高中数学知识点人教版总结(专题汇总)
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专题一函数
【知识概要】
一、映射
●映射:映射是两个集合A、B间一种特殊的对应,:f A B
→表示对集合A中的任何一个元素,在集合B中有唯一确定的元素与之对应。如果a A
∈,且
∈,b B
元素a和元素b对应,那么,元素a叫做元素b的原像,元素b叫做元素a的像,记为()
=。
b f a
【特别提醒】:
(1)映射由三要素组成,集合A、B以及A到B的对应法则f,集合A、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合。对于A中每一个元素,在B中有且只有一个元素和它对应。
(2)A中的不同元素允许对应B中的相同元素,即映射允许“多对一”、“一对一”,但不允许“一对多”。B中的元素可以在A中没有元素和它对应。
二、函数的概念
●1. 函数的定义:
如果A、B都是非空的数集,映射:f A B
→就叫做A到B的函数,记作:()
=,
y f x ∈,其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应x A
的y值叫做函数值,函数值的集合{}
f A表
|()
=∈叫做函数的值域.如果用()
y y f x x A
示值域,则有()
⊆。
f A B
通常()
=表示“y是x的函数”,简记作函数()
y f x
f x。
●2. 函数的三要素:定义域A,对应法则f,值域()
f A。
●3. 函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法.函数解析式的求法:
(1)待定系数法. 若已知函数的类型,可用待定系数法;
(2)换元法. 已知复合函数(())
f g x的解析式,可用换元法,要注意变量的取值范围;
(3)消参法. 若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出()
f x。
(4)直接法.变形后直接代换
【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明定义域,特别是利用换元法求解析式时,不注明定义域往往导致错解。
分段函数:在定义域内不同部分上有不同的解析式,这样的函数通常叫分段函数,分段函数虽由几个部分构成,但它表示的是一个函数。
壹
贰
复合函数:如果(),()y f u u g x ==,则称函数(())y f g x =为f 和g 构成的复合函数,其中(),y f u =()u g x =分别叫做外层函数和内层函数,内层函数的值域是外层函数的定义域。
●4. 函数的基本性质:
(1)单调性:设函数的定义域为A ,区间I A ⊆。
如果对于任意1x ,2x ∈I ,当12x x <时,都有()()12f x f x >,那么就说()f x 在区间I 上是单调减函数.区间I 叫做()f x 的单调减区间;
如果对于任意1x ,2x ∈I ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在区间I 上是单调增函数.区间I 叫做()f x 的单调增区间;
单调增区间或单调减区间统称为单调区间。 单调性的求解方法:
①定义法:取值——作差——变形——定号——判断 ②复合函数:“同增异减”
(2)最大(小)值:设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足: ①对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤(或()f x M ≥);
②存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么我们称M 是函数()y f x =的最大(或小)值。
求函数最大(小)值的常用方法:分析观察法、反函数法、分离常数法、配方法、不等式法、判别式法、利用函数的单调性法、换元法、数形结合法、导数法。
函数的单调性与最值在高考中常以选择填空题形式出现,但近几年高考常以导数为工具,研究函数的单调性问题在大题中是必考内容。
(3)奇偶性: 如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()f x f x -=-,那么函数()f x 就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称。
如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()f x f x -=,那么函数()f x 就叫做偶函数。偶函数的图象关于y 轴对称。
奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据,为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:
()()f x f x -=±()()0f x f x ⇔-±=,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶
叁
性。
【特别提醒】(1)若()0f x =,则()f x 既是奇函数又是偶函数,()(0)f x a a =≠,则()f x 是偶函数;若()f x 是奇函数且在0x =处有定义,则(0)0f =.(3)函数的奇偶性常与函数的单调性、最值或周期结合考查,以选择填空题居多,且是高考考查的热点。
(4)周期性: 对于函数()f x ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有()()f x T f x +=,那么函数()f x 就叫做周期函数。非零常数T 叫做这个函数的周期。对于常数T ,如果存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做函数()f x 的最小正周期。
【特别提醒】:函数的图象是“形”与“数”的有机组合,由性质看图象,由图象研究性质是函数的永恒的主题,以图象考查函数性质是高考的常考点。
●5. 一些有用的结论:
①奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
②在公共定义域内:增函数()f x +增函数()g x 是增函数;减函数()f x +减函数
()g x 是减函数;
③函数(0,0)b y ax a b x
=+>>的单调性:
单调增区间是:(,]b a
-∞-和[,)b a
+∞;单调减区间是:[,0)b a
-和]b a
。
④如果函数()y f x =对于一切x R ∈,都有()()f a x f a x +=-,那么函数()y f x =的图象关于直线x a =对称。
⑤函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =对称; 函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0y =对称; 函数()y f x =与函数()y f x =--的图象关于坐标原点对称。 三、初等函数 ●1. 二次函数
(1)二次函数的三种表示形式: ①标准式:()20y ax bx c a =++≠;