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专题01 几何动态问题(解析版)

专题01 几何动态问题1．小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系．如图1，ABC D 中，CD 为AB 边的中线，可得AD BD =，过点C 作CM AB ^于M ，则1122ADC BDC S AD CM BD CM S D D =×=×=．在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：（1）如图2，矩形ABCD 中，点M ，N 分别为CD ，AB 上的动点，且DM AN =，AM 与DN 交于点E ．连接CE ．①判断DAE D 与DME D 的面积关系；②若3AD =，4AB =，当点M 为CD 的中点时，求四边形BCEN 的面积；（2）ABC D 中，30A Ð=°，6AB =，点D 为AB 的中点，连接CD ，将ACD D 沿CD 折叠，点A 的对应点为点E ，若ECD D 与ABC D 重合部分的面积为ABC D 面积的14，直接写出ABC D 的面积．【解答】解：（1）①连接MN ，作DP AM ^，垂足为P ，//DM AN Q ，DM AN =，90ADM Ð=°，\四边形ANMD 是矩形，AE EM \=，DE EN =，12DAE S AE DP D \=×，12DME S EM DP D =×，DAE DME S S D D \=；②DNA DEC BCEN ABCD S S S S D D =--四边形四边形，E Q 为AM 的中点，E \到DM 的距离为12AD ，11114332222DEC S DC AD D \=×=´´´=，111433222DAN S AN AD D =×=´´´=，4312ABCD S AB CD =×=´=Q 矩形，12336BCEN S \=--=四边形；（2）设ACD S D 的高为h ，由前面提到的发现可知，CD 作为中线，可得ACD CDB S S D D =，11132222ACD S AD h AB h h D =×=´×=Q ，23ABC ACD S S h D D \==，设BC 交DE 于点Q ，Q 重合部分面积为ABC S D 的14，即13344CDQ S h h D =´=，11111244222CDQ ABC ADC ADC CDE CDB S S S S S S D D D D D D \==´===，CQ Q 是中线，QD QE \=，1111322222QE DE AD AB \===´=，CDE D Q 是由ACD D 沿CD 折叠，30A E \Ð=Ð=°，cos30°=Q\QE CE ==CE \，根据勾股定理得，CQ ==，CQE CQD S S D D \==14ABC CQE S S D D \=2．【问题再现】苏科版《数学》八年级下册第94页有这样一题：如图1，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，AD 上的点，GE BF ^，垂足为M ，那么GE =　BF ．（填“<”、“ =”或“>” )【迁移尝试】如图2，在56´的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点M ．求AMC Ð的度数；【拓展应用】如图3，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP ，BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF ，连接DE 分别交线段BC ，PC 于点M ，N ．①求DMC Ð的度数；②连接AC 交DE 于点H ，直接写出DH BC的值为．【解答】解：【问题再现】GE BF ^Q ，90BMG \Ð=°，将线段GE 向左平移至AL 处，交BF 于I ，AL GE \=，90AIB BMG Ð=Ð=°，90BAL ABI \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 为正方形，AB BC \=，90ABC C Ð=Ð=°，90CBF ABI \Ð+Ð=°，BAL CBF \Ð=Ð，()ABL BCF ASA \D @D ，AL BF \=，GE BF \=，故答案为：=；【迁移尝试】将线段AB 向右平移至ND 处，使得点B 与点D 重合，连接PN ，如图2所示：AMC NDC \Ð=Ð，设正方形网格的边长为单位1，则由勾股定理可得：DN ==，PD ==，PN ==，222PN PD DN \+=，DPN \D 是直角三角形，90DPN Ð=°，且PN PD =，45AMC NDC \Ð=Ð=°；【拓展应用】①平移线段BC 至DK 处，连接KE ，如图3所示：则DMC KDE Ð=Ð，四边形DKBC 是平行四边形，DC KB \=，Q 四边形ADCP 与四边形PBEF 都是正方形，DC AD AP \==，BP BE =，90DAK KBE Ð=Ð=°DC AD AP KB \===，AG BP BE \==，在AKD D 和BEK D 中，AK BE DAK KBE AD KB =ìïÐ=Ðíï=î，()AKD BEK SAS \D @D ，DK EK \=，ADK EKB Ð=Ð，90EKB AKD ADK AKD \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90EKD \Ð=°，45KDE KED \Ð=Ð=°，45DMC KDE \Ð=Ð=°；②如备用图所示：AC Q 为正方形ADCP 的对角线，45DAC PAC DMC \Ð=Ð=Ð=°，AC \=，HCM BCA Ð=ÐQ ，AHD CHM ABC \Ð=Ð=Ð，ADH ACB \D D ∽，\DH AD BC AC ==，．3．已知，矩形ABCD中，4=，AC的垂直平分线EF分别交AD、BCBC cmAB cm=，8于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；D和CDE（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFBD各边匀速运动一周．即点P自A F B A®®®停止．在运动过程中，®®®停止，点Q自C D E C①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，0)ab¹，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．【解答】解：（1）①Q四边形ABCD是矩形，\，AD BC//Ð=Ð，CAD ACB\Ð=Ð，AEF CFEQ垂直平分AC，垂足为O，EF\=，OA OC\D@D，AOE COFOE OF \=，\四边形AFCE 为平行四边形，又EF AC ^Q ，\四边形AFCE 为菱形，②设菱形的边长AF CF xcm ==，则(8)BF x cm =-，在Rt ABF D 中，4AB cm =，由勾股定理得2224(8)x x +-=，解得5x =，5AF cm \=．（2）①显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ，Q 在CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =，Q 点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，5PC t \=，4124QA CD AD t t =+-=-，即124QA t =-，5124t t \=-，解得43t =，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒．②由题意得，四边形APCQ 是平行四边形时，点P 、Q 在互相平行的对应边上．分三种情况：)i 如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CQ =，即12a b =-，得12a b +=；)ii 如图2，当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=；)iii 如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AP CQ =，即12a b -=，得12a b +=．综上所述，a 与b 满足的数量关系式是12(0)a b ab +=¹．4．（1）已知：如图1，ABC D 为等边三角形，点D 为BC 边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边ADE D ，连接CE ．求证：①BD CE =，②120DCE Ð=°；（2）如图2，在ABC D 中，90BAC Ð=°，AC AB =，点D 为BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ，类比题（1），请你猜想：①DCE Ð的度数；②线段BD 、CD 、DE 之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连接BE ，若10BE =，6BC =，直接写出AE 的长．【解答】证明：（1）①如图1，ABC D Q 和ADE D 是等边三角形，AB AC \=，AD AE =，60ACB B Ð=Ð=°，60BAC DAE Ð=Ð=°，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，BAD EAC \Ð=Ð．在ABD D 和ACE D 中，AB AC BAD EAC AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，BD CE \=；②ABD ACE D @D Q ，60ACE B \Ð=Ð=°，6060120DCE ACE ACB \Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）90DCE Ð=°，222BD CD DE +=．证明：如图2，90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45B ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90B ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE \Ð=°，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；（3）①（2）中的结论还成立．理由：90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45ABC ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90ABC ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE ECD \Ð=°=Ð，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；②Rt BCE D Q 中，10BE =，6BC =，8CE \===，8BD CE \==，862CD \=-=，Rt DCE \D中，DE ===，D Q\AE ==．5．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B ¢落在MN 上，折痕为EC ，连接DB ¢，如图2．①点B ¢在以点E 为圆心，　BE 的长为半径的圆上；②B M ¢= ；③△DB C ¢为三角形，请证明你的结论．拓展延伸（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点)B 折叠后，点B 的对应点B ¢落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ¢D 面积的最大值为；②连接AB ¢，点P 为AE 的中点，点Q 在AB ¢上，连接PQ ，AQP AB E ¢Ð=Ð，则2B C PQ ¢+的最小值为．【解答】解：（1）由折叠的性质知，BE BE =¢，BC B C =¢，1322MA MB NC ND AB =====，B EB C Ð=Ð¢，①由题意得，点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上；②3MB MN MB MN ¢=-¢=-==；③BC B C CD =¢=Q ，而B D B C ¢===¢，\△DB C ¢为等边三角形，故答案为①BE ；；③等边；（2）①33AB AE ==Q ，则1AE =，2BE =，Q 点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上，如图1，ABB ¢\D 面积的最大时，只要AB 边上的高最大即可，\当B E AB ¢^时，ABB ¢D 面积的最大，ABB ¢\D 面积1132322AB B E =´´¢=´´=，故答案为3；②AQP AB E ¢Ð=ÐQ ，//PQ B E \¢，P Q 是AE 的中点，PQ \是AEB D ¢的中位线，如图2，12PQ B E \=¢，即2B C PQ B C B E ¢+=¢+¢，E \、B ¢、C 三点共线时，2B C PQ ¢+取得最小值为CE ，则CE ===，．6．（1）如图1，菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD ，DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积为（2）如图2，平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD 、DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请求出最值；（3）如图3，四边形ABCD 中，AB AD =，1CD =，90A C Ð=Ð=°，60ABC Ð=°，点M 、N 分别为边AD 、DC 上的动点，且2DM DN +=，是否存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小？若存在，求出DMN D 的周长最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B 作BE DA ^延长线于点E ，过点B 作BF DC ^延长线于点F ，则90BEA BFC Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是菱形，//AB CD \，//AD BC ，60ABC D Ð=Ð=°，60BAE BCF \Ð=Ð=°，BE BF \==，连接BD ，设DM x =，则4DN x =-，BMD BNDBMDN S S S D D =+四边形1122MD BE DN BF =××+××11(4)22x =´+´-=故四边形BMDN 的面积为，故答案为：；（2）过点B 作BP DA ^延长线于点P ，过点B 作BQ DC ^延长线于点Q ，则90BPA BQC Ð=Ð=°，设DM x =，则4DN x =-，5AM AD DM BC DM x =-=-=-，3(4)1CN CD DN AB DN x x =-=-=--=-，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC \，//AB CD ，60BAP ABC \Ð=Ð=°，60BCQ ABC Ð=Ð=°，在Rt ABP D 中，sin 60BP AB =×°=，在Rt BCQ D 中，sin 60BQ BC =×°=ABCD ABM BCNBMDN S S S S D D =--Y 四边形115(5)(1)22x x =-´-´-=-，3DN DC =Q …，43x \-…，1x \…，0k =<Q ，S \随着x 的增大而减小，1x \=时，四边形BMDN 的面积最大为=（3）连接BD ，AB AD =Q ，90A Ð=°，45ADB ABD \Ð=Ð=°，60ABC Ð=°Q ，15DBC \Ð=°，又90BCD Ð=°Q ，75BDC \Ð=°，120ADC Ð=°，设DM x =，则2DN x =-，21x \-…，1x \…，过点M 作MH BD ^，过点N 作NJ BD ^，BMD BDNBMDN S S S D D =+四边形1122BD MH BD NJ =´´+´´1[sin 45(2)sin 75]2BD x x =×××°+-°1[(sin 45sin 75)2sin 75]2BD x =×°-°+°，sin 45sin 750°-°<Q ，\当1x =时，BMDN S 四边形存在最大值，过点M 作CD 的垂线交于延长线于点K ，60MDK \Ð=°，12DK x \=，MK =，112222NK x x x =-+=-，在Rt MKN D 中，22221)(2)(1)32MN x x =+-=-+，当1x =时，2MN 存在最小值，最小值为3，MN \\存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小，DMN D 的周长最小为2+．7．阅读材料如图1，在ABCD中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF DE=，连接CF，证明ADE CFED@D，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移（1）如图2，AD是ABCD的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF=，求证：AC BF=．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD FD=，连接MC，¼¼请根据小明的思路完成证明过程．方法运用（2）如图3，在等边ABCD中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；②若4AB=，12CF CD=请直接写出CF的长．【解答】（1）证明：延长AD至M，使MD FD=，连接MC，在BDFD和CDMD中，BD CD BDF CDM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，()BDF CDM SAS \D @D ，MC BF \=，M BFM Ð=Ð，AE EF =Q ，EAF EFA \Ð=Ð，EFA BFM Ð=ÐQ ，M MAC \Ð=Ð，AC MC \=，AC BF \=；（2）①解：线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF =，证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，如图2所示：Q 点F 为BE 的中点，BF EF \=，在BFM D 和EFD D 中，BF EF BFM EFD FM DF =ìïÐ=Ðíï=î，()BFM EFD SAS \D @D ，BM DE \=，MBF DEF Ð=Ð，//BM DE \，Q 线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，CD DE BM \==，120BDE Ð=°，18012060MBD \Ð=°-°=°，ABC D Q 是等边三角形，AB AC \=，60ABC ACB Ð=Ð=°，6060120ABM ABC MBD \Ð=Ð+Ð=°+°=°，180********ACD ACB Ð=°-Ð=°-°=°Q ，ABM ACD \Ð=Ð，在ABM D 和ACD D 中，AB AC ABM ACD BM CD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM ACD SAS \D @D ，AM AD \=，BAM CAD Ð=Ð，60MAD MAC CAD MAC BAM BAC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，AMD \D 是等边三角形，2AD DM DF \==；②解：CF 的长为1或2．当CF 为BDE D 的中位线时，1122CF CD DE ==，C \为BD 的中点，4CD BC \==，122CF CD \==，如图3，当CF 不是BDE D 的中位线时，连接CE ，取BC 的中点N ，连接FN ，过点D 作DG CE ^，过点G 作GI CD ^于点I ，过点F 作FH BC ^于点H ，CDE D Q 为等腰三角形，120CDE Ð=°，30DCE \Ð=°，12DG CD \=，12CG CE =，12CF CD =Q ，DG CF \=，N Q 为BC 的中点，F 为BE 的中点，NF \是BCE D 的中位线，//NF CE \，12NF CE CG ==，30CNF DCE \Ð=Ð=°，12HF NF \=，12GI CG =，HF GI \=，NH CI =，FC GD =Q ，Rt FCH Rt GDI(HL)\D @D ，CH DI \=，NH CH CI DI \+=+，即NC CD =，2CD \=，即1CF =，综上所述，CF 的长为1或2．8．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE AG ^于点E ，BF AG ^于点F ，连接BE 、DF ，设EDF a Ð=，EBF b Ð=，tan tan k a b =×．（1）求证：DE EF BF =+．（2）求证：BG k BC=．（3）若点G 从点C 沿BC 边运动至点B 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC AD \==，90BAD ABC Ð=Ð=°，DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，90ADE DAE \Ð+Ð=°，90BAF DAE Ð+Ð=°Q ，ADE BAF \Ð=Ð，在AED D 和BFA D 中，ADE BAF AED BFA AD BA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AED BFA AAS \D @D ，AE BF \=，DE AF =，DE AF AE EF BF EF \==+=+；（2）证明：在Rt DEF D 和Rt EFB D 中，tan tan EF EDF DE a Ð==，tan tan EF EBF BF b Ð==，\tan tan EF BF BF DE EF DEa b =×=，由（1）可知，ADE BAG Ð=Ð，90AED GBA Ð=Ð=°，AED GBA \D D ∽，\AE DE GB AB=，由（1）可知，AE BF =，\DE BF AB GB =，\BF GB DE AB=，tan tan k a b =×Q ，\GB k AB=，AB BC =Q ，\BG BG BF k BC AB DE===；（3）解：DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，\当点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止时，点E 经过的路径是以AD 为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F 经过的路径，两弧交于正方形的中心点O ，如图所示：4AB AD ==Q ，\所围成的图形的面积14444AOB S S D ==´´=．9．如图，射线AB 和射线CB 相交于点B ，(0180)ABC a a Ð=°<<°，且AB CB =．点D 是射线CB 上的动点（点D 不与点C 和点B 重合），作射线AD ，并在射线AD 上取一点E ，使AEC a Ð=，连接CE ，BE ．（1）如图①，当点D 在线段CB 上，90a =°时，请直接写出AEB Ð的度数；（2）如图②，当点D 在线段CB 上，120a =°时，请写出线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，请直接写出CE BE的值．【解答】解：（1）连接AC ，如图①所示：90a =°Q ，ABC a Ð=，AEC a Ð=，90ABC AEC \Ð=Ð=°，A \、B 、E 、C 四点共圆，AEB ACB \Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，AB CB =，ABC \D 是等腰直角三角形，45ACB \Ð=°，45AEB \Ð=°；（2）AE CE =+，理由如下：在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：ABC AEC Ð=ÐQ ，ADB CDE Ð=Ð，180180ABC ADB AEC CDE \°-Ð-Ð=°-Ð-Ð，A C \Ð=Ð，在ABF D 和CBE D 中，AF CE A C AB CB =ìïÐ=Ðíï=î，()ABF CBE SAS \D @D ，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，ABF FBD CBE FBD \Ð+Ð=Ð+Ð，ABD FBE \Ð=Ð，120ABC Ð=°Q ，120FBE \Ð=°，BF BE =Q ，11(180)(180120)3022BFE BEF FBE \Ð=Ð=´°-Ð=´°-°=°，BH EF ^Q ，90BHE \Ð=°，FH EH =，在Rt BHE D 中，12BH BE =，FH EH ===，22EF EH \===，AE EF AF =+Q ，AF CE =，AE CE \=+；（3）分两种情况：①当点D 在线段CB 上时，在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：由（2）得：FH EH ==，1tan 3BH DAB AH Ð==Q ，332AH BH BE \==，32CE AF AH FH BE \==-=-=，\CE BE =②当点D 在线段CB 的延长线上时，在射线AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图③所示：同①得：FH EH ==，332AH BH BE ==，32CE AF AH FH BE \==+==，\CE BE =；综上所述，当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，CE BE ．10．如图，直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 为线段OA 的一个动点，以A 为圆心，AC 长为半径作A e ，A e 交AB 于点D ，连接OD 并延长交A e 于点E ，连接CD ．（1）当2AC =时，证明：OBD D 是等边三角形；（2）当OCD ODA D D ∽时，求A e 的半径r ；（3）当点C 在线段OA 上运动时，求OD DE g 的最大值．【解答】解：（1）Q 直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，\点A ，0)，点(0,2)B ，OA \=2OB =，tan OB BAO OA \Ð==30BAO \Ð=°，24AB OB \==，60ABO Ð=°，2AC AD ==Q ，2BD BO \==，且60ABO Ð=°，BDO \D 是等边三角形；（2）如图1，过点D 作DH AO ^于H ，OCD ODA D D Q ∽，30ODC OAB \Ð=Ð=°，AC AD =Q ，30BAO Ð=°，75ACD \Ð=°，45DOH ACD ODC \Ð=Ð-Ð=°，DH AO ^Q ，30DAO Ð=°，12DH r \=，AH ==，DH AO ^Q ，45DOH Ð=°，12DH OH r \==，AO OH AH =+=Q ，12r \=，6r \=-（3）如图2，连接EH ，过点O 作OG AB ^于G ，OG AB ^Q ，30BAO Ð=°，12OG AO \==3AG ==，3GD AD \=-，DH Q 是直径，90DEH OGD \Ð=°=Ð，又ODG HDE Ð=ÐQ ，ODG HDE \D D ∽，\GD OD DE DH=，239(3)22()22OD DE GD DH AD AD AD \==-=--+g g g ，\当32AD =时，OD DE g 的最大值为92．11．[问题提出]（1）如图1，已知线段4AB =，点C 是一个动点，且点C 到点B 的距离为2，则线段AC 长度的最大值是 6　；[问题探究]（2）如图2，以正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，E 为半圆O 上一动点，若正方形的边长为2，求AE 长度的最大值；[问题解决]（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC ，经测量，AC =120BC =米，30ACB Ð=°，BC 下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC 下方找一点P ，将该花地扩建为四边形ABPC ，扩建后沿AP 修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC D 需满足60BPC Ð=°．为容纳更多游客，要求小路AP 的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP 的长度是否存在最大值？若存在，求出AP 的最大长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当C 在线段AB 延长线上时，AC 最大，此时426AC AB BC =+=+=，故答案为：6；（2）连接AO 并延长交半圆O 于F ，如图：Q 正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，边长为2，90ADO \Ð=°，2AD =，1OD OD OF ===，当E 运动到F 时，AE 最大，AF 的长度即是AE 的最大值，Rt AOD D 中，AO ==1AF AO OF \=+=，即AE 1；（3）作BC 的垂直平分线DE ，在BC 下方作30BCO Ð=°，射线CO 交DE 于O ，以O 为圆心，OC 为半径作O e ，连接OB 、连接AO 并延长交O e 于P ，则AP 为满足条件的小路，过A 作AF OC ^于F ，如图：30BCO Ð=°Q ，30ACB Ð=°，60ACF \Ð=°，Rt ACF D 中，sin 6030AF AC =×°=，cos60CF AC =×°=DE Q 垂直平分BC ，120BC =，60CE \=，90OEC Ð=°，cos30CE OC OP \===°，OF OC CF \=-=，Rt AOF D 中，60OA ==，60AP OA OP \=+=+．即小路AP 的长度最大为60+12．在O e 中，弦CD 平分圆周角ACB Ð，连接AB ，过点D 作//DE AB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O e 的切线；（2）若1tan 3CAB Ð=，且B 是CE 的中点，O e DE 的长．（3）P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP ^于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP+的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．【解答】证明：（1）如图1，连接OD 交AB 于点F ，连接OA ，OB ，AD ，CD Q 平分ACB Ð，ACD BCD \Ð=Ð，\AD BD =，AOD BOD \Ð=Ð，OA OB =Q ，OD AB \^，//AB DE Q ，OD DE \^，DE \是O e 的切线．解：（2）如图2，连接OC ，OD ，OE ，过点O 作OF BC ^于点F ，2BOC BAC \Ð=Ð，OB OC =Q ，OF BC ^，12COF COB CAB \Ð=ÐÐ=Ð，1tan tan 3CF COF CAB OF \Ð==Ð=，设CF x =，3OF x =，O Qe ，OC \=，222OF CF +Q ，222(3)x x \=+，解得：12x =，12CF \=，32OF =，1BC \=，B Q 是CE 的中点，1BE BC \==，32EF \=，222OE OF EF =+Q ，2223318((224OE \=+=，222OD DE OE +=Q ，DE \===（3）解法一：如图3，延长BP 至Q 使得PQ AP =，连接AQ ，OC ，连接OB ，BD ，连接OD 交AB 于点K ，连接HK ，A Q ，P ，B ，C 四点共圆，APQ ACB \Ð=Ð，AP PQ =Q ，Q QAP \Ð=Ð，1902Q ACB \Ð=°-Ð，DE Q 是O e 的切线，OD DE \^，//DE AB Q ，OD AB \^，K \是AB 的中点，DH BH ^Q ，90BHD \Ð=°，90BKD Ð=°Q ，B \，K ，H ，D 四点共圆，BHK ODB \Ð=Ð，BOD ACB Ð=ÐQ ，OB OD =，1902ODB ACB \Ð=°-Ð，ODB Q \Ð=Ð，BHK Q \Ð=Ð，//AQ HK \，\12BH BK BQ AB ==，BQ BP QP =+Q ，QP AP =，BQ BP AP \=+，\12BH BP AP =+．解法二：如图4，在BP 上截取BM AP =，连接DM ，BD ，DP ，AD ，Q 弦CD 平分圆周角ACB Ð，AD BD \=，Q AP AP =，PAD PBD MBD \Ð=Ð=Ð，()APD BMD SAS \D @D ，DP DM \=，AP BM =，DH BP ^Q ，DH \为PDM D 的中线，HP HM \=，2BP BM PM BM HM \=+=+，BH BM HM =+Q ，\122BH BM HM AP BP BM BM HM +==+++．13．在ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是直线AB 上的一动点（不与点A ，B 重合）连接CD ，在CD 的右侧以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE ，点H 是BD 的中点，连接EH ．【问题发现】（1）如图（1），当点D 是AB 的中点时，线段EH 与AD 的数量关系是　12EH AD =，　．EH 与AD 的位置关系是．【猜想论证】（2）如图（2），当点D 在边AB 上且不是AB 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AC BC ==，其他条件不变，连接AE 、BE ．当BCE D 是等边三角形时，请直接写出ADE D 的面积．【解答】解：（1）如图1中，CA CB=Q，90ACBÐ=°，AD BD=，CD AB\^，CD AD DB==，45A B\Ð=Ð=°，45DCB ACDÐ=Ð=°，45DCEÐ=°Q，\点E在线段CB上，DE BC^Q，45EDB B\Ð=Ð=°，DH HB=Q，EH DB \^，1122EH DB AD==，故答案为12EH AD=，EH AD^．（2）结论仍然成立：理由：如图2中，延长DE到F，使得EF DE=，连接CF，BF．DE EF=Q．CE DF^，CD CF\=，45CDF CFD\Ð=Ð=°，45ECF ECD\Ð=Ð=°，90ACB DCF\Ð=Ð=°，ACD BCF\Ð=Ð，CA CB=Q，()ACD BCF SAS\D@D，AD BF \=，45A CBF Ð=Ð=°，45ABC Ð=°Q ，90ABF \Ð=°，BF AB \^，DE EF =Q ，DH HB =，12EH BF \=，//EH BF ，EH AD \^，12EH AD =．（3）如图31-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．90ACB Ð=°Q ，60ECB Ð=°，30ACE \Ð=°，AC CB CE EB DE =====Q 75CAE CEA \Ð=Ð=°，45CAB Ð=°Q ，30EAH \Ð=°，90DEC Ð=°Q ，60CEB Ð=°，150DEB \Ð=°，15EDB EBD \Ð=Ð=°，EAH ADE AED Ð=Ð+ÐQ ，15ADE AED \Ð=Ð=°，AD AE \=，设EH x =，则2AD AE x ==，AH =，222EH DH DE +=Q ，22(2)8x x \+=，1x \=-，2AD \=-，112)1)422ADE S AD EH D \=××=´×-=-如图32-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．同法可求：1EH =，2AD =，111)422ADE S AD EH D \=××=´+=+综上所述，满足条件的ADE D 的面积为4-或4+．14．在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF FE AG ==，且12AG AB …，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求P Ð的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中P Ð的度数是否发生变化，若有改变，请求出P Ð的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN GP ^于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC 为定值．==Q，E与C重合，BF CF BG AG\===，\Ð=°，BGF45//Q，AB CD\Ð=Ð=°．45P BGF（2）不变．理由如下：如图所示，连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC．在正方形ABCD中，有：Ð=Ð=°，OC OBOCF OBG=，45又AG BF=Q，\=，BG CF\D@D．OCF OBG SAS()Ð=Ð，\=，COF BOGOG DF\Ð=Ð=°，GOF BOC90GOF\D为等腰直角三角形．又OQ，F分别是BD，BE的中点，\，//OF DE\Ð=Ð=°．P OFG45（3）如图所示，取DP 中点Q ，连接NQ ，BD ，MQ ，由题意可得，DNP D 为等腰直角三角形，Q Q 为DP 中点，NQ DP \^．设CDP a Ð=，则45NDC a Ð=°+，45BDP a Ð=°-，M Q ，Q 分别是BP ，DP 的中点，//MQ BD \，45MQP BDP a \Ð=Ð=°-，90(45)45NQM a a \Ð=°-°-=°+，NQM NDC \Ð=Ð．，CD BD \又NQD D Q 为等腰直角三角形，\NQ ND =\NQ MQ ND CD ==，NQM NDC \D D ∽．\MN NQ NC ND ==\MNNC为定值．15．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCED绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　是　（填“是”或“不是”)“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，10AB BC==，2CD=，AD AB>，过点B作BE AD^于E．①过C作CF BF^于点F，试证明：BE DE=，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求BCMD周长的最小值．【解答】解：（1）Q将BCED绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D \Ð=Ð=°，90ABE CBE \Ð+Ð=°，90ABE ABF \Ð+Ð=°，即90EBF D Ð=Ð=°，180EBF D \Ð+Ð=°，90EBF Ð=°Q ，BF BE =，\四边形BEDF 是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，10AB BC ==，2CD =，AD AB >，90ABC \Ð=°，180ABC D Ð+Ð=°，90D \Ð=°，BE AD ^Q ，CF BE ^，90DEF \Ð=°，90CFE Ð=°，\四边形CDEF 是矩形，DE CF \=，2EF CD ==，90ABE A Ð+Ð=°Q ，90ABE CBE Ð+Ð=°，A CBF \Ð=Ð，90AEB BFC Ð=Ð=°Q ，AB BC =，()ABE BCF AAS \D @D ，BE CF \=，AE BF =，DE CF =Q ，BE DE \=；Q 四边形CDEF 是矩形，2EF CD \==，ABE BCF D @D Q ，AE BF \=，2AE BE \=-，设BE x =，则2AE x =-，在Rt ABE D 中，222(2)10x x +-=，解得：8x =或6x =-（舍去），BE \的长是8；②BCM D Q 周长BC BM CM =++，\当BM CM +的值最小时，BCM D 的周长最小，如图，延长CD 到点G ，使DG CD =，连接BG 交AD 于点M ¢，过点G 作GH BC ^，交BC 的延长线于点H ，90ADC Ð=°Q ，\点C 与点G 关于AD 对称，BM CM BM MG BG \+=+…，即BM CM BM M C +¢+¢…，\当点M 与M ¢重合时，BM M C ¢+¢的值最小，即BCM D 的周长最小，在Rt ABE D 中，6AE ===，Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，180A BCD \Ð+Ð=°，180BCD GCH Ð+Ð=°Q ，A GCH \Ð=Ð，90AEB H Ð=Ð=°Q ，ABE CGH \D D ∽，\10542BE AE ABGH CH CG====，即88252GH CH-==，165GH\=，125CH=，12621055BH BCCH\=+=+=，BG\===，BCM\D周长的最小值为10+．16．如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，2OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE CF=；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：90EDFÐ=°，ED DF=，Q四边形ABCD是正方形，90ADC\Ð=°，AD CD=，ADC EDF\Ð=Ð，即ADE EDC EDC CDFÐ+Ð=Ð+Ð，ADE CDF\Ð=Ð，在ADED和CDFD中，QAD CDADE CDFDE DF=ìïÐ=Ðíï=î，()ADECDF SAS\D@D，AE CF\=；（2）解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，O Q 是BC 的中点，且AB BC ==A Q ，E ，O 三点共线，OB \=由勾股定理得：5AO =，2OE =Q ，523AE \=-=，由（1）知：ADE CDF D @D ，DAE DCF \Ð=Ð，3CF AE ==，BAD DCP Ð=ÐQ ，OAB PCF \Ð=Ð，90ABO P Ð=Ð=°Q ，ABO CPF \D D ∽，\2AB CP OB PF ===，2CP PF \=，设PF x =，则2CP x =，由勾股定理得：2223(2)x x =+，x =（舍)，\，OP ==，由勾股定理得：OF ==，（3）解：如图3，由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP OC =，连接PE ，AE CF =Q ，PAE OCF Ð=Ð，()PAE OCF SAS \D @D ，PE OF \=，当PE 最小时，为O 、E 、P 三点共线，OP===，\==-=-，PE OF OP OE2\的最小值是2．OF17．ABC=，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重Ð=°，AB ACBACD中，90合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：　垂直　．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB =，14CD BC =，请求出GE 的长．【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D 中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，B ACF \Ð=Ð，90ACB ACF \Ð+Ð=°，即BC CF ^；故答案为：垂直；②DAB FAC D @D ，CF BD \=，BC BD CD =+Q ，BC CF CD \=+；故答案为：BC CF CD =+；（2）CF BC ^成立；BC CD CF =+不成立，CD CF BC =+．Q 正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，ABD ACF \Ð=Ð，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，45ACB ABC \Ð=Ð=°．18045135ABD \Ð=°-°=°，1354590BCF ACF ACB \Ð=Ð-Ð=°-°=°，CF BC \^．CD DB BC =+Q ，DB CF =，CD CF BC \=+．（3）解：过A 作AH BC ^于H ，过E 作EM BD ^于M ，EN CF ^于N ，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，4BC \==，122AH BC ==，114CD BC \==，122CH BC ==，3DH \=，由（2）证得BC CF ^，5CF BD ==，Q 四边形ADEF 是正方形，AD DE \=，90ADE Ð=°，BC CF ^Q ，EM BD ^，EN CF ^，\四边形CMEN 是矩形，NE CM \=，EM CN =，90AHD ADE EMD Ð=Ð=Ð=°Q ，90ADH EDM EDM DEM \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ADH DEM \Ð=Ð，在ADH D 与DEM D 中，ADH DEM AHD DME AD DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADH DEM AAS \D @D ．3EM DH \==，2DM AH ==，3CN EM \==，3EN CM ==，45ABC Ð=°Q ，45BGC \Ð=°，BCG \D 是等腰直角三角形，4CG BC \==，1GN \=，EG \==．18．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：ADG ABE D @D ；（2）连接FC ，观察并猜测FCN Ð的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB a =，(BC b a =、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、)C ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，FCN Ð的大小是否总保持不变？若FCN Ð的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan FCN Ð的值；若FCN Ð的大小发生改变，请举例说明．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，\=，AE AGAB ADÐ=Ð=°，BAD EAG=，90\Ð+Ð=Ð+Ð，BAE EAD DAG EADBAE DAG\Ð=Ð，\D@D．BAE DAG（2）解：45Ð=°，FCN理由是：作FH MN^于H，Q，Ð=Ð=°AEF ABE90Ð+Ð=°，FEH AEB90\Ð+Ð=°，90BAE AEB\Ð=Ð，FEH BAEQ，90又AE EF=Ð=Ð=°，EHF EBA\D@D，EFH ABE\=，EH AB BCFH BE==，\==，CH BE FHÐ=°Q，FHC90\Ð=°．FCN45（3）解：当点E由B向C运动时，FCNÐ的大小总保持不变，理由是：作FH MN^于H，由已知可得90Ð=Ð=Ð=°，EAG BAD AEF结合（1）（2）得FEH BAE DAGÐ=Ð=Ð，又GQ在射线CD上，。

中考数学专题动态几何与函数10题-含答案

动态几何与函数10题(1)请直接写出1y ，2y 与t 之间的函数关系式以及对应的t 的取值范围；
(2)请在平面直角坐标系中画出1y ，2y 的图象，并写出1y 的一条性质；
(3)求当12y y >时，t 的取值范围．
(1)求出12,y y与x的函数关系式，并注明
(2)先补全表格中1y的值，再画出
x123456
y12632
1
(3)在直角坐标系内直接画出2y的函数图像，结合1y和2y的函数图像，x的取值范围．(结果取精确值)
(1)请求出1y 和2y 关于x 的函数解析式，并说明x 的取值范围；
(2)在图2中画出1y 关于x 的函数图象，并写出一条这一函数的性质：(3)若12103
y y -≥，请结合函数图像直接写出x 的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
4．
（2023春·重庆江津·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿折线A B C D →→→运动，当它到达D 点时停止运动；同时，点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AD 运动，过Q 点做直线l 平行于AB ，点M 为直线l 上的一点，满足AMQ △的面积为2，设点P 点Q 的运动时间为t （0t >），ADP △的面积为1y ，QM 的长度为2y ．
(1)分别求出1y ，2y 与t 的函数关系，并注明t 的取值范围；
(2)在坐标系中画出1y ，2y 的函数图象；
(3)结合函数图象，请直接写出当12y y <时t 的取值范围．。

24题几何动态习题(含答案)

24题几何动态习题1、（本题10分）如图△ABC 为等边三角形，D 点为BC 边上一动点，DE ⊥BA 于E ，连接CE 交AD 于F ，已知BC=nBD(1)若n=3时，则AC BE= (2)若n ＝4时，求FCEF的值；（3）当n ＝时，EF ＝FC.(直接写出答案，不证明)1、（1）AC BE ＝61（2）过C 作CG ⊥AB 于G 点，交AD 于H 点，由△BDE ∽△BCG 得CG DE ＝BC BD ＝41，设DE ＝k,则CG ＝4k ，又HG ∥DE ，∴DE HE ＝AE AG ＝74，HG ＝74k ∴CH ＝4k －74k ＝724k 又△EFD ∽△CFH 得FC EF ＝724k k ＝247（3）解法一，过E 作EH ∥BC ，交AD 于F ，设BD ＝a ，CD ＝（n －1）a ，则BE ＝2a,AB ＝na ，若EF ＝FC ，易证△EFH ≌△CDF, ∴EF ＝CD ＝（n －1）a,又EF ∥BC,易证△AEH ∽△ABD∴AB AE ＝BD EF ,naana 2-＝a a n )1(-, ∵点D 在线段BC 上，∴n>1，故n ＝2)22(- 解法二，DE ∥CG, ∴CG DE ＝n1，CG ＝n ·DE 又DE ∥HG ，∴△AGH ∽△AED,∴HG ＝12-n n ·DE ∴n-12-n n=1, ∵点D 在线段BC 上，∴n>1, 故n ＝2)22(-CA B DC A B D2.如图在△ABC 中，∠ACB=90 o,BC=k AC ，CD ⊥AB 于D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC,PF ⊥BC,垂足分别为E 、F ，（1）若k=2时，则CE/BF = _________ （2分）（2）若k=3时，连EF 、DF, 求EF/DF 的值（5分）（3）当k=__________时，EF/DF = 2 3 /3.(直接写结果，不需证明) （3分）.（1）12(2分)（2）证法：连DE 证△CED ∽△BFD, DE DF = CD BD = AC BC = 1K = 13，证∠EDF = 90 oEF DF = 10 3(5分)(3) 3 (3分)3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为BC 边上一动点，BD=nCD ，CE ⊥AD 于F ，交AB 于E 。

九年级中考数学复习专题十几何动态探究题

专题十几何动态探究题1. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，在运动过程中，始终保持AE＝BF，若AB＝2，则EF的取值范围为________．第1题图2.如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠BAC＝90°，O为边BC上一点，OA＝OB＝OC，点M、N分别在边AB、AC上运动，且始终保持AN＝BM.在运动过程中，四边形AMON的面积为________cm2.第3题图4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝42，则AB的长为________；若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于点F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为________．第5题图6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 cm，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，直线BB′、CC′交于点D，则CD的长为________cm.第6题图7. 如图，四边形ABCD是正方形，且AB＝2，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转后得到正方形AEFG，在旋转过程中，当点A、G、C三点共线时，则点F到BC的距离为________．第7题图8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．第8题图9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC.则EC＋GC的最小值为________．第9题图10. 如图，在菱形ABCD 中，tan A ＝43，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF ⊥AD 时，BN CN的值为________．第10题图11.如图，在△ABC 中，已知AD 是BC 边上的中线，∠ADC ＝60°，BC ＝3AD.将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的点B ′处，连接AB ′交BC 于点E ，那么CE ∶BE 的值为________．第11题图12.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是________．第12题图13. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 为AD 的中点，点N 为AB 上一点，连接MN ，CN ，将△AMN 沿直线MN 折叠后，点A 恰好落在CN 上的点P 处，则CN 的长为________．第13题图14. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向以每秒1个单位的速度平移得到△EFG (点E 在线段AC 上，运动到点C 停止运动，且不与点A 重合)，同时，点H 从点C 出发以相同的速度沿CB 方向移动，当△EFG 停止平移时，点H 也停止移动，连接EH ，GH ，当EH ⊥GH 时，AE BH的值为________．第14题图15.如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE翻折至△AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝22BF时，DECD＝________．第15题图16. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC.连接AM、AN、MN，MN交AC于点P，则点P到直线CD的距离的最大值为________．第16题图17. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为________；四边形PCDQ周长的最小值为________．第17题图18.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD.若△DEG是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为________．第18题图19. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为________，最小值为________．第19题图20. 如图①，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图②，点C落在点C′处，最后按图③所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG.若原正方形．．．．纸片的边长为6 cm，则FG＝________ cm.第20题图21. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，CD⊥AB，点P是直线CD上一点，连接P A，将线段P A绕点P逆时针旋转120°得到P A′，点M、N分别是线段AC、P A′的中点，连接MN，则线段MN的最小值为________．第21题图22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为________，此时BF的长为________．第22题图专题十几何动态探究题1. 3≤EF≤2【解析】如解图，连接BD，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠DBA＝∠C＝60°，AB＝BD＝BC，∵AE＝BF，∴BE＝CF，∴△DBE≌△DCF(SAS)．∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，∵∠EDF＝∠EDB＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF＝60°，∴△DEF 是等边三角形，∴EF＝DE，当点E与点H重合时，DE的值最小，此时DE＝AD·sin A＝3，当点E与点A (或点B )重合时，DE 的长最大，此时DE ＝2，∴EF 的取值范围为3≤EF ≤2. 第1题解图 2. 255 【解析】∵DG ＝GE ，∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4，由翻折的性质得△ADB ≌△ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12(AF ＋DF )·BF ＝4，即12(3＋DF )×2＝4，∴DF ＝1，∴DB ＝BF 2＋DF 2＝22＋12＝5，设点F 到BD 的距离为h ，则有12BD ·h ＝12BF ·DF ，即12×5·h ＝12×2×1，∴h ＝255.3. 4 【解析】∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠BAO ＝∠CAO ＝45°，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∴∠B ＝∠BAO ＝∠CAO ，在△AON 和△BOM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ∠CAO ＝∠B AN ＝BM，∴△AON ≌△BOM (SAS)，∴S △AON ＝S △BOM ，∴S △AON ＋S △AOM ＝S △BOM ＋S △AOM ，即S 四边形AMON ＝S △AOB ，∴S 四边形AMON ＝12S △ABC ＝12×12×4×4＝4 cm 2.4. 210－2 【解析】如解图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得到DM ，连接FM ，OM ，∵ ∠EDF ＝ ∠ODM ＝90°，∴ ∠EDO ＝∠FDM ，在△EDO 与△FDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ∠EDO ＝∠FDM DO ＝DM，∴ △EDO ≌△FDM (SAS) ，∴ FM ＝OE ＝2，∵在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 是BC 边的中点，∴ OC ＝2，∴OD ＝42＋22＝2 5 ，∴OM ＝2OD ＝210，∵OF ≥OM －MF ，∴OF ≥210－2 ，∴线段OF 长的最小值为210－2.第4题解图5. 7；34 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BC 于点M .在Rt △ABM 中，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝45°，∴BM ＝AM ，AB ＝2AM ，设AM ＝BM ＝x ，在Rt △AMC 中，∵AC 2＝AM 2＋CM 2，∴52＝x 2＋(42－x )2，解得x＝722或22(舍)，∴AB ＝2x ＝7.过点F 作FN ⊥BC 于点N .∵DE ∥AC ，∴∠ACF ＝∠D ＝∠B ，∵∠CAF ＝∠CAB ，∴△ACF ∽△ABC ，∴AC AB ＝AF AC ，∴AC 2＝AF ·AB ，∴AF ＝257，∴BF ＝AB －AF ＝7－257＝247，∴BN ＝FN ＝1227，∴CN ＝BC －BN ＝42－1227＝1627，∴tan ∠BCD ＝FN CN ＝12271627＝34.第5题解图6. 2 6 cm 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥BD 交DB 的延长线于点E ，由旋转的性质得∠B ′AB ＝∠C ′AC＝30°，AB ′＝AB ，AC ′＝AC ，∴∠B ′BA ＝∠C ′CA ＝12×(180°－30°)＝75°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4cm ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠DCB ＝90°－∠C ′CA ＝15°，∴∠CDE ＝180°－∠B ′BA －∠ABC －∠DCB ＝180°－75°－45°－15°＝45°，∴∠DCE ＝∠CDE ＝45°，DE ＝CE ，∴∠BCE ＝∠DCE －∠DCB ＝45°－15°＝30°，在Rt △BCE 中，BC ＝4 cm ，∠BCE ＝30°，∴BE ＝12BC ＝2 cm ，∴CE ＝BC 2－BE 2＝42－22＝2 3 cm ，∴CD ＝CE cos45°＝2322＝2 6 cm.第6题解图7. 2－2或2＋2 【解析】由旋转的性质可知AG ＝FG ＝AB ＝2，AF ＝2AG ＝2.分两种情况讨论：①如解图①，当点G 在线段AC 上时，连接AC ，BF ，可知点B 在线段AF 上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AF －AB ＝2－2；②如解图②，当点G 在CA 的延长线上时，连接AC ，AF ，此时点F 在BA 的延长线上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AB ＋AF ＝2＋ 2.综上所述，点F 到BC 的距离为2－2或2＋ 2.图①图②第7题解图8. 7－1 【解析】如解图①，以点M 为圆心，AM 长为半径作圆，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接MC ，∵菱形ABCD 的边长为2，∠DAB ＝60°，M 是AD 的中点，∴MA ＝MA ′＝MD ＝12AD ＝1，∴点A ′在⊙M 上运动，由解图①得，只有当A ′运动到与点M 、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，∵CH ∥AB ，∴∠MDH ＝∠DAB ＝60°，在Rt △MDH 中，DH ＝MD ·cos ∠MDH ＝12，MH ＝MD ·sin ∠MDH ＝32，在Rt △MHC 中，HC ＝DH ＋DC ＝12＋2＝52，由勾股定理得MC ＝HC 2＋MH 2＝7，此时A ′C ＝MC －MA ′＝7－1，即A ′C 长度的最小值为7－1.第8题解图①【一题多解】如解图②，连接MC ，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，由题意可知，MA ＝MA ′＝12AD ，在△ MA ′C 中，由三角形三边关系可知，一定存在MA ′＋A ′C ≥MC ，∴当点M 、A ′、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，此时A ′C ＝MC －MA ′，其余解法同上．第8题解图②9. 45 【解析】如解图，连接AE 并延长，作点D 关于AE 的对称点H ，连接EH ，ED ，过点H 作HM ⊥CD ，与CD 的延长线交于点M ，则DE ＝EH ，∵△ABD 沿射线BD 平移得△EGF ，∴AE ∥BD ，AB ＝EG ，AB ∥EG ，∵AB ∥CD ，AB ＝CD ＝4，∴EG ∥CD ，EG ＝CD ＝4，∴四边形CDEG 是平行四边形，∴CG ＝DE ＝EH ，∴当点C ，E ，H 三点共线时，EC ＋GC 取得最小值，最小值为CH 的长．∵AE ∥BD ，AB ∥CD ，∴四边形ABDM 为平行四边形，∴DM ＝AB ＝4，∠DAM ＝45°，∴∠ADH ＝45°，∴∠MDH ＝45°，∴DM ＝HM ＝4，∴CH ＝CM 2＋HM 2＝（4＋4）2＋42＝45，∴EC ＋GC 的最小值为4 5.第9题解图10. 27 【解析】如解图，延长NF 与DC 交于点H .由折叠的性质得∠E ＝∠A ，∠EFN ＝∠B ，EM ＝AM ，EF ＝AB .∵EF ⊥AD ，∴∠MDE ＝90°.在Rt △MDE 中，tan E ＝DM DE ＝tan A ＝43，设DM ＝4k ，则DE ＝3k ，EM＝5k .∴AM ＝5k ，AD ＝9k .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝9k ，∠C ＝∠A ，AB ∥CD ，AD ∥BC .∴∠A ＋∠ADC ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°.∵∠ADF ＝90°，∴∠A ＋∠FDH ＝90°.∵∠DFH ＋∠EFN ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFN ＝∠B ，∴∠A ＝∠DFH .∴∠DFH ＋∠FDH ＝90°.∴∠DHF ＝90°.∵EF ＝AB ＝9k ，DE ＝3k ，∴DF ＝6k .在Rt △DHF 中，tan ∠DFH ＝tan A ＝43，易得sin ∠DFH ＝45，∴DH ＝DF ·sin ∠DFH ＝245k .∴HC ＝9k －245k ＝215k .在Rt △CHN 中，tan C ＝ tan A ＝43，易得cos C ＝35.∴NC ＝HC cos C ＝7k .∴BN ＝9k －7k ＝2k .∴BN CN ＝2k 7k ＝27.第10题解图11. 37 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点B ′作B ′G ⊥BC 于点G ，∵∠ADC ＝60°，∴∠ADB ＝120°，由折叠的性质得，∠ADB ′＝120°，∠CDB ′＝60°，B ′D ＝BD ，∵BC ＝3AD ，AD 是BC 边上的中线，∴设AD ＝m ，则BC ＝3m ，BD ＝B ′D ＝32m ，在Rt △ADF 中，DF ＝AD ·cos60°＝12m ，AF ＝AD ·sin60°＝32m ，∴BF ＝BD ＋DF ＝2m ，CF ＝BC －BF ＝m ，在Rt △B ′DG 中，DG ＝B ′D ·cos60°＝34m ，B ′G ＝B ′D ·sin60°＝334m ，∴FG ＝DG －DF ＝14m ，∵AF ⊥BC ，B ′G ⊥BC ，∴AF ∥B ′G ，∴△AFE ∽△B ′GE ∴FE GE ＝AF B ′G ＝32m334m＝23，∵FE ＋GE ＝FG ＝14m ，∴FE ＝110m ，∴BE ＝BF ＋FE ＝2110m ，CE ＝CF －FE ＝910m ，∴CE BE ＝910m 2110m ＝37.第11题解图12. 6＋22 【解析】如解图，以AB 为边向下作等边△ABK ，连接EK ，在EK 上取一点T ，连接AT ，使得TA ＝TK .由旋转的性质得BE ＝BF ，∠EBF ＝60°，∵△ABK 为等边三角形，∴BK ＝BA ，∠EBF ＝∠ABK ＝60°，∴∠ABF ＝∠KBE ，∴△ABF ≌△KBE (SAS)，∴AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，KE 的值最小，即AF 最小．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ＝135°，∵∠BAK ＝60°，∴∠EAK ＝75°，∵∠AEK ＝90°，∴∠AKE ＝15°，∵TA ＝TK ，∴∠TAK ＝∠AKT ＝15°，∴∠ATE ＝∠TAK ＋∠AKT ＝30°，设AE ＝a ，则AT ＝TK ＝2a ，ET ＝3a ，在Rt △AEK 中，AE 2＋EK 2＝AK 2，∴a 2＋(2a ＋3a )2＝22，∴a ＝6－22，∴EK ＝2a ＋3a ＝6＋22，∴AF 的最小值为6＋22.第12题解图13. 133 【解析】如解图，连接CM ，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AD ＝BC ＝4，CD ＝AB ＝3，∠D ＝90°，由折叠的性质得，AM ＝PM ，∠MPN ＝∠A ＝90°，∠AMN ＝∠PMN ，∴∠CPM ＝90°，∵点M 为AD 的中点，∴AM ＝DM ＝12AD ＝2，∴PM ＝AM ＝DM ＝2，在Rt △CPM 与Rt △CDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝DM CM ＝CM，∴Rt △CPM ≌Rt △CDM (HL)，∴CP ＝CD ＝3，∠CMP ＝∠CMD ，∴∠NMC ＝∠NMP ＋∠CMP ＝12(∠AMP ＋∠DMP )＝90°，∴CM ＝DM 2＋CD 2＝22＋32＝13，∵∠CPM ＝∠CMN ＝90°，∠MCP ＝∠NCM ，∴△CMP ∽△CNM ，∴CM CN ＝CP CM ，即13CN ＝313，∴CN ＝133.第13题解图14. 37 【解析】如解图，过点E 作EM ⊥BC 的于点M ，过点G 作GN ⊥BC 交BC 的延长线于点N ，∴四边形EMNG 是矩形，∴EG ＝MN ＝5，EM ＝GN ，∵∠BAC ＝∠EMH ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ，∴△ABC ∽△MEC ，∴AB ME ＝BC EC ＝AC MC ，∵AB ＝3，BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝4，设运动时间为t (0＜t ≤4)，则AE ＝CH ＝t ，CE ＝4－t ，∴3ME ＝54－t ＝4MC ，∴EM ＝12－3t 5，CM ＝16－4t 5，∴HN ＝5－MH ＝5－(CM －CH )＝5－(16－4t 5－t )＝9＋9t 5.∵EH ⊥GH ，∴∠EHG ＝90°，∴∠EHM ＋∠GHN ＝90°，又∵EM ⊥BC ，∴∠EHM ＋∠MEH ＝90°，∴∠GHN ＝∠MEH ，又∵∠EMH ＝∠HNG ＝90°，∴△EMH ∽△HNG ，∴EM HN ＝MH NG ，即12－3t 59＋9t 5＝16－4t5－t 12－3t 5，整理得2t 2－3t ＝0，解得t ＝32或t ＝0(舍去)，即AE ＝32，BH ＝5－CH ＝5－32＝72，∴AE BH ＝3272＝37.第14题解图15. 2－1 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BP 于点M ，过点E 作EN ⊥BP 于点N .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，由翻折的性质得AD ＝AF ，∠DAE ＝∠EAF ，∴AB ＝AF ，∵AM ⊥BF ，∴BM ＝FM ，∠BAM ＝∠FAM ，∴∠PAM ＝∠PAF ＋∠FAM ＝12∠BAD ＝45°，∵∠AMP ＝90°，∴∠P ＝∠PAM＝45°，∴AM ＝MP ，设BF ＝2a ，则BM ＝MF ＝a ，PF ＝22BF ＝2a ，∴AM ＝PM ＝FM ＋PF ＝a ＋2a ，∵∠AMF ＝∠AFE ＝∠ENF ＝90°，∴∠AFM ＋∠EFN ＝90°，∠EFN ＋∠FEN ＝90°，∴∠AFM ＝∠FEN ，∴△AMF ∽△FNE ，∴AM FM ＝FN EN ＝a ＋2aa ＝1＋2，设EN ＝PN ＝x ，则FN ＝(1＋2)x ，∴(1＋2)x ＋x ＝2a ，∴x ＝(2－1)a ，∴EN ＝(2－1)a ，∴EF AF ＝EN FM ＝（2－1）a a＝2－1，∵CD ＝AD ＝AF ，DE ＝EF ，∴DE CD ＝EFAF ＝2－1.第15题解图16. 334 【解析】如解图，过点P 作PE ⊥CD 于点E .∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，∠ACB ＝∠ACD ＝60°，在△ABM 和△ACN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABM ＝∠ACN ，BM ＝CN∴△ABM ≌△ACN (SAS)，∴AM ＝AN ，∠BAM ＝∠CAN ，∴∠MAN ＝∠BAM ＋∠MAC ＝60°，∴△AMN 为等边三角形，∵∠B ＝∠ACB ＝∠AMP ＝60°，∴∠BAM ＋∠BMA ＝∠BMA ＋∠CMP ＝180°－60°＝120°，∴∠BAM ＝∠CMP ，∠BMA ＝∠CPM ，∴△BAM ∽△CMP ，∴BA BM ＝CM CP ，设BA 长为a ，BM 长为x ，则CM ＝a －x ，∴a x ＝a －xCP ，∴a ·CP ＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－(x －a 2)＋a 24，∴CP ＝－1a (x －a 2)＋a 4，∴当x ＝a 2时，CP 最长，即当AM ⊥BC 时，△AMN 边长最小，此时CP 最长，满足条件，∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴BM ＝MC ＝3，∠CMP ＝30°，∠CPM ＝90°，∴PC ＝12MC ＝32，在Rt △PCE 中，∵∠ACD ＝60°，∴PE ＝PC ·sin60°＝334.第16题解图17. 3134；6＋39 【解析】设AQ ＝x ，则S 四边形PCDQ ＝S △ABC －S △ADQ －S △BCP ＝34×62－12·x ·32×1－12×(6－x －1)×32×6＝332＋534x ，∵x 的最大值为6－1＝5，∴当x ＝5时，S 四边形PCDQ 最大，最大值为332＋534×5＝3134；如解图，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接D ′Q ，以D ′Q 、PQ 为边作平行四边形PQD ′M ，则DQ ＝D ′Q ＝MP ，∴C 四边形PCDQ ＝PM ＋PC ＋PQ ＋DC ，DD ′＝2AD ·sin60°＝3，D ′M ＝PQ ＝1，过点C 作CH ⊥AB ，交AB 于点H ，交D ′M 的延长线于点N ，则∠N ＝90°，CH ＝BC ·sin60°＝33，NH ＝12DD ′＝32，∴MN ＝AH －D ′M －AD ·cos60°＝AC ·cos60°－1－12＝3－1－12＝32，CN ＝NH ＋CH ＝32＋33＝732，当点M ，P ，C 在同一直线上时，MP ＋CP 的最小值等于CM 的长，即DQ ＋CP 的最小值等于CM 的长，此时，Rt △MNC 中，CM ＝MN 2＋CN 2＝（32）2＋（732）2＝39，又∵PQ ＝1，CD ＝6－1＝5，∴四边形PCDQ 周长的最小值为CM ＋PQ ＋CD ＝6＋39.第17题解图18. 27－952或92 【解析】分两种情况讨论，如解图①，当GD ＝GE 时，过点G 作GM ⊥AD 于点M ，GN ⊥CD 于点N .设AF ＝x .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝12，∠BAF ＝∠ADE ＝90°，由翻折的性质得AF ＝FG ，BF ⊥AG ，∴∠DAE ＋∠BAE ＝90°，∠ABF ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，∴△BAF ∽△ADE ，∴AB DA ＝AF DE ，即912＝x DE ，∴DE ＝43x ，∵GM ⊥AD ，GN ⊥CD ，∴∠GMD ＝∠GND ＝∠MDN ＝90°，∴四边形GMDN 是矩形，∴GM ＝DN ＝EN ＝23x ，∵GD ＝GE ，∴∠GDE ＝∠GED ，∵∠GDA ＋∠GDE ＝90°，∠GAD ＋∠GED ＝90°，∴∠GDA ＝∠GAD ，∴GA ＝GD ＝GE ，∵GM ⊥AD ，∴AM ＝MD ＝6，在Rt △FGM 中，由勾股定理得x 2＝(6－x )2＋(23x )2，解得x ＝27－952或27＋952(舍)，∴AF ＝27－952；如解图②，当DG ＝DE 时，由翻折的性质得，BA ＝BG ，∴∠BAG ＝∠BGA ，∵DG ＝DE ，∴∠DGE ＝∠DEG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DEG ，∴∠AGB ＝∠DGE ，∴B ，G ，D 三点共线，∵BD ＝AB 2＋AD 2＝92＋122＝15，BG ＝BA ＝9，∴DG ＝DE ＝6，由①知，△BAF ∽△ADE ，∴AF DE ＝AB DA ，即AF 6＝912，∴AF ＝92.综上所述，AF 的值为27－952或92.图①图②第18题解图19. 45；22 【解析】如解图，取BC 的中点G ，连接DG ，由旋转的性质得DC ＝EC ，∠DCE ＝90°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝8，F 为AC 中点，∴CG ＝CF ，∠DCG ＋∠ACD ＝∠ECF ＋∠ACD ＝90°，∴∠DCG ＝∠ECF ，∴△DCG ≌△ECF (SAS)，∴DG ＝EF .分两种情况讨论：如解图①，当GD ⊥AB 时，DG 最短，此时△BDG 是等腰直角三角形，∴DG ＝BG ·sin45°＝4×22＝22，∴EF 的最小值为22；当点D 与点B 重合时，DG ＝BG ＝4；如解图②，当点D 与点A 重合时，DG ＝CG 2＋AC 2＝42＋82＝45＞4，∴EF 的最大值为45，最小值为2 2.图①图②第19题解图20. 10 【解析】如解图，过点A ′作A ′H ⊥AD 于点H ，延长FA ′与BE 的延长线交于点J ，过点F 作FI ⊥BE 于点I ，∵A ′是DE 的中点，∴A ′H 是△DC ′E 的中位线，∴A ′H ＝12C ′E ＝12×3＝32 cm ，由折叠性质知∠A ′DH ＝45°，∴DH ＝A ′H ＝32 cm ，设AF ＝x cm ，则FH ＝6－x －32＝(92－x ) cm ，由折叠的性质得A ′F ＝AF＝x cm ，在Rt △A ′HF 中，由勾股定理得A ′F 2－FH 2＝A ′H 2，即x 2－(92－x )2＝(32)2，解得x ＝52，∴A ′F ＝AF ＝52 cm ，FH ＝92－52＝2 cm ，∴EI ＝FC ′＝FH ＋DH －C ′D ＝2＋32－3＝12 cm ，∵A ′是DE 的中点，易证△A ′DF ≌△A ′EJ ，∴EJ ＝DF ＝2＋32＝72 cm ，A ′F ＝A ′J ＝52 cm ，∴FJ ＝5 cm ，由折叠的性质得∠AFG ＝∠JFG ，∵AD ∥BJ ，∴∠JGF ＝∠AFG ＝∠JFG ，∴JG ＝JF ＝5 cm ，∴GI ＝JG －JE －EI ＝5－72－12＝1 cm ，在Rt △FGI 中，FI ＝3 cm ，∴FG ＝32＋12＝10 cm.第20题解图21. 5217 【解析】如解图，点P 在直线CD 上运动时，当MN 垂直于点N 的运动轨迹(直线)时，MN 最短，当点P 和C 重合时，N 1 是CB 的中点，当PA ′和直线CD 重合时，N 2 是PA ′的中点，∵AC ＝CB ＝4，∠ACB ＝120°，CD ⊥AB ，∴CD ＝2，AD ＝23，∴AB ＝2AD ＝43，∵M 、N 1分别是AC 、BC 中点，∴MN 1∥AB ，MN 1＝12AB ＝23，DE ＝1，∵PA ′是PA 绕点P 逆时针旋转120°得到的，当PA ′和直线CD 重合时，PA ′＝PA ，∠APA ′＝120°，∴∠APD ＝60°，∴AP ＝AD sin60°＝2332＝4，DP ＝AP ·cos60°＝4×12＝2，∵N 2是PA ′的中点，∴PN 2＝2，EN 2＝2＋2＋1＝5，∵MN 1∥AB ，CD ⊥AB ，MN 1⊥CD ，在△MEN 2和△N 1EN 2中，⎩⎪⎨⎪⎧ME ＝N 1E ∠MEN 2＝∠N 1EN 2EN 2＝EN 2，∴△MEN 2≌△N 1EN 2(SAS)，∴N 2M ＝N 2N 1，在Rt △MN 2E 中，N 2M ＝ME 2＋EN 22＝（3）2＋52＝27，∴S △MN 1N 2＝12MN 1·EN 2＝12×23×5＝53，又∵S △MN 1N 2＝12N 1N 2·MN ，∴12×27×MN ＝53，∴MN ＝5217.第21题解图22. 30；6 【解析】如解图①，连接AC ，分别过点E ，G 作AC 的垂线，垂足为M ，N ，易证△AEM ∽△ACB ，∴AE AC ＝EM CB ，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10，∴410＝EM 8，∴EM ＝165.∵△BEF 沿EF 翻折后点B 的对应点为点G ，∴GE ＝BE ＝2，∴点G 在以点E 为圆心，2为半径的⊙E (在矩形ABCD 内的部分)上．连接EN ，则EG ＋GN ≥EN ≥EM ，∴GN ≥EM －EG ＝165－2＝65.∵S 四边形AGCD ＝S △ACD ＋S △AGC ＝12AD ·CD ＋12AC ·GN ＝24＋5GN ，如解图②，当点G 在EM 上，即点N 与点M 重合，此时GN 取得最小值65，S 四边形AGCD 取得最小值为24＋5GN ＝24＋5×65＝30；如解图②，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，∵EM ⊥FG ，EM ⊥AC ，∴四边形FGMH 是矩形，∴FH ＝GM ＝65，∵∠FCH ＝∠ACB ，∠CHF ＝∠CBA ＝90°，∴△CHF ∽△CBA ，∴CF CA ＝FH AB ，即CF 10＝656，∴CF ＝2，∴BF ＝BC －CF ＝8－2＝6.图①图②第22题解图。

中考数学专题复习卷：几何图形的动态问题含解析

几何图形的动向问题精编1、如图，平行四边形ABCD中，AB=cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，抵达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大概图象是（）A、B、C、D、【答案】A【分析】：分三种状况议论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E．∵∠B=45°，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB=，∴AE=1，∴S= BP×AE=×t×1=t；②当③当2＜t≤＜t≤时，S=时，S=AP×AE==×（×2×1=1；-t）×1=（-t）．故答案为：A．【剖析】依据题意分三种状况议论：①当当2+＜t≤4+时，分别求出0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤2+时；③S与t的函数分析式，再依据各选项作出判断，即可得出答案。

2、如图，边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,知足AE+CF=a,△BEF的周长最小值是()A、B、C、D、【答案】B【分析】：连结BD∵四边形ABCD是菱形，AB=AD，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，AB=DB，∠BDF=60°∴∠A=∠BDF又∵AE+CF=a，AE=DF，在△ABE和△DBF中，∴△ABE≌△DBF（SAS），BE=BF，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=∠ABD=60°，∴△BEF是等边三角形．∵E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,要使△BEF的周长最小，就是要使它的边长最短∴当BE⊥AD时，BE最短在Rt△ABE中，BE==∴△BEF的周长为【剖析】依据等边三角形的性质及菱形的性质，证明∠A=∠BDF，AE=DF，AB=AD，便可证明△ABE≌△DBF，依据全等三角形的性质，可证得BE=BF，∠ABE=∠DBF，再证明△BEF是等边三角形，而后依据垂线段最短，可得出当BE⊥AD时，BE最短，利用勾股定理求出BE的长，即可求出△BEF的周长。

中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题附带答案

中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB 上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．2．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣2D．直线x=23．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x﹣1）2+2D．y=3（x﹣1）2﹣24．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH∠BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），∠BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF=AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF,FB,BG.设AE=x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．6．如图，半径为1的⊙A的圆心A在抛物线y=(x-3)2-1上，AB∠x轴交⊙A于点B(点B在点A 的右侧)，当点A在抛物线上运动时，点B随之运动得到的图象的函数表达式为（）A．y=(x-4)2-1B．y=(x-3)2C．y=(x-2)2-1D．y=(x-3)2-27．下列函数，其中图象为抛物线的是（）A．y=1x B．y=2x C．y=x2D．y=2x+38．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的∠CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．如图，在∠ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm210．如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，设∠APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（）A．B．C．D．11．如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB∠OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③∠AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1二、填空题(共6题；共8分)13．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆．……按此规律，连续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍。

全等三角形提高之动态几何探究题学生版教师版有答案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯全等三角形提高之动态几何探究题一、三垂直模型1．（1）如图（1），已知：在△ABC中，△BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m, CE△直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有△BDA=△AEC=△BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为△BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若△BDA=△AEC=△BAC，试判断△DEF的形状.解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=900．△△BAC＝900，△△BAD+△CAE=900．△△BAD+△ABD=900，△△CAE=△ABD．又AB="AC" ，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE="AE+AD=" BD+CE．（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=1800—α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=600．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△FAE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（AAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DFA+△AFE=△DFA+△BFD=600．△△DEF为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=600，FB=FA，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△FAE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DFA+△AFE=△DFA+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．2．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP ＝3由y ＝0得x ＝1， ∴Q （1，0），OQ ＝1， ∵∠QPR ＝45° ∴∠PSQ ＝45°＝∠QPS ∴PQ ＝SQ∴由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP∴OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝3+1＝4，SH ＝OQ ＝1 ∴S （4，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则341b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得1k 2b 3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR 为y ＝﹣12x+3 由y ＝0得，x ＝6 ∴R （6，0）．3．已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点D 是直线BC 上的一动点（点D 不与B△C 重合），连接CE,△1△在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：BC=CE+CD△△2△在图2中，当点D 在边BC 的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC△CE△CD之间存在的数量关系，并说明理由；△3△在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC△CE△CD 之间存在的数量关系．【详解】（1）如图1中，∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD；（2）不成立，存在的数量关系为CE=BC+CD．理由：如图2，由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；（3）如图3，结论：CD=BC+EC．理由：由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴CD=BC+BD=BC+CE，二、半角模型4．△1）如图1，点E△F分别在正方形ABCD的边BC△CD上，△EAF=45°，求证：EF=BE+FD;△2）如图2，四边形ABCD中，△BAD≠90°△AB=AD△△B+△D=180°，点E△F分别在边BC△CD上，则当△EAF与△BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD，说明理由．△3）如图3，四边形ABCD中，△BAD≠90°△AB=AD△AC平分△BCD△AE△BC于E△AF△CD 交CD延长线于F△若BC=8△CD=3，则CE=.（不需证明）【答案】（1）详见解析；（2）△BAD=2△EAF△理由详见解析；（3△CE=5.5.【解析】试题分析：△1）将△ABE绕点A旋转使得AB与AD重合，然后证明△AFG≌△AFE，再利用全等三角形对应的边相等的性质不难证明；（2△首先延长CB至M，使BM=DF，连接AM△构造△ABM≌△ADF，再证明△F AE≌△MAE△最后将相等的边进行转化整理即可证明.试题解析：△1）证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，如图1所示：则△ADG≌△ABE△∴AG=AE△∠DAG=∠BAE△DG=BE△又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°△∴∠GAF=∠F AE△在△GAF和△F AE中，AG AEGAF FAEAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, △∴△AFG≌△AFE△SAS△△∴GF=EF△又∵DG=BE△∴GF=BE+DF△∴BE+DF=EF△△2△∠BAD=2∠EAF．理由如下：如图2所示，延长CB至M，使BM=DF，连接AM△∵∠ABC+∠D=180°△∠ABC+∠ABM=180°△∴∠D=∠ABM△在△ABM和△ADF中，AB ADABM DBM DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△∴△ABM≌△ADF△SAS△∴AF=AM△∠DAF=∠BAM△∵∠BAD=2∠EAF△∴∠DAF+∠BAE=∠EAF△∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF△在△F AE和△MAE中，AE AEFAE MAEAF AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△∴△F AE≌△MAE△SAS△△∴EF=EM=BE+BM=BE+DF△即EF=BE+DF△△3△CE=5.5点睛：△1△在出现正方形或者等腰直角三角形的题目中，我们多采用旋转构造全等三角形的方法.△2）遇到此类压轴题，第一问的思路方法可以为第二问、第三问所用.三、手拉手模型5．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度．（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【答案】△1△90°△△2△△α+β=180°△△α=β△【解析】试题分析△△1△利用等腰三角形证明ABD ≅ACE,所以∠ECA=∠DBA,所以△DCE =90°.(2)方法类似（1）证明△ABD △△ACE △所以△B=△ACE ，再利用角的关系求αβ180+=︒△ △3）同理方法类似（1△.试题解析：解：（1△ 90 度.△DAE =△BAC ,所以∠BAD =△EAC,AB=AC,AD=AE ,所以ABD ≅ACE,所以∠ECA=∠DBA∠所以△ECA =90°.△2△△ αβ180+=︒△ 理由：△△BAC =△DAE △△△BAC △△DAC =△DAE △△DAC ,即△BAD =△CAE, 又AB=AC △AD=AE △ △△ABD △△ACE △△△B=△ACE △△△B +△ACB =△ACE+△ACB △△B ACB DCE β∠∠∠+==△△αB ACB 180∠∠++=︒△△αβ180+=︒△△3）补充图形如下， αβ=△6．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE，且CA=CD ，CB=CE ，∠ACD=∠BCE，直线AE 与BD 交于点F ，（1）如图1，若∠ACD=60゜，则∠AFB= ；（2）如图2，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）；（3）将图2中的△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上），如图3．试探究∠AFB 与α的数量关系，并予以证明．【答案】(1)120°;(2) 180°―α;(3)见解析【解析】【分析】（1）求出△ACE =△DCB ，证△ACE △△DCB ，推出△CAE =△CDB ，求出△AFB =△CDA +△DAC ，根据三角形内角和定理求出即可；△2）求出△ACE =△DCB △证△ACE △△DCB △推出△CAE =△CDB △求出△AFB =△CDA +△DAC △根据三角形内角和定理求出即可△△3）求出△ACE =△DCB △证△ACE △△DCB △推出△CAE =△CDB △求出△AFB =△CEB +△CBE △根据三角形内角和定理求出即可△ 【详解】解：（1△△△ACD =△BCE △△△ACD +△DCE =△BCE +△DCE △△△ACE =△DCB ，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACE △△DCB △△△CAE =△CDB △△△AFB =△CDB +△CDA +△DAE∠ =△CDA +△DAE +△BAE =△CDA +△DAC=180°―60°=120°△△2）解：△△ACD =△BCE △△△ACD +△DCE =△BCE +△DCE △△△ACE =△DCB ，在△ACE 和△DCB 中AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACE △△DCB △△△CAE =△CDB △△△AFB =△CDB +△CDA +△DAE∠ =△CDA +△DAE +△BAE =△CDA +△DAC =180°―△ACD =180°―α△△3△△AFB =180-α，证明：△△ACD =△BCE △△△ACD +△DCE =△BCE +△DCE △△△ACE =△DCB ，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACE △△DCB △△△AEC =△DBC △△△AFB =△AEC +△CEB +△EBD =△DBC +△CEB +△EB∠ =△CEB +△EBC =180°-△ECB =180°-α△ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ACE △△DCB △7．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.(1) 如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；(2) 如图2△AN与MC交于点E△BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论.图1 图2【答案】（1）相等，证明见解析；（2）△CEF的形状是等边三角形.【解析】【分析】△1）等边三角形的性质可以得出△ACN△△MCB两边及夹角分别对应相等，；两个三角形全等，得出线段AN△BM△△2）平角的定义得出∠MCN△60°，通过证明△ACE△△MCF，得出CE△CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状.【详解】(1)△△ACM与△CBN都是等边三角形,△AC=MC,CN=CB,△ACM=△BCN=60°.△△MCN=60°,△ACN=△MCB,在△ACN和△MCB中,AC=MC, △ACN=△MCB,CN=CB,△△ACN△△MCB(SAS),△AN=BM.(2)△△ACM=60°,△MCN=60°,△△ACM=△MCN,△△ACN△△MCB,△△CAE=△CMB.在△ACE和△MCF中,△CAE=△CMF，AC=MC, △ACE=△MCF,△△ACE△△MCF(ASA),△CE=CF,△△CEF的形状是等边三角形.【点睛】本题主要考查边角边定理和角边角定理△熟练掌握这两个知识点并熟练运用是解答此题的关键.8．（问题探索）如图1，在Rt△ABC中，△ACB=90°△AC=BC，点D△E分别在AC△BC边上，DC=EC，连接DE△AE△BD，点M△N△P分别是AE△BD△AB的中点，连接PM△PN△MN．探索BE与MN的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN的关系为__________________________________,最后推理得到BE 与MN的数量关系为__________________________.（深入探究）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（解决问题）若CB=8△CE=2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B△E△D三点在一条直线上时，求MN的长度．【答案】PM△PN△PM△PN；MN；成立，答案见解析；MN11【解析】【分析】【详解】试题分析：(1)问题探索：M△N△P分别是AE△BD△AB的中点，所以MP、NP分别是∆AEB、∆ADB的中位线，PN AC，PM BC可得AD=EB,所以可得PM,从而得到BE与MN的关系．(2)深入探究：通过连AD，延长BE交AD于点G，将PM△PN放在两个全等的三角形即△ADC△△BEC 来证明PM△PN△再证∠AGB△90°（3）解决问题：【问题探索】M△N△P分别是AE△BD△AB的中点，∴PM△PN分别是∆AEB、∆ADB的中位线，∴PM BC且PM=12BE△PN AC且PN=12AD△ACB=90°,∴PM△PN.又AC=BC△DC=EC∴AD=BE∴PM△PN∴PM△PN△PM△PN△BE与MN的数量关系为MN, PM△PN△PM△PN∴∆PMN为等腰直角三角形，PMBE=2PM∴MN【深入探究】成立，理由：如图连接AD,延长BE交AD与G．已知△ACB=△ACE+△ECB=90°△△DCE=△ACE+△DCA=90°∴△ECB=△DCACA=CB,CD=CE∴△ADC△△BEC∴AD=BEM△N△P仍是AE△BD△AB的中点，∴PM BE且PM=12BE△PN AD且PN=12AD∴PM=PN又△ADC△△BEC∴△DAC=△EBC△EBC+△ABE+△CBA=90°∴△DAC+△CBA+△ABE=90°∴BG AD∴PM△PN因此PM,PM=12BE∴MN 【解决问题】由上题已知MN△△当△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图3的位置时，△ADC△△BEC ,BD AD ⊥,∴AD=EB,AD 2+BD 2=AB 2，设AD=EB=x,CB=8△CE=2△∴（x+2+x 2=(2,解得x=x=（舍去），所以所以，1②当△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图4的位置时，△ADC△△BEC ,BD AD ⊥，∴AD=BE设BE=x ，因为BE AD ⊥,∴△ADB 是直角三角形，∴AD 2+BD 2=AB 2，∴（x-2+2x =128解得x=,x=1所以MN 1-1+四、角平分线模型9．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l ，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90︒+12∠A,理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线 ∴∠1=12∠ABC, ∠2=12∠ACB ∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)= 12(180︒-∠A)= 90︒-12∠A ∴∠BOC=180︒-(∠1+∠2) =180︒-(90︒-12∠A)=90︒+12∠A (1)探究2；如图2中，O 是12∠ABC 与外角12∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中, O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（直接写出结论）(3)拓展：如图4，在四边形ABCD 中，O 是∠ABC 与∠DCB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A+∠D 有怎样的关系？（直接写出结论）【答案】（1）探究2结论：∠BOC=12A ∠△△2）探究3：结论∠BOC=90°△12A ∠△△3）拓展：结论()12BOC A D ∠=∠+∠ 【解析】【分析】△1）根据角平分线的定义可得∠1=12△ABC△△2=12△ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12△ACD=12△△A+△ABC△△△BOC=△2-△1，然后整理即可得解；△2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；△3）同（1）的求解思路．【详解】（1）探究2结论：∠BOC=12∠A．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A；（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12（∠A+∠ACB），∠OCB=12（∠A+∠ABC），在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A+∠ABC），=180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°-12（180°+∠A），=90°-12∠A；故答案为∠BOC=90°-12∠A．（3）∠OBC+∠OCB=12（360°-∠A-∠D），在△BOC中，∠BOC=180°-12（360°-∠A-∠B）=12（∠A+∠D）．故答案为∠BOC=12（∠A+∠D）．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．10．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC度数．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．【答案】△1△80°△△2△△△△△△△3△△△△△【解析】【分析】△1△过P作PE∥AB△根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP△∠CPE=∠DCP△再根据APC APE CPE BAP DCP ∠=∠+∠=∠+∠进行计算即可；△2△过K 作KE ∥AB △根据KE ∥AB ∥CD △可得∠AKE =∠BAK △∠CKE =∠DCK △得到∠AKC =∠AKE +∠CKE =∠BAK +∠DCK △同理可得，∠APC =∠BAP +∠DCP △再根据角平分线的定义，得1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，进而得到1.2AKC APC ∠=∠ △3△过K 作KE ∥AB △根据KE ∥AB ∥CD △可得∠BAK =∠AKE △∠DCK =∠CKE △进而得到∠AKC =∠AKE −∠CKE =∠BAK −∠DCK △同理可得，∠APC =∠BAP −∠DCP △再根据角平分线的定义，得出1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠，进而得到1.2AKC APC ∠=∠ 【详解】 △△(1)如图1,过P 作PE ∥AB △∵AB ∥CD △∴PE ∥AB ∥CD △∴∠APE =∠BAP △∠CPE =∠DCP △∴602080APC APE CPE BAP DCP ∠=∠+∠=∠+∠=+=；(2)1.2AKC APC ∠=∠理由：如图2,过K 作KE ∥AB △∵AB ∥CD △∴KE ∥AB ∥CD △∴∠AKE =∠BAK △∠CKE =∠DCK △∴∠AKC =∠AKE +∠CKE =∠BAK +∠DCK △过P作PF∥AB△同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP△∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K△∴1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴12AKC APC ∠=∠；(3)12AKC APC ∠=∠；理由：如图3,过K作KE∥AB△∵AB∥CD△∴KE∥AB∥CD△∴∠BAK=∠AKE△∠DCK=∠CKE△∴∠AKC=∠AKE−∠CKE=∠BAK−∠DCK△过P作PF∥AB△同理可得，∠APC=∠BAP−∠DCP△∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K△∴1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠，∴1.2AKC APC ∠=∠【点睛】考核知识点：平行线判定和性质综合.添辅助线，灵活运用平行线性质是关键.。

专题10 几何动态探究问题

专题九：几何动态探究问题动态型问题是探究几何图形在运动变化过程中与图形相关的某些量（线段的长、图形的周长于面积等）。

此类问题常与平移变换、轴对称变换、旋转变换相结合。

解决此类问题要“变动为静，以静制动”，善于从特殊位置到一般位置状态的分析，结合几何变换的性质特点，准确把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，建立相关的方程或函数数学模型。

1.平移型动态探究问题例1．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．针对训练1. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (3，33)，B (9，53)，C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB －BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，52(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动．(1)求AB 所在直线的函数表达式．(2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值．(3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．图1 图22.轴对称型动态探究问题例2.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0）．动点M，N 同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连接MN．（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．针对训练2．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE＝2CE，连接AE 交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE＝2CE”改为“＝x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．3.旋转型动态探究问题例3．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．针对训练3．如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E 在AC边上．（1）如图1，连接BE，若AE＝3，BE＝，求FC的长度；（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交于点M，N，当△CMN是等腰三角形时，求旋转角α的度数；（3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B，E，F在同一条直线上，点P为BF 的中点，连接AE，猜想AE，CF和BP之间的数量关系并说明理由．4.动态点的运动轨迹探究问题例4．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M 作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．针对训练4．如图，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0），顶点为D的抛物线y ＝ax2+bx+经过点A、点B，交y轴于点C．若点P是x轴的正半轴上一个动点，将△OCP 沿边CP翻折，得到△ECP，（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）当点E落在抛物线的对称轴上时，求此时点P的坐标；（3）连接DE，则DE的最小值是；（4）若点P是线段OB上一动点，并由点O向点B运动，则点E的运动路径长．。

初中数学中考复习动态型问题(动点动线动面)专项练习及答案解析(50道)

初中数学中考复习动态型问题（动点动线动面）专项练习及答案解析（50道）一、选择题1、如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm22、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定3、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC 上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C． D．4、数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动4个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）A．7 B．1 C．0 D．﹣15、如图，正方形ABCD边长为4个单位，两动点P、Q分别从点A、B处，以1单位/s、2单位/s的速度逆时针沿边移动．记移动的时间为x（s），△PBQ面积为y（平方单位），当点Q移动一周又回到点B终止，则y与x的函数关系图象为（）A． B．C． D．6、如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．7、如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．（4﹣π）a2C．πD．4﹣π8、如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD的延长线上移动时，则△PBD的外接圆的半径的最小值为（）A．1 B．C．D．9、如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动（到达点C后停止运动），同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB﹣BC的方向向点C移动（到达点C后停止），若△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t （s）之间函数关系的大致图象是图2（）A．B．C．D．10、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．11、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定12、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．13、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．14、已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（）二、填空题15、如图，△ABC是边长6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为V p=2cm/s， V Q=1cm/s，当点P到达点B时， P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___ s时，△PBQ为直角三角形.16、如图，AO OM，OA=4，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF.等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为_________．17、如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．18、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．19、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．20、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点（0，1），（1，1），（1，0），（1，－1），（2，－1），（2，0），…，则点的坐标是.21、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当时间为t秒时，点P到BC的距离为cm．（2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．22、如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．23、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，⊙P的半径为1cm，且OP=4cm，如果⊙P 以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒后⊙P与直线CD相切．三、解答题24、如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。

干货初中数学：动态几何题

干货初中数学：动态几何题笑笑老师动点型1、单动点型例1、如图1，在矩形ABCD中，AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F分别是垂足，求PE+PF的长。

分析与略解：P是AD边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在“动”中求“静”。

当P点在D（或A）处时，过D作DG⊥AC，垂足为G，则PE=0，PF=DG，故PE+PF=DG，在Rt△ADC中，由面积公式有：，再有“静”寻求“动”的一般规律，得到PE+PF=DG=。

图12、双动点型例2、如图2，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止。

若点P、Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度为每秒dcm。

图3是点P出发x秒后△APD的面积与x（秒）的函数关系图象，图4是点Q出发x秒后△AQD的面积与x（秒）的函数关系图象。

图2图3图4（1）参照图3，求a、b及图3中c的值。

（2）求d的值。

（3）设点P离开点A的路程为，点Q到点A还需走的路程为，请分别写出动点P、Q改变速度后，、与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式。

并求出P、Q相遇时x的值。

（4）当点Q出发________秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm。

分析与略解：解决此类问题的关键是应注意图形位置变化及动点运动的时间和速度，用分类讨论的思想来求解。

（1）观察图3，所以（秒），（厘米/秒），（秒）。

（2）依题意，解得（厘米/秒）（3）依题意，所以（秒）（4）1和19。

动线型1、线平移型例3、如图5，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），一次函数y=x+t的图象L随t的不同取值变化时，位于L的右下方由L和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）。

（1）当t取何值时，S=3？（2）在平面直角坐标系下，画出S与t的函数图象。

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习及答案

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习及答案一、单选题1．如图1，在△ABC中，△B＝90°，△C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2B．4C．2 √3D．4 √32．如图，在四边形DEFG中，△E＝△F＝90°，△DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2，将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（）A．B．C．D．3．点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C是AB的三等分点时，S最大4．下列函数属于二次函数的是（）A．y=5x+3B．y=1x2C．y=2x2+x+1D．y=√x2+15．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x﹣1）2+2D．y=3（x﹣1）2﹣26．如图，直线l1:y=−x+4与x轴和y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l1的直线l2从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴分别相交于C、D两点，运动时间为t秒(0≤t≤4).以CD为斜边作等腰直角ΔCDE（E、O两点分别在CD两侧），若ΔCDE和ΔOAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，菱形ABCD的边长为2，△A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH△BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．8．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A．y=﹣2（x+1）2+2B．y=﹣2（x+1）2﹣2C．y=﹣2（x﹣1）2+2D．y=﹣2（x﹣1）2﹣29．如图，AC=BC，点D是以线段AB为弦的圆弧的中点，AB=4，点E是线段CD上任意一点，点F 是线段AB上的动点，设AF=x，AE2﹣FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．P是AB边上一动点，PD△AC于点D，点E 在P的右侧，且PE＝1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小11．将抛物线y=－2x2先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，两次平移后得到的抛物线的解析式为（）A．y=－2（x+1）2+3 B．y=－2（x+1）2-3C．y=－2（x-1）2+3 D．y=－2（x-1）2-312．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且△APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题13．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，BC=4，BA=5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE△AB 交边BC于点E，过点B作BF△BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE 和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF 的长度为.14．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点。

中考数学动态几何、类比探究专项训练及答案A4版(12套全)

专项训练（一）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22. （10分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A ，点D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP ，BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ．（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论．（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（备用图）A EBPDH GFCCFGH DPBEA备用图专项训练（二）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22. （10分）数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：图1 图2（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为___________； ②在平移过程中，AMDM的值为___________（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AMDM的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m ≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．图3 图4如图1，两块等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．专项训练（三）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22. （10分）已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当OA =OB ，且D 为OA 中点时，求APPC的值；（2）如图2，当OA =OB ，且14AD OA 时，求tan ∠BPC 的值；（3）如图3，当AD :OA :OB =1:n:tan ∠BPC 的值．A OCBDPA BPCDO O DCPBA图1 图2 图3专项训练（四）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22.（10分）如图，在矩形ABCD中，点M是AD的中点，AD=CD=，直角∠PME绕点M进行旋转，其两边分别和BC，CD交于点P和点E，连接PE交MC于点Q．（1）判断线段MP，ME的数量关系，并进行证明；（2）当动点P，E分别在线段BC和CD上运动时，设PC=x，MQ=y，求y 与x的函数关系式；（3）在（2）中，当y取最小值时，判断PE与BM的位置关系，并说明理由．PQE M DCB A专项训练（五）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22. （10分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =10，F 为AD 的中点，CE ⊥AB 于E ，设∠ABC =α（60°≤α<90°）．（1）当α=60°时，求CE 的长．（2）当60°<α<90°时，①是否存在正整数k ，使得∠EFD =k ∠AEF ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．②连接CF ，当CE 2 CF 2取最大值时，求tan ∠DCF 的值．FDCBEA专项训练（六）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在线段AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ．（1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°<∠ABC <90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．mnAF CB Emn A F E CBB CEF A图1 图2 图3专项训练（七）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22. （10分）如图1，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE （CD >BC ）中，点C ，B ，D 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MB 的位置及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．EMDC BA图1EM DBA图2ABCDM图3专项训练（八）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22. （10分）如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF =90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的平分线CF 于点F ．（1）求证：AE =EF ．（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上除B ，C 外的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，点E 是BC 延长线上除C 点外的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．GAB C DFE图1E FDC B AG图2FDBAG图3专项训练（九）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22.（10分）问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于D，E两点，过点E 作EF∥AB，交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S=_________，△EFC的面积S1=_________，△ADE 的面积S2=__________．专项训练（十）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22. （10分）如图，在△ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =12厘米，D 是BC 的中点，点P 从B 出发，以a 厘米/秒（a >0）的速度沿BA 匀速向点A 运动，点Q 同时以1厘米/秒的速度从D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t 秒．P D BA专项训练（十一）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25cm，AC=20cm．点P从点A出发，沿AB的方向匀速运动，速度为5cm/s；同时点M从点C出发，沿CA的方向匀速运动，速度为4cm/s．过点M作MN∥AB，交BC于点N．设运动的时间为t秒（0<t<5）．（1）用含t的代数式表示线段MN的长．（2）连接PN，是否存在某一时刻t，使得四边形AMNP为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）连接PM，PN，是否存在某一时刻t，使得点P在线段MN的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．AC （备用图）（ABC专项训练（十二）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日参考答案22．（1）证明略；（2）△PDH 的周长不发生变化，证明略；（3）21282S x x =-+，当x =2时，S 存在最小值，最小值为6．中考数学动态几何、类比探究专项训练（二）参考答案22．（1）①1；②2x；（2）1AMDM =；（3）2AM x DM =．中考数学动态几何、类比探究专项训练（三）参考答案22．（1）APPC=2；（2）tan ∠BPC 12=；（3）tan ∠BPC =．中考数学动态几何、类比探究专项训练（四）参考答案22．（1）MP =ME ，证明略；（2）2144y x =+；（3）当y 取最小值时，PE ∥BM ，理由略．参考答案22．（1）CE=．．（2）①存在，k=3；②tan∠DCF3中考数学动态几何、类比探究专项训练（六）参考答案22．（1）EF=EB，证明略；（2）不成立，此时EB=kEF；（3）EF=EB，证明略．中考数学动态几何、类比探究专项训练（七）参考答案22．（1）MD⊥MB，MD=MB，证明略；（2）不发生变化，证明略；（3）不发生变化，证明略．中考数学动态几何、类比探究专项训练（八）参考答案22．（1）证明略；（2）结论仍成立，证明略；（3）结论仍成立，证明略．中考数学动态几何、类比探究专项训练（九）参考答案22．（1）6，9，1；（2）证明略；（3）18．参考答案22．（1）1813t=；（2）①PQ154=厘米；②不存在，理由略．中考数学动态几何、类比探究专项训练（十一）参考答案22．（1）MN=5t；（2）存在，209t=；（3）存在，16057t=．中考数学动态几何、类比探究专项训练（十二）参考答案22．（1）BC=10；（2）5017t=；（3）102560 3817或或．。

八年级数学动态几何探究题综合训练大全

八年级数学动态几何探究题综合训练大全1．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE=BF ．连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG=DE ，连接FG ，FC ．(1)请判断：FG 与CE 的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若点E ，F 分别是边CB ，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图3，若点E ，F 分别是边BC ，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．2．如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．3．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （4，0），点B （0，3），把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A ，O 旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA 上的一点P 旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）A B C E F M N O (第19题图）B C4．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE ⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：AF+BF=2OE；（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2时．线段AF，BF与OE具有什么数量关系？并说明理由．（3）当运动到图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．(1)求证：BD=CF(2)将△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．猜想BD、CF有怎样的位置关系，并证明你的猜想。

中考数学题型研究：几何图形动态探究题类型一

;
（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为
等腰三角形时，求直线AQ的解析式.
（1）【思路分析】可在Rt△CPN中，根据CP 的长和∠BCA的三角函数值求出CN、PN的长，
即可表示出点P的坐标.
解：(4 t, 3t );
4
【方法指导】动态中求点坐标问题，解题方法为根据已知图形的性质，找对应边存在的关系或特殊三角函数求解.
过点Q作QH⊥AB，垂足为H.
则AP=x，BP=10-x，BQ=2x.
在Rt△BQH 中，
QH BQ sin B 2x 4 8 x, 55
H
例1题解图①
△BPQ的面积 1 BP QH 1 (10 x) 8 x 4 x2 8x,
2
2
55
即 y 4 x2 8x(0 x 3);
若不存在，请说明理由.
（1）【思路分析】知道两条边的比为 m ，最常
n
用的方法是分别设这两条边分别为mk、nk，方
便计算；
解：设AC=4k，BC=3k, ∵∠C=90°,AB=10，
∴(4k)2+(3k)2=102，解得k=2，k＝-2（舍去），
∴AC=8，BC=6.
sin B AC 8 4 ,sin A 3 .
5
当3<x<7时，点Q在AC上，如解图②.
过点Q作QM⊥AB于点M，
在Rt△AQM中，AQ=14-2x，
QM AQsin A (14 2x) 3 42 6 x, 5 55
例1题解图②
所以△BPQ的面积
1 QM BP 1 (42 6 x) (10 x) 3 x2 51 42

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题(带答案)

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题（带答案）一、单选题1．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．6＜t≤8B．6≤t≤8C．10＜t≤12D．10≤t≤122．在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣6）B．（1，﹣4）C．（1，﹣6）D．（﹣3，﹣4）3．下列函数中是二次函数的为（）A．y=3x﹣1B．y=3x2﹣1C．y=（x+1）2﹣x2D．y=x3+2x﹣34．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为( )A．－3 B．1C．5D．86．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞17．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a 和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC = DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径9．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．11．如图，抛物线 y =−12x 2+32x +2 与x 轴交于A 、B 两点与y 轴交于点C ．若点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，当 △BCP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（）A ．(2，3)B ．(32，258)C ．(1，3)D ．(3，2)12．已知点A （0，2），B （2，0），点C 在y=x 2的图象上，若△ABC 的面积为2，则这样的C 点有( ) A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．如图，抛物线与轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上在第一象限的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．14．如图，已知直线y=﹣34 x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣12 x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34 x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．15．已知抛德物线y＝14x2 +1有下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（√2，3），P是抛物线y＝14x2 +1上一个动点，则△PMF周长的最小值是．16．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的解析式是。

人教版版中考数学题型二几何动态探究型(江苏专用)

人教版版中考数学题型二几何动态探究型（江苏专用）1.如图①，AB=5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM，BN上，PQ∥AB．设AP=x，QD=y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9,2)，则cosB的值等于( )A．25B．12C．35D．7102.如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF=4，CF=6．将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，若DE∥BC，AF=EF，则四边形ADFE的面积为．3.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AC=1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在Aʹ处，如图2；第二步，将纸片沿CAʹ折叠，点D落在Dʹ处，如图3．当点Dʹ恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段AʹDʹ的长为．4.如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(−3,9)，D(2,4)在抛物线y=x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为Cʹ，Dʹ，当四边形ABCʹDʹ的周长最小时，抛物线的解析式为．5.如图，将含有30∘角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x，y轴的正半轴上，∠OAB=60∘，点A的坐标为(1,0)．将三角板ABC沿x轴向右做无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60∘，再绕点C按顺时针方向旋转90∘，⋯⋯），当点B第一次落在x轴上时，点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是．6.如图，已知直线l1∥l2，l1，l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4√30，在直线l1上有一动点A，直线l2有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．(1) 求证：∠ADE=∠DFC；(2) 求证：CD=BF．8.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=60∘，CD是斜边AB上的中线．点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．(1) 若AB=a，直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；(2) 若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如图②．判断四边形ADFC的形状，并说明理由；(3) 若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．9.能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD=AG=5，AB= 9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．(1) 【探究】求证：四边形AGHD是菱形；(2) 【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为；(3) 【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③．若sin∠BAD=4，则四边形DCFG的面积5为．答案1. 【答案】D【解析】∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP=BQ=x．由题图②可得当x=9时，y=2，此时点Q在点D下方，如图所示，∴BD=BQ−QD=x−y=7．由翻折的性质得BC=CD=12BD=72，AC⊥BD，∴cosB=BCAB =725=710．2. 【答案】5√3【解析】由题意易知DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=12×(4+6)=5，由折叠可知AE=EF，又AF=EF，∴△AEF是等边三角形，∴∠FAE=60∘，由折叠的性质及DE∥BC可得AF⊥BC，∴∠AFC=90∘，在Rt△ACF中，CF=6，∠FAE=60∘，∴AF=2√3，∴S四边形ADFE =12×2√3×5=5√3．3. 【答案】12或2−√3【解析】①点Dʹ恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设AʹC交AB边于点E，如图，由题意：△ADC≌△AʹDC≌△AʹDʹC，AʹC垂直平分线段DDʹ．则∠DʹAʹC=∠DAʹC=∠A=60∘，AʹC=AC=1．∵∠ACB=90∘，∠B=30∘，AC=1，∴BC=AC⋅tanA=1×tan60∘=√3．AB=2AC=2，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE，∴CE=√32．∴AʹE=AʹC−CE=1−√32．在Rt△AʹDʹE中，∵cos∠DʹAʹE=AʹEAʹDʹ，∴AʹEAʹDʹ=12，∴AʹDʹ=2AʹE=2−√3．②点Dʹ恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图，由题意：△ADC≌△AʹDC≌△AʹDʹC，∠ACD=∠AʹCD=∠AʹCDʹ=13∠ACB=30∘；则∠DʹAʹC=∠DAʹC=∠A=60∘，AʹC=AC=1．∵∠DʹAʹC=60∘，∠AʹCDʹ=30∘，∴∠AʹDʹC=90∘，∴AʹDʹ=12AʹC=12×1=12．综上，线段AʹDʹ的长为：12或2−√3．4. 【答案】y=(x−2513) 2【解析】如图1，将点A，B沿CʹC的方向，平移CʹC长度，得到点Aʹ，Bʹ，连接CD，BʹC，AʹD，由平行四边形的性质可知四边形ABCʹDʹ的周长等于四边形AʹBʹCD的周长．如图2，将点D向左平移2个单位，得到点D1(0,4)，作点D1关于x轴的对称点D2(0,−4)，作直线CD2交x轴于点Bʹ，将点Bʹ向右平移2个单位，得到点Aʹ，连接AʹD，BʹD1，由平行四边形的性质可知四边形AʹBʹCD的周长等于CD2+AʹBʹ+CD，即CD2+AB+CD．因为两点之间线段最短，所以此时四边形AʹBʹCD的周长最小，即四边形ABCʹDʹ的周长最小．设直线 CD 2 的解析式为 y =kx −4，代入点 C (−3,9)，得 9=−3k −4，解得 x =−133，所以直线 CD 2 的解析式为 y =−133x −4．当 y =0 时，x =−1213，所以 Bʹ(−1213,0)，将点 Bʹ 向右有平移 2513 个单位到点 B ，所以新的抛物线解析式为 y =(x −2513)2．5. 【答案】 √3+1712π【解析】由点 A 的坐标为 (1,0)，得 OA =1，又 ∵∠OAB =60∘，∴AB =2，∵∠ABC =30∘，AB =2，∴AC =1，BC =√3，在旋转过程中，三角板的长度和角度不变，∴ 点 B 运动的路径与两坐标轴围成的图形面积为S △AOB +S 扇形BABʹ+S △ABʹCʹ+S 扇形BʹCʹBʺ=12×1×√3+60360π×22+12×1×√3+90360π×(√3)2=√3+1712π.6. 【答案】 16【解析】作 PE ⊥l 1 于 E ，并延长交 l 2 于 F ，在 PF 上截取 PC =8，连接 QC 交 l 2 于 B ，作 BA ⊥l 1 于 A ，此时 PA +AB +BQ 最短．作 QD ⊥PF 于 D ．在 Rt △PQD 中，因为 ∠D =90∘，PQ =4√30，PD =18，所以 DQ =√PQ 2−PD 2=√156，CD =PD −PC =18−8=10，因为 AB =PC =8，AB ∥PC ，所以四边形 ABCP 是平行四边形，所以 PA =BC ，所以PA +BQ =CB +BQ=QC=√DQ 2+CD 2=√156+102=16.7. 【答案】(1) 在等腰直角三角形 EDF 中，∠EDF =90∘，∴∠ADE +∠ADF =90∘．∵∠ACB =90∘，∴∠DFC +∠ADF =∠ACB =90∘，∴∠ADE =∠DFC ．(2) 连接 AE ．由平移的性质得 AE ∥BF ，AE =BF ．∴∠EAD =∠ACB =90∘．又 ∠DCF =180∘−∠ACB =90∘，∵△EDF是等腰直角三角形，∴DE=DF．由（1）得∠ADE=∠DFC，∴△AED≌△CDF，∴AE=CD，∴CD=BF．8. 【答案】(1) CD=a2．(2) 四边形ADFC为菱形．理由如下：∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=BD=12AB．由折叠的性质，得BD=DF，∴AD=DF．∵∠ACB=90∘，∠A=60∘，∴∠B=30∘，∴AC=12AB．解法一：∴AC=DF．∵DF⊥BC，∠ACB=90∘，∴∠ACB=∠DGB=90∘，∴AC∥DF．∴四边形ADFC为平行四边形．又AD=DF，∴四边形ADFC为菱形．(3) 45∘或135∘．【解析】(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=a，CD为斜边AB上的中线，∴CD=12AB=a2．(2) 解法二：∴AC=AD=CD=12AB．∴△ACD是等边三角形，CD=DF，∴∠ADC=60∘．∵DF⊥BC，∠B=30∘，∴∠CDF=60∘．∴△CDF是等边三角形∴CF=DF．∴AC=AD=CF=DF．∴四边形ADFC为菱形．(3) 如图，当点E在线段BC上时，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90∘．∠BDF，由折叠可得∠BDE=∠FDE=12∴∠BDE=45∘．如图，当点E在线段BC的延长线上时，∵DF⊥AB，∴∠BDF=90∘．∠BDF，由折叠可得∠BDN=∠FDN=12∴∠BDN=45∘，∴∠BDE=180∘−∠BDN=180∘−45∘=135∘．综上，∠BDE=45∘或135∘．9. 【答案】(1) ∵四边形ABCD和AEFG是平行四边形，∴AE∥FG，AB∥DC，∴AD∥GH，AG∥DH，∴四边形AGHD是平行四边形．∵AD=AG，∴四边形AGHD是菱形．(2) 56(3) 72【解析】(2) 如图，设AE与DF相交于点N，AB与FG相交于点M，∵四边形ABCD和AEFG是两个能够完全重合的平行四边形，∴AD=FE，∠D=∠E，DF=AB=9．在△ADN和△FEN中，{∠D=∠E,∠AND=∠FNE, AD=FE,∴△ADN≌△FEN(AAS)，∴AN=FN，DN=EN，∴△ADN和△FEN的周长相等．易得△ADN，△FEN，△FBM，△AGM的周长均相等，∵AD=5，DF=DN+FN=DN+AN=9，∴△ADN的周长为5+9=14，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为4×14=56．(3) 如图，设AB与DG相交于点K．∵四边形ABCD和AEFG是两个能够完全重合的平行四边形，∴AD=AG=5，CD=FG=AB=9，∠BAD=∠BAG，CD∥AB∥FG，∴AB⊥DG，DK=KG=12DG．∵AB⊥DG，CD∥AB∥FG，∴CD⊥DG．在Rt△ADK中，sin∠KAD=DKAD =45，即DK5=45，解得DK=4，∴DG=2DK=8．∵CD∥FG，CD=FG，∴四边形DCFG是平行四边形，又∵CD⊥DG，∴平行四边形DCFG是矩形．∴四边形DCFG的面积=DG⋅CD=8×9=72．。

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最新初中数学动态几何探究题汇总大全
【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角
函数等知识的综合运用.
【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解
决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.
【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、
覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含
的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.
【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综
合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.
为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.
类型1 操作探究题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D 作DF⊥AC于点F.
(1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；
(2)若∠DAF＝∠DBA.
①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；
②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.
解：(1)证明：由旋转得，∠BAC＝∠BAD，
∵DF⊥AC，
∴∠CAD＝90°.
∴∠BAC＝∠BAD＝45°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°.
∴AC＝BC.
(2)①AF＝BE.理由：
由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.
∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.
∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.
∵∠ABD＝∠FAD，由旋转得∠BAC＝∠BAD.
∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝1/3×180°＝60°.
由旋转得，AB＝AD.∴△ABD是等边三角形．∴AD＝BD.
在△AFD和△BED中：1.∠F=.∠BED=90°；2.AD＝BD； 3.∠FAD＝∠EBD，∴△AFD≌△BED(AAS)．∴AF＝BE.
②如图
由旋转得∠BAC＝∠BAD.
∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，
由旋转得AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.
∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.∴∠BAD＝36°.
设BD＝a，作BG平分∠ABD，
∴∠BAD＝∠GBD＝36°.∴AG＝BG＝BD＝a.
∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.
∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.
∴BD/AD＝DG/DB.∴BD/AD＝(AD－BD)/BD∴AD/BD＝（1+根号5）/2。

∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△AFD∽△BED.
∴BD/AD＝BE/AF.∴AF＝BD/AD·BE＝（1+根号5）/2*x.
2．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图 2.
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．解：(1)证明：延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA＝OD，OA⊥OD.
在△AOG和△DOE中，1.OA＝OD；2.∠AOG＝∠DOE＝90°；3.OG＝OE
∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.
∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°.
∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.
(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时，
∵OA＝OD＝1/2*OG＝1/2*OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝OA/OG′＝1/2
∴∠AG′O＝30°.
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.
∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，
同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.
综上所述，当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.
②AF′的最大值为2分子根号2＋2，此时α＝315°.
提示：如图
当旋转到A，O，F′在一条直线上时，AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝2分子根号 2.
∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝.∴OF′＝2.
∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根号2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此时α＝315°.
3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；
(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
解：(1)由折叠可知△ANM≌△ADM，
∴∠MAN＝∠DAM.
∵AN平分∠MAB，
∴∠MAN＝∠NAB.
∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.
∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×3分子根号3＝根号3。

(2)如图1，延长MN交AB延长线于点Q.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC.
∴∠DMA＝∠MAQ.
由折叠可知△ANM≌△ADM，
∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1.
∴∠MAQ＝∠AMQ.
∴MQ＝AQ.
设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x.
在Rt△ANQ中，AQ2＝AN平方＋NQ平方，
∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.。