2020江苏高考数学模拟考试

2020江苏高考数学模拟考试

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若函数的最小正周期是，则 ▲ ． 2．若复数是纯虚数，则实数的值是 ▲ ． 3．已知平面向量，，且，则实数 ▲ ．

4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ． 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题：

（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交 （2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面

也不垂直

（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 真命题．．．

的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 7．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 ▲ ．

8．已知二次函数的值域是，则的最小值是 ▲ ．

9．设函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ．

10．若动点在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的取值范围是 ▲ ． 11．在中，边上的中线，若动点P 满足，则的最小值是 ▲ ．

12．设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次

不动点．若函数在区间上存在次不动点，则实数的取值范围是 ▲ ． 13．将所有的奇数排列如右表，其中第行第个数表示为，例如．若，则 ▲ ． 14．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最大值是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知△中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为，且． （1）求角的大小；

（2）设向量，，求当取最大值时，的值．

16．（本小题满分14分）

如图，直四棱柱中，底面ABCD 是直角梯形，，，．

1

3 5 7 9 11 ……

（第12题）

（第5题）

A B

C D

D 1

C 1

B 1

A 1 （1）求证：是二面角的平面角；

（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行证明你的结论．

17．（本小题满分14分）

某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知

该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为），其它费用为每小时元，根据市场调研，得知的波动区间是，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时． （1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶

18．（本小题满分16分）

已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆过点，离心率为．如图，平行于的直线交椭圆于不同的两

点．

（1）当直线经过椭圆的左焦点时，求直线的方程； （2）证明：直线与轴总围成等腰三角形．

19．（本小题满分16分）

已知函数，其中常数． （1）求的单调区间；

（2）如果函数在公共定义域D 上，满足，那么就称 为与的“和谐函数”．设，求证：当时，在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个．

20．（本小题满分16分）

已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和．

（1）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；

（2）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合． （i ）求的值；（ii ）求数列的通项公式．

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题

．．．．．

．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定

区域

．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修：几何证明选讲

如图，设为⊙O的任一条不与直线垂直的直径，是⊙O与的公共点，AC⊥，BD⊥，垂足分别为C、D，且，求证：平分∠ABD．

B．选修：矩阵与变换

已知矩阵的一个特征值为，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

C．选修：坐标系与参数方程

若直线（参数）与圆（参数，为常数）相切，求的值．

D．选修：不等式选讲

若对于一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域

．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为．

（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率；

（2）的分布列及的数学期望．

23．（本小题满分10分）

已知数列中，，．

（1）求证：；

（2）求证：当时，．

2012江苏高考最后一卷 试题答案与评分标准

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性． 【答案】2 2．【解析】本题主要考查复数的概念和运算． 【答案】 3．【解析】本题主要考查平面向量的垂直． 【答案】3 4．【解析】本题主要考查古典概型． 【答案】 5．【解析】本题主要考查流程图． 【答案】 6．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系． 【答案】（3）（4） 7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算． 【答案】 8．【解析】本题主要考查基本不等式． 【答案】3 9．【解析】本题主要考查函数的性质． 【答案】

10．【解析】本题主要考查线性规划． 【答案】 解答如下： 画出可行域（如图所示阴影部分），而，其中表示与点连线

的斜率，由图可知，故 11．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积． 【答案】 解答如下： 因为且，所以点P 在线段上，故，设，则，当时取最小值 12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值． 【答案】 解答如下：

由题意，存在，使．当时，使；当时，解得．设，则由，得或（舍去），且在上递增，在上递减．因此当时，，所以的取值范围是． 13．【解析】本题主要考查数列的通项． 【答案】34 解答如下：

可以求得通项，所以且，从而，解得，于是，故 14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系． 【答案】

O 11