中考数学几何动点问题专题复习
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中考数学几何动点问题专题复习
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运 动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过 “对称、动点 的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自 主探究能力， 促进培养学生解决问题的能力． 图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解 决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动 观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年 来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我 们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向． 本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式
2 2 1 NH= OP=2. 3 3 2
y
G M 图1
OH OP 2 PH 2 36 x 2 ,
x
A
MH
1 1 OH 36 x 2 . 2 2
H
在 Rt△MPH 中,
MP PH 2 MH 2 x 2 9
1 2 1 x 36 3x 2 4 2
.
∴ y =GP=
2 1 MP= 36 3x 2 (0< x <6). 3 3
(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:
1 36 3x 2 x ,解得 x 6 . 经检验, x 6 是原方程的根,且符合题意. 3 1 36 3x 2 2 ,解得 x 0 . 经检验, x 0 是原方程的根,但不符合题意. ②GP=GH 时, 3
①GP=PH 时, ③PH=GH 时, x 2 . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 6 或 2. 二、应用比例式建立函数解析式 例 2（2006 年·山东）如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= x, CE= y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为 ,∠DAE 的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函 A
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种
1
函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化 关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例 1(2000 年·上海)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA, 垂足为 H,△OPH 的重心为 G. (1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线 段,并求出相应的长度. (2)设 PH x ,GP y ,求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长. 解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= (2) 在 Rt △ POH 中 , B P ∴ O N
2
D
E
数解析式还成立?试说明理由. 解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴ AB BD , CE AC
∴
1 x 1 , ∴y . y 1 x
(2)由于∠DAB+∠CAE= ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= 90 函数关系式成立, ∴ 90 当
2
,且 F B P D C 3(1)
●
2
= , 整理得
2
90 .
2
90 时,函数解析式 y
1 成立. x
例 3(2005 年· 上海)如图 3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点 O 是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心作半圆,与边 AB 相切于点 D,
E O
AБайду номын сангаас
交线段 OC 于点 E.作 EP⊥ED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F. P (1)求证: △ADE∽△AEP. (2)设 OA= x ,AP= y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定 义域. (3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长. 解:(1)连结 OD. 根据题意,得 OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由 OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴ ∴OD= C 3(2)
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运 动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过 “对称、动点 的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自 主探究能力， 促进培养学生解决问题的能力． 图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解 决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动 观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年 来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我 们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向． 本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式
2 2 1 NH= OP=2. 3 3 2
y
G M 图1
OH OP 2 PH 2 36 x 2 ,
x
A
MH
1 1 OH 36 x 2 . 2 2
H
在 Rt△MPH 中,
MP PH 2 MH 2 x 2 9
1 2 1 x 36 3x 2 4 2
.
∴ y =GP=
2 1 MP= 36 3x 2 (0< x <6). 3 3
(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:
1 36 3x 2 x ,解得 x 6 . 经检验, x 6 是原方程的根,且符合题意. 3 1 36 3x 2 2 ,解得 x 0 . 经检验, x 0 是原方程的根,但不符合题意. ②GP=GH 时, 3
①GP=PH 时, ③PH=GH 时, x 2 . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 6 或 2. 二、应用比例式建立函数解析式 例 2（2006 年·山东）如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= x, CE= y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为 ,∠DAE 的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函 A
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种
1
函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化 关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例 1(2000 年·上海)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA, 垂足为 H,△OPH 的重心为 G. (1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线 段,并求出相应的长度. (2)设 PH x ,GP y ,求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长. 解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= (2) 在 Rt △ POH 中 , B P ∴ O N
2
D
E
数解析式还成立?试说明理由. 解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴ AB BD , CE AC
∴
1 x 1 , ∴y . y 1 x
(2)由于∠DAB+∠CAE= ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= 90 函数关系式成立, ∴ 90 当
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,且 F B P D C 3(1)
●
2
= , 整理得
2
90 .
2
90 时,函数解析式 y
1 成立. x
例 3(2005 年· 上海)如图 3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点 O 是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心作半圆,与边 AB 相切于点 D,
E O
AБайду номын сангаас
交线段 OC 于点 E.作 EP⊥ED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F. P (1)求证: △ADE∽△AEP. (2)设 OA= x ,AP= y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定 义域. (3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长. 解:(1)连结 OD. 根据题意,得 OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由 OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴ ∴OD= C 3(2)