的表达式为y kx b =+，且点(42)P ，， 24k b ∴=+．即2424b k y kx k =-∴=+-．． 直线OD 的表达式为2y x =．∴242y kx k y x =+-⎧⎨=⎩，．解之，得242482k x kk y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，．③∴点H 的坐标为244822k k k --⎛⎫⎪--⎝⎭，．PH 与线段AD 的交点F 的坐标为(222)k -，， 02241k k ∴<-<∴-<<．．2411224222k k -⎛⎫-=⨯⨯⨯ ⎪-⎝⎭．解之，得k k ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭83b ∴= ∴直线l的表达式为8y x =+- （12分）7. ．解：（1）1分等腰； 2分 （2）共有9对相似三角形．（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对) 所以，一共有9对相似三角形． 5分（3）由题意知，FP ∥AE ，∴ ∠1＝∠PFB ， 又∵ ∠1＝∠2＝30°， ∴ ∠PFB ＝∠2＝30°， ∴ FP ＝BP过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则12FK BK FB ==．∵ AF ＝t ，AB ＝8，∴ FB ＝8－t ，1(8)2BK t =-．在Rt △BPK 中，1tan 2(8)tan 30)2PK BK t t =⋅∠=-︒=-． 7分∴ △FBP 的面积11(8))22S FB PK t t =⋅⋅=⋅--， ∴ S 与t 之间的函数关系式为：2(8)12S t =-，或24123S t =-+ 8分 t 的取值范围为：08t ≤<．9分8. 解：（1）连接FH ，则FH BE ∥且FH BE =， 1分在Rt DFH △中，32DF a a a =-=，FH a =，90DFH ∠= ，2分所以，DH ==．3分 （2）设BE x =，DHE △的面积为y ， 4分 依题意，CDE EGH CDHG y S S S =+-△△梯形，5分1113(3)(3)3222a a x a x x a x =⨯⨯-+⨯+⨯-⨯⨯ 6分 22139222x ax a =-+ 7分22221391327222228y x ax a x a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．当32x a =，即12BE BC =， E 是BC 的中点时，y 取最小值． 8分DHE △的面积y 的最小值为2278a ． 9分9. 解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC，4BC =， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅， 即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°．ABE CGH FDP图4由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得 B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==．∴52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7． 22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】10. 解：（1）5，； 3分 （2）4:5． 5分解题思路示意图：P图5。
24题几何动态习题(含答案)
24题几何动态习题1、（本题10分）如图△ABC 为等边三角形，D 点为BC 边上一动点，DE ⊥BA 于E ，连接CE 交AD 于F ，已知BC=nBD(1)若n=3时，则AC BE= (2)若n ＝4时，求FCEF的值；（3）当n ＝ 时，EF ＝FC.(直接写出答案，不证明)1、（1）AC BE ＝61（2）过C 作CG ⊥AB 于G 点，交AD 于H 点，由△BDE ∽△BCG 得CG DE ＝BC BD ＝41， 设DE ＝k,则CG ＝4k ，又HG ∥DE ，∴DE HE ＝AE AG ＝74，HG ＝74k ∴CH ＝4k －74k ＝724k 又△EFD ∽△CFH 得FC EF ＝724k k ＝247（3）解法一，过E 作EH ∥BC ，交AD 于F ，设BD ＝a ，CD ＝（n －1）a ，则BE ＝2a,AB ＝na ，若EF ＝FC ，易证△EFH ≌△CDF, ∴EF ＝CD ＝（n －1）a,又EF ∥BC,易证△AEH ∽△ABD∴AB AE ＝BD EF ,naana 2-＝a a n )1(-, ∵点D 在线段BC 上，∴n>1，故n ＝2)22(- 解法二，DE ∥CG, ∴CG DE ＝n1，CG ＝n ·DE 又DE ∥HG ，∴△AGH ∽△AED,∴HG ＝12-n n ·DE ∴n-12-n n=1, ∵点D 在线段BC 上，∴n>1, 故n ＝2)22(-CA B DC A B D2.如图在△ABC 中，∠ACB=90 o,BC=k AC ，CD ⊥AB 于D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC,PF ⊥BC,垂足分别为E 、F ，（1） 若k=2时，则CE/BF = _________ （2分） （2） 若k=3时，连EF 、DF, 求EF/DF 的值 （5分）（3）当k=__________时，EF/DF = 2 3 /3.(直接写结果，不需证明) （3分）.（1）12(2分)（2）证法：连DE 证△CED ∽△BFD, DE DF = CD BD = AC BC = 1K = 13，证∠EDF = 90 oEF DF = 10 3(5分)(3) 3 (3分)3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为BC 边上一动点，BD=nCD ，CE ⊥AD 于F ，交AB 于E 。
几何动态综合题(含答案解析)
题型六几何动态综合题类型一点动型探究题针对演练1.如图，正方形ABCD 的边长为3 cm，P，Q 分别从B，A 出发沿BC，AD 方向运动，P 点的运动速度是1 cm/秒，Q 点的运动速度是2 cm/秒，连接AP，并过Q 作QE⊥AP 垂足为E.(1)求证：△ABP∽△QEA；(2)当运动时间t 为何值时，△ABP≌△QEA；(3)设△QEA 的面积为y，用运动时间t 表示△QEA 的面积y.(不要求考虑t 的取值范围)(提示：解答(2)(3)时可不分先后)第1 题图2.如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC 和Rt△ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B，D 分别在AC 的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4 cm.(1)填空：AD＝(cm)，DC＝(cm)；(2)点M、N 分别从A 点，C点同时以每秒1 cm 的速度等速出发，且分别在AD，CB 上沿A→D，C→B 方向运动，当N 点运动到B 点时，M、N 两点同时停止运动，连接MN.求当M、N 点运动了x 秒时，点N 到AD 的距离(用含x 的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取DC 中点P，连接MP，NP，设△PMN 的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出y 的最大值．(参考数据：sin75sin15第2 题图动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒 3 cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t 的值；(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．第3 题图M 从点 D 出发，沿 DA 方向匀速运动，速度为 2 cm/s ，点 N 从点 B 出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s ，过点 M 作 MF ⊥CD ，垂足为 F ，延长 FM 交 BA 的延长线于点 E ，连接 EN ，交 AD 于点 O ， 设运动时间为 t (s )(0＜t ＜4)．(1)连接 AN ，MN ，设四边形 ANME 的面积为 y (cm 2)，求 y 与 t 之间的函数关系式；(2)是否存在某一时刻 t ，使得四边形 ANME 的面积是 ▱ABCD 面 21 32？若存在，求出相应的 t 值，若不存在，请说明理由； (3)连接 AC ，交 EN 于点 P ，当 EN ⊥AD 时，求线段 OP 的长度．第 4 题图 备用图积的35. 如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，如果点 E 由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，同时点 F 由点 D 出发沿 DA 方向向点 A 匀速运动，它们的速度分别为每秒 2 cm 和 1 cm ，FQ ⊥ BC ，分别交 AC 、BC 于点 P 和 Q ，设运动时间为 t 秒(0＜t ＜4)．(1)连接 EF ，若运动时间 t ＝2秒时，求证：△EQF 是等腰直角三 角形；(2)连接 EP ，设△EPC 的面积为 y cm 2，求 y 与 t 的函数关系式， 并求 y 的最大值；(3)若△EPQ 与△ADC 相似，求 t 的值．6.如图，在四边形ABCD 中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4 cm，DC＝5 cm，AB＝8 cm.如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1 cm/s，当P 点到达C 点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：(1)当t 为何值时，P，Q 两点同时停止运动？(2)设△PQB 的面积为S，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；(3)当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值．第6 题图32＋t 2 2 2 【答案】1．(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，QE ⊥AP ，∴∠QEA ＝∠B ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠QAE ＝∠APB ，∴△ABP ∽△QEA ；…………………………………………(3 分)(2)解： 由题意得：BP ＝t cm ，AQ ＝2t cm ，要使△ABP ≌△QEA ，则 AQ ＝AP ＝2t cm ，在 Rt △ABP 中，由勾股定理得：32＋t 2＝(2t)2，解得t ＝± 3(负值舍去)，即当t ＝ 3时，△ABP ≌△QEA ；…………………………(7 分)(3)解：在 Rt △ABP 中，由勾股定理得：AP ＝ 32＋t 2， ∵△ABP ∽△QEA ，∴AB ＝BP ＝AP ， QE AE AQ3 t ∴QE ＝AE ＝ 2t ， 6t2t 2 ∴QE ＝ 32＋t2，AE ＝ 32＋t 2， 1 1 6t 2t 2 6t 3∴y ＝2QE ·AE ＝2· 32＋t 2· 32＋t ＝ t ＋9 .……………(12 分)2．解：(1)2 6，2 2；【解法提示】在 Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC ＝ AB 2＋BC 2＝ 42＋42＝4 2 cm ，× NC NC NC 在 Rt △ACD 中，AD ＝AC ·co s 30°＝4 2 3 2 6 cm ， DC ＝AC ·sin30°＝4 2 1 2 2 cm. ×2＝(2)如解图，过点 N 作 NE ⊥AD 于点 E ，作 NF ⊥DC 交 DC 延长线于点 F ，则 NE ＝DF .∵∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，∴∠NCF ＝75°，∠FNC ＝15°，在 Rt △NFC 中，第 2 题解图∵sin ∠FNC ＝FC，∴sin15°＝FC，又∵NC ＝x cm ，∴FC ＝NC ·sin15°＝ 6－ 2 x cm ，6－ 2∴NE ＝DF ＝DC ＋FC ＝(2 2 4 x )cm ，∴点 N 到 AD 的距离为(2 2 (3)如解图，在 Rt △NFC 中，∵sin75°＝NF，6－ 2x )cm ；∴NF ＝NC ·sin75°＝ 6＋ 2x cm ，∵P 为 DC 中点，DC ＝2 2 cm ，∴DP ＝CP ＝ 2 cm ，－ 2＝－2 ∴PF ＝DF －DP ＝2 2＋ 2)cm ，∵S △PMN＝S 四边形 DFNM －S △DPM －S △PFN ，即 S 1 1 1 △PMN ＝2(NF ＋MD )·NE －2MD ·DP －2PF·NF ， ∴y1 1 ＝2×＋2 6－x )×(2 2)－2×(2 6－x )× 2 1×，即 y2＋2 3， 0，4∴当 x ＝－2 2 秒时，y 取得最大 23 2 2cm .3．解：(1)根据题意 BM ＝2t cm ，BC ＝5×tan60°＝5 3 cm ， BN ＝BC － 3t ＝(5 3－ 3t)cm ，∴当 BM ＝BN 时，2t ＝5 3－ 3t ，解得t ＝10 3－15；…………………………………………(2 分)(2)分两种情况讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①，＋ 2)4BM △NBM ∽△ABC ，cosB ＝cos30 ∴ 2t＝ 3 BM °＝BN， 5 3－ 3t 解得t ＝15 2， (4 分)7 ；第 3 题解图②当∠MNB ＝∠ACB ＝90°时，如解图②，△MBN ∽△ABC ，cosB＝cos30°＝BN ，5 3－ 3t 3∴ 解得t 2t ＝ 2 ，5 ＝2， 故若△MBN 与△ABC 相似，则 t 的值为15秒或5秒；……(6 分) 7 2(3)如解图③，过点 M 作 MD ⊥BC 于点 D ，则 MD ∥AC ， ∴△BMD ∽△BAC ，BM MD ∴ BA ＝ AC ，又∵BA ＝ AC cos 60○＝10， 第 3 题解图③ 2tMD ∴10＝ 5，解得 MD ＝t.设四边形 ACNM 的面积为 y ，则2 2△BMN ＝2 2y ＝S △ABC －S11AC ×BC － 1BN ·MD 1 ＝2×5×5 3－ 2(5 3－ 3t)·t3 5 3 ＝25 3 2 t － 2 t ＋＝ 3 5 2 75 3 (t －2) ＋ ，…………………………………………(8 分)∴当 t 5 75 3＝2秒时，四边形 ACNM 的面积最小，最小值为cm 2.…………………………………………………………………(10 分)4．解：(1)如解图①，过点 A 作 AG ⊥BC ，垂足为点 G .第 4 题解图①∵∠AGB ＝90°，∠B ＝60°，∴AG ＝ 3＝2 3 cm.AB由题可知，MD ＝2t cm ，则 AM ＝(8－2t ) cm ， ∵AB ∥CD ，MF ⊥CD ， ∴ME ⊥AB ，∴∠MEA ＝∠MFD ＝90°， ∵AD ∥BC ，∴∠EAM ＝∠B ＝60°，∴AE ＝1AM ＝(4－t) cm , ME ＝ 3(4－t) cm ，＝ 2∴y ＝S △ANM ＋S △AEM11＝2×(8－2t)×2 3＋2×(4－t)× 3×(4－t) 3 t －6 3t ＋16 3(0＜t ＜4)； (2)存在．由四边形 ANME 的面积是▱ABCD 213 2 21面积的32可得： t －6 3t ＋16 3＝32×8×2 3， 整理得：t 2－12t ＋11＝0， 解得t ＝1 或t ＝11(舍去)，所以当t ＝1s 时，四边形 ANME 的面积是▱ABCD 21面积的32；(3)如解图②，第 4 题解图②由(1)可知 AE ＝(4－t ) cm ， ∴BE ＝AB ＋AE ＝(8－t ) cm.∵∠B ＝60°，EN ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴BN ＝1BE ＝(4－1t ) cm ，BG 1AB ＝2 cm.2 2 ＝2又∵BN ＝t ，1 ∴4－2t ＝t ，解得 t 8＝3，3 3 3 3 9 的长度为 9 × ＝ 3 ∴BN ＝8cm ，∴GN ＝BN －BG ＝2 cm ，∴AO ＝2 cm ，NC ＝BC -BN =16 cm.设 PO ＝x cm ，则 PN ＝(2 3－x ) cm. ∵AO ∥NC ， ∴△AOP ∽△CNP ， 2AO PO 3 x ∴NC ＝PN ，即16＝ ，2 3－x 3解得 x ＝2 3，∴当 EN ⊥AD 时，线段 OP 2 3 cm.5．(1)证明：若运动时间 t 2＝3秒，则 BE ＝2 2 4 cm ，DF ＝2cm ，3 3 3∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝8 cm ，AB ＝DC ＝6 cm ，∠D ＝∠BCD ＝90°， ∵FQ ⊥BC ，∴∠FQC ＝∠D ＝∠QCD ＝90°， ∴四边形 CDFQ 是矩形，∴CQ ＝DF ＝2cm ，CD ＝QF ＝6 cm ，4∴EQ ＝BC －BE －CQ ＝84 26 cm ，－3－3＝∴EQ ＝QF ＝6 cm ，∴△EQF 是等腰直角三角形； (2)解：∵∠FQC ＝90°，∠B ＝90°， ∴∠FQC ＝∠B ， ∴PQ ∥AB ， ∴△CPQ ∽△CAB ，PQ QC PQ t ∴AB ＝BC ， 即 6＝8，∴PQ ＝3t cm ，∵BE =2t ,∴EC =BC -BE =8-2t ,1∵S △EPC ＝2EC ·PQ ，∴y ＝1(8－ 3 3t 2＋3t 3(t －2)2＋3(0＜t ＜4).2 2t )·4t ＝－4 ＝－4 3∵－4＜0，∴当 t ＝2 秒时，y 有最大值，y 的最大值为 3 cm 2； (3)解：分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，点 E 在 Q 的左侧，①当△EPQ ∽△ACD 时， 第 5 题解图①88 57 ；839 ，PQ EQ3t 8－3t 可得CD ＝AD ，即 4 ＝ 8 ，解得t ＝2；②当△EPQ ∽△CAD 时，PQ EQ3t 8－3t 可得AD ＝CD ，即 4 ＝ 6 ，解得t ＝128(ⅱ)如解图②，点 E 在 Q 的右侧， ∵0＜t ＜4，∴点 E 不能与点 C 重合， ∴只存在△EPQ ∽△CAD ，PQ EQ3t 3t －8 可得AD ＝CD ，即 4 ＝ 6 ， 解得t ＝128第 5 题解图②故若△EPQ 与△ADC 相似，则t 的值为 2 秒或12812857 秒或 39 秒．6．解：(1)如解图，过点 C 作 CE ⊥AB 于点 E ， ∵DC ∥AB ，DA ⊥AB ，CE ⊥AB ， ∴四边形 AECD 是矩形， ∴AE ＝DC ＝5，CE ＝AD ＝4，第 6 题解图∴BE ＝AB －AE ＝8－5＝3，∴由勾股定理得：BC ＝ ∴BC ＜AB ，＝ 32＋42＝5， BE 2 +CE 215CM 2∵当点P 运动到点C 时，P、Q 同时停止运动，∴t＝5＝5 s，即t＝5 s 时，P、Q 两点同时停止运动；(2)由题意知，AQ＝BP＝t，∴QB＝8－t.如解图，过点P 作PF⊥QB 于点F，则△BPF∽△BCE，∴PF＝BP PF tCE∴PFBC ，即4 ＝5，4t＝5 ，∴S1 1 4t 2t16t＝2QB·PF＝2×(8－t)×5 ＝－52＋5＝－2(t－4)22∵－50，32＋5 (0 ＜t≤5)．∴当t＝4 s 时，S32有最大值，最大值为5 ；(3)∵cos B＝BE 3BC＝5，∴BF＝PB·cos B＝t·cos B3t＝5 ，∴QF＝AB－AQ－BF＝88t－5 ，∴QP＝＝. 当△PQB 为等腰三角形时，分以下三种情况：11 11 s 或 11①当 PQ ＝PB 时，即 ＝t ，t40 t解得： 1 ＝11， 2 ＝8，∵t2＝8＞5，不合题意，40 ∴t ＝11；②当 PQ ＝BQ 时，即解得： t 1＝0(舍去)， t 2 ＝48； ③当 QB ＝BP 时，即 8－t ＝t ，＝8－t ，解得t ＝4；综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，则 t 的值为40 48 或 4 s.s类型二线动型探究题针对演练1.如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝3，在BC 上取两点E，F(E 在F 左边)，以EF 为边作等边三角形PEF，使顶点P 在AD 上，PE，PF 分别交AC 于点G，H.(1)求△PEF 的边长；(2)若△PEF 的边EF 在射线BC 上移动，(点E 的移动范围在B、C 之间，不与B、C 两点重合)，设BE＝x，PH＝y.①求y 与x 的函数关系式；②连接BG，设△BEG 面积为S，求S 与x 的函数关系式，判断x 为何值时S 最大，并求最大值S.第1 题图2.已知，如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，且AC＝12 cm，BD＝16 cm，点P 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1 cm/s；过点P 作直线PF∥AD，PF 交CD 于点F，过点F 作EF⊥BD，且与AD、BD 分别交于点E、Q；连接PE，设点P 的运动时间为t(s)(0＜t＜10)．(1)填空：AB＝cm；(2)当t 为何值时，PE∥BD；(3)设四边形APFE 的面积为y(cm2)．①求y 与t 之间的函数关系式；②若用S 表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S 四边形APFE8＝25S 菱形ABCD？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．第2 题图3.如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，BC＝10 cm，AD＝8 cm.点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB、AC、AD 于点E、F、H，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．(1)当t＝2 时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF 为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此刻t 的值；若不存在，请说明理由．4.如图①，在菱形ABCD 中，AB＝6 5，tan∠ABC＝2，点E 从点D 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿着射线DA 的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)．将线段CE 绕点 C 顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CF.(1)求证：BE＝DF；(2)如图②，连接BD、EF，BD 交EC、EF 于点P、Q.当t 为何值时，△EPQ 是直角三角形？(3)如图③，将线段CD 绕点C 顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CG.在点 E 的运动过程中，当它的对应点 F 位于直线AD 上方时，直接写出点F 到直线AD 的距离y 关于时间t 的函数表达式．第4 题图【答案】1．解：(1)如解图①，过点P 作PQ⊥BC 于点Q，∵在矩形ABCD 中，∠B＝90°，∴AB⊥BC，又∵AD∥BC，∴PQ＝AB＝3，∵△PEF 是等边三角形，∴∠PFQ＝60°，在Rt△PQF 中，sin∠PFQPQ＝PF，∴PF＝ 3 2，第1 题解图①2 ＝∴△PEF 的边长为2；(2)①在Rt△ABC 中，AB＝3，BC＝3，由勾股定理得，AC＝2 3，∴∠ACB＝30°，又∵△PEF 是等边三角形，∴∠PFE＝60°，∴∠FHC＝30°，∴FH＝FC，∵HF＝2－PH＝2－y，∴FC＝2－y，又∵BE＋EF＋FC＝BC，32 ∴x ＋2＋2－y ＝3， 即 y ＝x ＋1(0＜x ＜3)；②如解图②，过点 G 作 GM ⊥BC 于点 M ， ∵△PEF 为等边三角形， ∴∠PEF ＝60°，∵Rt △ABC 中，AB ＝ 3，BC ＝3， 第 1 题解图②∴∠ACB ＝30°，∴∠EGC ＝180°－30°－60°＝90°， ∵BE ＝x ， ∴EC ＝3－x ， 3－x ∴EG ＝ 2 ，∵∠GEM ＝60°，sin ∠GEM GM＝ GE，∴GM ＝EG ·sin60 33－x 3 3－ 3x ，1 ∴S ＝2x × 3 3－ 3x2 × 2 ＝ 43 3 3 ＝－ 3 2 9 3 8 x ＋ 8 x ＝－ (x －2) ＋ ，3∵－ ＜0，∴当 x 3 93＝2时，S 最大＝ 2．解：(1)10；32 . 【解法提示】如解图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交°＝于点O，且AC＝12 cm，BD＝16 cm，∴ BO＝DO＝8 cm，AO＝CO＝6 cm，∴ AB＝82＋62＝10 cm.(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，又∵PF∥AD，∴四边形APFD 为平行四边形，∴DF＝AP＝t cm，又∵EF⊥BD 于点Q，且∠ADB＝∠CDB，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝t cm，∴AE＝(10－t) cm，当PE∥BD 时，△APE∽△ABD，AP AE∴AB＝AD，t 10－t∴＝10 10 ，∴t＝5，∴当t＝5 s 时，PE∥BD；(3)①∵∠FDQ＝∠CDO，∠FQD＝∠COD＝90°，∴△DFQ∽△DCO，∴QF＝DF QF t ，OC DC，即6 10＝5 5 55 ＝ ∴QF ＝3tcm ，∴EF ＝2QF ＝6tcm ，同理，QD ＝4tcm ，如解图，过点 C 作 CG ⊥AB 于点 G ，∵S 菱形 ABCD ＝AB ·CG 1＝2AC ·BD ，即 10CG112×16， 第 2 题解图＝2×∴CG ＝48cm ，∴S＝DF ·CG 482，▱APFD＝ 5 t cm∴S1 1 6t 4t 12 2 2△EFD ＝2EF ·QD ＝2× 5 × 5 ＝25t cm ，∴y 48 12 2 ＝ 5 t －25t .②存在．8 ＝ S时，则 四边形 APFE25 菱形 ABCD48 12 2 8 1 5 t －25t ＝25×12×16×2， 整理得，t 2－20t ＋64＝0， 解得t 1＝4，t 2＝16＞10(舍去)，∴当t ＝4s 时，S8 S . 四边形 APFE25菱形 ABCD 当 S3．(1)证明：如解图①，连接DE，DF，当t＝2 时，DH＝AH＝4，则H 为AD 的中点，∵EF⊥AD，∴EF 为AD 的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵AD⊥BC，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF 为菱形；第3 题解图(2)解：如解图②，连接PE，PF，由(1)知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EF＝AH EF 8－2t BC AD，即10 ＝8 ，解得EF＝10 5 t，－22 ∴S 11 55 2 △PEF ＝2EF ·DH ＝2(10－2t)·2t ＝－2t ＋10t ＝－5(t －2)2＋10(0＜t 10 ≤ 3)，∴当t ＝2 秒时，S △PEF 存在最大值，最大值为 10 cm 2， 此时 BP ＝3t ＝6 cm ； (3)解：存在．(ⅰ)若点 E 为直角顶点，如解图③，连接 PE ，PF ， 此时 PE ∥AD ，PE ＝DH ＝2t ，BP ＝3t. ∵PE ∥AD ， ∴△BEP ∽△BAD ，∴PE ＝BP 2t 3t AD BD ，即8 ＝ 5 ，此比例式不成立，故此种情形不存在；第 3 题解图(ⅱ)若点 F 为直角顶点，如解图④，连接 PE ，PF ， 此时 PF ∥AD ，PF ＝DH ＝2t ，BP ＝3t ，CP ＝10－3t. ∵PF ∥AD ， ∴△CFP ∽△CAD ，∴PF＝CP 2t 10－3t AD CD ，即 8 ＝ 5 ，40解得t ＝ ；17(ⅲ)若点 P 为直角顶点，如解图⑤，连接 PE ，PF ，过点 E 作 EM ⊥BC 于点 M ，过点 F 作 FN ⊥BC 于点 N ，则 EM ＝FN ＝DH ＝2t ， EM ∥FN ∥AD .∵EM ∥AD ， ∴△BEM ∽△BAD ，∴EM ＝BM2t BM AD BD ，即 8＝ 5 ，5解得 BM ＝ t ，45 7∴PM ＝BP －BM ＝3t － t ＝ t.4 4在Rt△EMP 中，由勾股定理得，PE 2 = EM 2 + PM 2272113 2＝(2t) ＋(4t) ＝ 16t .∵FN ∥AD ， ∴△CFN ∽△CAD ，∴FN ＝CN 2t CNAD CD ，即 8＝ 5 ，5解得 CN ＝ t ，45 17∴PN ＝BC －BP －CN ＝10－3t － 4 在 Rt △FNP 中，由勾股定理得，t ＝10－ 4 t.PF 2 = FN 2 + PN 22172353 2＝(2t) ＋(10－ 4 t) ＝ 16t －85t ＋100.♥5又∵EF ＝MN ＝BC －BM －CN ＝10－2t ，在Rt△PEF 中，由勾股定理得， EF 2 = PE 2 + PF 2 ，5 2 113 2 353 2即(10－ 2t) ＝ 16 t ＋( 16t －85t ＋100)，化简得 183t 2－280t ＝0，解得t ＝ 280或t ＝0(舍去)，183280 ∴t＝ .183综上所述，当 t ＝ 40 秒或t ＝ 17 280秒时，△PEF 为直角三角形．(9183分)4．(1)证明：∵∠ECF ＝∠BCD ＝α， ∴∠ECF －∠ECD ＝∠BCD －∠ECD ， 即∠DCF ＝∠BCE . ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴DC ＝BC ，在△DCF 与△BCE 中，♣CF = CE♠∠DCF = ∠BCE ♦ ， ♠DC = BC∴△DCF ≌△BCE (SAS)， ∴BE ＝DF ； (2)解：∵CE ＝CF ，5 6 5 5DE∴∠CEQ <90°.①当∠EQP ＝90°时，如解图①， ∵∠ECF ＝∠BCD ，BC ＝DC ，EC ＝FC ， ∴△BCD ∽△ECF ， ∴∠CBD ＝∠CEF . ∵∠BPC ＝∠EPQ ， 第 4 题解图①∴∠BCP ＝∠EQP ＝90°， ∴∠CED ＝90°，在 Rt △CDE 中，∠CED ＝90°，∵CD ＝AB ＝6 5，tan ∠ABC ＝tan ∠ADC ＝2， ∴EC ＝2，即 EC ＝2DE ，∵ CD 2 = EC 2 + DE 2 ，即 CD ＝ 5DE ，CD ∴DE ＝ ＝ ＝6，∴t ＝6；②当∠EPQ ＝90°时，如解图②， ∵菱形 ABCD 的对角线 AC ⊥BD ，∴EC 和 AC 重合，第 4 题解图②∴DE ＝6 5， ∴t ＝6 5.综上所述，当t ＝6 秒或 6 5秒时，△EPQ 为直角三角形；(3)解：y 2 5t －12－ 24 5.＝ 5 5【解法提示】点G 即为t＝0 时点E 的对应点．当点F 在直线AD 上方时，如解图③，连接GF，分别交直线AD、BC 的延长线于点M、N，过F 点作FH⊥AD，垂足为H，由(1)得∠1＝∠2.易证△DCE≌△GCF(SAS)，∴∠3＝∠4，∵DE∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4，∴GF∥CD，∴四边形DCNM 为平行四边形，易得MN＝6 5.∵∠BCD＝∠DCG，∠DCN＋∠BCD＝∠DCG＋∠CGN＝180°，∴∠CGN＝∠DCN＝∠CNG，∴CN＝CG＝CD＝6 5.∵tan∠ABC＝2，∴tan∠CGN＝2，∴GN＝12，∴GM＝6 5＋12. 第4 题解图③∵GF＝DE＝t×1＝t，∴FM＝t－6 5－12.∵tan∠FMH＝tan∠ABC＝2，5∴FH ＝2 5(t －6 5－12)， 即y －12类型三形动型探究题针对演练1.在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF、AG 与边BC 的交点分别为D、E(点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合)，设BE＝m，CD＝n.(1)求证：△ABE∽△DCA；(2)求m 与n 的函数关系式，并直接写出自变量n 的取值范围；(3)在旋转过程中，试判断等式BD2 +CE 2 =DE 2 是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第1 题图2.两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B 与点D 重合，边AB 与边DE 在同一条直线上(假设图形中所有的点，线都在同一平面内)．其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC ＝DE＝6 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC 沿射线DE 方向平移，当点C 落在边EF 上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C 落在边EF 上时，x＝cm；(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3)设边BC 的中点为点M，边DF 的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中，点M 与点N 之间距离的最小值．第2 题图3.如图，在△ABC 中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E、F 分别在AB、AC 上，AD 交EF 于点H.(1) AH EF求证：AD＝BC；(2)设EF＝x，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；(3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形以每秒1 个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．第3 题图4.如图，在▱ABCD 中，AD⊥BD，AB＝10，AD＝6，以AD 为斜边在▱ABCD 的内部作Rt△AED，使∠EAD＝∠DBA，点A′、E′、D′ 分别与点A、E、D 重合，△A′E′D′以每秒5 个单位长度的速度沿DC 方向平移，当点E′落在BC 边上时停止移动，线段BD 交边A′D′于点M，交边A′E′或D′E′于点N，设平移的时间为t(秒)．(1)DM 的长为(用含t 的代数式表示)；(2)当E′落在BD 上时，求t 的值；(3)若△A′E′D′与△BDC 重叠部分图形的面积为S(平方单位)，求S 与t 之间的函数关系式；(4)在不添加辅助线的情况下，直接写出平移过程中，出现与△DMD′全等的三角形时t 的取值范围．第4 题图5. 如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，D 为 AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形 EFGH 为△ACD 的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD 的边上)．(1)计算矩形 EFGH 的面积；(2)将矩形 EFGH 沿 AB 向右平移，F 落在 BC 上时停止移动．在的距离；(3) 如图③，将(2) 中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形 E 1F 1G 1H 1，将矩形 E 1F 1G 1H 1 绕 G 1 点按顺时针方向旋转，当 H 1 落在 CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形 E 2F 2G 1H 2，设旋转角为 α， 求 cos α的值．第 5 题图平移过程中，当矩形与△CBD6. 已知：如图①，在▱ABCD 中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，AC⊥ AB.△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM，速度为1 cm/s；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为1 cm/s；当△PNM 停止平移时，点Q 也停止移动，如图②.设移动时间为t(s)(0＜t＜4)，连接PQ，MQ，MC.解答下列问题：(1) 当t 为何值时，PQ∥MN? (2)设△QMC 的面积为y(cm2)，求y 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S 四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．第6 题图【答案】1．(1)证明：∵∠BAE＝∠BAD＋45°，∠CDA＝∠BAD＋45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∵∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；(2)解：∵△ABE∽△DCA，∴BE＝BA，CA CD依题可知CA＝BA＝2，m 2∴＝，2 n∴m2＝n，自变量n 的取值范围为1＜n＜2；(3)解：成立．理由如下：如解图，将△ACE 绕点A 顺时针旋转90°至△ABH 的位置，则CE＝HB，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°，连接HD，在△EAD 和△HAD 中，∵AE＝AH，∠HAD＝∠EAH－∠FAG ＝45°＝∠EAD，AD＝AD，∴△EAD≌△HAD(SAS)，∴DH＝DE，又∠HBD＝∠ABH＋∠ABD＝90°，∴BD2＋HB2＝DH2，即BD2＋CE2＝DE2.2．解：(1)15；【解法提示】如解图①，作 CG ⊥AB 于 G 点，CH ⊥CE 于点 H ，第 2 题解图①在 Rt △ABC 中，由 AC ＝6，∠ABC ＝30°，得 BC ＝ cm. 在 Rt △BCG 中，BG ＝BC ·cos30°＝9 cm. ∵四边形CGEH是矩形，∴CH ＝GE ＝BG ＋BE ＝9＋6＝15 cm.AC ＝6 3 tan 30(2)①当 0≤x ＜6 时，如解图②，由∠GDB ＝60°，∠GBD ＝30°，DB ＝x ，得 DG 1x ，BG ＝ 3 ，重叠部分的面积 y 1DG ·BG 1 1x × 3 ＝2x 3 2； ＝2 ＝2×2 2 x 8 x第 2 题解图②②当 6≤x ＜12 时，如解图③，BD ＝x ，DG ＝1x ，BG ＝ 3 ，BE ＝x －6，EH ＝ 3 －6)， 2 2 x 重叠部分的面积 y ＝S －S(x1DG ·BG －1BE ·EH ， △BDG △BEH ＝2 2即 y 1 1 3 1 3 ＝2×2x × x －2(x －6)× (x －6)， ＝3 3 ♦ -28 ♠ ♥第 2 题解图③化简得 y 3 2＋2 3x －6 3；24 x ③当 12≤x ≤15 时，如解图④，AC ＝6，BC ＝6 3，BD ＝x ，BE ＝x －6，EG ＝3－6)，重叠部分的面积 y ＝S －S3 (x1AC ·BC －1BE ·EG ，即 y 1△ABC1 △BEG ＝2 23 ＝2×6×6 3－2(x －6)× 3 (x －6)， 化简得 y 3 2＋2 3x ＋12 3；6 x第 2 题解图④♣ x 2(0≤x ＜6） ♠ 综上所述，y ＝ ♠ ♠ - 3 x 2+ 2 3x - 6 3(6＜x ＜12）24 ♠ ♠♠ 6 x 2 + 2 3x +12 （3 12≤x ≤15）(3)如解图⑤所示，作 NG ⊥DE 于点 G ， 点 M 在 NG 上时 MN 最短，NG 是△DEF 的中位线，NG ＝1EF ＝3 3，＝－＝－2 min2＝∵MB ＝1CB ＝3 3，∠B ＝30°， ∴MG ＝1MB ＝3 32 2 ，则 MN ＝NG －MG ＝3 3－3 3 3 3第 2 题解图⑤3．(1)证明：∵四边形 EFPQ 是矩形， ∴EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ，∵AD 是△ABC 的高，AH 是△AEF 的高，AH EF ∴AD ＝BC ；(2)AH EF 解：∵AD ＝BC ，EF ＝x ，AD ＝4，BC ＝5，AH x ∴ 4 ＝ 5，∴AH 4x＝ 5 ，∴HD ＝4∴S4x － 5 ，＝EF ·HD ＝x (4－4x ＝－4x 2＋4x 矩形 EFPQ 5 ) 5＝－4(x 5)2＋5.5 －21 14∵－5＜0，∴当 x5EFPQ 的面积最大，最大面积为 5；＝2时，矩形(3)解：由(2)可知，当矩形 EFPQ 的面积最大时，矩形的长 EF 5 4为2，宽 HD ＝4－5x ＝2，在矩形 EFPQ 沿射线 AD 的运动过程中：(ⅰ)当 0≤t ≤2 时，如解图①所示．第 3 题解图①设矩形与 AB 、AC 分别交于点 K 、N ，与 AD 分别交于点 H 1、D 1. 此时 DD 1＝t ，H 1D 1＝2，∴HD 1＝HD －DD 1＝2－t ，HH 1＝H 1D 1－HD 1＝t ，AH 1＝AH －HH 1 ＝2－t ，，解得 KN 5＝4(2－t )，∴S ＝S 梯形 KNFE ＋ S 矩形EFPQ＝1(KN ＋EF )·HH ＋EF ·EQ 1 5 －t ) 5]×t ＋5(2－t )＝2 1 1＝2[4(2 ＋2 2 5 2－8t ＋5；∵KN ∥EF ，KN AH 1KN2－t ∴EF ＝ ，即 5 ＝ 2 2♦ (ⅱ)当 2＜t ≤4 时，如解图②所示．第 3 题解图②设矩形与 AB 、AC 分别交于点 K 、N ，与 AD 交于点 D 2，此时DD 2＝t ，AD 2＝AD －DD 2＝4－t ， ∵K ′N ′∥EF ，K ′N ′ AD 2 K ′N′ 4－t ∴ EF ＝ AH ，即 5 2＝ 2 ，解得 K ′N ′＝5 5－4t ，∴S ＝S＝1 K ′N ′·AD 1 (5 5t )×(4－t ) 5t 2－5t ＋10. △AKN 2 2＝2× －4 ＝8综上所述，S 与 t 的函数关系式为：♣- 5 t 2+ 5(0≤t ≤2） S ＝ ♠ 8 . 5♠ t 2 - 5t +1（0 ♥84．解：(1)4t ；2＜t ≤4）【解法提示】∵AD ⊥BD ，∴∠ADB ＝90°，∴BD ＝ ∵AD ∥A ′D ′， ∴A ′D ′⊥BD ，＝ 102－62＝8， AB 2 - AD 2 ♠∴∠DMD′＝∠ADB＝90°，∵CD∥AB，∴∠D′DM＝∠ABD，∴△DMD′∽△BDA，∴DM＝DD ' ＝MD ' ，BD AB AD∴DM ＝5t ＝MD ' ，8 10 6∴DM＝4t，MD′＝3t.(2)如解图①，当E′在BD 上时，第4 题解图①∵∠ D′E′M＋∠A′E′M＝90°，∠MA′E′＋∠A′E′M＝90°，∴∠ D′E′M＝∠MA′E′，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠MA′E′＝∠ABD，∴∠D′DE′＝∠D′E′D，∴DD′＝D′E′，由△ADE∽△BAD 得到，DE 18 AE＝24∴5t∴t18＝5 ，18＝5 ， 5 ，＝25；♦5 (3)①当 0＜t 18 D ′MK ， ≤25时，如解图②，重叠部分是△S 1 1 2 ＝2D ′M ×MK ＝2×3t ×4t ＝6t ；图②图③②当18 32第 4 题解图25＜t ≤25时，如解图③，重叠部分是四边形 D ′E ′KM ，S ＝S －S1 18×24－1(6－3t )×3(6－3t ) 27t 2 △A ′D ′E ′ △A ′MK ＝2× 5 5 2 27 2434 ＝－ 8 ＋ 2 t － 50 .♣6t （20＜t ≤ 18 ）综上所述，S ＝ ♠ 25 ； 27 27 243 18 32 ♠ - t 2 + t — （ ＜t ≤ ） ♥♠ 8 2 50 25 25(4)平移过程中，当 0＜t 18 ≤25或 t ＝1 或 t ＝6s 时，出现与△DMD ′全等的三角形．【解法提示】①当 0＜t 18DMD ′≌△KMD ′， ≤25时，如解图②，△②当 DD ′＝D ′C 时，△DMD ′≌△BMA ′，此时 t ＝1，③当 DD ′＝AD 时，△DMD ′≌△AED ，此时 5t ＝6，t 6＝5，22 综上所述，当 0＜t 18 t ＝1或 t 6s 时，出现与△DMD ′全等≤25或 ＝5 的三角形．5．解：(1)在 Rt △ACB 中，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2AC ＝2， ∵点 D 是 AB 的中点， ∴AD ＝1AB ＝1＝CD ，∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF 1 1CD ，＝2＝2在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，在 Rt △FGD 中，GF ＝DF ·sin60∴矩形 EFGH 的面积＝EF ·FG 1 (3 分)＝2………………(2)根据第(1)问，易得 GD ＝1DF 1 ＝4，设矩形移动的距离为 x ，则 0＜x 1≤2，如解图①，当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，0＜x1≤4，3第 5 题解图①则此时重叠部分三角形的高为 3x，∴重叠部分的面积 S 1x · 3x 3＝2 解得 x ＝ 2 1(舍去)；16 ，4 ＞4如解图②，当矩形与△CBD1 x 1 重叠部分为直角梯形时，4＜ ≤2，则此时重叠部分直角梯形的高为 3，上底边长为 x ，下底边长为 x 1 －4，第 5 题解图②∴重叠部分的面积 S 1[x ＋(x 1)]· 3 3解得 x 3＝2 －4 4 ＝ 16 ， ＝8，3 即矩形移动的距离为8时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是； (8 分)(3)如解图③，过 H 2 作 H 2K ⊥AB 于点 K .在 Rt △F G B 中 ，∠B ＝30°，F G ＝ 31 1 1 14 ，＝1 2 1H G∴BG3 第 5 题解图③1＝4， ∴DG ＝BD －BG ＝1 3 11 1－4＝4，设 KD ＝a ，则 H 2K ＝ 3a ，在 Rt △H 2G 1K 中，有 H 2K 2＋G 1K 2＝H 2G 2，即( 3a )2＋(a 1)2＝ 12，＋4 (2)解得，a 1a 2舍去)，1 ∴cos α＝cos ∠H G K ＝ KG 1＝ 2 1＋4 1＝28 ……(14 分)6．解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .∵AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，AC ⊥AB ， 由勾股定理得：AC ＝ BC 2－AB 2＝4 cm.∴cos ∠ACB ＝AC ＝4.BC 5∵△ACD 沿 AC 方向平移得到△PNM ，平移的速度为 1 cm/s ， ∴MN ∥AB ，PC ＝(4－t ) cm.∵点 Q 在 BC 上运动，运动的速度为 1 cm/s ，5 t第 6题解图①∴QC ＝t cm.如解图①，当 PQ ∥MN 时， 则 PQ ∥AB ， ∴PQ ⊥AC ，∴cos ∠ACB ＝PC 4QC ＝5， 即4－t 4 t ＝5，解得 t 20＝ 9 .∴当 t 20s 时，PQ ∥MN ； ＝ 9第 6 题解图②(2)如解图②，过点 P 作 PH ⊥BC ，垂足为点 H ， 则 PH ＝PC ·sin ∠PCQ ＝3(4－t )，∴y 1 1 3 3 2 6＝2·QC ·PH ＝2t ·5(4－t )＝－10t ＋5t ，即 y 与 t 之间的函数关系式为 y ＝－ 3 2 6t (0＜t ＜4)；10 ＋5(3)存在．。
2020年中考数学二轮专项——几何动态探究题(含答案)
2020年中考数学二轮专项——几何动态探究题类型一动点探究题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为________．第1题图2. (2019锦江区二诊)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积与最大面积之比等于______．第2题图3. (2019金牛区二诊)如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是对角线AC上的动点，EH⊥AD，垂足为H，以EH为边作正方形EFQH，连接AF，则∠AFE的正弦值为________．第3题图4. 如图，两个全等的三角形△ABC和△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，点E在BC边上从点B向点C移动(点E不与B、C重合)，在运动过程中，DE始终经过点A，EF与AC相交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE的长为__________．第4题图5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点P是边AB上一动点，过点P作BC的垂线交BC 于点D ，点F 与点B 关于直线PD 对称，连接AF ，当△AFC 是等腰三角形时，BD 的长为________．第5题图6. (2018成都黑白卷)如图，△ABC 内接于半径为2的⊙O ，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°，点D 为AB ︵的中点，点M 、N 分别是CD 、AC 上的动点，则MA ＋MN 的最小值为________．第6题图7. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点，连接BE ，MN 是BE 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，连接EM 、EN .过点E 作EF ⊥AD 于点F ，已知AB ＝1，BC ＝2.若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为________．第7题图8. 如图，在矩形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，点E 是边BC 上的动点，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接AE ，已知AB ＝1，BC ＝3，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为________．第8题图9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，点M 是直线BC 上一动点，且∠CAM ＋∠CBA ＝45°，则BM 的长为________．第9题图10. (2019锦江区一诊)如图，矩形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，A点坐标为(0，2)．点D 是线段OC上的一个动点，连接AD，以AD为边作矩形ADEF，使边EF过点B，连接OF.当点D与点C 重合时，所作矩形ADEF的面积为6.在点D的运动过程中，当线段OF有最小值时，直线OF的解析式为________．第10题图类型二平移探究题1. 如图，矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE向右平移得到△DCF，连接AF.若四边形AEFD为菱形，AF＝45，BE∶EC＝3∶2，则AD长为________．第1题图2．如图，在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝4，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A.将△AEO沿AO方向向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′.当A′B＋BE′取得最小值时，则EE′的长是________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，D是AB延长线上一点，过点B在AD上方作射线BE，使得∠DBE＝45°.将△ABC沿射线BE平移，得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，连接A′B，C′B，则A′B＋C′B的最小值是________ .第3题图4. (2018成都黑白卷)如图，在▱ABCD中，AB＝6，∠BAD＝45°，∠ABD＝75°，点E为线段BD边上一动点，连接AE，第一步：将△AED剪下平移到△BGC处；第二步：将△ABE剪下平移到△DCF处；第三步：将△BGC沿BC的中垂线翻转180°后得到△CG′B；第四步：将△CFD沿DC的中垂线翻转180°后得到△DF′C，连接F′G′；当点E在BD上移动时，F′G′的最小值为________．第4题图类型三旋转探究题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一点D，使AD＝4，将线段AD 绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，在旋转过程中，CF的最大长度是________．第1题图2. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12.点D 在边AC 上(不与A ，C 重合)，连接BD ，F 为BD 中点．若BC ＝6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，则线段CF 长度的最大值是________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点G ，F 在BC 边上(均不与端点重合)，DG ∥EF .将△BDG 绕点D 顺时针旋转180°，将△CEF 绕点E 逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN ，则四边形MGFN 周长l 的取值范围是________．第3题图4. (2019高新区二诊)如图，△ABC ，△EFG 分别是边长为2和233的等边三角形，D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转一周时，点M 经过的路径长为________．第4题图5. 如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形(∠ACB ＝∠DCE ＝90°)．保持△ABC 固定不动，将△CDE 绕点C 顺时针旋转一周，连接AD 、AE 、BD ，直线AE 与BD 相交于点H ，点P 、M 、N 分别是AD 、AB 、DE 的中点，若AC ＝4，CD ＝2，则在旋转过程中，△PMN 的面积的最大值为________．第5题图类型四折叠探究题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AB的中点，点F是BC边上的动点，将△EBF沿EF 所在的直线折叠到△EGF的位置，连接GD，则GD的最小值是______．第1题图2. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上(含端点)，且AB＝6，BC＝10.设AE＝x，则x的最大值和最小值的和是______．第2题图3. (2019淮安)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B 落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝________．第3题图4. (2019金牛区二诊)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，在△ABC 内有一点P ，已知∠1＝∠2＝∠3，将△BCP 以直线PC 为对称轴翻折，使点B 与点D 重合，PD 与AB 交于点E ，连接AD ，将△APD 的面积记为S 1，将△BPE 的面积记为S 2，则S 2S 1的值为________．第4题图5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE ，使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为________．第5题图6. (2019都江堰区一诊)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC ＝4AM ，设BD ＝m ，那么∠ACD 的正切值是______．(用含m 的代数式表示)第6题图7. (2019成华区二诊)已知一个矩形纸片ABCD ，AB ＝12，BC ＝6，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 落在C ′处，DC ′，EC ′分别交AB 于点F ，G ，若GE ＝GF ，则sin ∠CDE 的值为________．第7题图8. (2019成都黑白卷)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，将△ABE 沿BE 翻折，得到△FBE ，连接DF 并延长交BC 于点G ，若BE ＝AD ＝10，平行四边形ABCD 的面积为60，则FG ＝ ________．第8题图9. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展开后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM与EF相交于点Q，再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G.P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是______．第9题图10. 如图，四边形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB＝6，AD＝CD＝3，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值为______．第10题图参考答案类型一 动点探究题1. 9 【解析】如解图，由题意可知，点G 在以点B 为圆心，1为半径的14圆弧上运动．作点C 关于AD 的对称点C ′，连接C ′B 交AD 于点H ，交以点B 为圆心，1为半径的圆于点G ，由两点之间线段最短，此时C ′B 的值最小，最小值为BC 2＋CC ′2＝62＋82＝10，∵GH ＋CH ＝GH ＋C ′H ＝BC ′－BG ＝9，∴GH ＋CH 的最小值为9.第1题解图2. 925【解析】如解图，∵点D 为BC 边上一动点，∴AD 的最小值为AD 1，最大值为AD 2，∵在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，∴AC ＝52－32＝4，∵S △ABC ＝AB ·AC 2＝BC ·AD 12，解得AD 1＝125，∵AD 2为最大值4，∴最小面积与最大面积之比＝(125∶4)2＝925.第2题解图3. 513【解析】∵四边形EFQH 是正方形，∴∠EHA ＝90°，设HE ＝HQ ＝x ，AH ＝y ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，∴HE ∥CD ，AD ∥EF ，∴△AHE ∽△ADC ，∴HE CD ＝AH AD ，即x 5＝y 7，设x ＝5k ，则y ＝7k ，∵四边形EFQH 是正方形，∴HQ ∥EF ，∴∠AFE ＝∠QAF ，在Rt △AQF 中，AF ＝（5k ）2＋（12k ）2＝13k ，∴sin ∠AFE ＝sin ∠QAF ＝QF AF ＝5k 13k ＝513. 4. 1或116【解析】∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM ；①当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1；②当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE CA ＝AC BC ，∴CE ＝AC 2CB ＝256，∴BE ＝BC －EC ＝6－256＝116.综上所述，BE 的长是1或116. 5. 22或2－1 【解析】∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴BC ＝2 2.①当AF ＝CF 时，∠F AC ＝∠C ＝45°，∴∠AFC ＝90°，∴AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝2，∵直线PD 垂直平分BF ，∴BD ＝12BF ＝22；②当CF ＝CA ＝2时，BF ＝BC －CF ＝22－2，∵直线PD 垂直平分BF ，∴BD ＝12BF ＝2－1；③当AF ＝AC 时，点F 与点B 重合(舍去)．综上所述，BD 的长为22或2－1. 6. 6 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠ABC ＝45°，OA ＝OC ＝2，∴∠AOC ＝90°，∴AC ＝2OA ＝22，在CB 上取一点A ′，使CA ′＝CA ，∵∠ACB ＝60°，∴△A ′CA 为等边三角形，过点A ′作A ′N ′⊥AC 于点N ′，∵点D 为AB ︵的中点，∴CD 为∠ACB 的平分线，∴点A 与点A ′关于直线CD 对称，连接A ′M ，∴A ′M＝AM ，即AM ＋MN ＝A ′M ＋MN ，根据直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短，∴A ′N ′的长即为MA ＋MN 的最小值，∵A ′C ＝AC ＝22，∠ACB ＝60°，∴A ′N ′＝A ′C ·sin60°＝22×32＝6，即MA ＋MN 的最小值为 6.第6题解图7. 13或5－255【解析】如解图①，当∠AME ＝90°时，易知四边形AMEF 是矩形，且四边形BMEN 是正方形．∵ME ∥BC ，∴AM ME ＝AB BC ＝12，∴AM ＋BM ＝AM ＋2AM ＝1，则EF ＝AM ＝13；如解图②，当∠AEM ＝90°时，易证△AEM ∽△ABC ，∴AE ME ＝AB CB ＝12，∴ME ＝2AE ，则BM ＝ME ＝2AE ，AM ＝5AE ，∴AB ＝AM ＋BM ＝2AE ＋5AE ＝1，解得AE ＝5－2.又∵EF ∥CD ，∴EF AE ＝CD AC ＝15，∴EF ＝55(5－2)＝5－255.综上，若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为13或5－255.图① 图②第7题解图 8. 43或1或1－63 【解析】如解图①，当AE ＝AF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝AE ＝3－a .在Rt △ABE中，由AE 2＝AB 2＋BE 2得(3－a )2＝12＋a 2，解得a ＝43；如解图②，当AE ＝EF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝3－a ，由AF ＝2BE ，得3－a ＝2a ，解得a ＝1；如解图③，当AF ＝EF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝EF ＝3－a .由∠F AE ＝∠FEA ＝∠AEB 可得AB ＝AG ＝1，易知EG ＝BE ＝a ，∴FG ＝3－2a .在Rt △AFG 中，由AF 2＝AG 2＋FG 2得(3－a )2＝12＋(3－2a )2，解得a ＝1－63或a ＝1＋63(不符合题意，舍去)．综上，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为43或1或1－63.图① 图② 图③第8题解图 9. 135或175【解析】①当M 在线段BC 上时，如解图，过点M 作MH ⊥AB 于点H ，∵∠CAM ＋∠CBA ＝45°，∠ACB ＝90°，∴∠BAM ＝45°.∵AC ＝2，BC ＝3，∴AB ＝13.∵Rt △BHM ∽Rt △BCA ，∴MH AC ＝BH BC＝BM BA .设MH ＝2x ，则2x 2＝BH 3＝BM 13，∴BH ＝3x ，BM ＝13x ，在Rt △AHM 中，AH ＝MH ＝2x ，∵AB ＝BH ＋AH ＝13，∴5x ＝13，x ＝135，BM ＝13x ＝135；②当M 在BC 延长线上时，如解图，则∠CAM ′＋∠CBA ＝45°，又∵∠CAM ＋ ∠CBA ＝45°，∴∠CAM ＝∠CAM ′.又∵AC ⊥BM ′，∴CM ＝CM ′.由①得CM ＝BC －BM ＝25，∴BM ′＝175；③当M 在CB 的延长线上时，不存在∠CAM ＋∠CBA ＝45°.综上所述，BM 的长为135或175.第9题解图10. y ＝113x 【解析】当点D 与点C 重合时，如解图，过F 作FG ⊥y 轴于点G ，连接OF ，∵S △ABC ＝12S 矩形 AOCB ＝12S 矩形ADEF ＝3，∴S 矩形AOCB ＝6，∵A 点坐标为(0，2)，∴OA ＝2，∴OC ＝3，∵∠F AD ＝90°，易得△FGA ∽△AOD ，∴FG AO ＝AG DO ，即FG AG ＝AO DO ＝23，设|FG |＝2a ，|AG |＝3a 由勾股定理得OF ＝OG 2＋FG 2＝（2＋3a ）2＋（2a ）2＝13a 2＋12a ＋4，令t ＝13a 2＋12a ＋4，∴t ＝13a 2＋12a ＋4＝13(a ＋613)2＋4，∴当a ＝－613时，t 有最小值．∴|FG |＝|2×(－613)|＝1213，|AG |＝|3×(－613)|＝1813，点F 的横坐标为1213，纵坐标为1813＋2＝4413，设OF 解析式为y ＝kx (k ≠0)，求得k ＝113，故函数的解析式为y ＝113x .第10题解图类型二 平移探究题1. 5 【解析】∵四边形AEFD 为菱形，∴AE ＝EF ，∵将△ABE 向右平移得到△DCF ，∴BE ＝CF ，AB ＝CD ，∵BE ∶EC ＝3∶2，设BE ＝3k ，EC ＝2k ，∴BC ＝EF ＝5k ，∴AE ＝5k ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝90°，∴AB ＝AE 2－BE 2＝4k ，∴AB 2＋BF 2＝AF 2，即(4k )2＋(8k )2＝(45)2，∴k ＝1，∴AD ＝BC ＝5.2. 67 【解析】∵OA ＝2，OB ＝4，∠OAE ＝∠OBA ，∠EOA ＝∠AOB ＝90°，∴△OAE ∽△OBA ，∴OA OB ＝OE OA ，即24＝OE 2，解得OE ＝1，如解图，过点A 作AB ′⊥OA ，并使AB ′＝BE ＝3.易证△AB ′A ′≌△EBE ′，∴B ′A ′＝BE ′，∴A ′B ＋BE ′＝A ′B ＋B ′A ′.当点B 、A ′、B ′在同一条直线上时，A ′B ＋B ′A ′最小，即此时A ′B ＋BE ′取得最小值．易证△AB ′A ′∽△OBA ′，∴AA ′OA ′＝AB ′OB ＝34，∴AA ′OA ＝37，AO ＝2，∴AA ′＝37×2＝67，∴EE ′＝AA ′＝67.第2题解图3. 25 【解析】如解图，作射线CC ′，AA ′，AA ′交BC ′于点O ，过点C 作CF ∥AB 交AA ′于F ，连接BF ，由平移性质得AA ′∥BE ∥CC ′，∵∠EBD ＝45°，∴∠F AB ＝∠C ′CF ＝45°，∵Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∴易得四边形ABFC 是正方形，∴∠FCB ＝45°，∴∠C ′CB ＝90°，∵A ′C ′＝BF ，∠A ′OC ′＝∠FOB ，∠C ′A ′O ＝∠BFO ＝45°，∴△A ′OC ′≌△FOB ，∴BO ＝C ′O ，∴CO ＝C ′O ＝BO ，延长FC 到G ，使得CG ＝CF ，连接A ′G ，则CO 是△FGA ′的中位线，∴A ′G ＝2CO ＝BC ′，∴BC ′＋BA ′＝BA ′＋A ′G ，∴当点B 、A ′、G 在同一条直线上时，BG 取得最小值，那A ′B ＋C ′B 取得最小值．∵在Rt △GFB 中，BF ＝AC ＝2，FG ＝2CF ＝4，∴BG ＝25，∴A ′B ＋C ′B 的最小值为2 5.第3题解图 4. 32＋62 【解析】由翻转可得△BG ′C ≌△CGB ≌△DEA ，∴CG ′＝AE ，∠BCG ′＝EAD ，同理可得CF ′＝AE ，∠DCF ′＝∠BAE ，∴∠BCG ′＋∠DCF ′＝∠EAD ＋∠BAE ＝45°，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴∠G ′CF ′＝∠G ′CB ＋∠BCD ＋∠DCF ′＝90°.∴△G ′CF ′为等腰直角三角形，由勾股定理可得F ′G ′＝2CG ′＝2AE ，当AE ⊥BD 时，AE 的值最小，即此时F ′G ′的值最小，∵△AED ≌△BGC ，△ABE ≌△DCF ，且∠AED ＝∠AEB ＝90°，∴∠BGC ＝∠AED ＝90°，∠DFC ＝∠AEB ＝90°，∴BG ∥DF ，又∵BG ＝AE ＝DF ，∴四边形BGFD 为矩形，如解图，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，在Rt △ABM 中，∵∠BAM ＝∠ABM ＝45°，AB ＝6，∴AM ＝BM ＝6×22＝3，∵∠ABD ＝75°，∴∠DBM ＝∠ABD －∠ABM ＝75°－45°＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴在Rt △DBM 中，BD ＝BM sin60°＝2，MD ＝BM tan60°＝1，∴AD ＝AM ＋MD ＝1＋3，∵S △BAD ＝12BD ·AE ＝12AD ·BM ，即2AE ＝(1＋3)×3.∴AE ＝3＋32，∴F ′G ′的最小值为32＋62.第4题解图类型三 旋转探究题1. 10＋2 【解析】如解图，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC ＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝210.∵M 为AB 中点，∴CM ＝12AB ＝10，∵将线段AD 绕点A 按顺时针方向旋转，点D 的对应点是点P ，∴AP ＝AD ＝4，∵M 为AB 中点，F 为BP 中点，∴FM ＝12AP ＝2.当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF ＝CM ＋FM ＝10＋2.第1题解图2. 4＋35 【解析】如解图①，当AD ＝13AC 时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，∵∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12，且BC ＝6，∴AC ＝12，AB ＝6 5.∵M 为AB 中点，∴CM ＝35，∵AD ＝13AC ，∴AD ＝4.∵M 为AB 中点，F 为BD 中点，∴FM ＝12AD ＝2，∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF ＝CM ＋FM ＝2＋35；如解图②，当AD ＝23AC 时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，同理可得CF 的最大值为4＋35，综上，线段CF 的长度的最大值为4＋3 5.第2题解图3. 7＜l ＜17 【解析】如解图，过点A 作AH ∥DG ，∵DG ∥EF ，∴DG ∥EF ∥AH ，∵点D 为AB 的中点，将△BDG 绕点D 顺时针旋转180°后到△ADM 的位置，∴BG ＝AM ，MG ∥AH 且MG ＝AH ，同理CF ＝AN ，NF ∥AH 且NF ＝AH ，∴四边形MGFN 是平行四边形，∴MN ＝GF ＝AM ＋AN ＝BG ＋CF .在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴由勾股定理得BC ＝5，即MN ＋GF ＝5，在△ABH 中，由三角形的三边关系可得AB －BH ＜AH ＜AB ＋BH ，同理AC －CH ＜AH ＜AC ＋CH ，两式相加得AB ＋AC －(BH ＋CH )＜2AH ＜AB ＋AC ＋(BH ＋CH )，∴4＋3－5＜2AH ＜4＋3＋5，即2＜2AH ＜12，l ＝MG ＋GF ＋NF ＋MN ＝2AH ＋BC ，∵BC ＝5，2＜2AH ＜12，∴7＜l ＜17.第3题解图4. 4π3【解析】如解图，连接AD 、DG .∵△ABC 和△EFG 均是等边三角形，D 分别是BC 和EF 的中点，∴BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴AD ⊥BC ，GD ⊥EF ，∴∠ADC ＝∠GDF ＝90°，∴∠ADG ＝∠CDF ，∵AD CD＝DG DF＝tan60°，∴△ADG ∽△CDF ，∴∠DAG ＝∠DCF ，∴∠AMC ＝90°，∴点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，且来回共两个三分之一圆，∴点M 运动的路径长为4π3.第4题解图5. 92【解析】∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＋∠BCE ＝∠BCE ＋∠ECD ，∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CBD ，∴∠HBA ＋∠HAB ＝∠HBC ＋∠CBA ＋∠HAB ＝∠CBA ＋∠CAB ＝90°，∴BD ⊥AE .∵P ，M 分别是AD ，AB的中点，∴PM ∥BD ，且PM ＝12BD ，同理，PN ∥AE ，且PN ＝12AE ，∴PM ⊥PN ，PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰直角三角形，∴S △PMN ＝12PM 2＝18BD 2，∴当BD 最大时，△PMN 的面积最大，∵△CDE 绕点C 旋转，∴点D 在以C 为圆心，CD 为半径的圆上，∴当点D 在BC 的延长线上时，BD 最大，此时BD ＝AC ＋CD ＝6，∴△PMN 面积的最大值为18×62＝92.第5题解图类型四 折叠探究题1. 73－3 【解析】如解图，由EG ＝EB ＝3，可得当点G 在DE 上时，此时GD 的值最小，根据折叠的性质，△EBF ≌△EGF ，∴EG ⊥GF ，EG ＝EB ，∵E 是AB 边的中点，AB ＝6，∴AE ＝EG ＝3，∵AD ＝8，∴Rt △ADE 中，DE ＝82＋32＝73，∴GD ＝73－3.第1题解图2. 8 【解析】设折痕为PQ ，点P 在AB 边上，点Q 在BC 边上．如解图①，当点Q 与点C 重合时，AE 最小，根据翻折对称性可得EC ＝BC ＝10，在Rt △CDE 中，CE 2＝ED 2＋CD 2，即102＝(10－AE )2＋62，解得AE ＝2，即x ＝2；如解图②，当点P 与点A 重合时，AE 最大，根据翻折对称性可得AE ＝AB ＝6，即x ＝6，所以x 的最大值和最小值的和是8.图① 图②第2题解图 3. 43 【解析】如解图，连接PB 交CH 于点E .在Rt △BCH 中，BC ＝2，BH ＝12AB ＝32，∵△PCH 是由△BCH 折叠得到的，∴PB ⊥CH ，BE ＝PE ，PH ＝HB .∴∠HPB ＝∠HBP .∵AH ＝BH ，∴AH ＝PH .∴∠P AH ＝∠APH .∴∠APH ＋∠BPH ＝12(∠P AB ＋∠APB ＋∠ABP )＝90°.∴AP ∥CH ，∴tan ∠HAP ＝tan ∠BHC ＝BC BH ＝43.第3题解图 4. 12 【解析】如解图，连接BD ，延长CP 交BD 于点F ，由翻折可知CF ⊥BD ，BF ＝DF ，∠BPF ＝∠DPF ，∵∠1＝∠2＝∠3，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1＋∠ACP ＝∠2＋∠ACP ＝90°，∠2＋∠PBC ＝∠3＋∠PBC ＝45°，∴∠APC ＝90°，∠DPF ＝45°，DF ＝FB ＝PF ，∴△APC ≌△CFB ，∴AP ＝CF ，CP＝BF ＝PF ，∴AP ＝BD ，∴四边形ADBP 是平行四边形，∴S 2S 1＝12.第4题解图5. 1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，∴点F 在以D 为圆心，BD 长为半径的圆上，如解图，连接AD 交⊙D 于点F .此时AF 的值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD ＝BD ＝3，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∵AC ＝4，∴AD ＝5，∵FD ＝3，∴F A ＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，∴FH ∥AC ，∴△DFH ∽△DAC ，∴DF DA ＝DH DC ＝HF CA ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF ＝125，DH ＝95，∴BH ＝245，∴BF ＝BH 2＋HF 2＝1255.第5题解图6. 10m －253【解析】如解图，作AH ⊥BC 于点H ，MG ⊥BC 于点G ，连接EM 、MD 、BM ，∵AB ＝AC ，BC ＝8，AH ⊥BC ，∴CH ＝4，∵AC ＝4AM ，∴CM ∶AC ＝3∶4，∵AH ∥MG ，∴CG HC ＝CM AC ＝34，即CG 4＝34，解得CG ＝3，∴BG ＝5，∴DG ＝m －5，由翻折的性质可知MD ＝BD ＝m ，在Rt △MGD 中，依据勾股定理可知：MG ＝MD 2－GD 2＝m 2－（m －5）2＝10m －25，∴tan ∠ACD ＝tan ∠ACG ＝MG CG ＝10m －253.第6题解图 7. 1010 【解析】设CE ＝x ，则BE ＝6－x .根据折叠的对称性可知DC ′＝DC ＝12，C ′E ＝CE ＝x .在△FC ′G 和△EBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ′＝∠B ＝90°∠FGC ′＝∠EGB GF ＝GE，∴△FC ′G ≌△EBG (AAS)．∴FC ′＝BE ＝6－x .∴DF ＝12－(6－x )＝6＋x .连接FE ，在Rt △FC ′E 和Rt △EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧FC ′＝BE EF ＝EF，∴Rt △FC ′E ≌Rt △EBF (HL)．∴FB ＝EC ′＝x .∴AF ＝12－x .在Rt △ADF 中，AD 2＋AF 2＝DF 2，即36＋(12－x )2＝(6＋x )2，解得x ＝4.∴CE ＝4.在Rt △CDE 中，DE 2＝DC 2＋CE 2，则DE ＝410.∴sin ∠CDE ＝CE DE ＝1010. 8. 2 【解析】∵将△ABE 沿BE 翻折，得到△FBE ，∴AE ＝EF ，∠AEB ＝∠FEB ，∴∠AEB ＝12(180°－∠DEF )，∵E 为AD 边的中点，∴AE ＝DE ，∴DE ＝EF ，∴∠EDF ＝∠EFD ，∴∠EDF ＝12(180°－∠DEF )，∴∠AEB ＝∠EDF ，∴BE ∥DG ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥BG ，∴四边形BEDG 为平行四边形，∴DE ＝BG ，DG ＝BE ＝10，∵四边形ABCD 是平行四边形，且面积等于60，AE ＝DE ，∴S △ABE ＝14S ▱ABCD ＝15，如解图，连接AF 交BE 于H ，则AH ⊥BE ，AH ＝HF ，∵BE ＝10，∴AH ＝3，∴AF ＝6，∵BE ∥DG ，∴AF ⊥DG ，∴DF ＝AD 2－AF 2＝8，∴FG ＝DG －FD ＝2.第8题解图9. 3 【解析】如解图，连接AN ，∵∠ABM ＝∠MBN ＝30°，∠BNM ＝∠BAM ＝90°，∴∠BMG ＝∠BNM －∠MBN ＝90°－30°＝60°，∴∠MBG ＝∠ABG －∠ABM ＝90°－30°＝60°，∴∠BGM ＝180°－60°－60°＝60°，∴∠MBG ＝∠BMG ＝∠BGM ＝60°，∴△BMG 为等边三角形，∵点N 是MG 的中点，∴BN ⊥MG ，∵BG＝BM ＝AB cos ∠ABM ＝433，∴BN ＝BG ·sin60°＝433×32＝2，根据题意易知E 点和H 点关于BM 对称，∴PH ＝PE ，∴P 与Q 重合时，PN ＋PH 的值最小，此时PN ＋PH ＝PN ＋PE ＝EN ，∵EN ＝BN 2－BE 2＝22－（2÷2）2＝3，∴PN ＋PH ＝3，∴PN ＋PH 的最小值是 3.第9题解图10. 35－6【解析】如解图①，设A的对应点为P1，连接ED，过P1作PP1⊥ED于点P，∴在Rt△P1PD 中，DP1＞DP，∴当点A的对应点P落在线段ED上时，此时PD有最小值，即当EP取最大值时，PD有最小值，而点E在线段AB上，∴当点E与点B重合时，如解图②，即EP最大，从而此时PD取得最小值，在Rt△ADB中，BD＝AB2＋AD2＝35，∵PB＝AB＝6，∴DP＝BD－BP＝35－6.图①图②第10题解图。
专题10 几何动态探究问题
专题九：几何动态探究问题动态型问题是探究几何图形在运动变化过程中与图形相关的某些量（线段的长、图形的周长于面积等）。
此类问题常与平移变换、轴对称变换、旋转变换相结合。
解决此类问题要“变动为静，以静制动”，善于从特殊位置到一般位置状态的分析，结合几何变换的性质特点，准确把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，建立相关的方程或函数数学模型。
1.平移型动态探究问题例1．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．针对训练1. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (3，33)，B (9，53)，C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB －BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，52(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动．(1)求AB 所在直线的函数表达式．(2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值．(3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．图1 图22.轴对称型动态探究问题例2.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0）．动点M，N 同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连接MN．（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．针对训练2．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE＝2CE，连接AE 交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE＝2CE”改为“＝x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．3.旋转型动态探究问题例3．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．针对训练3．如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E 在AC边上．（1）如图1，连接BE，若AE＝3，BE＝，求FC的长度；（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交于点M，N，当△CMN是等腰三角形时，求旋转角α的度数；（3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B，E，F在同一条直线上，点P为BF 的中点，连接AE，猜想AE，CF和BP之间的数量关系并说明理由．4.动态点的运动轨迹探究问题例4．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M 作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．针对训练4．如图，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0），顶点为D的抛物线y ＝ax2+bx+经过点A、点B，交y轴于点C．若点P是x轴的正半轴上一个动点，将△OCP 沿边CP翻折，得到△ECP，（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）当点E落在抛物线的对称轴上时，求此时点P的坐标；（3）连接DE，则DE的最小值是；（4）若点P是线段OB上一动点，并由点O向点B运动，则点E的运动路径长．。
专题06 动态几何探究题-中考数学高分突破(课件)
∠BAD
时，EF
与
DF、BE
之间
有怎样的数量关系？请写出它们之间的
关系式并给予证明；
（4）在（3）中，若 BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果）.
【答案】（1）证明见解析；（2）EF=DF-BE；（3）EF=DF-BE；（4）15.
达标检测
3．如图①，△ABC 的角平分线 BD，CE 相交于点 P.
1 【答案】图 2 的结论为：ME= 2 （BD+CF），
1 图 3 的结论为：ME= 2 （CF﹣BD）．
典例引领
例 2.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在直线 BC 上，连接 AE．将△ABE 沿 AE 所在直线折叠，点 B 的对应点是点 B′，连接 AB′并延长交直线 DC 于点 F．
（3）问题拓展：如图③，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠
BCD=140°，以为顶点作一个 70°角，角的两边分别交 AB，AD 于 E、F 两点，连
接 EF，探索线段 BE，DF，EF 之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）2＜AD＜8；（3）BE+DF=EF．
中考回顾
中考数学
专题六：动态几何探究题
试题探究
动态几何问题
给定一个几何图形和相关的已知条件，可以得到一 个结论，当图形中的某个元素（如点、线段、三角形等） 或整个图形按照某种规律发生变化后，已有的数量关系 会有怎样的变化？写出猜想，并对猜想进行证明.
解法技巧
动态几何问题 “变”与“不变”、“一般”与“特殊”
中考回顾
2．（2016 辽宁抚顺卷）如图，在△ABC 中，BC＞AC，点 E 在 BC 上，CE=CA， 点 D 在 AB 上，连接 DE，∠ACB+∠ADE=180°，作 CH⊥AB，垂足为 H．
小专题(十三) 几何图形中的动态问题
∠BOM,所以∠MOC= ∠BOM= (180°-β)
=90°- β.因为∠MON=90°,所以∠CON=∠MON-∠MOC=90°-(90°
β)= β.所以∠AOM=2∠CON.
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② 当∠AOC=3∠BON时,求∠AOM的度数.
② 由①,知∠BON=∠MON-∠BOM=90°(180°-β)=β-90°,∠AOC=∠AOM+∠MOC
OA、射线ON中的其中两条组成的角(指大于0°而不超过180°的角)的
平分线?如果存在,求出t的值;如果不存在,请说明理由.
(3) 存在
有以下三种情况:① 当OB平分∠AOM时, ∠AOM=∠BOM,所以t=180-4t,
解得t=36.②
当OB平分∠MON时,∠BON= ∠MON,即∠BON=90°,所以
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类型二
角中的动态问题
3. 如图,O为直线AB上一点,将一直角三角形OMN的直角顶点放在点O处,
射线OC平分∠BOM.
(1) 如图①,若∠AOM=30°,求∠CON的度数.
(1) 因为∠AOM=30°,所以∠BOM=180°-
∠AOM=150°.又因为∠MON是直角,OC平
分∠BOM,所以∠CON=∠MON- ∠BOM=
(1) AC+MD=AB-MC-BD=20-2×1-2×2=14(cm)
(2) 设BM=xcm,运动时间为ts.由题意,得x-2t=2(n-t),
所以x=2n.所以AB=AM+BM=3ncm
1
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3
中考数学专题复习卷：几何图形的动态问题精编(含解析)
几何图形的动向问题精编1.如图，平行四边形ABCD中， AB=cm， BC=2cm ，∠ ABC=45°，点P 从点 B 出发，以1cm/s 的速度沿折线BC→CD→DA运动，抵达点 A 为止，设运动时间为t(s)，△ ABP的面积为S(cm2)，则S 与t 的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】：分三种状况议论：①当 0≤t ≤2时，过 A 作 AE⊥ BC 于 E．∵∠ B=45°，∴△ ABE 是等腰直角三角形．∵AB=，∴ AE=1，∴S= BP×AE=×t×1= t；②当 2＜ t ≤时， S==×2×1=1 ；③当＜ t ≤时， S= AP×AE=×（-t ）×1=（-t）．故答案为： A ．【剖析】依据题意分三种状况议论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +时；③当2 +＜ t ≤ 4 +时，分别求出S 与 t 的函数分析式，再依据各选项作出判断，即可得出答案。
2.如图，边长为 a 的菱形 ABCD 中 ,∠ DAB=60°,E 是异于 A 、D 两点的动点 ,F 是 CD 上的动点 ,知足 AE+CF=a, △ BEF 的周长最小值是 ( )A. B. C. D.【答案】 B【分析】：连结 BD∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB=AD ，∵∠DAB=60°，∴△ ABD 是等边三角形，∴AB=DB ，∠ BDF=60°∴∠ A= ∠ BDF又∵ AE+CF=a ，∴AE=DF ，在△ ABE 和△ DBF 中，∴△ ABE ≌△ DBF （SAS），∴BE=BF ，∠ ABE= ∠DBF ，∴∠ EBF= ∠ ABD=60°，∴△ BEF 是等边三角形．∵ E 是异于 A、 D 两点的动点 ,F 是 CD 上的动点 ,要使△ BEF 的周长最小，就是要使它的边长最短∴当 BE⊥AD 时， BE 最短在 Rt△ ABE 中， BE==∴△ BEF 的周长为【剖析】依据等边三角形的性质及菱形的性质，证明∠A= ∠ BDF ， AE=DF ， AB=AD ，便可证明△ ABE ≌△ DBF ，依据全等三角形的性质，可证得BE=BF ，∠ ABE= ∠ DBF ，再证明△ BEF 是等边三角形，而后根据垂线段最短，可得出当BE⊥ AD 时， BE 最短，利用勾股定理求出BE 的长，即可求出△BEF 的周长。
几何动态型问题(解析版)
几何动态型问题（解析版）专题诠释：几何图形动态变化型问题是中考的热点问题。
对于图形运动与变化型试题，要用运动的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系，并特别关注一些特别的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静。
有特殊情形（特殊点、特殊位置、特殊值、特殊图形）逐步过渡到一般情形，再综合运用各种相关的数学知识，以及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决。
第一部分典例剖析+针对练习类型一动点问题典例1（2021•铜仁市模拟）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x 的函数关系图象如图②所示，则对角线BD的长为（）A．3B．4C．5D．6思路引领：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴12AB•12BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，∵AB＜AD，即AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4．∴AD＝BC＝4，∴BD＝5．故选：C．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．针对训练11．（2019•本溪）如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，P A﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．思路引领：设圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP=AP2R=12R x，则PD＝AP sinα＝x×12R x=12R x2，即可求解．设：圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP=AP2R=12R x，∵CA⊥AB，即AC是圆的切线，则∠P AD＝∠PBA＝α，则PD＝AP sinα＝x×12Rx=12R x2，则y＝P A﹣PD=−12R x2+x，图象为开口向下的抛物线，故选：C．点睛：本题考查的动点的函数图象，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质、二次函数基本性质等，关键是找出相应线段的数量关系，列出函数表达式．典例2（2021•中原区校级四模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD＝．思路引领：如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD=12CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．解：如图，设直线x＝5交x轴于K，连接DK，由题意KD=12CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO=OEOA=DKAD，∴OE8=512，∴OE=10 3，∴AE=√OE2+OA2=26 3，作EH⊥AB于H．∵S△ABE=12•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH=7√2 3，∴AH=√AE2−EH2=17√2 3，∴tan∠BAD=EHAH=7√2317√23=717．点睛：本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．针对练习22．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1．动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE （点E、A在BD的同侧）．在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路径长为√3．思路引领：取特殊点寻找点E的运动轨迹，利用等边三角形的性质即可解决问题；解：当点D与C重合时，点E与AB的中点M重合，当点D与A重合时，点E与等边三角形△ABN的顶点N重合，所以点E的运动轨迹是△ABN的中线MN，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∴MN=√3，故答案为√3．点睛：本题考查轨迹、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会取特殊点寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．类型二动图问题典例3 （2021秋•高州市期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（1）如图，求点E的坐标；（2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点D，O，C，E的对应点分别为C'，O'，D'，E'．设OO'＝t，矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为s．如图，当矩形C'O'D'E'与△ABO 重叠部分为五边形时，C'E'、D'E'分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围．思路引领：（1）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，再由含30°角的直角三角形的性质得AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4√3，即可得出答案；（2）由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4√3，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，则∠E′FM＝∠ABO＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得MF＝2ME′＝2t，FE′=√3t，求出S△MFE′=12√3t2，S矩形C′O′D′E′＝8√3，即可得出答案．解：（1）由点A（6，0）得OA＝6，又OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝4，在矩形CODE中，由DE∥CO，得∠AED＝∠ABO＝30°，∴在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得：ED=√AE2−AD2=4√3，又CO＝4√3，∴点E的坐标为（2，4√3）；（2）由平移可知，O'D'＝OD＝2，E'D'＝ED＝4√3，ME'＝OO'＝t．由E'D'∥BO，得∠E'FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE'中，MF＝2ME'＝2t．∴由勾股定理得FE′=√MF2−ME′2=√3t，∴S△MFE′=12ME′⋅FE′=12t⋅√3t=√32t2，S矩形C′O′D′E′=O′D′⋅E′D′=8√3，∴s=−√32t2+8√3（0＜t＜2）．点睛：本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．针对训练33．（2019•宁夏）将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC 分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O 时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（√3，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．思路引领：（1）与m轴相交于点P（√3，0），可知OB=√3，OA＝1；（2）设AB 的解析式y ＝kx +b ，将点B （0，√3），A （1，0）代入即可； （3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ，所以s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3）；当m ＝0时，s =√32，即可求Q （0，√32）． 解：（1）∵与m 轴相交于点P （√3，0）， ∴OB =√3， ∵∠ABC ＝30°， ∴OA ＝1， ∴S =12×1×√3=√32； （2）∵B （0，√3），A （1，0）， 设AB 的解析式y ＝kx +b ， ∴{b =√3k +b =0， ∴{k =−√3b =√3， ∴y =−√3x +√3；（3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ，∴s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3） 当m ＝0时，s =√32，∴Q （0，√32）． 点睛：本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到B （0，√3）是解题的关键．典例4 如图，等边△ABC 边长为2，四边形DEFG 是平行四边形，DG ＝2，DE ＝3，∠GDE ＝60°，BC 和DE 在同一条直线上，且点C 与点D 重合，现将△ABC 沿D →E 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B 与点E 重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC 与四边形DEFG 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是（ ）A．B．C．D．思路引领：分三种情况：①0≤t≤2时，由重叠部分为边长为t的等边三角形可得S=√34t2；②2＜t≤3时，由重叠部分即为△ABC得S=√34×22=√3；③3＜t≤5时由重叠部分是S△ABC﹣S△HEC且△HEC边长为t﹣3可得S=−√34t2+3√32t−5√34，据此可得答案．解：①当0≤t≤2时，如图1，由题意知CD＝t，∠HDC＝∠HCD＝60°，∴△CDH是等边三角形，则S=√34t2；②当2＜t≤3时，如图2，S=√34×22=√3；③当3＜t≤5时，如图3，根据题意可得CE＝CD﹣DE＝t﹣3，∠C＝∠HEC＝60°，∴△CEH为等边三角形，则S＝S△ABC﹣S△HEC=√34×22−√34（t﹣3）2=−√34t2+3√32t−5√34；综上，0≤t≤2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2＜t≤3时函数图象是平行于x轴的一部分，当3＜t≤5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，根据重叠部分形状的变化情况分类讨论是解题的关键．针对训练44．（2020•滁州模拟）在△EFG中，∠G＝90°，EG=FG=2√2，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD和△EFG如图放置，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路引领：分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4分别求出函数表达式即可求解．解：EG=FG=2√2，则EF＝4，①当0≤t≤1时，如图1，设AB交EG于点H，则AE＝t＝AH，S=12×AE×AH=12t2，函数为开口向上的抛物线，当t＝1时，y=12；②当1＜t≤2时，如图2，设直线EG交BC于点G，交CD于点H，则ED＝AE﹣AD＝t﹣1＝HD，则CH＝CD﹣HD＝2﹣t＝CG，S＝S正方形ABCD﹣S△CGH＝1−12×CH×CG＝1−12（2﹣t）2，函数为开口向下的抛物线，当t＝2时，y＝1；③当2＜t≤3时，S＝S正方形ABCD＝1，④当3＜t≤4时，同理可得：S＝1−12（t﹣3）2，为开口向下的抛物线；故选：C．点睛：本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．第二部分专题提优练习1．（2021•罗湖区校级模拟）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+√32PD的最小值等于（）A．√3B．3C．3√3D．2+2√3思路引领：过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP=√32PD，即PB+√32PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP=EPDP=√32，∴EP=√32PD∴PB+√32PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A=BEAB=√32，∴BE＝3√3，故选：C．点睛：本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．√2D．2√2思路引领：根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，∴∠DP2P1＝90°，∴∠DP1P2＝45°，∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2√2，∴PB的最小值是2√2．故选：D．点睛：本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．3．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝125．思路引领：根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标，然后求出点P 到直线AB 的距离和AB 的长度，即可求得△P AB 的面积，本题得以解决． 解：{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135， ∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），将x ＝0代入直线y ＝x +1中，得y ＝1， ∵直线y ＝x +1与y 轴的夹角是45°， ∴点P 到直线AB 的距离是：（135−1）×sin45°=85×√22=4√25， ∴△P AB 的面积是：3√2×4√252=125，故答案为：125．点睛：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2020•长春一模）如图，直线y ＝x +1与抛物线y ＝x 2﹣4x +5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，点P 的坐标为 ．思路引领：首先确定点A 和点B 的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标．解：{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135，∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），故答案为：（0，135）．点睛：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2021春•汉阴县月考）如图，在三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝11，把三角形ABC 向下平移至三角形DEF 后，AD ＝CG ＝6，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先根据平移的性质得到AD ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝11，S △ABC ＝S △DEF ，则BG ＝5，由于S阴影部分＝S 梯形BEFG ，所以利用梯形的面积公式计算即可．解：∵三角形ABC 向下平移至三角形DEF ， ∴AD ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝11，S △ABC ＝S △DEF ， ∵BG ＝BC ﹣CG ＝11﹣6＝5， ∴S 梯形BEFG =12（5+11）×6＝48， ∵S 阴影部分+S △DBG ＝S △DBG +S 梯形BEFG ， ∴S 阴影部分＝S 梯形BEFG ＝48． 故答案为48．点睛：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．6．（2021•仪征市二模）如图，Rt △ABC ≌Rt △FDE ，∠ABC ＝∠FDE ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4，将Rt △FDE 沿直线l 向右平移，连接BD 、BE ，则BD +BE 的最小值为 ．思路引领：根据平面直角坐标系，可以假设E（m，√3），则D（m+1，2√3），则BD+BE=√(m+1)2+(2√3)2+√m2+(√3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2√3），N（0，√3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′的长．解：建立如图坐标系，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，∠BAC＝30°，∴BC=12AC＝2，AB=√3BC＝2√3，∴斜边AC上的高=2×2√34=√3，∵△ABC≌△FDE，∴EF＝AC＝4，斜边EF上的高为√3，∴可以假设E（m，√3），则D（m+1，2√3），∴BD+BE=√(m+1)2+(2√3)2+√m2+(√3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2√3），N（0，√3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′=√12+(3√3)2=2√7，∴BD+BE的最小值为2√7，故答案为：2√7．点睛：本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．7．（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是．思路引领：根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，∴BE＝2EF，由图可得，AB＝4cos30°＝4×√32=2√3，BC＝5，AD＝7﹣4＝3，由图象可得，AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，∵∠B＝30°，EF⊥AB，∴∠M＝60°，又∵DM＝MC＝2，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝2，∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2√3+5+3+2＝10+2√3，故答案为：10+2√3．点睛：本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2019•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？思路引领：（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S=12•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC，∴AE=6(8−2x)8=6−32x，∴y关于x的函数关系式为y=−32x+6（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE=12⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x（0＜x＜4）．当x=−62×(−32)=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．点睛：本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．9．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向大正方形的内部沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S厘米2，完成下列问题：（1）平移到1.5秒时，重叠部分的面积为厘米2．（2）求小正方形在平移过程中，S与t的关系式．思路引领：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分的面积；（2）分情况讨论：当0≤t＜2时，当2≤t≤4时，当4＜t≤6时，当t＞6时，分别用t表示出S即可．解：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，S＝2×1.5＝3（厘米2）；故答案为：3；（2）分情况讨论：当0≤t＜2时，小正方形未完全进入大正方形，此时S＝2t；当2≤t≤4时，小正方形完全在大正方形内，此时S＝2×2＝4；当4＜t≤6时，小正方形逐渐离开大正方形，此时S＝2×2﹣2（t﹣4）＝12﹣2t；当t＞6时，无重叠部分，此时S＝0．综上所述：小正方形在平移过程中，当0≤t＜2时，S＝2t；当2≤t≤4时，S＝4；当4＜t≤6时，S＝12﹣2t；当t＞6时，S＝0．点睛：本题考查了正方形的性质，平移的性质，解决本题的关键是计算各个阶段S随t的变化规律．10．（2021•南通一模）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点．点E从A出发，以acm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a=12时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）先表示出CF ，AE ，EC ，由相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；（2）先判断出△AEG ∽△ACD ，得出EG ，再判断出EG ＝DF ，最后分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论；（3）先表示出AG =52t 厘米，EG =32t ，DF ＝3﹣t 厘米，DG ＝5−52t （厘米），再分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论． 解：（1）∵t ＝2，∴CF ＝2厘米，AE ＝2a 厘米， ∴EC ＝（4﹣2a ） 厘米， ∵△ECF ∽△BCA ． ∴EC CB =CF AC．（2分）∴4−2a6=24．∴a =12．（2）由题意，AE =12t 厘米，CD ＝3厘米，CF ＝t 厘米． ∵EG ∥CD ， ∴△AEG ∽△ACD ． ∴EG CD=AEAC ，EG3=12t 4．∴EG =38t ．∵以点E 、F 、D 、G 为顶点的四边形是平行四边形， ∴EG ＝DF ．当0≤t ＜3时，38t =3−t ，∴t =2411．（7分）当3＜t ≤6时，38t =t −3，21 ∴t =245． 综上，t =2411或245 （3）∵点D 是BC 中点，∴CD =12BC ＝3，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得，AD ＝5，由题意，AE ＝2t 厘米，CF ＝t 厘米，由（2）知，△AEG ∽△ACD ，∴AE AC =AG AD =EG CD ， ∴2t 4=AG 5=EG 3∴AG =52t 厘米，EG =32t ，DF ＝3﹣t 厘米，DG ＝5−52t （厘米）．若∠GFD ＝90°，则EG ＝CF ，32t =t ． ∴t ＝0，（舍去）若∠FGD ＝90°，则△ACD ∽△FGD ．∴AD CD=FD GD ， ∴53=3−t 5−52t ． ∴t =3219． 综上：t =3219，△DFG 是直角三角形．点睛：此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，分类讨论是解本题的关键．。
八年级数学 动态几何探究题综合训练大全
八年级数学 动态几何探究题综合训练大全1．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE=BF ．连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG=DE ，连接FG ，FC ．(1)请判断：FG 与CE 的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若点E ，F 分别是边CB ，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图3，若点E ，F 分别是边BC ，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．2．如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．3．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （4，0），点B （0，3），把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A ，O 旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA 上 的一点P 旋转后 的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）A B C E F M N O (第19题图）B C4．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE ⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：AF+BF=2OE；（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2时．线段AF，BF与OE具有什么数量关系？并说明理由．（3）当运动到图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．(1)求证：BD=CF(2)将△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．猜想BD、CF有怎样的位置关系，并证明你的猜想。
中考数学题型研究： 几何图形动态探究题 类型一
;
（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为
等腰三角形时，求直线AQ的解析式.
（1）【思路分析】可在Rt△CPN中，根据CP 的长和∠BCA的三角函数值求出CN、PN的长，
即可表示出点P的坐标.
解：(4 t, 3t );
4
【方法指导】动态中求点坐标问题，解题方 法为根据已知图形的性质，找对应边存在的 关系或特殊三角函数求解.
过点Q作QH⊥AB，垂足为H.
则AP=x，BP=10-x，BQ=2x.
在Rt△BQH 中，
QH BQ sin B 2x 4 8 x, 55
H
例1题解图①
△BPQ的面积 1 BP QH 1 (10 x) 8 x 4 x2 8x,
2
2
55
即 y 4 x2 8x(0 x 3);
若不存在，请说明理由.
（1）【思路分析】知道两条边的比为 m ，最常
n
用的方法是分别设这两条边分别为mk、nk，方
便计算；
解：设AC=4k，BC=3k, ∵∠C=90°,AB=10，
∴(4k)2+(3k)2=102， 解得k=2，k＝-2（舍去），
∴AC=8，BC=6.
sin B AC 8 4 ,sin A 3 .
5
当3<x<7时，点Q在AC上，如解图②.
过点Q作QM⊥AB于点M，
在Rt△AQM中，AQ=14-2x，
QM AQsin A (14 2x) 3 42 6 x, 5 55
例1题解图②
所以△BPQ的面积
1 QM BP 1 (42 6 x) (10 x) 3 x2 51 42
2020年中考数学二轮专项——几何动态探究题(含答案)
2020年中考数学二轮专项——几何动态探究题类型一动点探究题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为________．第1题图2. (2019锦江区二诊)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积与最大面积之比等于______．第2题图3. (2019金牛区二诊)如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是对角线AC上的动点，EH⊥AD，垂足为H，以EH为边作正方形EFQH，连接AF，则∠AFE的正弦值为________．第3题图4. 如图，两个全等的三角形△ABC和△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，点E在BC边上从点B向点C移动(点E不与B、C重合)，在运动过程中，DE始终经过点A，EF与AC相交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE的长为__________．第4题图5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点P是边AB上一动点，过点P作BC的垂线交BC 于点D ，点F 与点B 关于直线PD 对称，连接AF ，当△AFC 是等腰三角形时，BD 的长为________．第5题图6. (2018成都黑白卷)如图，△ABC 内接于半径为2的⊙O ，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°，点D 为AB ︵的中点，点M 、N 分别是CD 、AC 上的动点，则MA ＋MN 的最小值为________．第6题图7. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点，连接BE ，MN 是BE 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，连接EM 、EN .过点E 作EF ⊥AD 于点F ，已知AB ＝1，BC ＝2.若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为________．第7题图8. 如图，在矩形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，点E 是边BC 上的动点，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接AE ，已知AB ＝1，BC ＝3，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为________．第8题图9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，点M 是直线BC 上一动点，且∠CAM ＋∠CBA ＝45°，则BM 的长为________．第9题图10. (2019锦江区一诊)如图，矩形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，A点坐标为(0，2)．点D 是线段OC上的一个动点，连接AD，以AD为边作矩形ADEF，使边EF过点B，连接OF.当点D与点C 重合时，所作矩形ADEF的面积为6.在点D的运动过程中，当线段OF有最小值时，直线OF的解析式为________．第10题图类型二平移探究题1. 如图，矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE向右平移得到△DCF，连接AF.若四边形AEFD为菱形，AF＝45，BE∶EC＝3∶2，则AD长为________．第1题图2．如图，在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝4，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A.将△AEO沿AO方向向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′.当A′B＋BE′取得最小值时，则EE′的长是________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，D是AB延长线上一点，过点B在AD上方作射线BE，使得∠DBE＝45°.将△ABC沿射线BE平移，得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，连接A′B，C′B，则A′B＋C′B的最小值是________ .第3题图4. (2018成都黑白卷)如图，在▱ABCD中，AB＝6，∠BAD＝45°，∠ABD＝75°，点E为线段BD边上一动点，连接AE，第一步：将△AED剪下平移到△BGC处；第二步：将△ABE剪下平移到△DCF处；第三步：将△BGC沿BC的中垂线翻转180°后得到△CG′B；第四步：将△CFD沿DC的中垂线翻转180°后得到△DF′C，连接F′G′；当点E在BD上移动时，F′G′的最小值为________．第4题图类型三旋转探究题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一点D，使AD＝4，将线段AD 绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，在旋转过程中，CF的最大长度是________．第1题图2. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12.点D 在边AC 上(不与A ，C 重合)，连接BD ，F 为BD 中点．若BC ＝6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，则线段CF 长度的最大值是________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点G ，F 在BC 边上(均不与端点重合)，DG ∥EF .将△BDG 绕点D 顺时针旋转180°，将△CEF 绕点E 逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN ，则四边形MGFN 周长l 的取值范围是________．第3题图4. (2019高新区二诊)如图，△ABC ，△EFG 分别是边长为2和233的等边三角形，D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转一周时，点M 经过的路径长为________．第4题图5. 如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形(∠ACB ＝∠DCE ＝90°)．保持△ABC 固定不动，将△CDE 绕点C 顺时针旋转一周，连接AD 、AE 、BD ，直线AE 与BD 相交于点H ，点P 、M 、N 分别是AD 、AB 、DE 的中点，若AC ＝4，CD ＝2，则在旋转过程中，△PMN 的面积的最大值为________．第5题图类型四折叠探究题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AB的中点，点F是BC边上的动点，将△EBF沿EF 所在的直线折叠到△EGF的位置，连接GD，则GD的最小值是______．第1题图2. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上(含端点)，且AB＝6，BC＝10.设AE＝x，则x的最大值和最小值的和是______．第2题图3. (2019淮安)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B 落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝________．第3题图4. (2019金牛区二诊)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，在△ABC 内有一点P ，已知∠1＝∠2＝∠3，将△BCP 以直线PC 为对称轴翻折，使点B 与点D 重合，PD 与AB 交于点E ，连接AD ，将△APD 的面积记为S 1，将△BPE 的面积记为S 2，则S 2S 1的值为________．第4题图5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE ，使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为________．第5题图6. (2019都江堰区一诊)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC ＝4AM ，设BD ＝m ，那么∠ACD 的正切值是______．(用含m 的代数式表示)第6题图7. (2019成华区二诊)已知一个矩形纸片ABCD ，AB ＝12，BC ＝6，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 落在C ′处，DC ′，EC ′分别交AB 于点F ，G ，若GE ＝GF ，则sin ∠CDE 的值为________．第7题图8. (2019成都黑白卷)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，将△ABE 沿BE 翻折，得到△FBE ，连接DF 并延长交BC 于点G ，若BE ＝AD ＝10，平行四边形ABCD 的面积为60，则FG ＝ ________．第8题图9. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展开后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM与EF相交于点Q，再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G.P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是______．第9题图10. 如图，四边形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB＝6，AD＝CD＝3，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值为______．第10题图参考答案类型一 动点探究题1. 9 【解析】如解图，由题意可知，点G 在以点B 为圆心，1为半径的14圆弧上运动．作点C 关于AD 的对称点C ′，连接C ′B 交AD 于点H ，交以点B 为圆心，1为半径的圆于点G ，由两点之间线段最短，此时C ′B 的值最小，最小值为BC 2＋CC ′2＝62＋82＝10，∵GH ＋CH ＝GH ＋C ′H ＝BC ′－BG ＝9，∴GH ＋CH 的最小值为9.第1题解图2. 925【解析】如解图，∵点D 为BC 边上一动点，∴AD 的最小值为AD 1，最大值为AD 2，∵在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，∴AC ＝52－32＝4，∵S △ABC ＝AB ·AC 2＝BC ·AD 12，解得AD 1＝125，∵AD 2为最大值4，∴最小面积与最大面积之比＝(125∶4)2＝925.第2题解图3. 513【解析】∵四边形EFQH 是正方形，∴∠EHA ＝90°，设HE ＝HQ ＝x ，AH ＝y ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，∴HE ∥CD ，AD ∥EF ，∴△AHE ∽△ADC ，∴HE CD ＝AH AD ，即x 5＝y 7，设x ＝5k ，则y ＝7k ，∵四边形EFQH 是正方形，∴HQ ∥EF ，∴∠AFE ＝∠QAF ，在Rt △AQF 中，AF ＝（5k ）2＋（12k ）2＝13k ，∴sin ∠AFE ＝sin ∠QAF ＝QF AF ＝5k 13k ＝513. 4. 1或116【解析】∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM ；①当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1；②当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE CA ＝AC BC ，∴CE ＝AC 2CB ＝256，∴BE ＝BC －EC ＝6－256＝116.综上所述，BE 的长是1或116. 5. 22或2－1 【解析】∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴BC ＝2 2.①当AF ＝CF 时，∠F AC ＝∠C ＝45°，∴∠AFC ＝90°，∴AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝2，∵直线PD 垂直平分BF ，∴BD ＝12BF ＝22；②当CF ＝CA ＝2时，BF ＝BC －CF ＝22－2，∵直线PD 垂直平分BF ，∴BD ＝12BF ＝2－1；③当AF ＝AC 时，点F 与点B 重合(舍去)．综上所述，BD 的长为22或2－1. 6. 6 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠ABC ＝45°，OA ＝OC ＝2，∴∠AOC ＝90°，∴AC ＝2OA ＝22，在CB 上取一点A ′，使CA ′＝CA ，∵∠ACB ＝60°，∴△A ′CA 为等边三角形，过点A ′作A ′N ′⊥AC 于点N ′，∵点D 为AB ︵的中点，∴CD 为∠ACB 的平分线，∴点A 与点A ′关于直线CD 对称，连接A ′M ，∴A ′M＝AM ，即AM ＋MN ＝A ′M ＋MN ，根据直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短，∴A ′N ′的长即为MA ＋MN 的最小值，∵A ′C ＝AC ＝22，∠ACB ＝60°，∴A ′N ′＝A ′C ·sin60°＝22×32＝6，即MA ＋MN 的最小值为 6.第6题解图7. 13或5－255【解析】如解图①，当∠AME ＝90°时，易知四边形AMEF 是矩形，且四边形BMEN 是正方形．∵ME ∥BC ，∴AM ME ＝AB BC ＝12，∴AM ＋BM ＝AM ＋2AM ＝1，则EF ＝AM ＝13；如解图②，当∠AEM ＝90°时，易证△AEM ∽△ABC ，∴AE ME ＝AB CB ＝12，∴ME ＝2AE ，则BM ＝ME ＝2AE ，AM ＝5AE ，∴AB ＝AM ＋BM ＝2AE ＋5AE ＝1，解得AE ＝5－2.又∵EF ∥CD ，∴EF AE ＝CD AC ＝15，∴EF ＝55(5－2)＝5－255.综上，若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为13或5－255.图① 图②第7题解图 8. 43或1或1－63 【解析】如解图①，当AE ＝AF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝AE ＝3－a .在Rt △ABE中，由AE 2＝AB 2＋BE 2得(3－a )2＝12＋a 2，解得a ＝43；如解图②，当AE ＝EF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝3－a ，由AF ＝2BE ，得3－a ＝2a ，解得a ＝1；如解图③，当AF ＝EF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝EF ＝3－a .由∠F AE ＝∠FEA ＝∠AEB 可得AB ＝AG ＝1，易知EG ＝BE ＝a ，∴FG ＝3－2a .在Rt △AFG 中，由AF 2＝AG 2＋FG 2得(3－a )2＝12＋(3－2a )2，解得a ＝1－63或a ＝1＋63(不符合题意，舍去)．综上，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为43或1或1－63.图① 图② 图③第8题解图 9. 135或175【解析】①当M 在线段BC 上时，如解图，过点M 作MH ⊥AB 于点H ，∵∠CAM ＋∠CBA ＝45°，∠ACB ＝90°，∴∠BAM ＝45°.∵AC ＝2，BC ＝3，∴AB ＝13.∵Rt △BHM ∽Rt △BCA ，∴MH AC ＝BH BC＝BM BA .设MH ＝2x ，则2x 2＝BH 3＝BM 13，∴BH ＝3x ，BM ＝13x ，在Rt △AHM 中，AH ＝MH ＝2x ，∵AB ＝BH ＋AH ＝13，∴5x ＝13，x ＝135，BM ＝13x ＝135；②当M 在BC 延长线上时，如解图，则∠CAM ′＋∠CBA ＝45°，又∵∠CAM ＋ ∠CBA ＝45°，∴∠CAM ＝∠CAM ′.又∵AC ⊥BM ′，∴CM ＝CM ′.由①得CM ＝BC －BM ＝25，∴BM ′＝175；③当M 在CB 的延长线上时，不存在∠CAM ＋∠CBA ＝45°.综上所述，BM 的长为135或175.第9题解图10. y ＝113x 【解析】当点D 与点C 重合时，如解图，过F 作FG ⊥y 轴于点G ，连接OF ，∵S △ABC ＝12S 矩形 AOCB ＝12S 矩形ADEF ＝3，∴S 矩形AOCB ＝6，∵A 点坐标为(0，2)，∴OA ＝2，∴OC ＝3，∵∠F AD ＝90°，易得△FGA ∽△AOD ，∴FG AO ＝AG DO ，即FG AG ＝AO DO ＝23，设|FG |＝2a ，|AG |＝3a 由勾股定理得OF ＝OG 2＋FG 2＝（2＋3a ）2＋（2a ）2＝13a 2＋12a ＋4，令t ＝13a 2＋12a ＋4，∴t ＝13a 2＋12a ＋4＝13(a ＋613)2＋4，∴当a ＝－613时，t 有最小值．∴|FG |＝|2×(－613)|＝1213，|AG |＝|3×(－613)|＝1813，点F 的横坐标为1213，纵坐标为1813＋2＝4413，设OF 解析式为y ＝kx (k ≠0)，求得k ＝113，故函数的解析式为y ＝113x .第10题解图类型二 平移探究题1. 5 【解析】∵四边形AEFD 为菱形，∴AE ＝EF ，∵将△ABE 向右平移得到△DCF ，∴BE ＝CF ，AB ＝CD ，∵BE ∶EC ＝3∶2，设BE ＝3k ，EC ＝2k ，∴BC ＝EF ＝5k ，∴AE ＝5k ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝90°，∴AB ＝AE 2－BE 2＝4k ，∴AB 2＋BF 2＝AF 2，即(4k )2＋(8k )2＝(45)2，∴k ＝1，∴AD ＝BC ＝5.2. 67 【解析】∵OA ＝2，OB ＝4，∠OAE ＝∠OBA ，∠EOA ＝∠AOB ＝90°，∴△OAE ∽△OBA ，∴OA OB ＝OE OA ，即24＝OE 2，解得OE ＝1，如解图，过点A 作AB ′⊥OA ，并使AB ′＝BE ＝3.易证△AB ′A ′≌△EBE ′，∴B ′A ′＝BE ′，∴A ′B ＋BE ′＝A ′B ＋B ′A ′.当点B 、A ′、B ′在同一条直线上时，A ′B ＋B ′A ′最小，即此时A ′B ＋BE ′取得最小值．易证△AB ′A ′∽△OBA ′，∴AA ′OA ′＝AB ′OB ＝34，∴AA ′OA ＝37，AO ＝2，∴AA ′＝37×2＝67，∴EE ′＝AA ′＝67.第2题解图3. 25 【解析】如解图，作射线CC ′，AA ′，AA ′交BC ′于点O ，过点C 作CF ∥AB 交AA ′于F ，连接BF ，由平移性质得AA ′∥BE ∥CC ′，∵∠EBD ＝45°，∴∠F AB ＝∠C ′CF ＝45°，∵Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∴易得四边形ABFC 是正方形，∴∠FCB ＝45°，∴∠C ′CB ＝90°，∵A ′C ′＝BF ，∠A ′OC ′＝∠FOB ，∠C ′A ′O ＝∠BFO ＝45°，∴△A ′OC ′≌△FOB ，∴BO ＝C ′O ，∴CO ＝C ′O ＝BO ，延长FC 到G ，使得CG ＝CF ，连接A ′G ，则CO 是△FGA ′的中位线，∴A ′G ＝2CO ＝BC ′，∴BC ′＋BA ′＝BA ′＋A ′G ，∴当点B 、A ′、G 在同一条直线上时，BG 取得最小值，那A ′B ＋C ′B 取得最小值．∵在Rt △GFB 中，BF ＝AC ＝2，FG ＝2CF ＝4，∴BG ＝25，∴A ′B ＋C ′B 的最小值为2 5.第3题解图 4. 32＋62 【解析】由翻转可得△BG ′C ≌△CGB ≌△DEA ，∴CG ′＝AE ，∠BCG ′＝EAD ，同理可得CF ′＝AE ，∠DCF ′＝∠BAE ，∴∠BCG ′＋∠DCF ′＝∠EAD ＋∠BAE ＝45°，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴∠G ′CF ′＝∠G ′CB ＋∠BCD ＋∠DCF ′＝90°.∴△G ′CF ′为等腰直角三角形，由勾股定理可得F ′G ′＝2CG ′＝2AE ，当AE ⊥BD 时，AE 的值最小，即此时F ′G ′的值最小，∵△AED ≌△BGC ，△ABE ≌△DCF ，且∠AED ＝∠AEB ＝90°，∴∠BGC ＝∠AED ＝90°，∠DFC ＝∠AEB ＝90°，∴BG ∥DF ，又∵BG ＝AE ＝DF ，∴四边形BGFD 为矩形，如解图，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，在Rt △ABM 中，∵∠BAM ＝∠ABM ＝45°，AB ＝6，∴AM ＝BM ＝6×22＝3，∵∠ABD ＝75°，∴∠DBM ＝∠ABD －∠ABM ＝75°－45°＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴在Rt △DBM 中，BD ＝BM sin60°＝2，MD ＝BM tan60°＝1，∴AD ＝AM ＋MD ＝1＋3，∵S △BAD ＝12BD ·AE ＝12AD ·BM ，即2AE ＝(1＋3)×3.∴AE ＝3＋32，∴F ′G ′的最小值为32＋62.第4题解图类型三 旋转探究题1. 10＋2 【解析】如解图，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC ＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝210.∵M 为AB 中点，∴CM ＝12AB ＝10，∵将线段AD 绕点A 按顺时针方向旋转，点D 的对应点是点P ，∴AP ＝AD ＝4，∵M 为AB 中点，F 为BP 中点，∴FM ＝12AP ＝2.当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF ＝CM ＋FM ＝10＋2.第1题解图2. 4＋35 【解析】如解图①，当AD ＝13AC 时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，∵∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12，且BC ＝6，∴AC ＝12，AB ＝6 5.∵M 为AB 中点，∴CM ＝35，∵AD ＝13AC ，∴AD ＝4.∵M 为AB 中点，F 为BD 中点，∴FM ＝12AD ＝2，∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF ＝CM ＋FM ＝2＋35；如解图②，当AD ＝23AC 时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，同理可得CF 的最大值为4＋35，综上，线段CF 的长度的最大值为4＋3 5.第2题解图3. 7＜l ＜17 【解析】如解图，过点A 作AH ∥DG ，∵DG ∥EF ，∴DG ∥EF ∥AH ，∵点D 为AB 的中点，将△BDG 绕点D 顺时针旋转180°后到△ADM 的位置，∴BG ＝AM ，MG ∥AH 且MG ＝AH ，同理CF ＝AN ，NF ∥AH 且NF ＝AH ，∴四边形MGFN 是平行四边形，∴MN ＝GF ＝AM ＋AN ＝BG ＋CF .在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴由勾股定理得BC ＝5，即MN ＋GF ＝5，在△ABH 中，由三角形的三边关系可得AB －BH ＜AH ＜AB ＋BH ，同理AC －CH ＜AH ＜AC ＋CH ，两式相加得AB ＋AC －(BH ＋CH )＜2AH ＜AB ＋AC ＋(BH ＋CH )，∴4＋3－5＜2AH ＜4＋3＋5，即2＜2AH ＜12，l ＝MG ＋GF ＋NF ＋MN ＝2AH ＋BC ，∵BC ＝5，2＜2AH ＜12，∴7＜l ＜17.第3题解图4. 4π3【解析】如解图，连接AD 、DG .∵△ABC 和△EFG 均是等边三角形，D 分别是BC 和EF 的中点，∴BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴AD ⊥BC ，GD ⊥EF ，∴∠ADC ＝∠GDF ＝90°，∴∠ADG ＝∠CDF ，∵AD CD＝DG DF＝tan60°，∴△ADG ∽△CDF ，∴∠DAG ＝∠DCF ，∴∠AMC ＝90°，∴点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，且来回共两个三分之一圆，∴点M 运动的路径长为4π3.第4题解图5. 92【解析】∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＋∠BCE ＝∠BCE ＋∠ECD ，∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CBD ，∴∠HBA ＋∠HAB ＝∠HBC ＋∠CBA ＋∠HAB ＝∠CBA ＋∠CAB ＝90°，∴BD ⊥AE .∵P ，M 分别是AD ，AB的中点，∴PM ∥BD ，且PM ＝12BD ，同理，PN ∥AE ，且PN ＝12AE ，∴PM ⊥PN ，PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰直角三角形，∴S △PMN ＝12PM 2＝18BD 2，∴当BD 最大时，△PMN 的面积最大，∵△CDE 绕点C 旋转，∴点D 在以C 为圆心，CD 为半径的圆上，∴当点D 在BC 的延长线上时，BD 最大，此时BD ＝AC ＋CD ＝6，∴△PMN 面积的最大值为18×62＝92.第5题解图类型四 折叠探究题1. 73－3 【解析】如解图，由EG ＝EB ＝3，可得当点G 在DE 上时，此时GD 的值最小，根据折叠的性质，△EBF ≌△EGF ，∴EG ⊥GF ，EG ＝EB ，∵E 是AB 边的中点，AB ＝6，∴AE ＝EG ＝3，∵AD ＝8，∴Rt △ADE 中，DE ＝82＋32＝73，∴GD ＝73－3.第1题解图2. 8 【解析】设折痕为PQ ，点P 在AB 边上，点Q 在BC 边上．如解图①，当点Q 与点C 重合时，AE 最小，根据翻折对称性可得EC ＝BC ＝10，在Rt △CDE 中，CE 2＝ED 2＋CD 2，即102＝(10－AE )2＋62，解得AE ＝2，即x ＝2；如解图②，当点P 与点A 重合时，AE 最大，根据翻折对称性可得AE ＝AB ＝6，即x ＝6，所以x 的最大值和最小值的和是8.图① 图②第2题解图 3. 43 【解析】如解图，连接PB 交CH 于点E .在Rt △BCH 中，BC ＝2，BH ＝12AB ＝32，∵△PCH 是由△BCH 折叠得到的，∴PB ⊥CH ，BE ＝PE ，PH ＝HB .∴∠HPB ＝∠HBP .∵AH ＝BH ，∴AH ＝PH .∴∠P AH ＝∠APH .∴∠APH ＋∠BPH ＝12(∠P AB ＋∠APB ＋∠ABP )＝90°.∴AP ∥CH ，∴tan ∠HAP ＝tan ∠BHC ＝BC BH ＝43.第3题解图 4. 12 【解析】如解图，连接BD ，延长CP 交BD 于点F ，由翻折可知CF ⊥BD ，BF ＝DF ，∠BPF ＝∠DPF ，∵∠1＝∠2＝∠3，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1＋∠ACP ＝∠2＋∠ACP ＝90°，∠2＋∠PBC ＝∠3＋∠PBC ＝45°，∴∠APC ＝90°，∠DPF ＝45°，DF ＝FB ＝PF ，∴△APC ≌△CFB ，∴AP ＝CF ，CP＝BF ＝PF ，∴AP ＝BD ，∴四边形ADBP 是平行四边形，∴S 2S 1＝12.第4题解图5. 1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，∴点F 在以D 为圆心，BD 长为半径的圆上，如解图，连接AD 交⊙D 于点F .此时AF 的值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD ＝BD ＝3，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∵AC ＝4，∴AD ＝5，∵FD ＝3，∴F A ＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，∴FH ∥AC ，∴△DFH ∽△DAC ，∴DF DA ＝DH DC ＝HF CA ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF ＝125，DH ＝95，∴BH ＝245，∴BF ＝BH 2＋HF 2＝1255.第5题解图6. 10m －253【解析】如解图，作AH ⊥BC 于点H ，MG ⊥BC 于点G ，连接EM 、MD 、BM ，∵AB ＝AC ，BC ＝8，AH ⊥BC ，∴CH ＝4，∵AC ＝4AM ，∴CM ∶AC ＝3∶4，∵AH ∥MG ，∴CG HC ＝CM AC ＝34，即CG 4＝34，解得CG ＝3，∴BG ＝5，∴DG ＝m －5，由翻折的性质可知MD ＝BD ＝m ，在Rt △MGD 中，依据勾股定理可知：MG ＝MD 2－GD 2＝m 2－（m －5）2＝10m －25，∴tan ∠ACD ＝tan ∠ACG ＝MG CG ＝10m －253.第6题解图 7. 1010 【解析】设CE ＝x ，则BE ＝6－x .根据折叠的对称性可知DC ′＝DC ＝12，C ′E ＝CE ＝x .在△FC ′G 和△EBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ′＝∠B ＝90°∠FGC ′＝∠EGB GF ＝GE，∴△FC ′G ≌△EBG (AAS)．∴FC ′＝BE ＝6－x .∴DF ＝12－(6－x )＝6＋x .连接FE ，在Rt △FC ′E 和Rt △EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧FC ′＝BE EF ＝EF，∴Rt △FC ′E ≌Rt △EBF (HL)．∴FB ＝EC ′＝x .∴AF ＝12－x .在Rt △ADF 中，AD 2＋AF 2＝DF 2，即36＋(12－x )2＝(6＋x )2，解得x ＝4.∴CE ＝4.在Rt △CDE 中，DE 2＝DC 2＋CE 2，则DE ＝410.∴sin ∠CDE ＝CE DE ＝1010. 8. 2 【解析】∵将△ABE 沿BE 翻折，得到△FBE ，∴AE ＝EF ，∠AEB ＝∠FEB ，∴∠AEB ＝12(180°－∠DEF )，∵E 为AD 边的中点，∴AE ＝DE ，∴DE ＝EF ，∴∠EDF ＝∠EFD ，∴∠EDF ＝12(180°－∠DEF )，∴∠AEB ＝∠EDF ，∴BE ∥DG ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥BG ，∴四边形BEDG 为平行四边形，∴DE ＝BG ，DG ＝BE ＝10，∵四边形ABCD 是平行四边形，且面积等于60，AE ＝DE ，∴S △ABE ＝14S ▱ABCD ＝15，如解图，连接AF 交BE 于H ，则AH ⊥BE ，AH ＝HF ，∵BE ＝10，∴AH ＝3，∴AF ＝6，∵BE ∥DG ，∴AF ⊥DG ，∴DF ＝AD 2－AF 2＝8，∴FG ＝DG －FD ＝2.第8题解图9. 3 【解析】如解图，连接AN ，∵∠ABM ＝∠MBN ＝30°，∠BNM ＝∠BAM ＝90°，∴∠BMG ＝∠BNM －∠MBN ＝90°－30°＝60°，∴∠MBG ＝∠ABG －∠ABM ＝90°－30°＝60°，∴∠BGM ＝180°－60°－60°＝60°，∴∠MBG ＝∠BMG ＝∠BGM ＝60°，∴△BMG 为等边三角形，∵点N 是MG 的中点，∴BN ⊥MG ，∵BG＝BM ＝AB cos ∠ABM ＝433，∴BN ＝BG ·sin60°＝433×32＝2，根据题意易知E 点和H 点关于BM 对称，∴PH ＝PE ，∴P 与Q 重合时，PN ＋PH 的值最小，此时PN ＋PH ＝PN ＋PE ＝EN ，∵EN ＝BN 2－BE 2＝22－（2÷2）2＝3，∴PN ＋PH ＝3，∴PN ＋PH 的最小值是 3.第9题解图10. 35－6【解析】如解图①，设A的对应点为P1，连接ED，过P1作PP1⊥ED于点P，∴在Rt△P1PD 中，DP1＞DP，∴当点A的对应点P落在线段ED上时，此时PD有最小值，即当EP取最大值时，PD有最小值，而点E在线段AB上，∴当点E与点B重合时，如解图②，即EP最大，从而此时PD取得最小值，在Rt△ADB中，BD＝AB2＋AD2＝35，∵PB＝AB＝6，∴DP＝BD－BP＝35－6.图①图②第10题解图。
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连接PF，线段PF绕点F逆时针旋转90°，得到线段QF，连接
12
EQ，则EQ的最小值为____5 ____．
【分析】连接PC，要求EQ的最小值，
例题图
根据题中所给条件得出△EFQ≌△CFP，从而得到EQ＝PC，
则PC的最小值即是EQ的最小值．
例题图
2. (2019成都B卷24题)如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD 沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C的最 小值为____3____．
第1题图
类型三 旋转探究题
例 (2018成都黑白卷)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，
第1题图
类型四 折叠探究题
例 (2017成都黑白卷)在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°， AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC， 使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN.当点T在直线l上移动 时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、 BC边上(包括端点)移动，则线段AT的最小值是___8___2__7___．
因为MN是AP的垂直平分线，所以求PF的长可转化为求AF的长， 在分类讨论中利用相似三角形或等边三角形的性质即可求出AF的长．
成都10年中考真题精选
1. (2015成都B卷24题)如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，点P是弦AB所对的 优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C.当△PAB是等腰三 角形时，线段BC的长为__8_或__15_56__或__8_3_5__．
3. (2012成都B卷25题)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm，按下列 步骤进行裁剪和拼图(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)： 第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC( 余下部分不再使用)； 第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任 意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
【分析】过点C作CD⊥l于点D，
要求AT的最小值，可转化为求TD的最大值， 因为在Rt△TCD中，DC是定值，
例题图
所以当TC最大时，利用勾股定理可求得TD的最大值，
由T，C，N三点共线可得TC的最大值，从而即可求得AT的最小值．
4. (2018成都B卷24题)如图，在菱形ABCD中，tanA＝ 4 ，M，N分别在边AD，BC上，
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与 GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合， 拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片． 则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为__2_0___cm，最大值为 12 4 13 ___________cm.
3
将四边形2AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，CBNN 的 值为____7____．
第1题图
第1题图
类型二 平移探究题
例 如图，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到 △A′B′D′，连接B′C，D′C，则B′C＋D′C的最小值是____7____．
【分析】要求B′C＋D′C的最小值，可转化到同一条直线上， 作点C关于BD的对称点G，构造平行四边形B′D′GH， 当C，B′，H在同一直线上时，CH最短， 即可求得B′C＋D′C的最小值．
专题 几何动态探究题
பைடு நூலகம்
类型一 动点探究题
例 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠C＝60°，点P是射 线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN交AD于点F，连接PF， 若△DPF是等腰三角形，则PF的长为__1_或__3_－____3_． 【分析】要求PF的长，根据等腰三角形可分三种情况进行讨论，